高中数学导数知识点归纳的总结及例题

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导 数

考试内容：
导数的背影．导数的概 念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的
最大值和最小值．考试要求：（1） 了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意
义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y =xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）
理解极大值、极小值、最大值、最小值 的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大
值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会 利用导数求某些简单实际问题的最大值
和最小值．

§14. 导 数 知识要点

导数的概念 导数的几何意义、物理意义
常见函数的导数
导数的运算法则
函数的单调性
函数的极值
函数的最值


导
数
导数的运算



导数的应用


1. 导数（导函数的简称）的定义：设
x
0
是函数
y?f(x)
定义域的一点，如果自变量
x
在
x
0
处
有增量
?x
，则函数值
y
也引起相应的增量< br>?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
；比值
?y< br>f(x
0
??x)?f(x
0
)
称为函数
y?f(x )
在点
x
0
到
x
0
??x
之间的平均变化 率；如果极限
?
?x?x
f(x
0
??x)?f(x
0)
?y
存在，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，并把这个极限叫做
?lim
?x?0
?x
?x?0
?xlim
记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
，即
f
'
(x
0
)
=
lim
y?f(x)
在
x
0
处的导数，
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?li m
?x?0
?x
?x?0
?x
注：①
?x
是增量， 我们也称为“改变量”，因为
?x
可正，可负，但不为零.
②以知函数
y? f(x)
定义域为
A
，
y?f
'
(x)
的定义域为
B
，则
A
与
B
关系为
A?B
.
2. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续与点
x< br>0
处可导的关系：
⑴函数
y?f(x)
在点
x
0< br>处连续是
y?f(x)
在点
x
0
处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果
y?f(x)
在点
x
0
处可导，那么
y?f(x)
点
x
0
处连续.
事实上，令
x?x
0
??x
，则
x?x
0
相当于
?x?0
. 于是
limf(x)?limf(x
0
??x)?lim[f(x?x
0
)?f(x
0
)?f(x
0
)]

x?x
0
?x?0?x?0
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f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x
0
??x) ?f(x
0
)
??x?f(x
0
)]?lim?lim?limf( x
0
)?f
'
(x
0
)?0?f(x
0
) ?f(x
0
).
?x?0?x?0?x?0?x?0
?x?x
⑵如果
y?f(x)
点
x
0
处连续，那么
y?f(x)
在 点
x
0
处可导，是不成立的.
?lim[
例：
f(x)? |x|
在点
x
0
?0
处连续，但在点
x
0
?0
处不可导，因为
?y?y?y
不存在.
?1
；当
?x
＜0时，
??1
，故
lim
?x?0
?x?x?x
?y
|?x|
，当
?x
＞0时，
?
?x?x
注：① 可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的 几何意义就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x))
处 的切线的斜率，
也就是说，曲线
y?f(x)
在点P
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率是
f
'
(x
0
)
，切 线方程为
y?y
0
?f
'
(x)(x?x
0
).< br>
4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)
'
?u
'?v
'
?y?f
1
(x)?f
2
(x)?...?f< br>n
(x)?y
'
?f
1
'
(x)?f
2'
(x)?...?f
n
'
(x)

(uv)
'
?vu
'
?v
'
u?(cv)
'
?c
'
v?cv
'
?cv
'
（
c
为常数）
vu
'
?v
'
u
?
u
?
(v?0)

??
?
v
2
?
v
?
'
注：①u,v
必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数 均不可导，则它们的和、差、
积、商不一定不可导.
22
例如：设
f(x) ?2sinx?
，
g(x)?cosx?
，则
f(x),g(x)
在
x?0
处均不可导，但它们和
xx
f(x)?g(x)?
sinx? cosx
在
x?0
处均可导.
5. 复合函数的求导法则：
fx
'
(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(x)
或
y
'
x
?y
'
u
?u< br>'
x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如 果
f
'
(x)
＞0，则
y?f(x)
为
增函数；如 果
f
'
(x)
＜0，则
y?f(x)
为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数
y?f(x)
在区间
I
内恒 有
f
'
(x)
=0，则
y?f(x)
为常数.
注 ：①
f(x)?0
是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如
y?2x
3
在
(??,??)
上并不是
都有
f(x)?0
，有一个点 例外即x=0时f（x） = 0，同样
f(x)?0
是f（x）递减的充分非必
要条件.
②一般地，如果 f
（
x
）
在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（ x）
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在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在
x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＜
f(x
0
)< br>，则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极大值，极小值同 理）
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
①如 果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0，右侧
f
'
(x)
＜0，那么
f(x
0
)
是极大值；
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0 ，右侧
f
'
(x)
＞0，那么
f(x
0
)
是极小值.
也就是说
x
0
是极值点的充分条件是
x
0点两侧导数异号，而不是
f
'
(x)
=0. 此外，函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点.

当然，极值是一个局部概 念，极值点的大小关系是不确
定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
②
注①： 若点
x
0
是可导函数
f(x)
的极值点 ，则
f
'
(x)
=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函
数，其 一点
x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如： 函数
y?f(x)?x
3
，
x?0
使
f
'
(x)
=0，但
x?0
不是极值点.
②例如：函数
y?f(x)? |x|
，在点
x?0
处不可导，但点
x?0
是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进
行 比较.注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
'
I.
C
'
?0
（
C
为常数）
(sinx)?cosx

(arcsinx)?
'
1
1?x
2

(x
n
)
'
?nx
n?1
（
n?R
）
(cosx)
'
??sinx

(arccosx)
'
??
1
1?x
2

II.
(lnx)
'
?
1
'
11

(log
a
x)
'
?log
a
e

(arctanx)?
2

xx
x?1
1
x?1< br>2
(e
x
)
'
?e
x

(a
x
)
'
?a
x
lna

(arccotx)
'
??
III. 求导的常见方法：
①常用结论：
(ln|x|)
'
?

(x?a
1< br>)(x?a
2
)...(x?a
n
)
1
.②形如y?(x?a
1
)(x?a
2
)...(x?a
n
)< br>或
y?
两
(x?b
1
)(x?b
2
)... (x?b
n
)
x
边同取自然对数，可转化求代数和形式.
③无理函 数或形如
y?x
x
这类函数，如
y?x
x
取自然对数之后可 变形为
lny?xlnx
，对两边
y
'
1
求导可得
?lnx?x??y
'
?ylnx?y?y
'
?x
x
lnx ?x
x
.
yx
导数中的切线问题
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例题1：已知切点，求曲线的切线方程
曲线
y?x
3
?3x
2
?1
在点
(1，?1)
处的切线 方程为（ ）



例题2：已知斜率，求曲线的切线方程
与 直线
2x?y?4?0
的平行的抛物线
y?x
2
的切线方程是（ ）




注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用
?
法加以解决，即设切线方程为
y?2x?b
，
代入
y?x
2
，得
x
2
?2x?b?0
，又因为
??0
，得< br>b??1
，故选Ｄ．
例题3：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
求过曲 线
y?x
3
?2x
上的点
(1，?1)
的切线方程．






例题4：已知过曲线外一点，求切线方程
1
求过点
(2，0)
且与曲线
y?
相切的直线方程．
x






练习题： 已知函数
y?x
3
?3x
，过点
A(0，

16)
作曲线
y?f(x)
的切线，求此切线方程．
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看看几个高考题



1 .（2009全国卷Ⅱ）曲线
y?
x
在点
?
1,1
?
处的切线方程为
2x?1
2
2.（2010江西卷）设函数
f(x)?g( x)?x
，曲线
y?g(x)
在点
(1,g(1))
处的切线方程为

y?2x?1
，则曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1) )
处切线的斜率为
3.（2009宁夏海南卷）曲线
y?xe?2x?1
在点（0,1）处的切线方程为 。
4.（2009浙江）（本题满分15分）已知函数
f(x)?x?(1?a)x?a(a ?2)x?b

(a,b?R)
．
（I）若函数
f(x)
的图象过原点，且在原点处的切线斜率是
?3
，求
a,b
的值；
5.（2009北京）（本小题共14分）
设函数
f(x)?x?3ax?b(a?0)
.
（Ⅰ）若曲线
y? f(x)
在点
(2,f(x))
处与直线
y?8
相切，求
a ,b
的值；




3
32
x
.1 函数的单调性和导数

1．利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地，设函数
y?f(x)
在某个区间可导，
如果在这个区间内
f(x)?0
，则
y?f(x)
为这个区间内的 ；
如果在这个区间内
f(x)?0
，则
y?f(x)
为这个区间内的 。
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f ?(x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式f ?(x)＜0，得函数的单调递减区间．

【例题讲解】
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'
'

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a)





b)
求证：
y?x?1
在
(??,0)
上是增函数。
3
确定函数f(x)=2x
3
－6x
2
+7在哪个区间内是增函数，哪个区间 内是减函数.








【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x
3
－9x
2
+24x (2)y=3x－x
3







２．已知函数
f(x)?xlnx
，则（ ）
A．在
(0,??)
上递增 B．在
(0,??)
上递减
?1
??
1
?
?
e
??
e
?
3 2
３．函数
f(x)?x?3x?5
的单调递增区间是_____________．
C．在
?
0,
?
上递增 D．在
?
0,
?
上递减











函数图象及其导函数图象
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1. 函数
y?f(x)
在定义域
(?
3
其图象如
,3)
内可导，
2

图，记
y?f(x)
的导函数为
y?f(x)
，则不等
式
f(x)?0
的解集为_____________
2. 函数
f(x)
的定义域为开区间
(?

3
,3)
，导函数
2
y?f
?
(x)

3
f
?
(x)
在
(? ,3)
内的图象如图所示，则函数
f(x)
2
的单调增区间是_______ ______


3.
如图为函数
f(x)?ax
3< br>?bx
2
?cx?d
的图象，
f'(x)
为函数
f( x)
的导函数，则不等式
x?f'(x)?0
的解集为_____ _

-3
o
3
y
x

4. 若函数
f(x)?x?bx?c
的图象的顶点在第四象限，则其导函数
f'(x)
的图象是（ ）
2


5. 函数
y?f(x)
的图象过原点且它的导 函数
f'(x)
的图象是如图所示的一
条直线，则
y?f(x)
图象 的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
y
6. (2007年广东佛山)设
f
?
(x)
是函数
f(x)
的导函数,
y?f
?
(x)
的图< br>y
）
y
象如右图所示，则
y?
y
f(x)
的图象最有可能的是（





7. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f ?(x)的图象可能
为( )
O
1
2
A
x
O
1
2
B
x
O
1
C
2
y
O
1
2
x
y?f
?
(x)

x
O
1
2
D
x
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8. （安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数
y?f(x)
的图像如下右图< br>所示，则
y?f
?
(x)
的图像可能是 （ ）

9. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已
y
o
x
(x)?ax
2
?bx?c
的图象如右图，则知函数
f (x)
的导函数
f
?
f(x)
的图象可能是( )


10. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一
容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度
h
随时间
t
变化的可 能图象是（ ）


hhh



OtOtO

(A) (B) (C)
正视图侧视图
h
俯视图
t
Ot
'
(D)
11. (2008广州二模文、理)已知二次函数
f
?
x
?
的图象如图1所示 , 则其导函数
f
象大致形状是（ ）
?
x
?
的图
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12. （2009湖南卷文）若函数
y?f(x)
的导函数在区间
[a,b]
上是增函数，则函数
y?f(x)
．．．
在区间
[a, b]
上的图象可能是
y y
y
( )
y
o
a b
x
o
A
．
B
．
C
．
D
．
a
o
b
x
a
o
b
x
a
b
x

13.
（福建卷11）如果 函数
y?f(x)
的图象如右图，那么导
函数
y?f
?
(x )
的图象可能是
( )

14. （2008年福建卷12)已知 函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么
y=f(x),y=g(x)的图象可能 是 （ ）

15. (2008珠海一模文、理)设
f'(x)
是函数
f(x)
的导函数，将
y?f(x)
和
y?f'(x)
的图
像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
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A．

B． C． D．
y

16. (湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
则（ ）
y?f(x)
的导函数
y?f
?
(x)
的图像如下，
函数
f(x)
有1个极大值点，1个极小值点
f(x)
有2个极大值点，2个极小值点
函数
f(x)
有3个极大值点，1个极小值点
函数
f(x)
有1个极大值点，3个极小值点
函数
?
1< br>x
x
?
2
?
x
3
O
?
4
x
x


17. (2008珠海质检理)函数
f(x)
的定义域为
(a,b)
，其导函数
f
?
(x)在(a,b)
内的图象如图所示，则函
数
f(x)
在区间
(a,b)
内极 小值点的个数是（ ）
(A).1 (B).2 (C).3 (D).4


1
2
18. 【湛江市·文】函数
f(x)?lnx?x
的图象大致是
2






y
O
x
y
O
x
y
y
O
x
O
x
A
．
B
．
C
．
D
．

2
19. 【珠海·文】如图是二次函数
f(x)?x?bx?a
的部分图
象，则函数
g(x)?lnx?f
?
(x)
的零点所在的区 间是 （ ）
111
422
C.
(1,2)
D.
(2,3)




A.
(,)
B.
(,1)

20. 定义在R上的函数
f(x)
满足
f(4)?1
．
f
?
(x)
为
f(x)
的导函
数，已知函数
y?f
?
(x)
的图象如右图所示.若两正数
a,b
满足
y
b?2
f(2a?b)?1
，则的取值范围是 （ ）
a?2
O
x
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1111
)
B．
(??,)
?
3,??
?
C．
(,3)
D．
(??,?3)
A．
(,
32
2
2
21. 已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx
在点
x
0
处取得极大值
5
，
其导函数
y?f'(x)
的图象经过点
(1,0)
，
(2,0)
，如图所
示.求：
（Ⅰ）
x
0
的值；
（Ⅱ）
a,b,c
的值.








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