高中数学导数与积分题型大总结

导数的应用
1．函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性
注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件 ，如f(x)=x3在R内是增
函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函 数，解题时就必须写f'(x)≥0。
(2)求函数单调区间的步骤 ①确定f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，
f(x)在相应区间上是增函数； 当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②极大值与极小值判断
3．求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；
④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那 么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处
取得极小值．
4．函数的最值
(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值（或最小值）是在(a，b )内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是
个极大值（或极小值），它是f(x)在(a， b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a，
b］的端点a或b处 取得，极值与最值是两个不同的概念．
(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
7. 注意事项
（1）函数图像看增减，导数图像看正负。
（2）极大值不一定比极小值大。
高阶导数的求法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 一般用来寻找解题方法。
【例题解析】
考点1 导数的概念【例1】．
f< br>?
(x)
是
f(x)?
1
3
x?2x?1
的 导函数，则
f
?
(?1)
的值是 ．
3
【例2】.设函数
f(x)?
x?a
,集合M=
{x|f(x)?0}
,P=
{x|f
'
(x)?0}
,若MP,则实数a的取值范围是 ( )
x?1
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x) 在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线 ：若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
【例3】.已知函数
（I）求
a
数
2
11
，
，(1，3]
内各有一个极值点．
f(x)?x
3
?ax
2?bx
在区间
[?11)
32
2
（II）当
a?4b? 8
时，设函数
y?f(x)
在点
A(1
?4b
的最大值；< br>，f(1))
处的切线为
l
，若
l
在点
A
处 穿过函
，求函数
f(x)
的表达
y?f(x)
的图象（即动点在点< br>A
附近沿曲线
y?f(x)
运动，经过点
A
时，从
l
的一侧进入另一侧）

式．
解答过程：（I）因为函数
11< br>f(x)?x
3
?ax
2
?bx
32
在区间
[?11)，
，
(1，3]
内分别有一个极值点，所以
2
，则
x
2
?x
1
?a?4b
，
f
?
(x)? x
2
?ax?b
?0
在
[?11)，
，
(1，3]
内分别有一个实根，设两实根为
x
1
，x
2
（
x< br>1
?x
2
）
且
0?x
2
?x
1≤4
．于是
0?a
2
?4b≤4
，
0?a
2
?4b≤16
，且当
x
1
??1，
x
2
? 3
，即
a??2
，
b??3
时等号成立．故
a
2< br>?4b
的最大值
是16．（II）解法一：由，即
f
?
(1) ?1?a?b
知
f(x)
在点
(1，f(1))
处的切线
l
的方程是
y?f(1)?f
?
(1)(x?1)
，因为切线
21
y?(1?a?b)x??a
32
l
在点
A(，1f(x
处过
y?f(x)
的图象，所以
21
g(x)?f(x)?[(1?a?b )x??a]
32
g(x)
?
在
x?1
两边附近的函数值异 号，则
x?1
不是
g(x)
的极值点．而
1
3
1< br>2
21
x?ax?bx?(1?a?b)x??a
，且
3232g
?
(x)?x
2
?ax?b?(1?a?b)?x
2
?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)
．若
1??1?a
，则
x?1< br>和
x??1?a
都是
1
3
x?x
2
?x．
3
2113a3
2
解法二：同解法一得
g(x)?f(x) ?[(1?a?b)x??a]?(x?1)[x?(1?)x?(2?a)]
．因为切线
l< br>在点
32322
g(x)
的极值点．所以
1??1?a
，即< br>a??2
，又由
a
2
?4b?8
，得
b??1
，故
f(x)?
．
A(1，f(1))
处穿过
y?f(x)的图象，所以
g(x)
在
x?1
两边附近的函数值异号，于是存在
m
1
，m
2
（
m
1
?1?m
2
）
当
m
1
?x?1
时，
g(x)?0
，当
1?x?m
2
时，
g(x)?0
；或当
m
1
?x? 1
时，
g(x)?0
，当
1?x?m
2
时，
g(x )?0
．
3a
??
3a
??
?x
2
?< br>?
1?
?
x?
?
2?
?
，则当
m< br>1
?x?1
时，
h(x)?0
，当
1?x?m
2时，
h(x)?0
；或当
m
1
?x?1
2
?< br>2
???
设
h(x)
时，
h(x)?0
，当
1?
所以
a??2
，又由
a
2
x?m
2
时 ，
h(x)?0
．由
h(1)?0
知
x?1
是
h( x)
的一个极值点，则
h(1)?2?1?1?
?4b?8
，得
b? ?1
，故
f(x)?
3a
?0
，
2
1
3
x?x
2
?x
．
3
【例 4.】若曲线
y?x
4
的一条切线
l
与直线
x?4y?8? 0
垂直，则
l
的方程为（ ）
A．
4x?y?3?0
B．
x?4y?5?0

C．
4x?y?3?0
D．
x?4y?3?0

【例5】．过坐标原点且与x+y
22
-4x+2y+
5
=0相切的直线的方程为 ( )
2
A.y=-3x或y=
1
x B. y=-3x或y=-
1
x C.y=-3x或y=-
1
x D. y=3x或y=
1
x
3333
【例6】已知两抛物线
C
1
:y?x
2
?2x,C
2
:y??x
2
?a,
a
取何值时
C
1
，
C
2
有且只有 一条公切线，求出此时公切线的方程.

解答过程：函数
y?x
2?2x
的导数为
y
'
?2x?2
，曲线
C
1< br>在点P(
x
1
,x
1
2
?2x
1
) 处的切线方程为
y?(x
1
2
?2x
1
)?2(x
1
?2)(x?x
1
)
，
即
y?2(x
1
?1)x?x
1
2
①曲线
C
1
在点Q
(x
2
,?x
2
2
?a)
的切线方程是
y?(?x
2
?a)??2x
2
(x?x
2
)
即
y??2x2
x?x
2
2
?a
②
若直线
l
是过 点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是
l
的方程，故得
x
1
?1 ??x
2
,?x
1
2
?x
2
2
?1
，消去
x
2
得方程，
2
2x
1
?2x
1
?1?a?0
若△=
4?4?2(1?a)?0
，即
a??
1
时，解得
x
1
??
1
，此时点P、Q重合.∴当时a??
1
，
C
1
和
C
2
有
2 22
且只有一条公切线，由①式得公切线方程为
y?x?
1
.
4
考点3 导数的应用1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.
典型例题
【例7】.函数
f(x)
定义域为开区间
(a,b)
，导函数
f?
(x)
在
(a,b)
内图象如图，则函数
f(x)
在 开区间
(a,b)
内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个D． 4个
【例8】 设函数
f(x)?2x
3
?3ax
2
?3bx? 8c
在
x

?1
及
x?2
时取得极值．

y
y?f
?
(x)
（Ⅰ）求a
、
b的值；（Ⅱ）若 对于任意的
x?[0，3]
，都有
围．
解答过程：（Ⅰ）
f(x)?c
2
b
成立，

a
O


x
求c的取值范

f
?
(x)?6x
2
?6ax?3b
，因为函数
f(x)
在x?1
及
x?2
取得极值，则有
f
?
(1)?0
，
f
?
(2)?0
．即
得
?
6?6a?3b?0 ，
解
?
24?12a?3b?0
．
?
a??3
，< br>b?4
．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
f(x)?2x
3
?9x
2< br>?12x?8c
，
f
?
(x)?6x
2
?18x?1 2?6(x?1)(x?2)
．当
x?(01，)
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(12，)
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(23，)
时，
f
?
(x)?0
．所以，当x?1
时，
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c
，又
f(0)?8c
，
f(3)?9?8c
．
则当
x?
解得
2
3
?
时，
f(x)
的最大值为
f(3)?9?8 c
．
3
?
，因为对于任意的
x?
?
0，
有
f(x)?c
恒成立，所以
?
0，

9?8c?c
2
，
c??1
或
c?9
，因此
c
的取值范围为< br>(??，?1)?(9，??)
．
【例9】函数
y?2x?4?x?3
的值域是_____________.
解答过程：由
?
?
2x?4?0
得，
?
x?3?0
x??2
，即函数的定义域为
[?2,??)
.
y'?
，
?
当
x??2
时，
y'?0
，
1
2x?4
?
1
2x?3
?
2x?3?2x?4
，
22x?4?x ?3
又
2x?3?2x?4?
2x?8
2x?3?2x?4
?
函数
y?2x?4?x?3
在
(?2,??)
上是增函数，而
f( ?2)??1
，
?y?2x?4?x?3
的值域是
[?1,??)
.
【例10】已知函数
f
?
x
?
?4x
3
? 3x
2
cos
?
?
3
cos
?
，其中x?R,
?
为参数，且
0?
?
?2
?
． 16
（1）当
cos
?
?0
，判断函数
f
?< br>x
?
是否有极值；（2）要使函数
f(x)
的极小值大于零，求参数< br>?
的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数?
，函数
f
?
x
?
在区间
?
2a?1 ,a
?
内都是增函数，求实数
a
的取值范围．
[解答过程]（Ⅰ） 当
cos
?
?0
时，
f(x)?4x
3
，则
f(x)
在
(??,??)
内是增函数，故无极值.
（Ⅱ）
f' (x)?12x
2
?6xcos
?
，令
f'(x)?0
，得
x?0,x?
cos
?
.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.①当
12

2
cos
?
?0
时，随
x的变化
f '(x)
的符号及
f(x)
的变化情况如下表：
x
(??,0)

+
↗
0
0
极大值

(0,
-
↘
cos
?

)
2
cos
?

2
0
极小值
(
cos
?
,??)

2
f'(x)

f(x)

+
↗
s
，且
co
?
s1
3
因此，函数
f(x)
在
x?
cos
?处取得极小值
f(
co
?
)
f()??co
?
s?
2
2
24
co
?
s
3
要使
f ()?0
，必有
2
16
.
?
13
3
.由于
3
，故
??
3
?
11
?
.
?c os
?
(cos
2
?
?)?0
，可得
0?cos< br>?
?
0?cos
?
?
?
?
?或?
?
?
2
2
44
6226
错误！未找到引用源。当时
c os
?
?0
，随x的变化，
f'(x)
的符号及
f(x)< br>的变化情况如下表：
x

f'(x)

f(x)

(??,
cos
?

)
2
+
cos
?

2
0
极大值

(
cos
?
,0)

2
-

0

0
极小值
(0,??)

+
因此，函数
f(x)在x?0
处取得极小值
f(0)
，且
f(0)?
3
cos
?
.
若
f(0)?0
，则
cos
?
?0
.矛盾.所以当
cos
?
?0
时，
f(x)
的极小
16
值不会大于零.综上，要使函数
f(x)
在(??,??)
内的极小值大于零，参数
?
的取值范围为
(
?< br>,
?
)?(
3
?
,
11
?
)
.（错误！未找到
6226
引用源。）解：由（错误！未找到引用源。）知，函数
f (x)
在区间
(??,??)
与
(
内是增函数，则a须满足不等式组
cos
?
由题设，函数
f(x)在(2a?1,a)
,??)
内都是增函数。
2
2a?1?a

a?0
或
2a?1?a
1
2a?1?cos
?
2
由（错误！未找到引用源。） ，参数时
?
?(
?
,
?
)?(
3
?
,
11
?
)
时，
6226
0?cos
?
?
1
3
.要使不等式
3
，即
4?3
2a?1?co s
?
关于参数
?
恒成立，必有
2a?1??a
.综上，解得
a?0
或
2
48
2
4?3
?a?1
. < br>8
所以
a
的取值范围是
(??,0)?[
4?3
,1 )
.
8
【例11】．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a< br>?
-1，求f(x)的单调区间.
[解答过程]由已知得函数
f(x)
的定义域为
(?1,??)
，且
f
'
(x)?
ax?1< br>(a??1),

x?1

（1）当
?1?a?0
时，
f
'
(x)?0,
函数
f(x)
在
(?1, ??)
上单调递减，（2）当
a?0
时，由
f
'
(x)?0 ,
解得
x?
1
.

a
f
'
(x)
、
f(x)
随
x
的变化情况如下表
x

f
'
(x)

1
(?1,)

a
—
1

a
0
1
(,??)

a
+
f(x)


极小值

从上表可 知：当
x?(?1,
1
)
时，
f
'
(x)?0,< br>函数
f(x)
在
(?1,
1
)
上单调递减.当
x?(
1
,??)
时，
f
'
(x)?0,
函数< br>f(x)
在
(
1
,??)
上单
aa
a
a
调递增.综上所述：当
?1?a?0
时，函数
f(x)
在
(?1,??)
上单调递减.当
a?0
时，函数
f(x)
在
(?1,
1
)
上单调递减，函数
f(x)
在
a
1
(,??)
上单调递增.
a
【例12】．已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx
在点
x
0
处取得极大值
5
，其导函数
y?f'(x)
的图象经过点
(1,0)
，< br>(2,0)
，如图所示.求：
（Ⅰ）
x
0
的值；（Ⅱ）
a,b,c
的值.
[解 答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在
?
??,1
?
上
f'
?
x
?
?0
，在
?
1,2
?
上
f'
?
x
?
?0
，在
?
2,??
?
上
f'
?
x
?
?0
,
故
f(x)在上递增，在
(1,2)
上递减，因此
f
?
x
?
在
x?1
处取得极大值，所以
x
0
?1

（-? ，1），（2，+?）
'
（Ⅱ）
f
'
(x)?3ax
2?2bx?c,
由
f（
得
?
解得
a?2,b??9,c ?12.

1）=0，（f
'
2）＝0，（f
'
1）＝5，
12a?4b?c?0,
?
3a?2b?c?0,
?
?
a? b?c?5,
?
解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设
f
'
(x)?m( x?1)(x?2)?mx
2
?3mx?2m,
又
f
'
(x )?3ax
2
?2bx?c,
所以
a?
m3
m3
即
m
?
3
m?2m?5,
得
m?6,
所以
a ?2,b??9,c?12

?x
3
?mx
2
?
|
mx2
由
,
f(1)?5，
,b??mc,?m2
f(x)
32
32
32
【例13】．设
x?3
是函数
f?
x
?
?x
2
?ax?be
3?x
?
x?R
?
的一个极值点.
（Ⅰ）求
a
与
b
的关系 式（用
a
表示
b
），并求
f
?
x
?
的单调区间；
??
25
?
x2
（Ⅱ）设
a?0
，
g
?
x
?
?
?
?
a?
?
e
.若存在
?
1
,
?
2
?
?
0 ,4
?
使得
f
?
?
1
?
?g
?< br>?
2
?
?1
成立，求
a
的取值范围.
4
??
[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x＋(a－2)x＋b
－
a ]e
则 f `(x)＝[x＋(a－2)x－3－2a
－
a ]e
23
－
x2
23
－
x
,由f `(3)=0，得 －[3＋(a－2)3＋b
－
a ]e
3
－
x
23
－
3
＝0，即得b＝－3－2a，
＝－[x＋(a－2)x－3
－
3a ]e＝－(x
－
3)(x＋a+1)e
3
－
x
.令f `( x)＝0，得x
1
＝3或x
2
＝－a
－1，由于x＝3是极值点，所 以x+a+1≠0
，
那么a≠－4.当a<－4时，x
2
>3＝x
1
，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减
函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0
，
f (x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.当a>－4时，x
2
<3＝x
1
，
则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0
，
f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）
上，f `(x)<0，f (x)为减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那
么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)
，
f (4) )，f (3)]，而f (0)＝－（2a＋3）e<0
，
f (4)＝（2a＋13）e>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e，a＋6].又< br>g(x)?(a
2
?
25
)e
x
在区间[0，4]上 是增函数，且它在区间[0，4]上的
3
3
－
1
4
2242 22
值域是[a＋
25
，（a＋
25
）e]，由于（a＋
2 5
）－（a＋6）＝a－a＋
1
＝（
a?
1
）≥0，所以只 须仅须
4
2
444
2
（a＋
25
）－（a＋6） <1且a>0，解得03
.故a的取值范围是（0，
3
）.
2
2
4
【例14】 已知函数
1
f(x)?ax
3
?bx
2
?(2?b)x?1
，在
x?x
1
处取得 极大值，在
x?x
2
3
处取得极小值，且
0?x
1
?1?x
2
?2
．（1）证明
a?0
；（2）若z=a+2b,求z 的取值范围。
[解答过程]求函数（Ⅰ）由函数
f(x)
在
x?x
1
处取得极大值，在
x?x
2
处取得极
f(x)
的导数f
?
(x)?ax
2
?2bx?2?b
．
，x
2
是小值，知
x
1
f
?
(x)?0
的两个根．所以
f
?
(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
当
x?x
1
时，
f(x)
为增函数，
f
?
(x)?0
，由
?
f
?
(0)?0
?
x?x1
?0
，
x?x
2
?0
得
a?0
．（ Ⅱ）在题设下，
0?x
1
?1?x
2
?2
等价于
?
f
?
(1)?0

?
f
?
(2)?0?
?
2?b?0
?
即
?
a?2b?2?b?0
．
?
4a?4b?2?b?0
?
?
2?b?0
?
化简得
?
a?3b?2?0
．此不等式组表示的区域为平面
aOb
上 三条直线：
2?b?0

，a?3b?2?0，4a?5b?2?0
．
?
4a?5b?2?0
?
所围成的
△ABC
的内部，其三个顶点分 别为：
?
46
?
A
?
，
?
，B(2，，2 )C(4，2)
．
?
77
?
b
z
在这三点的值 依次为
所以
z
的取值范围为
?
16
，6，8
．
7
?
16
?
，8
?
．
7
??
2
1
B(2，2)

C(4，2)
考点4 导数的实际应用

?
46
?
A
?
，
?

?
77
?

【例15】.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形 状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多
O
2 4
a
少时，其体积最大？最大体积是多少？
[解答过程]设长方体的宽为x（m）， 则长为2x(m)，高为
h?
18?12x
?4.5?3x(m)
4
3
??
?
0＜x＜
?
.故长方体的体积为
2
??
V(x)?2x
2
(4.5?3x)?9x
2
?6x
3(m
3
)
3
(0＜x＜).
从而
V?(x)?18x? 18x
2
(4.5?3x)?18x(1?x).
令V′（x）＝0，
22
时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极
3
解得x=0（舍去）或x =1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

大值，并且这个极大 值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×1-6×1（m），此时长方体的长为2 m，高为
1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m。
【例16】．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量
示为：
y?
3
233
y
（升）关于行驶速度
x
（千米小时）的函数解析式可以表
13
x
3
?x?8(0?x?1 20).
已知甲、乙两地相距100千米.（I）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲
12800080
地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗 油最少？最少为多少升？



曲边梯形的面积与定积分
< br>例1]（1）已知和式
1
p
?2
p
?3
p
?
?
?n
p
[
n
P?1
(p?0)
当n→+ ∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为
A．
?
1
1
0
x
dx
B．
?
1
p
0
xdx
C．
?
1
1
0
(
p
x
)dx
D．
?
1
0
(
x
p
n
)dx

（2）下列定积分为1是 （ ）
A．
?
1
0
xdx
B．
?
1
1
0
(x?1)dx
C．
?
1
0
1dx
D．
?
1
0
2
dx

（3）求由
y?e< br>x
,x?2,y?1
围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为
A．［0，
e
2
］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］
（4）由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．
（5）计算
?
1
0
1?x
2
dx
= 。
[例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？
3
（1 ）
?
4
π
0
1
x
0
sinxdx
； （2）
?
?1
edx
； （3）
?
1
2
lnxdx
．
3
②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．
?
1
0
xdx
，
?
1
0
x
2
dx
，
?
1
0
x
3
dx
。
[例3]计算下列定积分：
(1)
?
1
(
1
x?1)dx
；
2
?
?2
3

(2)
?
4< br>?1
(x?3)dx
；
(3)
?
cosxdx
；
(4)
?
2
0?2
x
3
dx
。
[例4] 利用定积分表示图中四个图形的面积：


y

y

y

y = x
2

y = x
2
y


y=(x-1)
2
-1

? y



x
a
b
x

a
x –1
2
x
–1
O
2
? (
(2)
(3)
(4)

）
（）
（

【练习】
1． 下列定积分值为1的是

2．


A．
（ ）
?
1
0
tdt
B。
?
1
0
(x?1)dx
C。

?
1
0
dx
D。

1
?
0
2
dx

1
?
1
?1
(x
3
?tanx?x
2
sinx)dx
=

（ ）
A．0
C．
2
B。
2
?
(x< br>0
1
0
1
3
?tanx?x
2
sinx)d x

?tanx?x
2
sinx|dx

（ ）
?
0
?1
(x
3
?tanx?x
2
sin x)dx
D。
2
?
|x
3
3． 设连续函数f(x)＞0，则当a＜b时，定积分


A．一定是正的
C．一定是负的


?
b
a
f(x)dx
的符号
B．当0D．当0 （ ）
1
2
0
4． 由直线
y?x,y??x?1
，及ｘ轴所围成平面图形的面积为


A．
C．
?
?
?
1?y
?
?y
?
dy

0
1
2
0
1
B。
1
?
?
?
?x?1
?
?x
?
dx

?
?
?
1?y
?
?y
?
dy
D 。
?
0
x?
?
?
?x?1
?
?
d x

111
当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为 。
??
?
?
n?1n?22n
5． 和式
6． 曲线
y?x
2
,x?0,y?1
，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．
7． 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线 x=0，x=1，y=0和曲线y=x所
围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：1+2+?+ n=
8． 求由曲线
y?x?1
与
x?1,x?3,y?0
所围的图形的面积.
9． 计算
222
2
1
n(n?1)(2n?1)
） 6
?
2
0
?
2x,0?x?1,
f(x)dx
，其中,
f(x)?
?
1?x?2.
?
5,

10 ．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位 置拉长b所做的功
曲边梯形的面积与定积分 A组
1． 若
f(x)
是
[?a,a]
上的连续偶函数，则
A．
?
a
?a
f(x)dx?

C．
2
（ ）
?
0
?a
f(x)dx
B．0
?
0
?a
f(x)dx
D．
?
a
0
f(x)dx

（ ） 2． 变速直线 运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为
s
0
，则当
t
1
秒末它所在的位置为
A．
?
t
1
0
v(t)dt
B．
s
0
?
?
v(t)dt

0
t
1
C．
?
t
1
0
v(t)dt?s
0
D．
s
0

?
?
v(t)dt

0
t
1
3． 由直线
y?x,y??x?1
，及ｘ轴所围成平面图形的面积为


A．
D．
（
C．
）
?
?
?
1?y
?
?y
?
dy

0
1
B．
?
1
2
0
?
?
?x?1
?
?x
?
dx

?
1
20
?
?
1?y
?
?y
?
dy

?
x?
?
?
?x?1
?
?
dx

0
1

4． 设
bc
?
h(x)?0a?x? b,
且
?
h(x)dx?A
，
?
g(x)dx?B
，给出下列结论：
f(x)?
?
ab
?
g(x)?0,b?x?c .
cc


①A＞0；②B＞0； ③
?
a
f(x )dx?A?B
；④
?
|f(x)|dx?A?B
。
a
其中所有正确的结论有 。
5． 设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积。已 知函数y＝sinnx在[0，
∈N）上的面积为
*
?
]（n
n22
?
。①y＝sin3x在[0,
n3
]上的面积为 ；②y ＝sin（3x－π）＋1在[
?
4
?
，
33
]上的面积为 。
6． 求由曲线
y?1?x
与
x?0,x?3,y?0
所围的图形的面积。
7． 试根据定积分的定义说明下列两个事实：
①
?
b
a
cf(x)dx?c
?
f(x)dx
；②
?
(f(x)?g(x) )dx?
?
f(x)dx?
?
g(x)dx
。
aaaa
bbbb
8． 物体按规律
x
，求物体从x=0
? 4t
2
（m）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10（ms）时阻力为2（ N）
到x=2阻力所做的功的积分表达式．
曲边梯形的面积与定积分B组
1． 如果1kg力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，则力所作的功为
A．0.18kg·m B．0.26kg·m C．0.12kg·m
b
a
（
D．0.28kg·m
）
2． 已知b＞a，下列值：

A．|
C．
?
b
a
b
a
f(x)dx
，
?
|f(x)|dx
，|
?
f(x)dx
|的大小关系为
a
b
（ ）
?
b
a
b
a
f(x )dx
|≥
?
|
b
a
f(x)|dx
≥
?
b
b
a
f(x)dx
B。
?
|
a
b
b
f(x)|dx
≥|
b
?
b
a
f(x )dx
|≥
b
?
b
a
f(x)dx

?
a
|f(x)|dx
= |
?
f(x)dx
|=
?
f(x)dx
D．
?
|f(x)|dx
= |
?
f(x)dx
|≥
?
f(x)dx

aaaa
3． 若
f(x)
与
g(x)
是
[a,b ]
上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b所围图形的面积
A．


（ ）
?
b
f(x)?g(x)dx
B．
?
(f(x)?g(x))dx
C．
?
(g(x)?f(x)) dx
，D．
aa
bb
?
b
a
(f(x)?g(x) )dx
4． 给出下列命题：


①若
?
b
a< br>f(x)dx
＞0，b＞a，则f(x)＞0；②若f(x)＞0，b＞a，则
?
f(x)dx
＞0；③若
?
f(x)dx
=0，b＞a，则f(x)=0；
aa
bb
④若f(x)=0，b＞a，则
?
b
a
f (x)dx
=0；⑤若
?
|f(x)|dx
=0，b＞a，则f(x)=0。 其中所有正确命题的序号为 。
a
b
5． 给出下列定积分：
?
①
?
2
0
sinxdx
②
?
?
sinxdx
③
?
xdx
④
?
?1
x
3
dx
，其中为负值的有 。
?
2
0
2
2
?3
6． 求由曲线
y?2x?3,y?1,y?2,x?0
所围图形的面积。
7． 计算：
?
2
?2
4?x
2
dx
。
8． 试问下面的结论是否成立？若函数f(x)在区间[a，b]上是单调增函数，则
若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。
f(a)(b?a)?
?
f(x)dx?f(b)(b?a)
。
a
b
【典型例题】

[例1]（1）B．（2）C．3． B 。（4）
?
2π
?
0
|cosx|dx
或
4
1
0
?
2
0
（5）
cosxdx
。
1< br>π
。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面
4
545
； (2) ；(3)0 ；(4)0。
22
b
a
积。 [例2]①（1）正 (2)正 (3)负。②
a2
?
xdx
≥
?
1
0
x
2
dx
≥
?
x
3
dx
。 [例3] (1)
0
[例4] (1)
S?
?
x
2
dx
； (2)
S?
?
x
2
dx
； (3)
S?
?[(x?1)
2
?1]dx?
?
[(x?1)
2
?1] dx
；(4)
S?
?
dx
．
0?1
?10
02
【课内练习】
1． C。2．
和为0。3．
6．
A。提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利 用定积分的几何意义知，面积的代数
A。4． C。5．
1
?
0
1?x
dx
。
1
?
1
0
(1?x
2
)dx
。7．
1
。提示：请参看教材P42~44。8．
3
b
6。
kb
2
9． 6。10．可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：
W?
?
kxdx?
。
0
2
曲边梯形的面积与定积分A组
1． C。2． B。3． C。4． ①③④。5． ①
4
2
3
；②
?
π
。6．
?
。
2
3
3
7． 定积分的定义实质反映了计算的过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近。可尝试用这四步进行说明或证明。
8． 变力作功公式中，F(x)是用x表示的，而此题中只有x对t的关系式，故首先将F表示出来．
依题意得：F＝kv，但这不是x的函数，应将v用x表示．
∵v=x＇=8t，而
t?
x
4
， ∴
F(x)?
8x4
?x
．
545
另外，此题F是与物体运动方向相反的，∴
W
B组
1． A。2． B。3．
??
?
2
0
4
xdx
．
5
②④⑤。5． ②③。6． A。4．
3
。
4
7． 2π。提示：问题即求上半圆的面积。8．


结论成立。说明可按照定积分的定义进行。