(完整)高中数学导数及其应用专题

.
专题 导数及其应用
考点精要
1．了解导数概念的实际背景．
2．理解导数的几何意义．
3．了解函数的单调性 和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数
的单调区间（其中多项式函数不超过三次）．
4．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、
极小值（其中 多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小
值（其中多项式函数一般不超过三次） ．
5．会利用导数解决某些实际问题．

热点解析
导数的几何意义及其 应用，基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运算
法则是高考的重点与热点，要会利用导数求曲线的 切线，注意区分在某点处的切
．
线与过某点的曲线的切线．
．
求函数在点（
x
0
，
f
(
x
0
)
）处的切线方 程或切线斜率；求函数
f(x)
的单调增
区间或单调减区间；求函数在（
a< br>，
b
）上的极值，求
f(x)
在［
a
，
b< br>］上的最大
值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现．
知识梳理
f( x
0
??x)?f(x
0
)
?f
=
lim,
我
?x?0?x?0
?x?x
们称它为函数
y
=
f(x)
在
x
=
x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或
y
′|
x
=
x
，即< br>f(x
0
??x)?f(x
0
)

f
?(x
0
)
=
lim
?x?0
?x
2．函数f(x)
在
x
=
x
0
处的导数就是切线
PT< br>的斜率
k
，即
f(x??x)?f(x
0
)
k
=
lim
0
=
f
?
(x
0
)

?x?0
?x
f(x??x)?f(x)
3．导函数
f
?< br>(x)
=
y
′=
lim

?x?0
?x< br>1
1
?
1
?
?
12
4．
c
′=0，（
x
）′=1，（
x
）′=2
x
，
??< br>??
2
，
x
?
?

x
?
x
?
2x
1．一般地，函数
y=
f(x)
在
x
=
x
0
处的瞬时变化率是
lim
0
??
5．基本 初等函数的导数公式：
（1）若
f(x)
=
c
，则
f?
(x)
=0；
n
1
f
?
(x)
=
nx
?
； < br>（3）若
f(x)
=sin
x
，则
f
?
(x )
=cos
x
；
（5）若
f(x)
=
a
x
，则
f
?
(x)
=
a
x
ln
a
；
（7）若
f(x)
=log
a
x
，则f
?
(x)
=



（2）若
f(x )
=
x
n
（
n
?Ν
*
），则
（4 ）若
f(x)
=cos
x
，则
f
?
(x)
=－sin
x
；
（6）若
f(x)
=
e
x
，则
f
?
(x)
=
e
x
；
（8）若< br>f(x)
=ln
x
，则
f
?
(x)
=；
2）
1
x
1
；
xlna
6．导数运算法则：
（1）［
f(x)
±
g(x)
］′=
f
?
(x)
±
g
?
(x)
（
.

.
［
f(x)
?
g(x)
］′=
f
?
(x)
?
g(x)
+
f(x)g
?
(x)
；
?
f(x)
?
?
f
?
(x)g(x)?f(x)?g
?
(x)
（3）
?

?
?
2
g(x)g(x)
??
??
7.导数的应用体现在三个方面：
（1）求曲线的切 线：其方法是，先求函数在某点处的导数得切线斜率，再用点
斜式建立切线方程，后化为一般式． 求曲线的切线时要注意两种不同的要求：一种是求“函数在某点处的切线”，
这个点就是切点；一种 是求“函数过某点的切线”，则这个点可以是切点，也可以
不是切点。这两种要求的切线的求法有区别．
（2）求函数的极大（小）值与最大（小值）
求可导函数
y?f(x)
的极值的步骤：
①求导数
y
?< br>?f
?
(x)
；这一步是基础，要求利用导数公式及运算法则正确地求
出导函数
f
?
(x)
．
②求方程
f
?
( x)
=0的根；这一步用到方程知识，注意
f
?
(x)
=0的根应在
y
=
f(x)
的定义域中．
③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)
=0的根（又叫函数驻点）的左、右侧的符 号是否
发生变化：如果
f
?
(x)
在根的左侧附近为正，右侧附近为 负，那么函数
y
=
f(x)
在
这个根处取得极大值；如果相反，f
?
(x)
在这个根的左侧附近为负，右侧附近为
正，那么函数
y
=
f(x)
在这个根处取得极小值．
④如果求闭区间［
a
，
b
］上函数的最值，则应在
f(a)
、
f(b)
及开区 间（
a
，
b
）内的极值中间作比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值．
（3）研究函数的单调性
设函数
y
=
f(x)
在某个区间
D
内可导，且
f
?
(x)
?0
，则
f(x )
在这个区间上为增函
数；若
f
?
(x)
?0
，则
f(x)
在这个区间上为减函数．（注意：这里
f
?
(x)
=0在
D
的任
意一个子区间内不能恒成立，否则，函数在这个子区间内为常函数，为水 平线段，
．
不具有单调性）
（4）不等式的恒成立问题与能成立（存在性）问题
①不等式的恒成立问题
若
x?D,f(x)?m
在
D
上恒 成立，等价于
f(x)
在
D
上的最小值
f(x)
min?m
成
立，若
x?D,f(x)?m
在
D
上恒成立，等 价于
f(x)
在
D
上的最大值
f(x)
max
?m
成
立
对任意
x
1
,x
2
?D
， 都有
f(x
1
)?g(x
2
)
成立的充要条件是
f (x)
max
?g(x)
min

②不等式的能成立（存在性）问题
若
x?D,f(x)?m
在
D
上能成立，等价于
f(x)< br>在
D
上的最大值
f(x)
max
?m
成立
若
x?D,f(x)?m
在
D
上能成立，等价于
f(x)
在
D
上的最小值
f(x)
min
?m
.

.
成立。
例题精讲:
例1. 曲线
y
=
x
?
e
x
+2
x
+1在点（0,1）处的切线 方程为________________





例2. 有下列命题：
①
x
=0是函数
y
=
x
3
的极值点 ②三次函数
f(x)
=
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
d
有极值点的充要条件是
b
2
?3ac
＞0
③奇函数
f(x)
=
mx
3
+（< br>m
?1）
x
2
+48（
m
?2）
x
+
n
在区间（?4，4）上是单调
函数
其中假命题的序号是_______________





例3. 已知函数
f(x)
=
x
3
+
b x
2
+
cx
+
d
的图像过点
P
（0，2） ，且在点
M
（?1，
f
（?1））
处的切线方程为6
x?
y
+7=0
（1）求函数
y
=
f(x)
的解析式；
（2）求函数
y
=
f(x)
的单调区间．




例4． （没有图像）
lnx?a
已知函数
f(x)?(a
?
R）.
x
（1）若曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线与直线
x ?y?1?0
平行，求
a
的
值；
（2）求函数
f(x)
的单调区间和极值；
（3）当
a?1
，且< br>x?1
时，证明：
f(x)?1.


om]
解：（I）函数
f(x)的定义域为{x|x?0},

所以
f
?
(x)?
1?lnx?a
.

2
x
又曲线
y?f(x)在点(1,f(1))
处的切线与直线
x?y ?1?0
平行，
.

.
所以
f
?
(1)?1?a?1,即a?0.
………………4分
（II）令
f
?
(x)?0,得x?e
1?a
.

当
x
变化时，
f
?
(x),f(x)
的变化情况如下表：
x

f
?
(x)

f(x)

(0,e
1?a
)

e
1?a

(e
1?a
,??)

来
+

0
极大值
—

由表可知：
f(x)
的单调递增区间是(0,e
1?a
)
，单调递减区间是
(e
1?a
,?? )

所以
f(x)在x?e
1?a
处取得极大值，
f(x)
极大值
?f(e
1?a
)?e
n?1
.
…………9 分
（III）当
a?1时,f(x)?
lnx?1
.
x
lnx?1
由于
x?
?
1,??
?
,要证f (x)??1,

x
只需证明
lnx?1?x.

1x?1
令
h(x)?x?lnx?1,则h
?
(x)?1??.

xx
因为
x?1
，所以
h'(x)?0,故h(x)在
?
1 ,??
?
上单调递增，
当
x?1时,h(x)?h(1)?0,
即
lnx?1?x
成立。
故当
x?1
时，有
13分
例5 18.（本小题共14分）
已知函数
f(x)?
调区间；
(II) 若在区间
[1,e]上至少存在一点
x
0
，使得
f(x
0
)?0
成 立，求实数
a
的取值范围.
1aax?1
??
，
……………
2分
x
2
xx
2
x?1
当
a?1
，
f'(x)?
2
，令
f'(x)?0
，得
x?1
，
……………
3分 又
f(x)
的定
x
义域为
(0,??)
，
f?
(x)
，
f(x)
随
x
的变化情况如下表：
lnx?1
?
1,
即f
(
x
)
?
1.< br>
x
…………
1
?alnx (a?0,a?R)
（Ⅰ）若
a?1
，求函数
f(x)
的极值和单
x
解：（I）因为f'(x)??
.

.
x

(0,1)

(1,??)

1

?

f'(x)

?
0
f(x)

极小值
]

Z

所以
x?1
时，
f(x)
的极小值为1 .
…
5分
f(x)
的单调递增区间为
(1,??)
，单调
递减区间为
(0,1)
；
……
6分
1
1aax?1
f'(x)?0< br>（II）解法一：因为
f'(x)??
2
??
，且， 令，得到 ，
x?
a?0
2
xxx
a
在区间
(0,e]
存在一点
x
0
，使得
f(x
0
)?0
成立，充要条 件是
f(x)
在区间
(0,e]
上的
最小值小于0即可.
…
7分
1
（1）当
x??0
，即
a?0
时，< br>f'(x)?0
对
x?(0,??)
成立，所以，
f(x)
在 区
a
间
(0,e]
上单调递减，
11
故
f(x)
在区间
(0,e]
上的最小值为
f(e)??alne??a
，
ee
1
11
由
?a?0
，得
a??
，即< br>a?(??,?)
…………
9分
ee
e
1
1
（2）当
x??0
，即
a?0
时， ① 若
e?
，则f'(x)?0
对
x?(0,e]
成立，所
a
a
以f(x)
在区间
(0,e]
上单调递减， 所以，
f(x)
在 区间
(0,e]
上的最小值为
11
f(e)??alne??a?0
，
ee
显然，
f(x)
在区间
(0,e]
上的最小值小于 0不成立
……………
11分
11
② 若
0??e
，即
a?
时，则有
ae
111
x


(0,)

(,e)

aaa
?

f'(x)

?

0

极小
f(x)

]

Z

值
11
所以
f(x)
在区间
(0, e]
上的最小值为
f()?a?aln
，由
aa
11
f() ?a?aln?a(1?lna)?0
，
aa
得
1?lna?0
，解得
a?e
，即
a?(e,??)
.
………
13分 1
综上，由(1)（2）可知：
a?(??,?)U(e,??)
符合题意.………
14分
e
解法二：若在区间
(0,e]
上存在一点x
0
，使得
f(x
0
)?0
成立， 即
因为
x
0
?0
, 所以，只需
1?ax
0
lnx
0
?0
…………
7分
1
?alnx
0
?0
，
x
0
.

.
令
g(x)?1?axlnx
，只要
g(x)? 1?axlnx
在区间
(0,e]
上的最小值小于0即可
1
因为< br>g'(x)?alnx?a?a(lnx?1)
，令
g'(x)?a(lnx?1)?0
，得
x?
………
9
e
分
（1）当
a?0
时：
1
11
x


(0,)

(,e]

ee
e
?

g'(x)

?

0

g(x)

极大值
Z

]

1
因为
x?(0 ,)
时，
g(x)?1?axlnx?0
，而
g(e)?1?aelne?1 ?ae
，
e
1
1
只要
1?ae?0
，得< br>a??
，即
a?(??,?)
…………
11分
e
e
（2）当
a?0
时：
1
11
x


(0,)

(,e]

ee
e
?

g'(x)

?

0

g(x)

极小值
]

Z

111a
所以，当
x?(0,e]
时，g(x)
极小值即最小值为
g()?1?a?ln?1?
，
eeee
a
由
1
??
0
， 得
a?e
，即
a?(e,??)
.
…
13分 综上，由(1) （2）可知，有
e
1
a?(??,?)U(e,??)
…
14分
e

2
x??alnx?2 (a?0)
例 6 已知函数
f()
.
x
（Ⅰ）若曲线
y?f(x)
在点P(1,f(1))
处的切线与直线
y?x?2
垂直，求函数
y?f(x )
的单调区间；
（Ⅱ）若对于
?
成立，试求
a
的取值范围；
x?(0,??)
都有
f()x?2(a?1)
解: (I) 直线
y?x?2
的斜率为1.函数
f(x)
的定义域为
(0,??)
，
因为
f
?
(x)??
2a2a
?
所以
?f (1)?????1
，所以
a?1
. 所以
，
22
xx11
2x?2
f(x)??lnx?2
.
f
?
(x)?
2
.
xx
由
f
?
(x)?0
解得
x?2
；由
f
?
(x)?0
解得
0?x?2
.

所以
f(x)
的单调增区间是
(2,??)
,单调减区间是
(0,2)
. ………4分
.

.
2aax?222
?
?
由解得
；由解得
f(x)?0
f(x)?0
??x?0?x?
，.
x
2< br>xx
2
aa
22
所以
f(x)
在区间
(, ??)
上单调递增，在区间
(0, )
上单调递减.
aa
22所以当
x?
时，函数
f(x)
取得最小值，
y
min< br>?f()
.因为对于
?x?(0,??)
都有
aa
(II)< br>f
?
(x)??
f(x)?2(a?1)
成立，
22
22
所以
f()?2(a?1)
即可.则
?aln?2?2(a?1).
由
aln?a
解得
2
aa
a
a
2
0?a?
.

e
2
所以
a
的取值范围是
(0, )
.……………8分
e
1
例7 18.（本小题共14分）已知函数f(x)?x
3
?ax
2
?bx.
(a,b?R)
< br>3
（I）若
f'(0)?f'(2)?1
，求函数
f(x)
的 解析式；
（II）若
b?a?2
，且
f(x)
在区间
(0,1)
上单调递增，求实数
a
的取值范围.
?
b?1
解：（Ⅰ）因为
f'(x)?x
2
?2ax?b
，
…
2分 由
f'(0)?f'(2)?1
即
?
?
4?4a?b?1
?
a?1
得
?
，
…
4分
b?1
?
1
所以
f(x)
的解析式为
f(x)?x
3
?x
2
?x
.
…………
5分
3
(< br>Ⅱ
)若
b?a?2
，则
f'(x)?x
2
?2ax? a?2
，
??4a
2
?4(a?2)
，
………
6分
（1）当
??0
，即
?1?a?2时，
f'(x)?0
恒成立，那么
f(x)
在
R
上单调 递增，
所以，当
?1?a?2
时，
f(x)
在区间
(0, 1)
上单调递增；
………
8分
（2）解法1：当
??0
， 即
a?2
或
a??1
时，
令
f'(x)?x
2< br>?2ax?a?2?0
解得
x
1
?a?a
2
?a?2
，
x
2
?a?a
2
?a?2
…………
9分
列表分析函数
f(x)
的单调性如下：
x

f'(x)

f(x)

(??,x
1
)

(x
1
,x
2
)

(x
2
,??)

?

Z

?

]

?

Z

.

.
……
……………
10分
要使函数
f(x)
在区间
(0,1)
上单调递增，
?a?2或a??1
?
a?2或a??1
??
只需
?
a? 0
或
?
a?1
，解得
?2?a??1
或
2?a?3
.
……………
13
?
f'(0)?0
?
f'(1) ?0
??
分
解法2：当
??0
，即
a?2
或
a??1
时， 因 为
f'(x)?x
2
?2ax?a?2
的对称轴方
程为
x? a
……
9分
?
a?2
?
a??1
要使函数
f(x)
在区间
(0,1)
上单调递增，需
?
或
?

?
f'(0)?0
?
f'(1)?0
解得
?2?a?? 1
或
2?a?3
.
…
13分 综上：当
a?[?2,3]< br>时，函数
f(x)
在区间
(0,1)
上单调递增.
…
14分
1
例 8 （12北京东城期末） 已知函数
f(x）?x
3< br>?mx
2
?
3
m
2
x?
1
(m?0 )
.
3
（Ⅰ）若
m?1
，求曲线
y?f(x)
在 点
(2,f(2))
处的切线方程；
（Ⅱ）若函数
f(x)
在区间
(2m?1,m?1)
上单调递增，求实数
m
的取值范围．
解析解 ：（Ⅰ）当
m?1
时，
f(x）?
1
3
85
x?x
2
?
3
x?
1
，
f(2）??4?6?1?
.
333
f'(x）?x
2
?2x?3
，
f'(2）? 4?4?3?5
． ………3分
所以所求切线方程为
y?
5
?
5(
x?
2)
即
15x?3y?25?0． ……5分
3
?x
2
?2mx?3m
2
.令
f'(x）
（Ⅱ）
f'(x）
?0
，得
x??3m或x?m
. ………7分
由于
m?0
，
f
?
(x)，
f(x)
的变化情况如下表：
x

f'(x)

f(x)

(??,?3m)

+
单调增
?3m

0
极大
值
(?3m,m)

—
单调减
m

0
极小
值
(m,??)

+
单调增
所以函数
f(x)
的 单调递增区间是
(??,?3m)
和
(m,??)
. …………9
分
要使
f(x)
在区间
(2m?1,m?1)
上单调递增，应有
m?1
≤
?3m
或
.

.
2m?1
≥
m
，
解得
m
≤
?
12分
所以
1
≤
m?2
． 即实数
m
的取值范围
?
m1?m?2
?
．…………13分
mx
3
例9 ．已知函数
f(x)?
⑴求函数
f(x)
的导函数
f
?(x)
；
?ax
2
?(1?b
2
)x,m,a,b? R
．
3
1
或
m
≥
1
．………11分 又
m?0
且
m?1?2m?1
，………
4
⑵当
m ?1
时，若函数
f(x)
是
R
上的增函数，求
z?a?b< br>的最小值；
⑶当
a?1,b?2
时，函数
f(x)
在
?
2,??
?
上存在单调递增区间，求
m
的取值范围．
【解析】
⑴
f
?
(x)?mx
2
?2ax?(1 ?b
2
)
． ……3分
⑵因为函数
f(x)
是
R
上的增函数，所以
f
?
(x)≥0
在
R
上恒成立，
则有
??4a
2
?4(1?b
2
)≤0
，即
a
2
?b
2
≤1
．设
?
b
z=a+b< br>O
?
a?rcos
?
,
(
?
为参数，
0≤r≤1)
．
b?rsin
?
?
a

则z?a?b?r(cos
?
?sin
?
)?2rsin(
??)
．当
sin(
?
?)??1
，且
r?1
时 ，
z?a?b
取
得最小值
?2
．
（可用圆面的几何意义解 得
z?a?b
的最小值
?2
）………………8分
⑶①当
m ?0
时
f
?
(m)?mx
2
?2x?1
是开口向上 的抛物线，显然
f
?
(x)
在
?
2,??
?
上存
在子区间使得
f
?
(x)?0
，所以
m
的取 值范围是
?
0,??
?
．②当
m?0
时，显然成立． ③当
m?0
时，
f
?
(m)?mx
2
?2x? 1
是开口向下的抛物线，要使
f
?
(x)
在
?
2, ??
?
上存
?
?
m?0
?
m?0,
??
1
1
?
?
1
在子区间使
f
?
(x)?0
，应满足
?
?≥2,
或
?
??2,
解 得
?≤m?0
，或
2
?
m
?
m
?
?1
?
f
?
(2)?0.
?
f(?)?0,
?m
?
31
?
3
?
??m?
，所以
m< br>的取值范围是
?
?,0
?
．
42
?
4?
3
?
则
m
的取值范围是
?
?
?,? ?
?
．………13分
?
4
?
π
4
π
4
例10 18．（本小题满分13分）已知函数
f(x)?alnx?
，
a?R
． < br>⑴若曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线与直线
x?2y?0
垂直，求
a
的值；⑵求函
1
x
.

.
数
f(x)
的单调区间；
⑶当
a?1
，且
x≥2
时，证明：
f(x?1)≤2x?5
．
【解析】
⑴函数
f(x)
的定义域为
?
x|x?0
?
，
f
?
(x)?
a1
．
?
xx2
又曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线与直线< br>x?2y?0
垂直，所以
f
?
(1)?a?1?2
，
即
a?1
．
⑵由于
f
?
(x)?
ax?1
．当
a≥0
时，对于
x?(0,??)
，有
f
?
(x)?0
在定义域上恒成立，
x
2
1
a
即
f( x)
在
(0,??)
上是增函数．当
a?0
时，由
f
?
(x)?0
，得
x???(0,??)
．
当
x?(0 ,?)
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单调递增； 当
x?(?,??)
时，
f
?
(x)?0
，
f(x )
单
调递减．
⑶当
a?1
时，
f(x?1)?ln(x? 1)?
g
?
(x)?
11
，
x?
?
2,? ?
?
．令
g(x)?ln(x?1)?

?2x?5
．x?1x?1
1
a
1
a
11(2x?1)(x?2)
． 当
x?2
时，
g
?
(x)?0
，
g(x)
在
(2,??)
单调
??2??
22
x?1(x?1)(x?1)< br>递减．
又
g(2)?0
，所以
g(x)
在
(2,? ?)
恒为负．所以当
x?[2,??)
时，
g(x)≤0
．
即
ln(x?1)?


1
?2x?5≤0
．故当
a?1
，且
x≥2
时，
f(x?1)≤2x?5
成立． < br>x?1
1．函数
y
=
x
+2
x
+1在
x
=1处的导数等于
A．2 B．3
2．函数
f(x)?
ln x
的导数是
f
?
(x)
=
x
1lnx1lnx
A．
?
2
B．
?
2

xxxx
2

C．4 D．5
C．
1lnx

?
x
2
x
2
D．
1lnx

?< br>x
2
x
2
3．曲线
y
=
x
3
?3
x
2
+1在点（1，?1）处的切线方程为
A．
y
=3
x
?4 B．y=?3
x
+2 C．y=?4
x
+3
4．
f(x)
=
x
3
?3
x
2
+1是减函数的区间为
A．（2,
??
） B．（
??
,2） C．（
??
,0）
5．函数
f(x)
=
ax
3< br>+
x
+1有极值的充分必要条件是
D．
y
=4
x
+3
D．（0,2）
.

.
A．
a
＞0 B．
a?0
C．
a
＜0D．
a?0

6．设
f
?
(x)
是函数
f(x)
的导函数，
y
=f
?
(x)
的图像如下右图所示，则
y
=
f(x)的图
像最有可能是

7．函数
f(x)
=
x
+
ax
2
+3
x
?9，已知
f(x)
在
x
=?3时取得极值，则
a
=
A．2 B．3 C．4 D．5
8 ．函数
f(x)
=
x
3
?3
x
+1，在闭区间［? 3，0］上的最大值、最小值分别是
A．1，?1 B．1，?17 C．3，?17 D．9，?19
9．函数
y
=
f(x)
在其定义域内可导，则“< br>f
?
(
x
0
)
=0”是函数
y
=< br>f(x)
在点
x
=
x
0
处有
极值的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
10．函数
f(x)
=（
x
?3）
e
x
的 单调递增区间是
A．（
??
,2） B．（0,3） C．（1,4） D．（2,
??
）
11．过原点作曲线
y
=
e
x
的切线，则切点的坐标为__________；切线的斜率为_________
12．曲 线
y
=
x
3
?3
x
2
+1在点（1,?1 ）处的切线方程为_____________
13．若可导函数
f(x)
的导函数 为
f
?
(x)
，且满足
f(x)
=3
x
2
+2
x
f
?
(2)
，则
f
?
(5 )
=________
14．点
P
在曲线
y
=
x
3
?
x
+
上移动，设以点
P
为切点的切线的倾斜角 为
?
，求
?
的取值范围________
1
3
1 6．如图，函数
f(x)
的图像是折线段
ABC
，其中
A
，
2
3
3
15．
f
?
(x)
是
f( x)
=
x
3
+2
x
+1的导函数，则
f
?
(?1)
的值是_____________
B
，
C
的坐 标分别为（0,4），（2，0），（6，4），则
f
?
f(0)
?
?
_______；函数
f(x)
在
x
=1处的导数
f?
(1)
=___________






17．若曲线
f(x)
=
ax
2
+l n
x
存在垂直于
y
轴的切线，则实数
a
的取值范围是___ ______
.

.
18．设直线
y
=
x
+
b
是曲线
y
=ln
x
（
x
＞ 0）的一条切线，则实数
b
的值为________
19．函数
f(x)< br>=ln
x
的图像在点（
e
，
f
（
e
））处的切线方程是_________
e
x
20．函数
y
=的单 调减区间是________________________
x
21．若函数
f (x)
=
x
3
?3
a
2
x
+1的图象与直 线
y
=3只有一个公共点，则实数
a
的取
1
2
值范 围是_____________
22．若函数
f(x)
=
x
3< br>?ax
2
?
(
a?
1)
x?
1
在区 间（1,4）内为减函数，在区间（6,+
?
）
上为增函数，试求实数
a的取值范围．



23．已知函数
f(x)
=ax
3
+
bx
2
+
cx
在点
x
0
处取得极大值5，其导函数
y
=
f
?
(x)
的 图像经过点（1,0）,（2,0），如右上图所示．求：
（Ⅰ）
x
0
的值；
（Ⅱ）
a
,
b
,
c
的值；
（Ⅲ）
f(x)
的极小值．








答案:
例1.
y
=3
x
+1 例2 ①
例3．（1）
f(x)=
x
3
?3
x
2
?3
x
+2 < br>（2）(
??
,1?
2
)上单调递增，(1?
2
，1 +
2
)上单调递减，在(1+
2
,
??
)上
单调递 增
针对训练
1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．D
11．(1,
e
),
e
12．3
x
+
y
-2=0
13．614．
?
?
?
?
3π
??
π
?
1
,π
?< br>U
?
0,
?
15．3 16．2 17．
a
＜0 18．ln2?1 19．
y
=
x

e
?
4
??
2
?
1
3
1
2
20．(
??
,0)和(0,1) 21．?1＜
a
＜1 22．
5?a?7

a
=2，
b
=?9，
c
=12 （Ⅲ）4



23．（Ⅰ）
x
0
=1 （Ⅱ）
高考链接

.

.
1（09北京）设
f(x)
是偶 函数，若曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线的斜率为1，则该曲线在点
(?1,f(?1))
处的切线的斜率为______________。
1
2（07北京文）
f
?
(x)
是
f(x)?x< br>3
?2x?1
的导函数，则
f
?
(?1)
的值是
3
．
3（08北京文）如图，函数
f
(
x
) 的图象是折线段
ABC
,其中
A
,
B
,
C
的坐标分别为（0，
4），（2，0），（6，4），则
f
(
f
(0 ))= 函数
f
(
x
)在
x
=1处的导数
f< br>′（1）= .










4（11北京文）（本小题共13分）




已知函数
f
(
x
)
?
(
x?k
)
e
x
.
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）求
f(x)
在区间[0,1]上的最小值.
5（10北京文） （本小题共14分）
a
设定函数
f(x)?x
3
?bx
2
?cx?d(af0)
，且方程
f
'
(x)?9x?0
的 两个根分
3
别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线
y?f(x)
过原 点时，求
f(x)
的解析式；
（Ⅱ）若
f(x)
在
(??,??)
无极值点，求a的取值范围。
6（08北京）（本小题共13分）
已知函数
f(x)?x
3
?a x
2
?3bx?c(b?0),且g(x)?f(x)?2
是奇函数.
（Ⅰ）求
a
,
c
的值；
（Ⅱ）求函数
f
(
x
)的单调区间.


.

.
答案1 略 2 （3） 3 2 -2

4（共13分）



解：（Ⅰ）
f< br>?
(
x
)
?
(
x?k?
1)
e3
.

令
f
?
?
x
?
?0< br>，得
x?k?1
．

f(x)
与
f
?
(x)
的情况如下：
x
f
?
(x)

（
??,k?k
）
——
↗
k?1

0
（
(k?1,??)

+
↗
f(x)

?e
k?1



所以，
f(x)
的单调递减区间是（
??,k?1
）；单 调递增区间是
(k?1,??)

（Ⅱ）当
k?1?0
，即
k?1
时，函数
f(x)
在[0，1]上单调递增，
所以
f
（x）在区间[0，1]上的最小值为
f(0)??k;



当
0?k?1?1,即1?k?2
时，
由（Ⅰ）知< br>f(x)在[0,k?1]
上单调递减，在
(k?1,1]
上单调递增，所以< br>f(x)
在
区间[0，1]上的最小值为
f(k?1)??e
k?1< br>；


当
k?1?t,即k?2
时，函数
f(x)
在[0，1]上单调递减，
所以
f(x)
在区间[0，1]上的最小值为< br>f(1)?(1?k)e.


5(共14分)
解：由
f( x)?
a
3
x?bx
2
?cx?d
得
f
?
(x)?ax
2
?2bx?c

3
因 为
f
?
(x)?9x?ax
2
?2bx?c?9x?0
的两 个根分别为1,4，所以
?
a?2b?c?9?0
（*）
?
16a?8b?c?36?0
?
?
2b?c?6?0
（Ⅰ）当a?3
时，又由（*）式得
?

8b?c?12?0
?
.

.
解得
b??3,c?12

又因为曲线
y?f(x)
过原点，所以
d?0

故
f(x)?x
3
?3x
2
?12x

（ Ⅱ）由于a>0,所以“
f(x)?
a
3
x?bx
2
?cx ?d
在（-∞，+∞）内无极值点”等价
3
于“
f
?
(x) ?ax
2
?2bx?c?0
在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得
2b?9?5a,c?4a
。
又
??(2b)
2
?4ac?9(a?1)(a?9)

?
a?0
解
?
得
a?
?
1,9
?

?
??9(a?1)(a?9 )?0
即
a
的取值范围
?
1,9
?


6．（本小题共13分）
已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?3bx?c(b?0)
，且
g(x)?f(x)?2
是奇函数．
（Ⅰ）求
a
，
c
的值；
（Ⅱ）求函数
f(x)
的单调区间．
解：（Ⅰ）因为函数
g(x)?f(x)?2
为奇函数，
所以，对任意的< br>x?R
，
g(?x)??g(x)
，即
f(?x)?2??f(x)? 2
．
又
f(x)?x
3
?ax
2
?3bx?c< br>所以
?x
3
?ax
2
?3bx?c?2??x
3?ax
2
?3bx?c?2
．
?
a??a，
所以
?
解得
a?0，c?2
． ?
c?2??c?2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)?x
3
?3b x?2
．所以
f
?
(x)?3x
2
?3b(b?0)
．
当
b?0
时，由
f
?
(x)?0
得
x???b
．
x
变化时，
f
?
(x)
的变化情况如 下表：
x

f
?
(x)

(??，??b)

??b

(??b，?b)

?b

（?b，??）

?

0
?

0
?

.

.
? ?b)
上单调递增，在
(??b，?b)
上单调所以，当
b?0
时， 函数
f(x)
在
(??，
递减，
??)
上单调递增． 在
(?b，
当
b?0
时，
f
?
(x)?0
， 所以函数
f(x)
在
(??，??)
上单
.