高中数学导数知识点归纳

导数及其应用

一．导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时 速率。一般的，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
?x
我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或
y
?< br>|
x?x
0
，
即
f
?
(x
0)
=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
P
时，直线
PT
与曲线相切。容易
2. 导数的几何意 义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
知道，割线
PP
n
的斜率是
k
n
?
f(x
n
)?f (x
0
)
P
时，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导
，当点
P
n
趋近于
x
n
?x< br>0
f(x
n
)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)

x
n
?x
0
数就是切线PT的 斜率k，即
k?lim
?x?0
3. 导函数：当x变化时，
f
?< br>(x)
便是x的一个函数，我们称它为
f(x)
的导函数.
y?f( x)
的导函数有
时也记作
y
?
,即
f
?
( x)?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
例一： < br>lim
若
f

(1)
?
2012
，则
?x?0
f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)
lim
= ，
?
= ，
x?0
?x??x
f(1)?f(1??x)f( 1?2?x)?f(1)
limlim
= ， = 。
?x?0?x?0
4?x?x
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
2 若
f(x)
?
x
,则
f
?
(x)?
?
x
?
?
?1
;
3 若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx

4 若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
5 若
f
(
x
)
?a
,则
f
?< br>(x)?alna

xx

6 若
f
(
x
)
?e
x
,则
f
?
(x)?e
x

1

xlna
1
8 若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?

x
x
7 若
f
(
x
)
?
log< br>a
,则
f
?
(x)?
2）导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
2.
[f(x)?g (x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x )

3.
[
f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x)? g
?
(x)
]
?
?

g(x)[g(x)]
2
3）复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f (g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)

一、知识自测：
1、几个常用函数的导数：
（1）f(x)=C，则f’(x)=_______ （2）f(x)=x，则f’(x)=_______ （3）f(x)=
x
2
，则f’(x)=_______
（4）f(x)=
1
，则f’(x)=_______ （5）f(x)=
x
x
，则f’(x)=_______
2、基本初等函数的导数公式：
（1）f(x)=C（C为常数），则f’(x)=_______ （2）f(x)=
x(a
?
Q)
，则f’(x)=_______
a
（3）f(x)=sinx，则f’(x)=_______ （4）f(x)=cosx，则f’(x)=_______
（5）f(x)=
a
x
，则f’(x)=_______ （6）f(x)=
e
，则f’(x)=_______
（7）f(x)=
log
a
x
，则f’(x)=_______ （8）f(x)=
lnx
，则f’(x)=_______
3、导数的运算法则：
已知
f(x),g(x)
的导数存在，则：（1）< br>[f(x)?g(x)]
?
?_______________

x< br>________
（2）
[f(x)?g(x)]
?
?_______ ___
（3）
[
f(x)
]
?
?
_______ _____________
g(x)

二、典型例题
例1、求下列 函数的导数
(1)y?x
5
(4)y?lnx
(2)y?5
(5)< br>1

x
y?log
2
x(6)y?cosx
(3)y ?
1、求下列函数的导数：
(1)y?x
1
(2)y?
5
x
(3)y?5
x
(4)y?e
5
例3、根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
y?x?2x?3

（2）
y?
3
5

11
?
；
1?x1?x
（3）
y?x?sinx?lnx
；
x
；
4
x
1?lnx
（5）
y?
．
1?lnx
（4）
y?
（6）
y?(2x?5x?1)?e
；
（7）
y?
2x
sinx?xcosx

cosx?xsi nx
'3'3'''2
解：（1）
y?(x?2x?3)?(x)?(2x)?(3) ?3x?2
，
y
'
?3x
2
?2
。
1
'
1
'
(1?x)
'
(1?x)
'
)?( )
?
（2）
y?(

?
22
1?x1?x
(1?x)(1?x)
'
1
?
2x
?
2x

(1?x)
2
(1?x)
2
?
1
?
1
2 x(1?x)
[
1
2
?
1
(1?x)
2
]

(1?x)
2
?(1?x)
2

??
2
(1?x)
2x
1
?
(1?x)x

2
x(1?x)
(1?x)x

2
x(1?x)
y
'
?
（3）
y
'
?(x?sinx?lnx)
'< br>?[(x?lnx)?sinx]
'

?(x?lnx)
'
?sinx?(x?lnx)?(sinx)
'

1
?(1?lnx?x?)?sinx?(x?lnx)?cosx

x
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx

y
'
?sinx?lnx?sinx?x?lnx?cosx

x< br>'
x
'
?4
x
?x?(4
x
)
'< br>1?4
x
?x?4
x
ln41?xln4
（4）
y? (
x
)?
，
??
x2x2x
4(4)(4)4
'
y
'
?
1?xln4
。
x
4
1
1?lnx
'
212
x
（5）
y
'
?(

)?(?1?)
'
?2()
'
?2??
1?lnx1?ln x1?lnx(1?lnx)
2
x(1?lnx)
2
y
'
?
2

x(1?lnx)
2
'2'x2x'
（6）
y ?(2x?5x?1)?e?(2x?5x?1)?(e)

?(4x?5)?e
x< br>?(2x
2
?5x?1)?e
x
?(2x
2
?x?4 )?e
x
，
y
'
?(2x
2
?x?4)?e
x
。
（7）
y?(
'
sinx?xcosx
'
)
cosx?xsinx
(sinx?xcosx)
'
?(cosx?xsinx) ?(sinx?xcosx)?(cosx?xsinx)
'

?
(cosx ?xsinx)
2
?
(cosx?cosx?xsinx)?(cosx?xsinx )?(sinx?xcosx)?(?sinx?sinx?xcosx)

(cosx?xs inx)
2
xsinx?(cosx?xsinx)?(sinx?xcosx)?xcosx

2
(cosx?xsinx)
?

x
2
?
2
(cosx?xsinx)
1、
y?3x
2
?xs inx
2、
y
?
e
x
ln
x
3、
y?

(1)
y?ln
sin2x
（2）
y?sin
2
(2x?
?
)
（3）
y?3
x
x
2
lnx
?2
x

x?1
?2x?3
3



（4）
y?
1
（5）
y?x1?x
2
（6）
y?log
2
(2x
2
?3x?1)

4
(1?3x)
四．课堂练习
1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算 法则，求函数
f
(
x
)=
x
3
-2
x+3的导数。
2、求下列函数的导数：
（1）y?x
3
?sinx

(2)y?x
4
?x
2
?x?3

（3）y?2x
3
?3x
2
?5x?4

(4)y?(2x
2
?3)(3x?2)

x
2
（5）y?
sinx

sinx
（6）y?
cosx
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下＇关系： 在某个区间
(a,b)
内，如果
f
?
(x)?0
，那么 函数
y?f(x)
在这个区间单调递增；
如果
f
?
(x) ?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递减.

Ps：
二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的
导数y ＇=f＇（x）仍然是x的函数，则y＇=f＇（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。
几何意义
（1）切线斜率变化的速度
（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）
2.函数的极值（局部概念）与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的方法是:
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值;
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
(3) 若
f＇（x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。

4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
（2） 将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值.
可导奇函数的导函数的是偶函数
可导偶函数的导函数的是奇函数
III. 求导的常见方法：
① 常用结论：
(ln|x|)
'
?
1
.
x

< br>②形如
y?
(
x?a
1
)(
x?a
2
)...(
x?a
n
)
或
y?
形式.
(x?a
1
)(x?a
2
)...(x?a
n
)
两边同取自 然对数，可转化求代数和
(x?b
1
)(x?b
2
)...(x?b
n
)
② 无理函数或形如
y?x
x
这类函数，如
y ?x
x
取自然对数之后可变形为
lny?xlnx
，对两边求导可
y
'
1
得
?lnx?x??y
'
?ylnx?y?y
'
?x
x
lnx?x
x
.
yx
利用导数研究函数的图象

f(x)
的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ） 1． f（x）的导函数


（A） （B） （C） （D）
2．函数
y?
1
3
x?4x?1的图像为
3
( A )
6
4
2
-4 -2
y
o 2 4
-2
-4
x
6
4
2
-4 -2
y
6
4
2
x
-4 -2
y
6
4
2
y
o 2 4
-2
-4
y 2 4
-2
-4
x
o
2 4
-2
-4
x

32
3．方程
2x?6x?7?0在(0,2)内根的个数为
( B )
A、0 B、1 C、2 D、3

专题8：导数（文）
经典例题剖析
考点一：求导公式。
例1.
f
?
(x)
是
f(x)?
1
3< br>x?2x?1
的导函数，则
f
?
(?1)
的值是 。
3
2
解析：
f'
?
x
?
?x?2< br>，所以
f'
?
?1
?
?1?2?3

答案：3

考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数y?f(x)
的图象在点
M(1，f(1))
处的切线方程是
y?
1
x?2
，则
2
f(1?)f
?
。
(?1)
解析：因为
k?
115
，所以
f'
?
1
?
?
，由切线过点
M(1，f(1))
，可得点M的纵 坐标为，所以
22
2
f
?
1
?
?
5
，所以
f
?
1
?
?f'
?
1
?
?3

2
答案：3
，?3)
处的切线方程是 。 例3.曲线
y?x
3
?2x
2
?4x?2
在点
(1
2
，?3)
处切线的斜率为
k?3?4?4??5
，所以设切线 方程为解析：
y'?3x?4x?4
，
?
点
(1
y??5x ?b
，将点
(1，?3)
带入切线方程可得
b?2
，所以，过曲线上 点
(1，?3)
处的切线方程为：
5x?y?2?0

答案：
5x?y?2?0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4. 已知曲线C：
y?x
3
?3x
2
?2x
，直线
l: y?kx
，且直线
l
与曲线C相切于点
?
x
0
,y
0
?
x
0
?0
，求
直线
l
的方程 及切点坐标。
解析：
?
直线过原点，则
k?
y
0
?
x
0
?0
?
。由点
?
x
0
,y
0
?
在曲线C上，则
y
0
?x
0
3
?3x
0
2
?2x
0
，
?
x
0

y
0
2
?x
0
?3x
0
?2
。又
y'?3x
2
?6x?2
，
?
在
?
x< br>0
,y
0
?
处曲线C的切线斜率为
x
0
22 2
k?f'
?
x
0
?
?3x
0
?6x0
?2
，
?

x
0
?3x
0
?2?3x
0
?6x
0
?2
，整理得：
2x
0?3x
0
?0
，解
得：
x
0
?
331 1
或
x
0
?0
（舍），此时，
y
0
??< br>，
k??
。所以，直线
l
的方程为
y??x
，切点< br>2
844
坐标是
?
,?
?
。
?
3
?
2
3
?
8
?
答案：直线
l
的方 程为
y??
1
?
33
?
x
，切点坐标是
?
,?
?

4
?
28
?
点评：本小题考查 导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这
个条件的应用。函数在某 点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知
f
?
x
?
?ax?3x?x?1
在R上是减函 数，求
a
的取值范围。
32

解析：函数
f
?
x
?
的导数为
f'
?
x
?
?3ax2
?6x?1
。对于
x?R
都有
f'
?
x?
?0
时，
f
?
x
?
为减函数。
?< br>a?0
由
3ax?6x?1?0
?
x?R
?
可得?
，解得
a??3
。所以，当
a??3
时，函数
f?
x
?
??36?12a?0
?
2
对
x?R< br>为减函数。
1
?
8
?
（1） 当
a??3
时，
f
?
x
?
??3x
3
?3x
2
?x?1??3
?
x?
?
?
。
3
?
9
?
由函数
y?x
3
在R上的单调性，可知当
a??3
是，函数
f
?
x
?
对
x?R
为减函数。
（2） 当
a??3
时，函数
f
?
x
?
在 R上存在增区间。所以，当
a??3
时，函数
f
?
x
?在R上不是单
调递减函数。
综合（1）（2）（3）可知
a??3
。
答案：
a??3

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例6. 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c在
x?1
及
x?2
时取得极值。
（1）求
a、b
的值；
32
3
3]
，都有
f(x)?c
成立，求
c
的取值范围。 （2）若对于任意的
x?[0，< br>2
解析：（1）
f
?
(x)?6x?6ax?3b
，因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值，则有
f?
(1)?0
，
2
?
6?6a?3b?0，
f
?
(2)?0
．即
?
，解得
a??3
，
b?4。
?
24?12a?3b?0
．
（2）由（Ⅰ）可知，
f(x )?2x?9x?12x?8c
，
f
?
(x)?6x?18x?12?6(x ?1)(x?2)
。
322
1)
时，
f
?
(x) ?0
；当
x?(1，2)
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(2，3)
时，
f
?
(x)?0
。所以，当
x ?1
时，当
x?(0，
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c，又
f(0)?8c
，
f(3)?9?8c
。则当
x?
?
0，3
?
时，
f(x)
的最大值为
f(3)?9?8c< br>。因为对于任意的
x?
?
0，3
?
，有
f(x)?c
2
恒成立，
2
?1)
所以
9?8c?c
，解得
c??1
或
c?9
，因此
c
的取值范围为
(??， (9，??)
。
?1)
答案：（1）
a??3
，
b?4< br>；（2）
(??，(9，??)
。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。 求可导函数
f
?
x
?
的极值步骤：①求导数
f'
?
x
?
；
②求
f'
?
x
?
?0< br>的根；③将
f'
?
x
?
?0
的根在数轴上标出，得出 单调区间，由
f'
?
x
?
在各区间上取值的

正负可确定并求出函数
f
?
x
?
的极值。
考点六：函数的最值。
例7. 已知
a
为实数，
f
?x
?
?x
2
?4
?
x?a
?
。求导数
f'
?
x
?
；（2）若
f'
?
?1
?
?0
，求
f
?
x
?
在区间
?
?2,2
?
上的最大值和最小值。
解析：（1）
f
?
x< br>?
?x
3
?ax
2
?4x?4a
，
?

f'
?
x
?
?3x
2
?2ax?4
。
??
1
。
?f'
?
x
?
?3x
2
?x?4?
?
3x?4
??
x?1
?

2
4
令
f'
?
x
?
?0
，即
?3x?4
??
x?1
?
?0
，解得
x??1
或
x?
， 则
f
?
x
?
和
f'
?< br>x
?
在区间
?
?2,2
?
上随
x
的 变
3
（2）
f'
?
?1
?
?3?2a?4?0，
?a?
化情况如下表：
x

f'
?
x
?

f
?
x
?

f
?
?1
?
?
f
?
?1
?
?
?2


0
?
?2,?1
?

＋
增函数
?1

0
极大值
4
??
?1,
??

3
??
—
减函数
4

3
0
极小值
?
4
?
?
,2
?

?
3
?
＋
增函数
2


0
9
5050
?
4
??
4
?
，
f< br>??
??
。所以，
f
?
x
?
在区间
?
?2,2
?
上的最大值为
f
??
??
，最小值为
2
327327
????
9
。
2
2
答案 ：（1）
f'
?
x
?
?3x?2ax?4
；（2）最大值为
f
??
??
?
4
?
?
3
?
9
50
，最小值为
f
?
?1
?
?
。
2
27
点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数
f
?x
?
在区间
?
a,b
?
上的最值，要先求出函数
f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的极值， 然后与
f
?
a
?
和
f
?
b
?进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数
f(x)?ax
3
?bx?c
(a?0)
为奇函数，其图象在点(1,f(1))
处的切线与直线
x?6y?7?0
垂直，导函数
f'( x)
的最小值为
?12
。（1）求
a
，
b
，
c
的值；
（2）求函数
f(x)
的单调递增区间，并求函数
f( x)
在
[?1,3]
上的最大值和最小值。
解析：
（1）∵f(x)
为奇函数，∴
f(?x)??f(x)
，即
?ax?bx?c? ?ax?bx?c

∴
c?0
，∵
f'(x)?3ax?b
的最小值为
?12
，∴
b??12
，又直线
x?6y?7?0
的斜率为
因此，
f'(1)?3a?b??6
，∴
a?2
，
b??12
，
c?0
．
2
33
1
，
6

（2）
f(x)?2x
3
?12x
。
f'(x)?6x
2
?12?6(x?2)(x?2)
，列表如下：
x

f'(x)

(??,?2)

?2

0

极大
(?2,2)

?

减函数
2

0

极小
(2,??)

?

增函数
?

增函数
f(x)

所以函数
f(x)
的单调增区间是
(??,?2)
和
(2,??)
，∵
f(?1)?10
，
f(2)??82
，
f(3)?18
，∴
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值是
f(3)?18
，最小值是
f(2)??82
。
答案：（1）
a? 2
，
b??12
，
c?0
；（2）最大值是
f(3)?18
，最小值是
f(2)??82
。
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二 次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和
运算能力。



导数强化训练
（一） 选择题
1
x
2
1. 已知曲线
y?
的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ A ）
2
4
A．1 B．2 C．3 D．4
（ B ） 2. 曲线
y?x
3
?3x
2
?1
在点（1，－1）处的切 线方程为
A．
y?3x?4
B．
y??3x?2
C．
y??4x?3
D．
y?4x?5

3. 函数
y?(x?1)
2
(x?1)
在
x?1
处的导数等于 （ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（ A ） 4. 已知函数
f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)
的解析式可能为


A．
f(x)?(x?1)
2
?3(x?1)

2
C．
f(x)?2(x?1)
D．
f(x)?x?1

B．
f(x)?2(x?1)

32
5. 函数
f(x)? x?ax?3x?9
，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则a
=（ D ）
（A）2

3

2
（B）3 （C）4 （D）5
6. 函数
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( D )

（ Ａ）
(2,??)
（Ｂ）
(??,2)
（Ｃ）
(??,0)
（Ｄ）
(0,2)

7. 若函数
f
?
x
?
?x
2
?bx?c
的图象的顶点在第四象限，则函数
f'
?
x
?
的图象是（ A ）









8. 函数
f(x)?2x
2
? x
3
在区间
[0,6]
上的最大值是（ A ）
A．
A
B
C
D
o x
o x
o x
o x
y
y
y
y
1
3
32

3

3
B．
16

3
C．
12
D．
9

9. 函数
y?x?3x
的极大值为
m
，极小值为
n
，则
m?n
为 （ A ）
A．0 B．1 C．2
3
D．4
10. 三次函数
f
?
x
?
?ax?x
在
x?
?
??,??
?
内是增函数，则 （ A ）
A．
a?0

3
B．
a?0
C．
a?1
D．
a?
1

3
11. 在函 数
y?x?8x
的图象上，其切线的倾斜角小于
?
的点中，坐标为整数的点的 个数是
4
（ D ）
A．3 B．2 C．1 D．0

12. 函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如图所示，则函数
f( x)
在开区
间
(a,b)
内有极小值点（ A ）
A．1个 B．2个
C．3个 D． 4个




（二） 填空题
y

y?f
?
(x)
b

a
O


x

3
13. 曲线
y ?x
在点
?
1,1
?
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为__________。
14. 已知曲线
y?< br>1
3
4
x?
，则过点
P(2,4)
“改为在点
P(2,4)
”的切线方程是______________
33

15. 已知
f
(n)
(x)
是对函数
f(x)
连续进行n次求导，若
f(x)?x
6
?x
5，对于任意
x?R
，都有
f
(n)
(x)
=0，
则n的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买< br>x
吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为
4x
万
元，要使一年的 总运费与总存储费用之和最小，则
x?
吨．

（三） 解答题
17. 已知函数
f
?
x
?
?x
3
?ax
2
?bx?c
，当
x??1
时，取得极大值7；当
x?3< br>时，取得极小值．求这
个极小值及
a,b,c
的值．






18. 已知函数
f(x)??x?3x?9x?a.

（1）求
f(x)
的单调减区间；
（2）若
f(x)
在区 间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.




32
19. 设
t?0
，点P（
t
，0）是函数
f (x)?x?ax与g(x)?bx?c
的图象的一个公共点，两函数的图
32
象在点 P处有相同的切线。
（1）用
t
表示
a,b,c
；
（2 ）若函数
y?f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减，求
t
的取值范 围。




32
20. 设函数
f
?
x
?
?x?bx?cx(x?R)
，已知
g(x)?f(x)?f< br>?
(x)
是奇函数。
（1）求
b
、
c
的值。
（2）求
g(x)
的单调区间与极值。

21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比 为2：1，问该长方体的
长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？



22. 已知函数
f(x)?
2
1
3
1
2
x?ax?bx
在区间
[?11)
3]
内各有一个极值点．
，
，
(1，
32
（1）求
a?4b
的最大值；
2
，f(1))
（1） 当
a?4b?8
时，设函数
y?f (x)
在点
A(1
处的切线为
l
，若
l
在点
A
处穿过函数
y?f(x)
的图象（即动点在点
A
附近沿曲线y?f(x)
运动，经过点
A
时，从
l
的一侧进入另一
侧），求函数
f(x)
的表达式．
强化训练答案：
1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A
（四） 填空题
13.
8
14.
y?4x?4?0
15. 7 16. 20
3
（五） 解答题
17. 解：
f'
?
x
?
?3x
2
?2ax?b
。
2
据题意，－1，3是方程
3x?2ax?b?0
的两个根，由韦达定理得
2a
?
?1?3??
?
?
3
?
?
?1?3?
b
?
3
?
∴
a

??3,b??9

∴
∵
f
?
x
?
?x
3
?3x
2
?9x?c

f
?
?1
?
?7
，∴
c?2

极 小值
f
?
3
?
?3
3
?3?3
2
?9?3?2??25

??3,b??9
，
c?2
。 ∴极小值为－25，
a
18. 解：（1）
所以函数
f
?
( x)??3x
2
?6x?9.
令
f
?
(x)?0
，解得
x??1或x?3,

f(x)
的单调递减区间为
(??,?1),(3,??).

（2）因为
所以
f(?2)?8?12?18?a?2?a,

f(2)??8?12?18?a?22?a,

f(2)?f(?2).
因 为在（－1，3）上
f
?
(x)?0
，所以
f(x)
在[－ 1，2]上单调递增，又由于
f(x)
在[－2，
f(2)
和
f(? 1)
分别是
f(x)
在区间
?
?2,2
?
上的最大 值和最小值.于是有
22?a?20
，解得－1]上单调递减，因此
a??2.

故
即函数

19. 解：（1）因为函数
即
t

3
f(x)??x
3
?3x
2
?9x?2.
因此
f(?1)?1?3?9?2??7,

f(x)
在区间
?
?2,2
?
上的最小值为－7.
f(x)
，
g(x)
的图象都过点（
t
，0），所以
f( t)?0
，
?at?0
.因为
t?0,
所以
a??t
2
.
g(t)?0,即bt
2
?c?0,所以c?ab.

f(x)，
g(x)
在点（
t
，0）处有相同的切线，所以
f
?
(t)?g
?
(t).
又因为
而
f
?
(x)?3x
2
?a,g
?
(x)?2bx,所以3t
2
? a?2bt.

??t
2
代入上式得
b?t.
因此c?ab??t
3
.
故
a??t
2
，
b?t< br>，
c??t
3
.
将
a
（2）
y?f(x )?g(x)?x
3
?t
2
x?tx
2
?t
3,y
?
?3x
2
?2tx?t
2
?(3x?t)(x? t)
.
当
y
?
?(3x?t)(x?t)?0
时，函数< br>y?f(x)?g(x)
单调递减.
y
?
?0
，若
t?0,则?
tt
?x?t
；若
t?0,则t?x??.

33
由
由题意，函数
y?f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减，则
ttt
(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).
所以
t?3 或??3.即t??9或t?3.

333
又当
?9?t?3
时，函 数
y?f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减.
所以
t
的取值范围为
(??,?9]?[3,??).


20. 解：（1）∵
f
?
x
?
?x
3
? bx
2
?cx
，∴
f
?
?
x
?
? 3x
2
?2bx?c
。从而
g(x)?f(x)?f
?
(x )?x
3
?bx
2
?cx?(3x
2
?2bx?c)
＝
x
3
?(b?3)x
2
?(c?2b)x?c
是一个奇 函数，所以
g(0)?0
得
c?0
，由奇函数定义得
b?3
；
32
（2）由（Ⅰ）知
g(x)?x?6x
，从而
g
?
(x)?3x?6
，由此可知，
(??,?2)
和
(2,??)< br>是函数
g(x)
是单调递增区间；
(?2,2)
是函数
g(x)
是单调递减区间；
g(x)
在
x??2
时，取得极大值，极大值为
42
，
g(x)
在< br>x?2
时，取得极小值，极小值为
?42
。

21. 解：设长方体的宽为
x
（m），则长为
2x
(m)，高为
h?
18?12x
?4.5?3x(m)
4
3
??
?
0＜x＜
?
.
2
??
故长方体的体积为
V< br>?
x
?
?2x
2
?
4.5?3x
?
?9x
2
?6x
3
m
3
从而
V?(x)?18x? 18x
令
V'
当
0
2
??
?
?
0 ?x?
?
3
?
?

2
?
(4.5?3x)?18x(1?x).

?
x
?
?0
，解得
x?0
（舍去）或
x?1
，因此
x ?1
.
3
时，
V'
?
x
?
?0
，
2< br>?x?1
时，
V'
?
x
?
?0
；当
1?x?
故在
x?1
处
V
?
x
?
取得极大 值，并且这个极大值就是
V
?
x
?
的最大值。
从而最大体 积
V?V'
?
x
?
?9?1
2
?6?1
3
m
3
??
，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
3
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为
3m
。
22. 解：（1）因为函数
f(x) ?
1
3
1
2
x?ax?bx
32
在区间
[ ?11)，
，
(1，3]
内分别有一个极值点，所以
3]
内分别有一 个实根，
，
，
(1，
f
?
(x)?x
2
?ax?b
?0
在
[?11)
设两实根为
x
1
，x
2
（
x
1
2
，则
x
2
?x
1
?a?4b
，且
0?x
2
?x
1
≤4
．于是
?x
2
）
，x
2
?3
，即
a?? 2
，
b??3
时等号成立．故
a
2
?4b
的
0?a
2
?4b≤4
，
0?a
2
?4b≤16
， 且当
x
1
??1
最大值是16．
（2）解法一：由
f?
(1)?1?a?b
知
f(x)
在点
(1，f(1))
处的切线
l
的方程是
21
y?f(1)?f
?
(1)( x?1)
，即
y?(1?a?b)x??a
，
32
因为切线
l
在点
所以
g(x)
A(1，f(x))
处空过
y?f( x)
的图象，
21
?f(x)?[(1?a?b)x??a]
在
x ?1
两边附近的函数值异号，则
32
x?1
不是
g(x)
的极值点．
而
g(x)
?
1
3
1
2
21
x?ax?bx?(1?a?b) x??a
，且
3232
g
?
(x)?x
2
?ax ?b?(1?a?b)?x
2
?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)
．

若
1??1?a
，则
x?1
和
x??1?a
都是
g(x)
的极值点．
??2
，又由
a
2
? 4b?8
，得
b??1
，故
f(x)?
所以
1??1?a< br>，即
a
1
3
x?x
2
?x
．
3< br>解法二：同解法一得
g(x)
21
?f(x)?[(1?a?b)x??a]< br>
32
13a3
?(x?1)[x
2
?(1?)x?(2?a )]
．
322
因为切线
l
在点
（
m
1< br>当
m
1
A(1，f(1))
处穿过
y?f(x)
的图 象，所以
g(x)
在
x?1
两边附近的函数值异号，于是存在
m1
，m
2
．
?1?m
2
）
?x?1
时，
g(x)?0
，当
1?x?m
2
时，
g(x)?0；
?x?1
时，
g(x)?0
，当
1?x?m
2时，
g(x)?0
．
3a
??
3a
??
x< br>2
?
?
1?
?
x?
?
2?
?
，则
2
??
2
??
或当
m
1
设
h(x)?
当
m
1
?x?1
时，
h(x)?0
， 当
1?x?m
2
时，
h(x)?0
；
?x?1
时 ，
h(x)?0
，当
1?x?m
2
时，
h(x)?0
．
?1
是
h(x)
的一个极值点，则
h(1)?2?1?1?< br>或当
m
1
由
h(1)?0
知
x
所以
a
3a
?0
，
2
??2
，又由
a
2?4b?8
，得
b??1
，故
f(x)?
1
3
x?x
2
?x
．
3