立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何
1、（2010 一试7）正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的9条棱 长都相等，
P
是
CC
1
的中点，二面角
B?A
1< br>P?B
1
?
?
,
则
sin
?
?
【答案】
【解析】
10

4
A
1
C
1
E
B
1
O
A
P
C
B

设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A1
P
垂直的向量是
m?(x
1
,y
1
,z1
)
、
n?(x
2
,y
2
,z
2)
，则
?
?
m?BA
1
??2x
1
?2z
1
?0,

?
?
?
m?BP??x
1
?3y
1
?z
1
?0,
?
?
n?B1
A
1
??2x
2
?0,

?
??
n?B
1
P??x
2
?3y
2
?z
2
?0,
??????
由此可设
m?(1,0,1),n?(0,1,3)< br>，所以
m?n?m?ncos
?
，即
3?2?2cos
?< br>?cos
?
?
610
.所以
sin
?
?.
44
解法二：如图，
PC?PC
1
,PA
1
?PB
.
设
A
1
B
与
AB
1
交于点
O,
则
OA
1
?OB,OA?OB
1
,A
1
B?AB
1
.
因为 PA?PB
1
,所以 PO?AB
1
,
从而
AB
1
?
平面
PA< br>1
B
.
过
O
在平面
PA
1
B< br>上作
OE?A
1
P
,垂足为
E
.

< br>连结
B
1
E
,则
?B
1
EO
为二面 角
B?A
1
P?B
1
的平面角.设
AA
1
?2
,则易求得
PB?PA2,PO?3
.
1
?5,A
1
O?B
1
O?
在直角
?PA
1
O
中，< br>A
1
O?PO?A
1
P?OE
,即
2?3?5?OE ,?OE?
6
5
.
又B
1
O?2,?B
1
E?B
1
O
2
?OE
2
?2?
645
B O
210
.
sin
?
?sin?B
1
EO?
1
?
.
?
?
55
B
1
E
45
4
5

2、（2011一试6）在四面体
ABCD
中，已知
?ADB??BDC??CDA?60?
，
AD?BD?3
，
CD? 2
，则四面
体
ABCD
的外接球的半径为
【答案】
3

【解析】

因为
?CDA??CD B??ADB?60?
，设
CD
与平面
ABD
所成角为
?< br>，可求得
cos
?
?
1223
CD?1,DN??DP??? 3?3
．学科*网
2332
1
3
?2
，
1
3
,sin
?
?
2
3
．
在△
DMN
中，
DM?
由余弦定理得
MN
2
?1
2
?(3)
2
?2?1?3?
故
MN?2
．四边形
DMON
的外接圆的直径
MN
?
sin
?
2
2
3
?3
．故球
O
的半径
R?3
．
OD?

3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥
P?ABC
和
Q?ABC
内接于同一个球．若正三棱锥
P?ABC
的

侧面与底面所成的角为
45
?
，则正三棱锥
Q?ABC
的侧面与 底面所成角的正切值是．
【答案】4
【解析】






1
AH
,因为
?PAQ?90
?
,AH?PQ,

2
1
2
2
所以
AP?PH?QH,
即
AH ?AH?QH.

2
QH
?4
所以
QH?2AH?4MH .
,故
tan?QMH?
MH
,从而
PH?MH?

4、（2013一试4）已知正三棱锥
P?ABC
底面边长为1，高为
2
， 则其内切球半径为.
【答案】
【解析】
P
2

6
K
O
A
H
M
B
C

K 、M
如图，设球心
O
在面
ABC
与面
ABP
内的射 影分别为
H
和
K
，
AB
中点为
M
，内切球 半径为
r
，则
P、
共线，
P、O、H
共线，
?PH M??PKO?
?
2
，且
OH?OK?r
,
PO?PH? OH?2?r
，
MH?
33
153
AB?
?2?
,
PM?MH
2
?PH
2
?
,
66
126
于是有
r
2?r
?
2
OKMH1
.
?s in?KPO??
，解得
r?
6
POPM5

5、（2014一试5）已知正四棱锥
P?ABCD
中，侧面是边长为1的正三角形，
M,N
分别是边
AB,BC
的
中点，则异面直线
MN
与< br>PC
之间的距离是_____________.
【答案】
2

4


6、（2016一试5）设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆 周上的三点，满足
?ABC
=90°，M为AP的
中点.若AB=1，AC=2，AP?
【答案】
arctan
【解析】
2
，则二面角M—BC—A的大小为 .
2

3

由
?ABC
=90°知，AC为底面圆的 直径.设底面中心为O，则
PO?
平面ABC，易知
AO?
1
AC? 1
，进而
2
PO?AP
2
?AO
2
?1
.
设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作
HK?BC
于点K，则由三 垂线定理知
MK?BC
，
从而
?MKH
为二面角M—BC—A的平面 角.
1HKHC33MH2
??
，
?
.，结合
HK
与
AB
平行知，即
HK?
，这样
tan?MKH?
2AB AC44HK3
2
故二面角M—BC—A的大小为
arctan
.
3
因
MH?AH?

7、（2017一试5）正三棱锥
P? ABC
中，
AB?1,AP?2,
过
AB
的平面
?
将其体积平分，则棱
PC
与平面

?
所成角的余弦值为.
【答案】
3
5

10
【解析】设
AB,PC
的中点分别为
K,M
,则易证平面
ABM
就是平面
?
.由 中线长公式得
11113
(AP
2
?AC
2
)?PC2
?(2
2
?1
2
)??2
2
?
24 242
31
2
5
所以KM?AM
2
?AK
2
??()?.
222
AM
2
?
又易知直线PC在平面
?< br>上的射影是直线MK,而CM=1，KC=
53
?1?
KM?MC?KC
4
?
35
,所以cos?KMC??
4
2KM?MC10
5
222
3
，

2
故棱PC与平面
?
所成 的角的余弦值为
35
.
10