高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题
题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值
1. 已知函数
f(x)?x?ax?bx?c
过曲线
y?f(x)
上的点
P(1,f(1))
的切线方程为
y=3x+1 。
（1）若函数
f(x)在x??2
处有极值，求
f(x)
的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数
y?f(x)
在[－3，1]上的最大值；
（3）若函数
y?f(x)
在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
解：（1）极值的求法与极值的性质
（2）由导数求最值
（3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图





2. 已知
f(x)?
(1)当
|a| ?
32
2
3
x?2ax
2
?3x (a?R).

3
1
时, 求证：
f(x)
在
(?1, 1)
内是减函数;
4
(2)若
y?f(x)
在
(?1, 1)
内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.
解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图
（2）草图——讨论








题型二：利用导数解决恒成立的问题
322例1：已知
f(x)?x?6ax?9ax
（
a?R
）．
（Ⅰ）求函数
f(x)
的单调递减区间；
（Ⅱ）当
a?0
时，若对
?x?
?
0,3
?
有
f(x)?4
恒成立 ，求实数
a
的取值范围．

例2：已知函数f(x)?e
2x
?2t(e
x
?x)?x
2
?2t< br>2
?1
，
g(x)?
1
f
?
(x)
．
2
（1）证明：当
t?22
时，
g(x)
在
R
上是增函数；
（2）对于给定的闭区间
[a，b]
，试说明存在实数 k
，当
t?k
时，
g(x)
在闭区间
[a，b]
上
是减函数；
（3）证明：
f(x)≥
3
．
2
解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0)
(3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1
讨论太难 分界线即1-t^28=0
做不出来问问别人，我也没做出来




例3：已知
f
(
x
)
?x
ln
x
,
g
(
x
)
??x
2
?ax?
3

（1）求函数
f(x)
在
[t,t?2](t?0)
上的最小值
（2）对
?x?(0,??),2f(x)?g(x)
恒成立，求实数a的取值范围
解：讨论点x=1e 1e（2）

题型三：利用导数研究方程的根
例4：已知函数
f(x)?ax
3
?3x
2
?1?
3
.
a

（Ｉ）讨论函数
f(x)
的单调性；
（Ⅱ）若曲 线
f(x)
上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实
数 a的取值范围.






例5：已知函数< br>f
(
x
)
?ax?bx?
3
x
(
a
,
b?R
)
，在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y?2?0.

（1）若对于区间
[?2,2]
上任意两个自变量的值x
1
,x
2
，都有
|f(x
1
)?f(x2
)|?c
，求实数
c
的最小值。
（2）若过点
M( 2,m)(m?2)
，可作曲线
y?f(x)
的三条切线，求实数
m
的取值范围。












32
题型四：导数与不等式的综合
例6：已知函数
f(x)?











lnx?1
当
x?1
时，求证：
f(x)?1

x