高中数学导数及其运用

导数及其应用

一、相关概念
1．导数的概念 < br>函数y=f(x),如果自变量x在x
0
处有增量
?x
，那么函数y相 应地有增量
?y
=f（x
0
+
?x
）
－f（x0
），比值
?y
叫做函数y=f（x）在x
0
到x
0< br>+
?x
之间的平均变化率，即
?x
?y
f(x
0??x)?f(x
0
)
?y
=。如果当
?x?0
时，有 极限，我们就说函数y=f(x)在点x
0
?x
?x?x
处可导，并把这个极 限叫做f（x）在点x
0
处的导数，记作f’（x
0
）或y’|
x? x
0
。
即f（x
0
）=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
=
lim。
?x?0
?x
?x
①求函数的增量
?y
=f（x< br>0
+
?x
）－f（x
0
）；
②求平均变化率
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
=；
?x
?x
?y
。
?x?0
?x
③取极限，得导数 f’(x
0
)=
lim
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点 x
0
处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x
0
，f（x
0
））处的切线
的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x
0
，f（x
0
））处的切线的斜率是f’（x
0
）。
相应地，切线方程为y－ y
0
=f（x
0
）（x－x
0
）。3.导数的物理意义 < br>如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=
s
?
（t）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。
二．求导数的方法
1 几个常用函数的导数
1．若
f(x)?c，则
f
?
(x)?
________； 2．若
f(x)?x
，则
f
?
(x)?
________；
3．若
f(x)?x
，则
f
?
(x)?
_____ ___； 4．若
f(x)?
2 基本初等函数的导数
1．若
f(x )?c
，则
f
?
(x)?
________； 2．若< br>f(x)?x
(
n?Q
)，则
f
?
(x)?
________；
3．若
f(x)?sinx
，则
f
?
(x)?
________； 4．若
f(x)?cosx
，则
f
?
(x)?
________;
n*
2

1
，则
f
?
(x)?
________。
x
.

x
5．若
f(x)?a
，则
f
?
(x)?
________ (
a?0
)； 6．若
f(x )?
e
，则
f
?
(x)?
________
x< br>7．若
f(x)?
log
a
，则
f
?
(x) ?
________ (
a?0
且
a?1
)；8．若
f (x)?lnx
，则
f
?
(x)?
__
x
3. 导数的四则运算
(u?v)
?
＝
[Cf(x)]
?
＝
)
?
＝
(v?0)

(uv)
?
＝ ，
(
u
v
4. 复合函数的导数
设
u?
?
(x)
在点x处可导，
y?f(u)
在点
u?
?
(x)< br>处可导，则复合函数
f[
?
(x)]
在点x处可导， 且
?< br>?u
?
f
?
(x)
＝，即
y
?
x< br>?y
ux

三，
导数的应用

1.函数的单调性
⑴求函数
f(x)
的单调区间的一般步骤：
①求出
f(x)
的导数
f
?
(x)
；
②求出方程
f
?
(x)?0
的根；
③
f
?
（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
f
?
（x）<0的 解集与定义域的
交集的对应区间为减区间.
特别提醒：
首先注意定义域,其次区间不能用“或”( U) 连接.
⑵已知函数的单调性，求参数取值范围
求使函数（解析式中含有参数）为增函数（或减函数） 的参数的取值范围：①先求使
f
?
(x)?0
（或
f
?(x)?0
）成立的参数的取值范围；②把参数取值范围的端点值代回函数解析式检验；
③ 综合①，②得参数的取值范围.
f
?
(x)?0?f(x)
增函数
? f
?
(x)?0
恒成立；
f
?
(x)?0?f(x)
减函数
?f
?
(x)?0
恒成立.边界代入检验!

2.函数的极值
求函数
y?f(x)
极值的步骤：
(最好通过列表法)

① 求导数
f
?
(x)
；②解方程
f
?
(x)?0的根
x
0
；③检查
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
的根
x
0
左、右
两侧的符号，判断 极值.“左正右负”
?
f(x)
在
x
0
处取极大值；“左负 右正”
?
f(x)
在
x
0
处取极小值.
特别提醒 ：若x
0
点是y=f(x)的极值点，则f′(x
0
)=0,反之不一定成立 ；如函数f(x)=|x|在x=0
时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=|x|有极小值.
3.函数最值⑴定义：函数
f(x)
在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大 值与其端
点值中的“最大值”；函数
f(x)
在一闭区间上的最小值是此函数在此区间 上的极小值与其
端点值中的“最小值”。
⑵求函数
y?f(x)
在[
a,b
]上的最值的步骤：
①求函数
y?f(x)
在（
a,b
）内的极值；
②将y?f(x)
的各极值与
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的 一个为最大值，最小的一个为最
小值。
.

四，考点

例1，变化率
已知函数
f(
的图 象上一点（1，1）及邻近一点（1+△
x
,1+△
y
）,则
x)? 2x?1
（ ）A．4 B．
4x
C．
4?2
?x

?x
D．
4?2


例2导数的定义，

已知某运动物体的位移y(米)与其运动时间t（秒）的函数关系为y=t?+t
(1)求y=f(t),利用导数定义求f?(t)
(2)求物体在t=2 秒时的瞬时速度。




例3.导数的计数

nx
3
y?xe

y?x?logx
1.（1）
2
（2）
2
2
?y
等于
?x


x
2
?1
(x)?2xsin(2x?5)
（3）
y?
(4)
f

sinx


(5)


2.设f(x)=
2
f(x)?x1?x

1
3
x
2
?
1
xx
,
则f′(1)=（ ）

3.(2009宁夏银川)已知函数y=f(x) 的图像在点（1. f(1)）处的切线方程是想x-2y+1=0,
则f(1)+2f?(1)的值_______


4.(2008山东)若函数f(x)=13·x?-f?(-1)·x?+x+ 5,则f??(1)=_______


例4.几何意义

1 已知曲线
C:y?x?x
，则过点
P(1,1)
的曲线的切线方程.

2
.

2.函数
y?f(x)< br>的图像在点M
(1,f(1))
处的切线方程是
y?

1
x?2
,
f(1)?f

(1)
=.
2
3.(全国卷)设曲线
y?ax
在点（1，
a
）处的切线与直线2
平行，则
a?
_____
x?y?6?0

4.已 知函数
f
?
x
?
?x?3ax?3bx
在
x?1< br>处的切线为
12x?y?1?0
，求函数
f
?
x
?< br>的解
析式．


32
2
5. （2009江西卷理）设函数
，则曲线

例5单调性问题

在点
，曲线在点处的切线方程为
处切线的斜率为______
1.设f(x)=x(2-x),则f(x)的单调增区间是（ ）
A.(0,
)
B.(
,
+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(,+∞）


32
2. (2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数
f(x)?x?ax?x?1
，
a?R
．
（Ⅰ）讨论函数
f(x)
的单调区间；
4
3
2
4
3
4
3
?
?
内是减函数，求
a
的取值 范围． （Ⅱ）设函数
f(x)
在区间
?
?，





3.已知函数
f(x)?x?3ax?2bx
在点
x? 1
处有极小值-1, 试确定
a
,
b
的值, 并求出
32< br>?
2
?
3
1
?
3
?
f(x)
的单调区间





例6.极值点和极值

1.(2011安徽)设f(x)=e?(1+ax?),其中a为正实数，当a=43时，求f(x) 的极值点和极值。




2. 设函数f(x)=-x(x-a)
2
(x∈R),其中a∈R.
.

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.










3.已知
f(x)?x?a x?bx?c
在点
x??1
处有极值且和曲线
g(x)?x?3x?2
在交点
322
(0,2)
处有公切线.
(1)求
a、b、c
的值；
(2)求
y?f(x)
在
R
上的极大值和极小值.






例7最值
1.已知函数
f(
.（1）求函数
f(x)
在
[?3,
x)?x?3x
33
]
上的最大值和最小值.
2
?
?
?
2.函 数f（x）＝x＋2cosx在区间
?
0,
?
上的最大值为______；在 区间[0，2π]上最大值为
?
2
?
________．

3.已知函数f(x)=ax?+x?+bx(其中常数abc为R) ，g(x)=f(x)+f?(x)是奇函数。
（1）求f(x)的解析式；
（2）讨论g(x)的单调性，求g(x)在[1,2]上的最值.





4
. 函数y=x-2x+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.




5. 已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y= f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，
32
42
2
3
.

y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值







例8.综合运用
.
（2009江西17）设函数 f(x)=x??92·x?+6x?a
(1)对于任意实数x，f?(x)>=m恒成立，求 m的最大值；
（2）若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围；






例9．实际运用

1.（2007重庆文）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽
之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多
少？







2.(湖南文)某工厂生 产某种产品，已知该产品的月生产量
x
(吨)与每吨产品的价格
p
(元
吨)之间的关系式为：
p?24200?
1
2
。问
x
,且 生产x吨的成本为
R?50000?200x
（元）
5
该产每月生产多少吨产 品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入?成本）

.












练习
1.(全国卷Ⅰ文)函数
f(x)?x?ax?3x?9
,已知
f(x)
在
x??3
时取得极值,则
a
=( )
32
.

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

2．(海南、宁夏文)设
f(x)?xlnx
，若
f' (x
0
)?2
，则
x
0
?
（ ）
2
A.
e
B.
e
C.
ln2

2
D.
ln2


32
3．（广东）函数
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为（ ）


A．
(2,??)
B．
(??,2)
C．
(??,0)
D．（0，2）
4.（安徽文）设函数
f(x)?2x?
1
?1(x?0),
则
f(x)
（ ）
x
C．是增函数 D．是减函数 A．有最大值 B．有最小值

5．（福建文、理)已知对任意实数x有f(－x)=－ f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，
则x<0时（ ）
A f’(x)>0，g’(x)>0 B f’(x)>0，g’(x)<0

C f’(x)<0，g’(x)>0 D f’(x)<0，g’(x)<0
2.（2009宁夏银川）若函数f?(x)=x??4x+3,则函数f(x+1)单调递减区间__ _____

A.(0,2) B.(1,3) C.(?4,?2) D.(?3,?1)

32
7．（浙江文）< br>f(x)?x?3x?2
在区间
?
?1,1
?
上的最大值是（ ）
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

8．（湖南文科）若 函数f(x)=x
2
+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f

(x)的图象是（ ）

y y
y
y



o x
o x
o x
o x



B
D
C
A

9．（全国卷Ⅱ理科）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
（A）(
3
?
?
3
?
5
?
，) （B）(
?
，2
?
) （C）(，) （D）(2
?
，3
?
)
2
22
2
10.（浙江理科）设
f
?
(x)
是函数f(x)的导函数，y=
f
?
(x)
的图象如图所示，则y= f(x)的
图象最有可能的是（ ）


二、填空题：(每小题5分,计20分)
32
y?x?2 x?4x?2
在点(1，一3)处的切线方程是
________________.
11.（浙江文）曲线

.

12.(重庆文科)曲 线
y?x
在点（1，1）处的切线与x轴、直线
x?2
所围成的三角形的
面积为.


3
13．（江苏）已知函数
f(x)?x? 12x?8
在区间
[?3,3]
上的最大值与最小值分别为
M,m
，
则
M?m?
_____________;


14.（2008北京文）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C
的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ____
函数f(x)在x=1处的导数f′（1）= ______
16.（2007宁夏）< br>曲线y=e
x
在点（2，e
2
）处的切线与坐标轴所围三角
形 的面积为_______

17.(2009宁夏)曲线y=xe?+2x+1在点（0，1）处的切线方程为________
3

18. (2008湖北)若f(x)=
?
1
2
x?bln(x?2)在(-1,+?)
上是减函数，则b的取值范围是____
2

2
19.（2010全国ⅡT
7
）若曲线
y? x?ax?b
在点
(0,b)
处的切线方程是
x?y?1?0
,则
a=_____ b=_____

x
2
1
20.（
07
全国Ⅱ文）已知曲线
y?
的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为___ __
4
2

21.（全国Ⅰ）曲线
y?x?2x?4
在点
(1，3)
处的切线的倾斜角为______

三、解答题：


432
22.偶函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象过点P（0，1 ），且在x=1处的切线方程为y=x-2，
求y=f（x）的解析式.



3



23.（北京理科、文科）已知函数f(x)=－x
3
＋3x
2
＋9x＋a.
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．





24.（安徽文）设函数
f
?
x
?
?x?bx?cx(x?R)
，已知
g(x)?f(x)?f
?< br>(x)
是奇函数。
32
（Ⅰ）求
b
、
c
的值。 （Ⅱ）求
g(x)
的单调区间与极值。


.

25.（福建文 科）已知函数
f(x)?x?bx?cx?d
的图象过点P（0，2），且
在点M（－1，f（－1））处的切线方程为
6x?y?7?0
.
（Ⅰ）求函数
y?f(x)
的解析式； （Ⅱ）求函数
y?f(x)
的单调区间.





26.（2010湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要 建造
隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，
该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：
C（x）=
32
k
（0
?
x
?
10），若不建隔热层，每年能 源消耗费用为8万元。设f（x）为隔
3x?5
热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值








32
27．(2008全国Ⅱ卷文) 设
a?R
，函数
f(x)?ax?3x
．
（Ⅰ）若
x?2
是函数
y?f(x)
的极值点，求
a
的值；
（Ⅱ）若函数
g(x)?f(x)?f
?
(x)，x?[0，2]
，在
x?0处取得最大值，求
a
的取值范围．








322
28. (2008湖北文) 已知函数
f(x)?x?mx?mx?1
（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线
y?f(x)
的切线，求此直线方程.



2
29．(2007海南、宁夏文)设函数
f(x)?ln(2x?3)?x

（Ⅰ）讨论
f(x)
的单调性； （Ⅱ）求
f(x)
在区间
?
?，
?
的最大值和最小值．
44

.
?
31
?
??

30.（2009陕西20）已知函数f(x)=x??3ax?1,a不等于0.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)在x=?1处取得极值，直线y=m与y=f( x)的图像有三个不同的交点，求m的
取值范围。








31.已知函数
f(x)?x?ax?bx?c< br>在
x??
(1)求
a,b
的值与函数
f(x)
的单调 区间；
2
f(x)?c
(2)若对任意
x?[?1,2],
不等式 恒成立，求
c
的取值范围.
32
2
与
x?1
时都取得极值.
3










2
32.已知
a
为实数,
f(x)?(x?4)(x?a)
.
(1)求导函数
f
?
(x)
；
(2)若
f
?
(?1)?0
, 求
f(x)
在 [-2, 2] 上的最大值和最小值；
(3)若
f(x)
在 (-∞, -2]和 [2, +∞) 上都是递增的, 求
a
的取值范围.


.