高中数学导数知识点归纳总结42136

高中导数复习资料
一、基本概念
1. 导数的定义：
设
x
0
是函数
y?f(x)
定义域的一点， 如果自变量
x
在
x
0
处有增量
?x
，则函数值y
也引起相应的
增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
；比值
平均变化率；如果极限
lim
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
称为函数
y?f(x)
在点x
0
到
x
0
??x
之间的
?
?x?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
存在，则称函 数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，并
?lim
?x ?0
?x
?x?0
?x
把这个极限叫做
y?f(x)
在x
0
处的导数。
f
?
x
?
在点
x< br>0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)

?x
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程） < br>函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)
在点
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率，也就是说，曲线
y?f(x)
在点P
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率是
f
'
(x
0
)
，切线方程为
y? y
0
?f
'
(x)(x?x
0
).

3．基本常见函数的导数:
n
①
C
?
?0;
（C为常数） ②
x
??
?
?nx
xx
n?1
;

③
(sinx)
?
?cosx
; ④
(cosx)
?
??sinx
;
⑤
(e)
?
?e;
⑥
(a)
?
?alna
;
⑦
?
lnx
?
?
?
xx
11
; ⑧
?
log
a
x
?
?
?log
a
e
.
xx
二、导数的运算
1.导数的四则运算：
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即：
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
??
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?

??
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：
?
f
?
x
?
?g?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?< br>g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?

??
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
(Cf(x))?Cf(x).
(
C
为常数)
法则3：两个函数的 商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以
''
?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
分母的平方：
?
g
?
x
?
?0
?
。
?
?
?
2
?
?g
?
x
?
?
?
g
?
x
??
?
2.复合函数的导数
形如
y?f[
?
(x)]
的函数称为复合函数。法则：
f
?
[
?
(x)]?f
?
(
?
)*
?
?
(x)
.

三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数
y?f(x)
在某个区间
(a,b)
可导，
如果
f
(x)
?0
，则
f(x)
在此区间上为增函数；
如果
f
(x)?0
，则
f(x)
在此区间上为减函数。 < br>（2）如果在某区间内恒有
f
(x)?0
，则
f(x)
为常函 数。
2．函数的极点与极值：当函数
f(x)
在点
x
0
处 连续时，
①如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)< br>＞0，右侧
f
'
(x)
＜0，那么
f(x
0
)
是极大值；
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞0，那么
f(x
0
)
是极小值.
3．函数的最值：
一般地，在区间
[a,b]
上连续的函数
f(x)
在
[a,b]
上必有最大值与最小值。函数< br>'
'
'
值点处取得。

f(x)
在区间
[a ,b]上的最值
只可能在区间端点及极
求函数
f(x)
在区间
[a, b]上最值
的一般步骤：①求函数
f(x)
的导数，令导数
f(x)?0解出
方程的跟②在区间
[a,b]
列出
x,f(x),f(x)
的表格，求出极值及
f(a)、f(b)
的值;③比较端点及极
值点处的函数值的大小 ，从而得出函数的最值
4．相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
训练题：

一、选择题
1．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）
满足（x﹣2）f′（x）＞0，若2＜a＜4则（ ）
aa
A．f（2）＜f（3）＜f（log
2
a） B．f（log
2
a）＜f（3）＜f（2）
aa
C．f（3）＜f（log
2
a）＜f（2） D．f（log
2
a）＜f（2）＜f（3）
2．已知函数
f(x)?'
'
1
3
1
2
ax?bx?x
，连续抛掷两颗 骰子得到的点数分别是
a,b
，则函数
f
?
(x)
在
32
x?1
处取得最值的概率是（ ）
1111
A． B． C． D．
3618126
3．如图
y?f(x )
是可导函数，直线
l
：
y?kx?2
是曲线
y?f(x)
在
x?3
处的切线，令
g(x)?xf(x),g
?
(x)
是
g(x)
的导函数，则
g
?
(3)?

（ ）

A．
?1
B．
0
C．
2
D．
4
< br>4．设
f(x)
是定义在
R
上的函数，其导函数为
f
?
(x)
，若
f(x)
+
f
?
(x)?1
，
f
?
0
?
?2015
，则不等
式
ef( x)?e?2014
（其中
e
为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．
?
2014,2015
?
B．
?
??，0
?
U
?
2015, ??
?
C．
?
0，??
?
D．
?
-?，0
?

5．已知定义域为
R
的奇函数
y?f(x)
的导函数为
y?f
?
(x)
，当
x? 0
时，
f
?
(x)?
xx
f(x)
?0
， 若
x
1111
f()
，
b??2f(?2)
，
c? (ln)f(ln)
，则
a,b,c
的大小关系正确的是（ ）
2222
A．
a?c?b
B．
b?c?a
C．
a?b?c
D．
c?a?b

a?
6．已 知函数
f(x)?asinx?bx?4(a?R,b?R)
，
f
?
(x)
为
f(x)
的导函数，则
3
f(2014)?f(?2014 )?f
?
(2015)?f
?
(?2015)?
（ ）
A．2014 B．2013 C．-2015 D．8
7． 若
a?0,b?0
，且函数
f(x)?4x?ax?2bx
在
x?1
处有极值，则
32
41
?
的最小值为（ ）
ab
A、
4432
B、 C、 D、 < br>9323
8．设
f
?
(x)
是
f(x)
的导 函数，
f
?
(x)
的图象如图，则
f(x)
的图象只可能是

A． B．
32
C． D
9．当
x?
?
?2,1
?
时，不等式
mx?x?4x?3
恒成立 ，则实数m的取值范围是（ ）
A．
?
?6,?
?
B．
?
?6,?2
?
C．
?
?5,?3
?
D．
?
?4,?3
?

8
?
?
9
?
?
10．已知函数
f(x)?ax?1
的图象在点
A(1,f(1 ))
处的切线
l
与直线
8x?y?2?0
平行，若数列
?< br>1
?
的前
n
项和为
S
，则
S
201 5
的值为（ ）
n
??
?
f(n)
?
2A．
2015
B． C． D．
2031

11．若函数
f
?
x
?
对任意的
x?R
都有
f
?
?
x
?
?f
?
x
?
恒成立，则（ ）
A．3f
?
ln2
?
?2f
?
ln3
?
B．
3f
?
ln2
?
?2f
?
ln3
?< br>
C．
3f
?
ln2
?
?2f
?
l n3
?
D．
3f
?
ln2
?
与
2f
?
ln3
?
的大小不确定
12．设点
P
是曲线
y?x?3x?
围是（ ）
A．
?
?
，
?
?
B．
?
3
2
上的任意一点，
P
点处的切线的倾斜角为
?
，则角
?
的取值范
3
?
2
?
3
?
?
?
?
5
??
?
??
5
??
?< br>??
2
?
，
?
?
C．
?
0，
?
?
?
?
，
?
?
D．< br>?
0，
?
?
?
?
，
?
?

?
26
??
2
??
6
??
2
??
3
?
13．已知函数
f(x)
的定义域为R，且满足
f(4 )?1
，
f
?
(x)
为
f(x)
的导函数，又知< br>y?f
?
(x)
的图
象如图所示，若两个正数
a,b
满足，
f(2a?b)?1
，则
b?2
的取值范围是（ ）
a?1

A．
?
,6
?
B．
?
,6
?
C．
[,]
D．
?
,
?

342
3
42
14．数列{ a
n
}中，满足
a
n?2
?2a
n?1
?a
n
，且
a
1
,a
4031
是函数f（x）=
则< br>log
2
a
2016
的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2
15．设奇函 数
f
?
x
?
在
?
?1,1
?
上是 增函数，且
f
?
?1
?
??1
，当
a?
?
?1,1
?
时，
f
?
x
?
?t?2at?1
对
?
2?
?
?
?
2
?
??
15
?
1 5
?
??
1
3
x?4x
2
?6x?1
的极 值点，
3
所有的
x?
?
?1,1
?
恒成立，则t
的取值范围是（ ）
A．
?2?t?2
B．
t?2
或
t??2


C．
t?2
或
t??2
或
t?0

D．
t?2
或
t??2
或
t?0

f(x)?
16．已知函数
x
e
x
，给出下列结论：
①
(1,??)
是
f(x)
的单调递减区间；
1
k?(??,)
e
时，直线
y?k
与
y?f(x)
的图象有 两个不同交点； ②当

2
y?x?1
的图象没有公共点.
y?f(x)
③函数的图象与
其中正确结论的序号是（ ）
A.①②③ B.①③ C.①② D.②③

填空题：
17．已知函数
f
?
x
?
?
是 .
x
18．已知函数
f(x)?e?mx?1
的图像为曲线
C
，若曲 线
C
存在与直线
y?ex
垂直的切线，则实
1
3
a
x?
?
x?0,a?R
?
，若
f
?
x?
在[2，+
?
)
是增函数，则实数
a
的范围
3x
数
m
的取值范围为 ．
19．若函数
f
?
x
?
?lnx?ax
存在与直线
2x?y?0
平 行的切线，则实数
a
的取值范围是 ．
20．若函数
（fx）?x?ax?1
在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 .
21．若f（x） =x+3ax+3（a+2）x+1没有极值，则a的取值范围为 .
22．若曲线f(x)?x
在点
(a,a)
(a?0)
处的切线与两条坐标轴围成的三 角形的面积
为
3
，则
log
3
2
?2?2
32
3
a?
___________.
32
23．关于
x
的方程
x
－3
x
－
a
＝0有三个不同的实数解， 则实数
a
的取值范围是________．
24．已知函数
f(x)?al n(x?1)?x
，在区间
(0,1)
内任取两个实数
p,q
，且< br>p?q
，
不等式
2
f(p?1)?f(q?1)
?1
恒成立，则实数
a
的取值范围是___________．
p?q
25． 函数
f(x)
的导函数为
f
?
(x)
，若对于定义域内任意
x
1
，
x
2
(x
1
?x
2
)
，有
f(x
1
)?f(x
2
)x?x
?f?
(
12
)
恒成立，则称
f(x)
为恒均变函数．给出 下列函数：①
f(x)=2x?3
；
x
1
?x
2
2
②
f(x)?x?2x?3
；③
f(x)=
2
1
x
；④
f(x)=e
；⑤
f(x)=lnx
．其中为恒均变函数的序号
x
是 ．（写出所有满足条件的函数的序号）
．．