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厚德启智 心怀天下
导数经典例题精讲
导数知识点
导数是一种特殊的极限
几个常用极限:(1)
lim
n??
两个重要的极限
11
1
;(2)
?0
,
lima
n
?0
(
|a
|?1
)
limx?x
0
,
lim?
x?x
0x
n??
x?x
0
x
0
n
x
. sinx
?
1
?
:(1)
lim
(2)
?1<
br>;
lim
?
1?
?
?e
(e=2.71828184
5…).
x?0
x??
x
?
x
?
00
函
数极限的四则运算法则:若
x
limf(x)?a
,
limg(x)?b,则
?xx?x
(1)
x
limlim
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
??
f
?x
?
?g
?
x
?
?
lim
?
?a?b
;(2)
x
?
?a?b
;(3)
x
?x<
br>?
?x
?
?x
00
0
f
?
x
?
a
?
?
b?0
?
.
g
?
x
?
b
数列极限的四则运算法则:若
lima
n
?a,lim
b
n
?b
,则(1)
lim
?
a
n
?b<
br>n
?
?a?b
;
n??
n??n??
(2)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
(3)<
br>lim
n??
n??
a
n
a
?
?
b
?0
?
(4)
lim
?
c?a
n
?
?li
mc?lima
n
?c?a
(
c
n??n??n??
b
n
b
是常数)
f(x)
在
x
0
处的导数(或变化率或微商)
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim?
lim
?x?0
?x
?x?0
?x
?ss(t??t)?s(t)<
br>.瞬时速度:
?
?s
?
(t)?
?
.
li
m?lim
t?0
?t
?t?0
?t
?vv(t??t)?v(t)
瞬时加速度:
a?v
?
(t)?
?
.
lim?l
im
t?0
?t
?t?0
?t
dydf?yf(x??x)?f(x
)
.
??lim?lim
f(x)
在
(a,b)
的导数:
f
?
(x)?y
?
?
dxdx
?x?0
?
x
?x?0
?x
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导
数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
,相
应的切
线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
(C为常数).(2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.(3)
(sinx)
?<
br>?cosx
.
(cosx)
?
??sinx
(4)
(lnx)
?
?
1
;
(loga
x
)?
?
1
log
a
e
. (5)
(e
x
)
?
?e
x
;
(a
x
)
?
?a
x
lna
.
xx
'''''
导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. (1
)
(u?v)?u?v
.(2)
(uv)?uv?uv
.(3)
()
?
2
vv
'
复合函数的求导法则
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
'
?
?
'
(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
处的对应
点U处有导数
'''
y
u
'
?f
'
(u)
,则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有导数,且y
x
?y
u
?u
x
,或写作
f
x'
(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(
x)
.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求
:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.
f
?
(x)
是
f(x)?
1
3<
br>x?2x?1
的导函数,则
f
?
(?1)
的值是 .
3
第1页 共14页
[考查目的]
本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
高中数学导数
厚德启智
心怀天下
[解答过程]
Qf
?
(x)?x
2
?2,?f
?
(?1)?
?
?1
?
?2?3.
故填3.
例2.设函数
f(x)?
x?a
,集合M=
{x
|f(x)?0}
,P=
{x|f
'
(x)?0}
,若MP,则实数
a的取值范围是 ( )
x?1
2
A.(-∞,1)
B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
x?a
?0,?当a>1时,1?x?a;当a<1时,a?x?1.
x?1
x?a
a?1
?
x?a
?
x?1?
?
x?a
?
Q
y?,?y
?
?
??0.
?
?
22
x?1
?
x?1
?
x?1x?1
????
?a?1.
综上可得MP时,
?a?1.
考点2 曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的
切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.已知函数
f(x)?
1
3
1
2<
br>,
,
(1,3]
内各有一个极值点.
x?ax?bx
在区间
[?11)
32
(I)求
a
2
?4b
的最大值;
(II)当
a
2
?4b?8
时,设函数
y?f(x)
在点
A(1,f(1))
处的切线为
l
,若
l
在点
A
处穿过函数
y?f(x)
的图象(即
动点在点
A
附近沿
曲线
y?f(x)
运动,经过点
A
时,从
l
的一侧进入另一
侧),求函数
f(x)
的表达式.
思路启迪:用求导来求得切线斜率.
解
答过程:(I)因为函数
f(x)?
1
3
1
2
,
,
(1,3]
内分别有一个极值点,所以
x?ax?bx
在区间
[?1
1)
32
f
?
(x)?x
2
?ax?b
?0
在
[?11),
,
(1,3]
内分别有一个实根,
设两实根为<
br>x
1
,x
2
(
x
1
?x
2
),则
x
2
?x
1
?a
2
?4b
,且0?x
2
?x
1
≤4
.于是
x
2
?
3
,即
a??2
,
b??3
时等号成立.故
a
2<
br>?4b
的最大值
0?a
2
?4b≤4
,
0?a
2
?4b≤16
,且当
x
1
??1,
是16.
(II)解法一:由
f
?
(1)?1?a?b
知
f(x)
在
点
(1,f(1))
处的切线
l
的方程是
21
y?f(1
)?f
?
(1)(x?1)
,即
y?(1?a?b)x??a
, <
br>32
因为切线
l
在点
A(1,f(x))
处空过
y?
f(x)
的图象,
所以
g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?
21<
br>?a]
在
x?1
两边附近的函数值异号,则
32
x?1
不是
g(x)
的极值点.
而
g(x)
?
1
3
1
2
21
x?ax?bx?(1?a?b)
x??a
,且
3232
第2页 共14页 高中数学导数
厚德启智 心怀天下
g
?
(x)?x
2
?ax?b?(1?a?b)?x
2
?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)
.
若
1??1?a
,则
x?1
和
x??1?a
都是<
br>g(x)
的极值点.
所以
1??1?a
,即
a??2
,又由
a
2
?4b?8
,得
b??1
,故
f(x
)?
解法二:同解法一得
g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?
1
3<
br>x?x
2
?x
.
3
21
?a]
32
13a3
?(x?1)[x
2
?(1?)x?(2?a)]
.
322
因为切线
l
在点
A(1,f(1))
处穿过
y?f(x)
的图象,所以
g(x)
在
x?1
两边附近的函数值异号
,于是存在
m
1
,m
2
(
m
1
?1?m<
br>2
).
当
m
1
?x?1
时,
g(x)?0
,当
1?x?m
2
时,
g(x)?0
;
或当m
1
?x?1
时,
g(x)?0
,当
1?x?m
2
时,
g(x)?0
.
设
h(x)?x?
?
1
?
2
?
?
3a
?
3a
??
x?2?
???
,则
2
?
2
??
当
m
1
?x?1
时,
h(x)?0
,当
1?x?m
2
时,
h(x)?0
;
或当
m
1
?x?1
时,
h(x
)?0
,当
1?x?m
2
时,
h(x)?0
.
由
h(1)?0
知
x?1
是
h(x)
的一个极值点,则
h(1)?2?1?1?
所以
a??2
,又由
a
2
?4b
?8
,得
b??1
,故
f(x)?
3a
?0
,
2
1
3
x?x
2
?x
.
3
例4
.若曲线
y?x
4
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0<
br>垂直,则
l
的方程为( )
A.
4x?y?3?0
B.
x?4y?5?0
C.
4x?y?3?0
D.
x?4y?3?0
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直
线
x?4y?8?0
垂直的直线
l
为
4x?y?m?0
,即
y?x
4
在某一点的导数为4,而
y
?
?4x
3<
br>,所以
y?x
4
在(1,
1)处导数为4,此点的切线为
4x
?y?3?0
.
故选A.
例5.过坐标原点且与x
2
+y
2
-4x+2y+
5
=0相切的直线的方程为 ( )
2
A.y=-3x或y=
1
x B.
y=-3x或y=-
1
x C.y=-3x或y=-
1
x D.
y=3x或y=
1
x
3333
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:设切线的方程为
y?kx,?kx?y?0.
又?
x?2
?
2
?
?
y?1
?
2
?
5
,?圆心为
?
2,?1
?
.
2<
br>?
2k?1
k
2
?1
1
?y?x,或y??3x.<
br>
3
?
51
,?3k
2
?8k?3?0.?k?,k
??3.
23
故选A.
高中数学导数 第3页 共14页
厚德启智 心怀天下
31
?
由 解法2:由解法1知切点
坐标为
(
1
,?
3
),
?
?
,
?
,
22
?
22
?
5
?
?
(x?2
)?
?
y?1
?
?
?
?
?
,
??
x
?
?
2
?
x
2
2
?2(x?2)?2
?
y?1
?
y
x
?0,<
br>x?2
?y
x
??.
y?1
1
?
.
31
(,)
3
22
?k
1
?y
x
13
(,?)
22
??3,k
2
?y
x
1
x.
3
?y??3x,y?
故选A.
例6.已知两抛物
线
C
1
:y?x
2
?2x,C
2
:y??x
2
?a
,
a
取何值时
C
1
,
C
2
有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对
C
1<
br>:y?x
2
?2x,C
2
:y??x
2
?a
求导数.
解答过程:函数
y?x
2
?2x
的导数为
y'
?2x?2
,曲线
C
1
在点P(
x
1
,x
1
2
?2x
1
)处的切线方程为
2
2
y?(x
1
?2x
1
)?2(x
1
?2)(x?x
1
)
,即
y?2(x
1
?1)x?x
1
①
曲线
C
1
在点Q
(x
2
,?x
2
2
?a)
的切线方程是
y?(?x
2
?a)??2x
2(x?x
2
)
即
y??2x
2
x?x
2
2
?a
②
若直线
l
是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是
l
的方
程,故得
22
x
1
?1??x
2
,?x
1
?x
2
?1
,消去
x
2
得方程,
2x
1
?2x
1
?1?a?0
2
若△=
4?4?2(
1?a)?0
,即
a??
1
时,解得
x
1
??1
,此时点P、Q重合.
22
∴当时
a??
1
,C
1
和
C
2
有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为
y?x?
1
.
24
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的
初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于
函数的单调
性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的
方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高
度重
视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域;
3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7.函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
,导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如图所示,则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小
值点( )
A.1个 B.2个
C.3个 D. 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间
(a,0)
内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8 .设函数
f(x)?2x
3
?3ax
2<
br>?3bx?8c
在
x?1
及
x?2
时取得极值.
(Ⅰ)求a
、
b的值;
(Ⅱ)若对于任意的
x?[0,3]
,都有
f(x)?c
成立,求c的取值范围.
思路启迪:利用函数
f(x
)?2x
3
?3ax
2
?3bx?8c
在
x?1
及
x?2
时取得极值构造方程组求a
、
b的值.
高中数学导数
第4页 共14页
2
y
y?f
?
(x)
b
a
O
x
厚德启智 心怀天下
解答过程:(Ⅰ)
f
?
(x)?6x?6ax?3b
,
因
为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值,则有
f
?
(1)?0
,
f
?
(2)?0
.
2
即
?
?
6?6a?3b?0,
?
24
?12a?3b?0
.
32
解得
a??3
,
b?4
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
f(x)?2x?9x?12x?8c
,
f?
(x)?6x
2
?18x?12?6(x?1)(x?2)
.
当
x?(01),
时,
f
?
(x)?0
;
当
x?(1,2)
时,
f
?
(x)?0
;
当
x?(2,3)
时,
f
?
(x)?0
.
所以,当
x?1
时,
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c,又
f(0)?8c
,
f(3)?9?8c
.
则当
x
?
?
0,3
?
时,
f(x)
的最大值为
f(3)?
9?8c
.
因为对于任意的
x?
?
0,3
?
,有
f(x)?c
恒成立,
2
所以
9?8c?c
2
,
解得
c??1
或
c?9
,
因此
c
的取值范围为
(??,?1)U(9,??)
.
例9.函数
y?2x?4?x?3
的值域是_____________.
思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数
的
单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
2x?4
?0
得,解答过程:由
?
x??2
,即函数的定义域为
[?2,??
)
.
?
?
x?3?0
y'?
112x?3?2x?4
,
??
2x?42x?322x?4?x?3
2x?8
,
2x?3?
2x?4
又
2x?3?2x?4?
?
当
x??2
时,
y'?0
,
?
函数
y?2x?4?x?3
在
(?2,?
?)
上是增函数,而
f(?2)??1
,
?y?2x?4?x?3
的
值域是
[?1,??)
.
16
例10.已知函数
f
?x
?
?4x
3
?3x
2
cos
?
?<
br>3
cos
?
,其中
x?R,
?
为参数,且
0
?
?
?2
?
.
(1)当时
cos
?
?0
,判断函数
f
?
x
?
是否有极值;
(2)要使函数
f(x)
的极小值大于零,求参数
?
的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数
?
,函数
f
?x
?
在区间
?
2a?1,a
?
内都是增函数,求实数<
br>a
的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及
极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决
问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当
cos
?
?0
时,
f(x)?4x
3
,则
f(x)
在
(??,??)
内是增函数,故无极值.
高中数学导数 第5页 共14页
厚德启智 心怀天下
(Ⅱ)<
br>f'(x)?12x
2
?6xcos
?
,令
f'(x)?0<
br>,得
x
1
?0,x
2
?
cos
?
.
2
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当
cos<
br>?
?0
时,随x的变化
f'(x)
的符号及
f(x)
的变化情况如下表:
x
f'(x)
f(x)
(??,0)
0
0
极大值
(0,
cos
?
)
2
cos
?
2
(
cos
?
,??)
2
+
↗
-
↘
0
极小值
+
↗
因此
,函数
f(x)
在
x?
cos
?
处取得极小值
f(
cos
?
)
,且
f(
cos
?
)??1
cos
3
?
?
3
?
22
2416
.
要使
f(
cos
?
)?0
,必有
?
1
cos
?
(cos
2
?
?
3
)?0
,可得
0?cos
?
?
3
.
2
2
44
由于
0?cos
?
?
3
,故
??
?
?
?
或
3
?
?
?
?11
?
.
2
6226
错误!未找到引用源。当时
co
s
?
?0
,随x的变化,
f'(x)
的符号及
f(x)的变化情况如下表:
x
(0,??)
0
cos
?
cos
?
cos
?
(??,)(,0)
2
2
2
f'(x)
f(x)
+ 0
极大值
-
0
极小值
+
<
br>因此,函数
f(x)在x?0
处取得极小值
f(0)
,且
f(
0)?
3
cos
?
.
16
若
f(0)?
0
,则
cos
?
?0
.矛盾.所以当
cos
??0
时,
f(x)
的极小值不会大于零.
综上,要使函数
f(
x)
在
(??,??)
内的极小值大于零,参数
?
的取值范围为(
?
,
?
)?(
3
?
,
11
?
)
.
6226
(错误!未找到引用源。)解:由(错误!未找到引用源。
)知,函数
f(x)
在区间
(??,??)
与
(
cos?
,??)
内都是增函数。
2
由题设,函数
f(x)在(2a
?1,a)
内是增函数,则a须满足不等式组
2a?1?a
a?0
或
2a?1?a
1
2a?1?cos
?
2
622
<
br>由(错误!未找到引用源。),参数时
?
?(
?
,
?
)?(
3
?
,
11
?
)
时,
0?cos<
br>?
?
3
.要使不等式
2a?1?
1
cos
?
关于参数
?
恒成立,
6
2
2
必有
2a?1
?
3
,即
4?3
?a
.
48
综上,解得
a?0
或
4?3
?a?1
. 8
所以
a
的取值范围是
(??,0)?[
4?3
,1)
.
8
例11.设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a
?
-1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判
定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数
f(
x)
的定义域为
(?1,??)
,且
f
'
(x)?
ax?1
(a??1),
x?1
(1)当
?1?a?0
时
,
f
'
(x)?0,
函数
f(x)
在
(?1,??
)
上单调递减,
(2)当
a?0
时,由
f
'
(x
)?0,
解得
x?
1
.
a
f
'
(x)
、
f(x)
随
x
的变化情况如下表
高中数学导数
第6页 共14页
厚德启智 心怀天下
x
f
'
(x)
1
(?1,)
a
1
a
1
(,??)
a
—
0 +
f(x)
极小值
从上表可知
当
x?(?1,
1
)
时,
f
'
(x)?0,
函数f(x)
在
(?1,
1
)
上单调递减.
a
a
当
x?(
1
,??)
时,
f
'
(x)?0
,
函数
f(x)
在
(
1
,??)
上单调递增. <
br>aa
综上所述:当
?1?a?0
时,函数
f(x)
在
(?1,??)
上单调递减.
当
a?0
时,函数
f(x)
在
(?1,
1
)
上单调递减,函数
f(x)
在
(<
br>1
,??)
上单调递增.
a
a
例12.已知函数
f
(x)?ax
3
?bx
2
?cx
在点
x
0
处取得极大值
5
,其导函数
y?f'(x)
的图
(1,0)
,
(2,0)
,如图所示.求:
象经过点
(Ⅰ)
x
0
的值;
(Ⅱ)
a,b,c
的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,
函数与方程的转化等基础知识的综
合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 <
br>[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在
?
??,1
?
上
f'
?
x
?
?0
,在
?
1,2
?
上
f'
?
x
?
?0
,在
?
2,??
?
上
f'
?
x
?
?0
,
故
f(x)
在上递增,在
(1,2)
上递减,
(-?,1
),(2,+?)
因此
f
?
x
?
在
x?1
处取得极大值,所以
x
0
?1
(Ⅱ)
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c,
'
由
f(
1)=0,(f
'
2)=0,(f'
1)=5,
得
?
12a?4b?c?0,
?
?
a?b?c?5,
?
?
3a?2b?c?0,
解得
a?
2,b??9,c?12.
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
f
'
(x)?m(x?1)(x?2)?mx
2
?3mx?2m,
又
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c,
所以
a?
m
,b??
3
m,c?2m
3
2
f(x)?
m
3
3
2|
x?mx?2mx,
<
br>32
32
由
f(1)?5,
即
m
?
3
m?2m?5,
得
m?6,
所以
a?2,b??9,c?12
例13.设
x?3
是函
数
f
?
x
?
?
?
x
2
?ax?b
?
e
3?x
?
x?R
?
的一个极值点.
(Ⅰ)求
a
与
b
的关系式(用
a
表示
b
)
,并求
f
?
x
?
的单调区间;
25
?
x
2
(Ⅱ)设
a?0
,
g
?
x
?
?
?
?
a?
?
e
.若存在
?
1
,
?
2
?
?
0,4
?
使得
f
?
?1
?
?g
?
?
2
?
?1
成立,求a
的取值范围.
?
4
?
[考查目的]本小题主要考查函数、不
等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
-
[解答过程](Ⅰ)f
`(x)=-[x
2
+(a-2)x+b
-
a ]e
3x
,
高中数学导数 第7页 共14页
厚德启智 心怀天下
由f
`(3)=0,得 -[3
2
+(a-2)3+b
-
a
]e
33
=0,即得b=-3-2a,
-
则 f
`(x)=[x
2
+(a-2)x-3-2a
-
a ]e
3x
--
=-[x
2
+(a-2)x-3
-
3a
]e
3x
=-(x
-
3)(x+a+1)e
3x
.
令f
`(x)=0,得x
1
=3或x
2
=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0
,
那么a≠-4.
当a<-4时,x
2
>3=x
1
,则
在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0
,
f (x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
当a>-4时,x
2
<3=x
1
,则
在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0
,
f (x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f
(x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f
(x)在区间[0,
4]上的值域是[min(f (0)
,
f (4) ),f
(3)],
-
而f
(0)=-(2a+3)e
3
<0
,
f
(4)=(2a+13)e
1
>0,f (3)=a+6,
那么f
(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e
3
,a+6].
又
g(x)?(a
2
?
25
)e
x
在区间[0,4]上是增函
数,
4
-
且它在区间[0,4]上的值域是[a
2
+
25
,(a
2
+
25
)e
4
],
44
由于(a
2
+
25
)-(a+6)=a
2
-a+
1
=(
a?
1
)
2
≥0,所以只须仅须
4
42
(a
2
+
25
)-(a+6)<1且a>0,解得03
.
42
故a的取值范围是(0,
3
).
2
例14 已知函数
f(x)?
1
3
ax?bx
2
?(2?b)x?1
3
在
x?x
1
处取得极大值
,在
x?x
2
处取得极小值,且
0?x
1
?1?x
2
?2
.
(1)证明
a?0
;
(2)若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数
f(x)
的
导数
f
?
(x)?ax?2bx?2?b
.
(Ⅰ)由函数
f(x)
在
x?x
1
处取得极大值,在
x?x
2
处
取得极小值,知
x
1
,x
2
是
f
?
(x)
?0
的两个根.
所以
f
?
(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
当
x?x
1
时,
f(x
)
为增函数,
f
?
(x)?0
,由
x?x
1
?0
,
x?x
2
?0
得
a?0
.
2<
br>?
f
?
(0)?0
?
2?b?0
??
(Ⅱ)
在题设下,
0?x
1
?1?x
2
?2
等价于
?f
?
(1)?0
即
?
a?2b?2?b?0
. ?
f
?
(2)?0
?
4a?4b?2?b?0
???
2?b?0
?
化简得
?
a?3b?2?0
.
?
4a?5b?2?0
?
4a?5b?2?0
. 此不等式组表示的
区域为平面
aOb
上三条直线:
2?b?0,a?3b?2?0,
高中数学导
数 第8页 共14页
厚德启智 心怀天下
所围成的
△ABC<
br>的内部,其三个顶点分别为:
A
?
,
?
,B(2,,2)C(
4,2)
.
?
46
?
?
77
?
b z
在这三点的值依次为
所以
z
的取值范围为
?
16,6,8
.
7
?
16
?
,8
?
.
?
7
?
2
B(2,2)
1
?
46
?
A
?
,
?
?
77
?
O
2 4
a
小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合.
考点4
导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15.用长为18 cm的钢条
围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高
各为多少时,
其体积最大?最大体积是多少?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运
用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
18?12x3
?
?
h??4.5?3x(m)
?
0<x<
?
.
42
??
故长方体的体积为
V(x)?2x
2
(4.5?
3x)?9x
2
?6x
3
(m
3
)
3
(0
<x<).
2
C(4,2)
从而
V?(x)?18x?
18x
2
(4.5?3x)?18x(1?x).
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<
2
时,V′(x)<0,
3
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。
从而
最大体积V=V′(x)=9×1
2
-6×1
3
(m
3
),
此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5
m时,体积最大,最大体积为3 m
3
。
例16.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量
y
(升)
关于行驶速度
x
(千米小时)的函数解析式可以表示为:
y?
13
x
3
?x?8(0?x?120).
已知甲、乙两地相距100千米.
12
800080
(I)当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
[考查目
的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程](I)当
x?40
时,汽车从甲地到乙地行驶了
100
?2.5
小时,
40
要耗没
(
13
?40
3
??
40?8)?2.5?17.5
(升).
12800080
答:当汽车以40千米小
时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(II)当速度为
x
千米小时
时,汽车从甲地到乙地行驶了
100
小时,设耗油量为
h(x)
升,依题意得
x
131001
2
80015
h(x)?(x
3
?
x?8).?x??(0?x?120),
12800080x1280x4
高中数学导数 第9页 共14页
厚德启智 心怀天下
x800x
3
?803
h'(x)???(0?x?120).
640x
2
640
x
2
令
h'(x)?0,
得
x?80.
当
x?(0,80)
时,
h'(x)?0,h(x)
是减函数;当
x?(80
,120)
时,
h'(x)?0,h(x)
是增函数.
当
x?80
时,
h(x)
取到极小值
h(80)?11.25.
因为
h(x)
在
(0,120]
上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
【专题训练】
一、选择题
1.
y=e
sin
x
cos(sinx),则y′(0)等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
2.经过原点且与曲线y=
x?9
相切的方程是( )
x?5
A.x+y=0或
x
+y=0
25
B.x-y=0或
x
+y=0
25
C.x+y=0或
x
-y=0
25
D.x-y=0或
x
-y=0
25
3.设f(x)可
导,且f′(0)=0,又
lim
f
?
(x)
=-1,则f(0)(
)
x?0
x
A.可能不是f(x)的极值 B.一定是f(x)的极值
C.一定是f(x)的极小值 D.等于0
4.设函数f
n
(x
)=n
2
x
2
(1-x)
n
(n为正整数),则f
n
(x)在[0,1]上的最大值为( )
A.0 B.1
C.
(1?
2
)
n
2?n
D.
4(
n
)
n?1
n?2
5、函数y=(x
2
-1)
3
+1在x=-1处(
)
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
6.f(x)=ax
3
+3x
2
+2,f’(-1)=4,则a=(
)
A、
10
B、
13
C、
16
D、
19
3333
7.过抛物线y=x
2
上的点M(
1
,
1
)的切线的倾斜角
是( )
24
C、60
0
D、90
0
8.函数f(x)=x
3
-6bx+3b在(0,1)
内有极小值,则实数b的取值范围是( )
A、(0,1) B、(-∞,1)
C、(0,+∞) D、(0,
1
)
2
A、30
0
B、45
0
9.函数y=x
3
-3x+3在[
?
3
,
5
]上的最小值是( )
22
A、
89
B、1
8
C、
33
D、5
8
10、若f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,且f(0
)=0为函数的极值,则( )
A、c≠0 B、当a>0时,f(0)为极大值
C、b=0 D、当a<0时,f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3
+ax
2
+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是(
)
A、(2,3) B、(3,+∞) C、(2,+∞) D、(-∞,3)
1
2、方程6x
5
-15x
4
+10x
3
+1=0的实数解的
集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素
D、恰好有5个元素
二、填空题
13.若f′(x
0
)=2,
l
im
f(x
0
?k)?f(x
0
)
=_________.
k?0
2k
14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…
(x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=log
a
(3x
2
+5x-2)(a>0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题
17.已知曲线C:y=x
3
-3x
2
+2x
,直线l:y=kx,且l与C切于点(x
0
,y
0
)(x
0
≠0),求直线l的方程及切点坐标.
高中数学导数 第10页 共14页
厚德启智 心怀天下
18.求函数f(x)=p
2
x2
(1-x)
p
(p∈N
+
),在[0,1]内的最大值. <
br>19.证明双曲线xy=a
2
上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.
20.求函数的导数
(1)y=(x
2
-2x+3)e
2
x
;
(2)y=
3
x
.
1?x
21.有一个长度为5
m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3
ms的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开
墙脚1.4 m时,梯子上端下滑的速度.
-22.求和S
n
=1
2
+2
2
x+3
2
x
2
+…+n
2
x
n
1
,(x≠0,n∈N*
).
23.设f(x)=ax
3
+x恰有三个单调区间,试确定a的
取值范围,并求其单调区间.
24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx
2
+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.
25.已知
a、b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证:a
b
>b
a
.
26.设关于x的方程2x
2
-ax-2=0的两根为
α
、
β
(
α
<
β
),函数f(x)=
4x?a
. x
2
?1
(1)求f(
α
)·f(
β
)的值;
(2)证明f(x)是[
α
,
β
]上的增函数;
(3)当
a为何值时,f(x)在区间[
α
,
β
]上的最大值与最小值之差最小?
【参考答案】
一、1.解析:y′=e
sin
x
[co
sxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e
0
(1-0)=1
.
答案:B
2.解析:设切点为(x
0
,y
0
),则切
线的斜率为k=
y
0
,另一方面,y′=(
x?9
)′=
?
4
x
0
x?5
(x?5)
2
,故
y′(x
0
)=k,即
y
0
x
0
?9
或
?4??
(x
0
?5)
2
x
0
x
0
(x
0
?5)
x
0
2
+18x
0
+45
=0得x
0
(1)
=-3,y
0
(2)
=-15,对应有y
0
(1)
=3,y
0
(2)
=
?15?9
?
3
,因此得两个
?15?55
切点A(-3,3)或B(-15,
3
),从而得y′(A)=
5
?4
(?3?5)
3
=-1及y′(B)=
?41
故得切线:l
A
:y=
??
,由于切线过原点,
2
25
(?15?5)
-x或l
B
:y
=-
x
.
25
答案:A
3.解析:由
lim
x
?0
f
?
(0)
=-1,故存在含有
x
0的区间(a,b)
使当x∈(a,b),x≠0时
f
?
(0)
<0,于是当
x
x∈(a,0)时f′(0)>0,当x∈(0,b)
时,f′(0)<0,这样f(x)在(a,0)
上单增,在(0,b)上单减.
答案:B
4.解析:∵f′
n
(x)=2
xn
2
(1-x)
n
-n
3
x
2
(1-x
)
n
-1
=n
2
x(1-x)
n
-1
[2
(1-x)-nx],令f′
n
(x)=0,得x
1
=0,x
2=1,x
3
=
2
,易知
2?n
f
n
(
x)在x=
2
时取得最大值,最大值f
n
(
2
)=n
2
(
2
)
2
(1-
2
)
n
=4
·(
2
)
n
+1
2?n2?n2?n2?n2?n
.
答案:D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C
11、B 12、C
二、13.解析:根据导数的定义:f′(x
0
)=
lim
f[(x
0
?(?k)]?f(x
0
)
(这时?x??k
)
k?0
?k
?
lim
f(x
0
?k)?f(x
0
)1f(x
0
?k)?f(x
0
)
?
lim
[??]
k?0k?0
2k2?k
1
f(x
0
?k)?f(x
0
)1
??
lim
??f
?
(x
0
)??1.
2
k?0
?k2
答案
:-1
14.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),
于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
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f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n!
答案:n! 15.解析:函数的定义域是x>
1
或x<-2,f′(x)=
3
log
a
e
.(3x
2
+5x-2)′=
(6x?5)?log<
br>a
e
,
(3x?1)(x?2)
3x
2
?5x?2
①若a>1,则当x>
1
时,log
a
e>0,6x+5>0,(3
x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在(
1
,+∞)上是增函数,x
<-2时,
33
f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数.
②
若0<a<1,则当x>
1
时,f′(x)<0,∴f(x)在(
1
,+∞)
上是减函数,当x<-2时,
33
f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数.
答案:(-∞,-2)
16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么x
2
=h(2R-h),于是内接三角形的面积为
S=x·h=
(2R
h?h
2
)?h?(2Rh
3
?h
4
),
从而
S
?
?
1
(2Rh
3
?h
4
)
?
2
(2Rh
3
?h
4
)
?
2
?
1h
2
(3R?2h)
3423
2
?
(2Rh?h)(6Rh?4h)?
2
(2R?h)h
3
1
h=AO
+BO=R+
R
2
?x
2
,解得
1
.
令S′=0,解得h=
3
R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)上列表
如下:
2
h
S′
S
2
(0,
3
R)
2
3
R
2
(
3
,2R)
2
+
增函数
0 -
最大值 减函数
由此表可知,当x=
3
R时,等腰三角形面积最大.
答案:
3
R
2
三、17. 解:由l过原点,知k=
y<
br>0
(x
0
≠0),点(x
0
,y
0
)在曲线
C上,y
0
=x
0
3
-3x
0
2
+2x<
br>0
,
x
0
∴
y
0
=x
0
2
-3x
0
+2,y′=3x
2
-6x+2,k=3x
0<
br>2
-6x
0
+2
x
0
又k=
y
0
,∴3x
0
2
-6x
0
+2=x
0
2-3x
0
+2,2x
0
2
-3x
0
=0,∴x
0
=0或x
0
=
3
.
x
0
2
由x≠0,知x
0
=
3
,
2
∴y
0
=(
3
)
3
-3(
3
)
2
+2·
3
=-
3
.∴k=
y
0
=-
1
.
2228
x
0
4
∴l方程y=-
1
x
切点(
3
,-
3
).
428
18.
f'(x)?
p
2
x(1?x)
p?1
[2?(2?p)x]
,
2
,
2?p
在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0,
f
(
2
)?4(
p
)
p?2
.
2?p2?p
∴
[f(x)]
max
?4(
p
)
2?p
. 2?p
令f’(x)=0得,x=0,x=1,x=
19.设双曲线上任一点P(x
0
,y
0
),
2
k?y|
x?x
??
a
,
0
x
0
2
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厚德启智 心怀天下
∴ 切线方程
y?y
0
??
a
2
x
2
(x?x
0
)
,
0
令y=0,则x=2x
0
令x=0,则
2
y?
2a
.
x
0
∴
S?
1
2
|x||y|?2a
2
.
20.解:(1)注意到y>0,两端取对数,得
lny=ln(x
2
-2
x+3)+lne
2
x
=ln(x
2
-2x+3)+2x,
?
1(x
2
?2x?3)
?
2x?22(x
2
?
y
?y
?
?
x?2)
x
2
?2x?3?2?
x
2
?2x?3
?2?
x
2
?2x?3
.
?y
?
?
2(x
2
?x?2)
2x?
3
?y?
2(x
2
?x?2)
x?2x?3
?(x
2
?2x?3)?e
2x
x
2
?
2
.
?2
(x
2
?x?2)?e
2x
.
(2)两端取对数,得
ln|y|=
1
(ln|x|-ln|1-x|),
3
两边解x求导,得
1
y
?y
?
?
1<
br>3
(
1?111
x
?
1?x
)?
3x(1?
x)
,
?y
?
?
11
3
?
x(
1?x)
?y?
1
3x(1?x)
3
x
1?x
.<
br>21.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5-
25?9t
2
,当下端
移开1.4 m时,t
0
=
1?4
3
?
7
,
15
1
又s′=-
1
(25-9t
2
)
?
2
2
·(-9·2t)=9t
1
,
25?9t
2
所以s′(t
0
)=9×
7
=0.875(ms).
1
5
?
1
25?9?(
7
2
15
)
22.解
:(1)当x=1时,S
n
=1
2
+2
2
+3
2<
br>+…+n
2
=
1
n(n+1)(2n+1),当x≠1时,1+2x+
3x
2
+…+nx
n
-1
6
两边同乘以x,得
x
+2x
2
+3x
2
+…+nx
n
=
x?(n?1)
x
n?1
?nx
n?2
两边对x求导,得
(1?x)
2<
br>S
n
=1
2
+2
2
x
2
+3
2
x
2
+…+n
2
x
n
-1
=
1?x?(n?1)
2
x
n
?(2n
2
?2n?
1)x
n?1
?n
2
x
n?2
.
(1?x)
3
23.解:f′(x)=3ax
2
+1.
若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.
若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若a<0,∵f′(x)=3a(x+
1
)·(x-
1
),此时f(x)
恰有三个单调区间.
3|a|3|a|
∴a<0且单调减区间为(-∞,-
1
)和(
1
,+∞),
3|a|3|a|
单调增区间为(-
1
,
1
).
3|a|3|a|
24.解:f′(x)=
a
+2bx+1,
x
(1) 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且
a
+4b+1=0,
2
高中数学导数 第13页 共14页
=<
br>1?(n?1)x
n
?nx
n?1
,
(1?x)
2<
/p>
厚德启智 心怀天下
解方程组可得a=-
2
,b=-
1
,∴f(x)=-
2
lnx-
1
x
2
+x,
3636
(2)f′(x)=-
2
x
-1
-
1x+1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,+∞
)时,f′(x)<0,故在x=1
33
处函数f(x)取得极小值
5
,在x
=2处函数取得极大值
4
-
2
ln2.
633
25.证法
一:∵b>a>e,∴要证a
b
>b
a
,只要证blna>alnb,设f(
b)=blna-alnb(b>e),则
f′(b)=lna-
a
.∵b>a>e
,∴lna>1,且
a
<1,∴f′(b)>0.∴函数f(b)=blna-alnb在(e
,+∞)上是增函数,∴f(b)>
bb
f(a)=alna-alna=0,即blna-a
lnb>0,∴blna>alnb,∴a
b
>b
a
.
证法二:要
证a
b
>b
a
,只要证blna>alnb(e<a<b
)
,即证
在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,
∴f(a)>f(b),即
l
na
?
lnb
,∴a
b
>b
a
.
ab<
br>,设f(x)=
lnx
(x>e),则f′(x)=
1?lnx
<0,
∴函数f(x)
x
x
2
26.解:(1)f(
α
)=
2
?8
a?16?a
,f(
β
)=
2
?8a?16?a
,f(
α
)=f(
β
)=4,
(2)设
φ
(x)=2x
2
-ax-2,则当
α
<x<
β<
br>时,
φ
(x)<0,
f
?
(x)?
??
(
4x?a)
?
(x
2
?1)?(4x?a)(x
2
?1)<
br>?
4(x
2
?1)?2x(4x?a)
?
(x2
?1)
2
(x
2
?1)
2
2(2x
2
?ax?2)2
?
(x)
???0
2222
(
x?1)(x?1)
.
∴函数f(x)在(
α
,
β
)上是增
函数.
(3)函数f(x)在[
α
,
β
]上最大值f(
β
)>0,最小值f(
α
)<0,
∵|f(
α
)·f(β
)|=4,∴当且仅当f(
β
)=-f(
α
)=2时,f(<
br>β
)-f(
α
)=|f(
β
)|+|f(
α
)|取最小值4,此时a=0,f(
β
)=2.
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