高中数学《导数的概念》公开课优秀教学设计

课题：导数的概念
一、教学内容解析
《导数的概念》是《选修2 -2》第一章第1.1节中第1.1.2小结的内容，是高中数学的一节概念课.数学
学习离不开推理， 推理离不开判断，而判断是以一切概念为基础的.因此，数学教师必须要重视概念的教学.
纵观《导数 及其应用》这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法简化了中学数学中许多与函
数相关的问题. 导数的出现也为我们今后微积分的发展提供了方法和工具，从而使得它在其它学科领域也有
了广泛的应用 .但我们又不能将导数作为一种规则和步骤来学习，否则，学生很难体会导数的思想及其内涵，
这样导数 概念的学习就至关重要.
一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很 难理解极限的形式化定
义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义 导数.
我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将瞬时速度一般化，即抽 象为
一般的函数，从而形成导数的概念.
第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速 度的区别和联系.让学生在观察实验的同时，体会
当
|?t|
变小，趋于
0< br>时，
?s
趋于一个定值，这个定值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过程中，
?t
第一次体会逼近的数学思想.
第二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表 达式，完全转化为数学问题，在揭示研究瞬时变化
率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均变化 率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法.
最后，建立导数的概念.
因此，根据以上 对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历导数概念的建立过程中，体
会逼近的数学思想， 理解导数的思想及其内涵.
二、教学目标
1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察 、数值逼近、几何直观感受、解析式抽象、类比等方法
体会数学概念的发生和形成.
2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导数的概念.
3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴趣.
三、学生学情分析
1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变 化率就是物体的运动速度.学生
在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的 物理课程中学习过瞬时速度，因此，
学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从.

1

< br>2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如
借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，
从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在 时
间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过 程学
生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的 计算，
在计算过程中，充分感知当
|?t|
趋于
0
时，
?h ?y
趋于一个定值；当
|?x|
趋于
0
时，趋于一个定值.（3）< br>?t?x
在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过 渡中所运用的“逼
近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确 定点的瞬时变化率
的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会 导致学生的不适应
而产生困难.
因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识 经验，通过“逼近”的方法，由特殊到
一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点.
四、教学策略分析
根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教 师问题引导，学生自主探
究、归纳的教学方法.具体的策略有:
1.从具体到抽象的教学方法 .学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经平均速度到瞬时速
度的过渡，再把物体的运动变 化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时变化率的概念.
2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道< br>t?2
是的瞬时速度以后，直观地理解运动员在任意时刻
t
的
瞬时速度 .同样，在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率之后，可以归纳出一般函数在任意一
点的瞬 时变化率.
3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”.
4.利用计算器进行分组合作，取不同的
?t
，
?x
，计算






预教教师活动
2
?h?y
以及的值.
?t?x
学生活动 教学评价

计学
时内
间 容



15
分
钟

讲授：上节课我们通过气球膨胀率、高台跳水的实例，

1

建立起了平均变化率的概念.也请大家计算了高台跳水运动员
回

65
顾
在
0?t?
这段时间里的平均速度.

复
49
65
习

经过计算，大家发现运动员在
0?t?
这段时间里的

49
学生思考.
实
平均速度是0.难道说运动员在这段时间是静止的？

例
显然，运动员在这段时间里不是静止的.由此可见，用平均

研
究

速度描述运动员的运动状态是有一定的局限性.所以我们说

“平均速度”只能粗略地描述运动员的运动状态.还有一种速
度，它能更精确地刻画运动员在每 个时刻的运动状态，我们
称之为：瞬时速度.
那如何求运动员的瞬时速度呢？比如，高台跳水 运动员
在
t?2s
时的瞬时速度是多少呢？大家有没有好的想法？
讲授：我们来看物理中测瞬时速度的小视频.







问：观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工作原理
是什么？




问：这里所得的真是瞬时速度吗？为什么？
.
问：对，也就是我们很难测量到真正的瞬时速度，我们
测量到的是千分之一，万分 之一秒，以致更短时间间隔内的



答：时间间隔越


学生思考.找
不到好的方法来求
运动过程中的瞬时
速度.






根据已有的物
理知识，学生回答
仪器是通过测量气
轨上滑块在
?t
时
间内滑过的距离



?s
，用
得.
?s
计算而
?t


学生回答不是.
组织学
生讨论、交
流计算结
果，激发学
生的求知
欲.明确本
节课的教学
内容.


平均速
度为0？通
过计算结果
与学生的认
知产生冲
突.








在实例观
察中，感受
逼近的思
想，为求瞬
时速度奠定
基础.












3

小越好.使得
?t
变
小.
讲授：对.那如果我们想求高台跳水运动员在
t?2s
时的

瞬时速度，就考 察
t?2s
附近的情况，在
t?2
之前或者之后，

任意取一个时刻
2??t
.
?t
可以是正直，也可以是负值，但不


为
0
当
?t
取不同值时，计算平均速度

?hh(2??t)?h(2)
.
v??

?t?t
学生 利用计算
我们先看运动员在
[2??t,2]
内的平均速度.请看表格：
器 ，分小组合作.每
个小组随意选择几
个
?t
的值，计算
[2+Δt, 2] 平均速度
Δt<0
平均速度. 那如何使得平均速度更接近瞬时速度呢？

[1.9,2]
[1.99,2]
[1.999,2]
[1.9999,2]
[1.99999,2]
[1.999999,2]
[1.9999999,2]
-0.1
-0.01
-0.001
-0.0001
-0.00001
-0.000001
-0.0000001
-13.051
-13.0951
-13.09951
-13.099951
-13.0999951
-13.09999951
-13.09999995
?h
的值.
?t


答：当
?t
趋近
于
0
时 ，从2的右
边接近2时，平均
速度趋于一个确定
的值
?13.1
.











答：当
?t
趋近
于
0
时，从2的左
边接 近2时，平均
速度趋于一个确定
的值
?13.1
.
学生回答.


大家发现了什么特点？
再看运动员在内在
[2,2??t]
的平均速度.请看表格：
[2,2+Δt]
[2,2.1]
[2,2.01]
[2,2.001]
[2,2.0001]
[2,2.00001]
[2,2.000001]
[2,2.0000001]
Δt>0
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.0000001
平均速度
-13.149
-13.1049
-13.10049
-13.100049
-13.1000049
-13.10000049
-13.10000005
大家有发现了什么特点？
通过这两个表格的对比，你们发现了什么？
对，当
?t
趋近于0时，即无论从
2
的左边，还是右边，

4

趋近于
2< br>时，平均速度都趋近于一个确定的值
?13.1
.我们就
把
?13.1

讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在
t?2s
附近，平均速度逼 近一个确定的常数.那其他时刻呢？比如
t?2.5s
、
t?3s
等？ 请大家按照刚才我们探究
t?2s
时的过程，用你手中的
计算器，分别计算
t?2.5s
、
t?3s
这两个时刻附近的平均速
度.请两个同学把小组计 算出来的数据输入Excel表格.








学生分组合
作，思考、计算、
讨论.






学生总结计算
结果.
t?2.5s
附近的平均速度变化：
t?3s
附近的平均速度变化：







讲授：经过以上三个时 刻的计算，大家都发现：当时间
间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠近时，就逼近了
一个 时刻，我们就把平均速度用为瞬时速度的近似值.
之前我们在学习函数零点的时候，利用“二分法”逼近
函数零点. 今天，根据上面的讨论，我们又用平均速度逼近了
瞬时速度，这都体现了我们数学中无限逼近的思想.









让学生
熟悉符号，
在亲自计算
的过程中感
受逼近的思
想.










从 特殊
到一般，让
学生直观地
理解运动员
在任意时刻
t
的瞬时 速
度.

讲授：对于高台跳水运动员的运动时刻，我们有这样的
5

10
分
钟
2
结论，那其他运动会吗？如果我们把运动员的运动变化抽象
自
主
为一个函数，也有这样的结论吗？其实，物体的运动变化量
?h
探
可以抽象成一个函数
y?f(x)
，这样我们用到的就可以
究
?t
?y?y

用一个跟为一般烦人表达式来表达，而就是我们上节
形
?x?x
成
课所学的平均变化率.我们可以用它来刻画一个函数在某个区
概
念

间的变化趋势.

问：那如何更好地刻画一个函数的变化趋势呢？
为了探讨这个问题，我们来做这样的两个实验活动：
2
实验活动1：求函数
y?x
，
y?x
，
y?













答：根据平均
变化率的公式








这个计
算与学生的
认知发生了
冲突。同时
也让 学生认
x
从
0
到
1
的
平均变化率？
问：是不是这三个函数在0到1的变化趋势是一样的呢？









讲授：由此可见，正如平均速度只能粗略反映物 体在某
个时间段的运动状态，而要想更为精确的刻画物体在某个时
刻的运动状态，我们只能通过 瞬时速度.由此类比，对于函数
来说，平均变化率也只能粗略的描述函数的变化趋势，那如
何精 确的描述函数的变化呢？
问：那如何求函数在某一点处的瞬时变化率呢？
讲授：下面我们就 做另一个实验活动，看一下，当
?x
缩
短时，平均变化率发生了什么样的变化？请大家 分组合作.
?yf(x
2
)?f(x
1
)
?
识到 平均变
?xx
2
?x
1

计算得这三个函
数在同一个变化区
间上平均变化率都
是
1
.
但根据图像发
现这三个函数在0
到1的变化趋势是
不一样的.



答： 瞬时变化
率.



答：把区间
?x
缩短.






化率只能粗
略的描述函
数的变化.




由上面从
平均速度到
瞬时速度的
过渡，由对
瞬时速度的< br>形成和理
解，学生很
容易联想到
可以用一个
词，叫做“瞬
时变 化率”。
用它可以精
确的描述函
数在某一个
点的变化趋

6

2
实验活动2：已知函数
f(x)?x
，分别计算f(x)在下列
区间上的平均变化率：








学生分组合
作，计算结果，得
出结论.要 求一个小
组展示成果，表达
对结果的看法.

经过计算，学生
势.这体现
了类比的思
想方法.




学生在
上一个问题
中遇到了认
知冲突，希
望寻 求新的
认知来解决
这个冲突。
老师提出的
这个实验活
结论：





用几何画板演示：







讲授：我们就把2记作是
f(x)?x
在
x?1
处的瞬时变
化率，用数学语言表达就是
lim
2
会发现当两个区间
的端点无限靠近，
即
?x
逼近
0
时，平
均变化率都逼近一
个确定的值
2
，即
瞬时变化率.









自己尝试来写.
学生自己归纳
总结.体会由特殊到
一般的思想方法


动引导学生
通过计算，
自主探究，
使得获得新
知的过程自
然而然。





引导学
生舍弃具体
问题的实际
意义，完全
抽象为数学
问题.在函
?x?0< br>f(1??x)?f(1)
?2
.
?x
讲授：这样，我们就实现了从 平均变化率到瞬时变化率的
过渡.得到了一个具体函数
f(x)?x
在
x?1
处的瞬时变化
率.问：那对于任意一个函数
f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率该
怎么表示？
讲授：一般地，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率
2

7

是 ：
lim
?yf(x
0
??x)?f(x
0
)

?
?x?0
?x?x


数知识的迁
移下，学生
能顺利地表
示出一般函
数：
我们称 它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或


y
?
|x?x
0
。即：
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
?yf(x
0
??x)?f(x
0
)
?

?x?x

y?f(x)
在
x?x
0
处
的瞬时变化
率.
瞬时变化率和导数是同一个概念的两个名称。

7
分
钟

认识符
问：
f(x
0
)
，
f
?
(x
0
)
，
y
?
|x?x
0
， 这三个符号分别是什
3
答：
f(x
0
)
是函
号， 从函数
概
x?x
数在
f(x)
0
括
么意思？
的角度出
处的函数值，
提
发，找到这

?
f(x)
或
升
0
三个符号的

y
?
|x?x
0
是函数

区别和联
理
在
y?f(x)
解
系.
x?x
处的导数.
0

内

涵


问：至此，导数的定义就完全展现给大家了.那我们如何
求一个具体问题的导数呢？ 计算课本第六页的例1.

计算例1，在
第
3h
和第
5h
时，
原油温度的瞬时变
化率，并说明他们
的意义.


熟悉导
数的定义，
进一步巩固
导数的计算
方法.





8
分
钟
4
梳
理
知
识

布
置
作
业
问：
1.为什么要研究平均变化率和导数？
2.导数形成的过程是什么？从中学到了什么方法？
3.求导数的依据是什么？步骤是什么？
4.布置作业.
（1）教科书习题1.1A组第2、3、4、5题；
学生和老师共
同回答.

整理本
节所学的核
心概念、基< br>本技能，概
括研究方法
以及其中蕴
含的数学思
想.

8

（2）求函数
f(x)??x
在
x??1
处的导数.
（3）结合课本第4页的“思考”，以及本节课用到的几
何画板演示，思考导数的几何意义.
讲授：经过我们的探究，我们从生活中的实例到具体的
函数，由特殊到一般，运用类比的思想方 法，由平均速度逼
近瞬时速度，再由平均变化率逼近了瞬时变化率，从而得到
了函数在某一点处 的导数。导数的思想方法就是通过函数在
某一点附近的变化状态，揭示这一点处的变化状态，也揭示函数的本质
。


2

9