高中数学导数的定义

高中数学导数的定义,公式及应用总结
字体大小：大 中 小 晓 晓 发表于 2011-11-01 01:03 评论0条 阅读906次
导数的定义:
当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之< br>比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率).
函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］ 点
的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x )在
（a，b） 内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该
点切线斜率增 大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,
则f（x）在这个区 间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，
极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值
求导数的步骤:
求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数。
导数公式：
① C'=0(C为常数函数)； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1X的导数 ③
(sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
-(cotx)'=1(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1(1-x^2)^12 (arccosx)'=-1(1-x^2)^12
(arctanx)'=1(1+x^2) (arccotx)'=-1(1+x^2) (arcsecx)'=1(|x|(x^2-1)^12)
(arccscx)'=-1(|x|(x^2-1)^12) ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx
(tanhx)'=1(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1(sinhx)^2=-(cschx)^2
(sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1(x^2+1)^12

(arcoshx)'=1(x^2-1)^12 (artanhx)'=1(x^2-1) (|x|<1)
(arcothx)'=1(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1(x(1-x^2)^12)
(arcschx)'=1(x(1+x^2)^12) ⑤ (e^x)' = e^x； (a^x)' = a^xlna （ln为自
然对数） (Inx)' = 1x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不
等于1) (x^12)'=[2(x^12)]^(-1) (1x)'=-x^(-2)

导数的应用:
1．函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导
数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了 数形结合的思想． 一般
地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)＞０，那么函数y=f(x )在这个区间内单调递增；如果
f'(x)＜０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减． 如果在某个区间内恒有f'(x)=0，
则f(x)是常数函数． 注意：在某个区间内，f'(x )＞０是f(x)在此区间上为增函数的
充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数 ，但x=0时f'(x)=0。也就是说，
如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0 。 (2)求函数单调区间的步骤（不
要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定
f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，
f(x)在相应区间上是增函 数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； ②如
果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.
3．求函数极值的步骤
①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存
在的点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符 号，如果左正右负，那么f(x)
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 极小值．

4．函数的最值
(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值 （或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这
个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值 ），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值
（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在 ［a，b］的端点a或b处取得，极
值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①
求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值．