高中数学导数的概念人教版

导数的概念
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数
教学难点：导数的概念
教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同 ，但从函数角度
来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面 导数
的概念。
二、新授课：
x?x
0
处附近有定义，当自变量在
x?x
0
处有增量
?x
时，则函数1.设函数
y?f(x)
在
?y
Y?f(x)
相应地有增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
，如果
?x?0
时，
?y
与
?x
的比
?x
（也
?y
叫函数的平均变化率）有极限即?x
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
y?f(x)
在
x ?x
0
处的导数，记作
y

x?x
0
，即
f

(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
? ?x)?f(x
0
)
?x

注：1.函数应在点
x
0
的附近有定义，否则导数不存在。
2.在 定义导数的极限式中，
?x
趋近于0可正、可负、但不为0，而
?y
可能为0 。
?y
3.
?x
是函数
y?f(x)
对自变量
x
在
?x
范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
y?f(x)
上 点（
x
0
,f(x
0
)
）及点
(x
0??x,f(x
0
??x)
）的割线斜率。
4.导数
f

(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)? f(x
0
)
x
?x
是函数
y?f(x)
在点
0
的处瞬时变化率，它反映
x,f(x
0
)
）
x
的函数
y?f(x)
在点
0
处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线
y?f(x)
上点（
0

x,f(x
0
)
）处
x
处的切线的斜率。因此，如果
y?f(x)
在点
0
可导， 则曲线
y?f(x)
在点（
0

y?f(x)?f(x
0)(x?x
0
)
。
0
的切线方程为
x
5.导 数是一个局部概念，它只与函数
y?f(x)
在
0
及其附近的函数值有关，与
?x
无关。
6.在定义式中，设
x?x
0
??x
，则
?x?x?x
0
，当
?x
趋近于0时，
x
趋近 于
x
0
，因此，导
f

(x
0
)?lim< br>f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim
x?x
0
?xx?x
0
。 数的定义式可写成< br>?x?o
7.若极限
?x?0
lim
f(x
0
??x )?f(x
0
)
x
?x
不存在，则称函数
y?f(x)在点
0
处不可导。
x,f(x
0
)
）有切线存在。反 之不然，若曲线
x
8.若
f(x)
在
0
可导，则曲线
y?f(x)
在点（
0
x,f(x
0
)
）
xy?f(x)
在点（
0
有切线，函数
y?f(x)
在
0
不一定可导，并且，若函数
y?f(x)
在
x
0
不可导，曲 线在点（
x
0
,f(x
0
)
）也可能有切线。
? x?0
一般地，
lim(a?b?x)?a
，其中
a,b
为常数。
特别地，
?x?0
lima?a
。
如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的每点处都有导数，此时对于每一个
x?(a,b)< br>，都对应

f(x)f(x)f
着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称 这个函数
(x)
为函数
y?f(x)
在开区间内的导函数，简称导数，也可记 作
y

，即
?yf(x??x)?f(x)
?lim
f
(x)
＝
y

＝
?x?0
?x
?x?0
?x

lim
y
x
函数
y?f(x)
在< br>0
处的导数

x?x
0
就是函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
(x?(a,b))
上导数

f(x
0< br>)
。所以函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数也记作＝
f(x)
在
x
0
处的函数值，即
y


x?x
0

f

(x
0
)
。
注：1.如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内每一点都有导数，则 称函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内可导。
2.导数与导函 数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数
x
在给定点的导 数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数
y?f(x)
在点
0
处的导数就 是导

x
f
函数
(x)
在点
0
的函数值。

x
?x?0
f
0
x
3.求导函数时，只需将求导数 式中的换成就可，即
(x)
＝
lim
f(x??x)?f(x)
?x

4.由导数的定义可知，求函数
y?f(x)
的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)
。
?yf(x??x)?f(x)
?
?x?x
（2）.求平均变化率。
?y

?x?0
?x
y
（3）.取极限，得导数＝。
lim
2
y?2x?1
在
x
＝－3处的导数。 例1.求





2
y?x?x
例2.已知函数

y
（1）求。
2
y?x?x
在
x
＝2处的导数。 （2）求函数

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）
y?3x?4
；




(3)
y?3x
2
?12x
(3)





2.求函数
y?x
2
?1
在－1,0，1处导数。






3.求下列函数在指定点处的导数：
2
（1）
y?x,x
0
?2
；
2）
y?1?2x

y?5?x
3

y?
1
2
（2）
3
x,x
0
?0
；

（

22
y?(x?2),x?1y?x?x,x
0
??1
.
0
（3） （4）




4.求下列函数的导数：
（1）
y?4x?1;





（3）
y?2x
3
?3x;






5.求函数
y?x
2
?2x
在－2,0，2处的导数。


2）
y?10?x
2
；
4）
y?2x
2
?7
。
（
（