高中数学导数专题训练

高二数学导数专题训练
一、选择题
1. 一个物体的运动方程为S=1+t +
t
其中
s
的单位是米，
t
的单位是秒，那么物体在
3
秒末
的瞬时速度是（ ）
A
7
米秒 B
6
米秒 C
5
米秒 D
8
米秒
2. 已知函数
f
(
x
)=
ax
＋
c
,且
f
?
(1)
=2,则
a
的值为（ ）
2
2
A.1 B.
2
C.－1 D. 0
''
3
f(x)
与
g(x)
是定义在R上的两个可导函数 ，若
f(x)
,
g(x)
满足
f(x)?g(x)
,则
f(x)
与
g(x)
满足（ ）
A
f(x)?
2
g(x)
B
f(x)?g(x)
为常数函数
C
f(x)?
g(x)?0
D
f(x)?g(x)
为常数函数
4. 函数
y=x+x
的递增区间是（ ）
A
(??,1)
B
(?1,1)
C
(??,??)
D
(1,??)

5.若函数f(x)在区间（a ，b）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a， b）
内有（ ）
A.
f(x) 〉0
B.
f(x)〈 0
C.
f(x) = 0
D.
无法确定
6.
f' (x
0
)
=0是可导函数
y
=f(x)在点
x
=< br>x
0
处有极值的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
3
7．曲线
f(x)=x+x-2
在
p0
处的切线平行于直线
y=4x-1
，则
p
0
点的坐标 为（ ）
3
A
(1,0)
B
(2,8)

C
(1,0)
和
(?1,?4)
D
(2,8)
和
(?1,?4)

8．函数
y?1?3x?x
有 （ ）
A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3
C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2
9. 对于
R
上可导的任意函数
f(x)
，若满足
(x?1)f(x)?0
，则必有（ ）
A
f(0)?f(2)?2f(1)
B
f(0)?f(2)?2f(1)

C
'
3
f(0)?f(2)?2f(1)
D
f(0)?f(2)?2f(1)

h?0
10.若函数
y?f(x )
在区间
(a,b)
内可导，且
x
0
?(a,b)
则
lim
f(x
0
?h)?f(x
0
?h)

h
的值为（ ）
'''
A．
f(x
0
)
B．
2f(x
0
)
C．
?2f(x
0
)
D．
0

二、填空题
11．函数
y?x?x?x
的单调区 间为___________________________________.
12．已知函数
f(x)?x?ax
在R上有两个极值点，则实数
a
的取值范围是 .
13.曲线
y?x?4x
在点
(1,?3)
处的切线倾斜角为__________.
14.对正整数
n
，设曲线
y? x
n
(1?x)
在
x?2
处的切线与
y
轴交点的纵 坐标为
a
n
，则数列
3
3
32
?
a
n
?
??
的前
n
项和的公式是 .
n?1
??
三、解答题：
15．求垂直于直线
2x?6y?1? 0
并且与曲线
y?x?3x?5
相切的直线方程









16．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？

















32

17．已知
f(x)?ax?bx?c
的图象经过点
(0,1)
，且在< br>x?1
处的切线方程是
42
y?x?2
，请解答下列问题：
（1）求
y?f(x)
的解析式；
（2）求
y?f(x)
的单调递增区间。












18．已知函 数
f(x)?ax
3
?bx
2
?(c?3a?2b)x?d
的图象如图所示．
（I）求
c,d
的值；
（II）若函数
f(x )
在
x?2
处的切线方程为
3x?y?11?0
，求函数
f (x)
的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数
y?f(x)
与< br>y?
有三个不同的交点，求
m
的取值范围．













1
f
?
(x)?5x?m
的图象
3

19．已知函数
f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1
．
（I）当
k?1
时，求函数
f(x)
的最大值；
（II）若函数
f(x)
没有零点，求实数
k
的取值范围；











20.已知
x?1
是函数
f(x)?mx?3(m?1)x?nx ?1
的一个极值点，其中
m,n?R,m?0
，
（1）求
m
与
n
的关系式；
（2）求
f(x)
的单调区间；
（3）当
x?
?
?1,1
?
时，函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m， 求m的取值
范围.


32

参考答案
一、选择题
AABCB ACCDB
二、填空题
1
1
），（1，+∞）递减区间为（
?
，1）
3
3
1
（注：递增区间不能写成：（-∞，）∪（1，+∞））
3
3
12．
(??,0)
13．
?

4
11．递增区间为：（-∞，
14．
2
n?1
?2

y

x?2
??2
n?1
?
n?2?
,切线方程为:y?2
n
??2
n?1
?
n?2?
(x?2)
，
n
令
x?0
，求出切线与
y
轴交点的纵坐标为
y
0
?
?
n?1
?
2< br>，所以
a
n
?2
n
，
n?1
21?2
n
?
a
n
?
则数列
?
?2
n?1
?2

?
的前
n
项和
S
n
?
1 ?2
?
n?1
?
三、解答题：
15．解：设切点为
P(a ,b)
，函数
y?x?3x?5
的导数为
y?3x?6x

'2
32
切线的斜率
k?y|
x?a
?3a?6a??3
， 得
a??1
，代入到
y?x?3x?5

??
32
'2
得
b??3
，即
P(?1,?3)
，
y?3??3(x ?1),3x?y?6?0

16．解：设小正方形的边长为
x
厘米，则 盒子底面长为
8?2x
，宽为
5?2x


V?(8?2x)(5?2x)x?4x?26x?40x


V?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或x?
'2'
32
10
10
，
x?
（舍去）
3
3

V
极大值
?V(1)?18
，在定义域内仅有一个极大值，

?V
最大值
?18

17．解：（1）
f(x)?ax?b x?c
的图象经过点
(0,1)
，则
c?1
，
42
f
'
(x)?4ax
3
?2bx,k?f
'
(1)?4a ?2b?1,

切点为
(1,?1)
，则
f(x)?ax?bx?c
的图象经过点
(1,?1)

得
a?b?c??1,得a?
42
59
59
,b??

f(x)?x
4
?x
2
?1

22
22
310310
?x?0,或x?

1010
（2）
f(x)?10x?9x?0,?
'3

单调递增区间为
(?
18．
解：函数
310310
,0),(,??)

1010
f(x)
的导函数为
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c?3a?2b
…………（2分）
（I）由图可知 函数
f(x)
的图象过点（0，3），且
f
'
(1)?0

?
d?3
?
?
…………（4分）
c?0
?
（II）依题意
f
'
(2)??3
且
f(2)?5

?
d?3
得
?
?
3a?2b?c?3a?2b?0
?
12a?4b?3a?2b??3

?
?
8a?4b?6a?4b?3?5
解得
a?1,b??6

所以
f(x)?x
3
?6x
2
?9x?3
…………（8分）
232
32
（III）
f
?
(x)?3 x?12x?9
．可转化为：
x?6x?9x?3?x?4x?3?5x?m
有三个不等实根，即：
g
?
x
?
?x?7x?8x?m
与< br>x
轴有三个交点；
?
2
?
g?
?
x
?
?3x
2
?14x?8?
?
3x?2
??
x?4
?
，
x

2
??
?
??,
?

3
??
+
增
2

3
0
极大值
?
2
?
4
?

?
，
3
??
-
减
4

0
极小值
?
4，??
?

+
增
g
?
?
x
?

g
?
x
?

?
2
?
68
g
??
??m,g
?
4
?
??16?m
． …………（10分）
327
??
?
2
?
68
?m ?0且g
?
4
?
??16?m?0
时，有三个交点， 当且仅当g
??
?
327
??
68
故而，
?16?m?
为所求． …………（12分）
27
2?x
19．解：（I）当
k?1
时，
f
?
(x)?
x?1
，令
f
?
(x)?0,得x?2
， ………………（2分）
f(x)
定义域为（1，+
?
）
∵当
x?(1,2)时,f
?
(x)?0
，当
x?(2,??)时,f
?
(x)?0
，
∴
f(x)在(1,2)
内是增函数，
在(2,??)
上是减函数
∴当
x?2
时，
f(x)
取最大值
f(2)?0
………………（4分）
（II）①当
k?0时
，函数
y?ln(x?1)< br>图象与函数
y?k(x?1)?1
图象有公共点，
∴函数
f(x)
有零点，不合要求； ………………（8分）
1?k
k(x?)
11?k?kx
k
?k? ??
②当
k?0时
，
f
?
(x)?
………………（6分）
x?1x?1x?1
k?1k?11
令
f
?
(x)?0,得x?
，∵
x?(1,)时,f
?
(x)?0,x?( 1?,??)时,f
?
(x)?0
，
kkk
11
∴
f(x)在(1,1?)
内是增函数，
在[1?,??)
上是减函数，
k k

1
k
∵函数
f(x)
没有零点，∴
?ln k?0
，
k?1
，
因此，若函数
f(x)
没有零点，则实 数
k
的取值范围
k?(1,??)
．………………（10分）
∴
f(x)
的最大值是
f(1?)??lnk
，
20． 解(1)
f
?
(x)?3mx?6(m?1)x?n
因为
x?1是函数
f(x)
的一个极值点,
所以
f
?
(1)?0
,即
3m?6(m?1)?n?0
，所以
n?3m?6

（ 2）由（1）知，
f
?
(x)?3mx?6(m?1)x?3m?6
=
3m(x?1)
?
x?
?
1?
2
2
?
?
?
?
2
?
?
?
?

m
?
?
当
m?0
时，有
1?1?
2
，当
x变化时，
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如下表：
m
2

m
2
??
1?,1
?

?
m
??
1
x

f
?
(x)

2
??
??,1?
??

m
??
1?
?
1,??
?

?0

单调递减
?0

调调递减
0
极小值
?0

单调递增
0
极大值
f(x)

故有上表知，当
m?0
时，
f(x)
在
?
??,1?在
(1?
?
?
2
?
?
单调递减，
m
?
2
,1)
单调递增，在
(1,??)
上单调递减. m
2
（3）由已知得
f
?
(x)?3m
，即
m x?2(m?1)x?2?0

22
22
(m?1)x??0
即x
2
?(m?1)x??0,x?
?
?1,1
?
① < br>mm
mm
12
设
g(x)?x
2
?2(1?)x?< br>，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
mm
又
m?0
所以
x
2
?
22
?
?
g(?1)?0
?
1? 2???0
所以
?
解之得
?
?
mm
g(1)?0
?
?
?
?1?0
4
??m
又
m?0

3
4
所以
??m?0

3
即
m
的取值范围为
?
?,0
?

?
4
?
3
?
?