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高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 20:29
tags:高中数学导数

高中数学竞赛中的平面几何模块-高中数学与逻辑试题库

2020年9月17日发(作者:闻宥)


实用文档
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方
法)
高中数学导 数及其应用是高中数学考试的必考内容,而且是这几
年考试的热点跟增长点,无论是期中·期末还是会考 ·高考,都是高
中数学的必考内容之一。因此,针对这两各部分的内容和题型总结归
纳了具体的 解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们有更
多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了,下 面就来讲解常用
逻辑用语的经典解题技巧。
第一·认识导数概念和几何意义
1.导数概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景。
(2)理解导数的几何意义。
.


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2.导数的运算
(1)能根据导数定义求函数
1
y?C(C为常数),y? x,y?x
2
,y?x
3
,y?,y?x
的导数。
x(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算
法则求简单函数的导数。
(3)能求简单的复合函数(仅限于形如
f(ax?b)
的复合函数)的
导数。
3.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单
调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。
(2)了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件;会用导
数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会
求闭区间了函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三
次)。
4.生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5.定积分与微积分基本定理
(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定
积分的概念。
(2)了解微积分基本定理的含义。
总结:先搞清楚导数概念以及几何意义,才能更好地运用其解题
技巧!
.


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第二·导数运用和解题方法
一、利用导数研究曲线的切线
考情聚焦:1.利用导数研究曲线
y?f(x)
的切线是导数的重要应
用,为近几年各省市高考命题的热点。
2.常与函数的图象、性质及 解析几何知识交汇命题,多以选择、
填空题或以解答题中关键一步的形式出现,属容易题。
解题技巧:1.导数的几何意义
函数
y?f(x)

x
0
处的导数
f
?
(x)
的几何意义是:曲线
y?f(x)在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率(瞬时速 度就是位移函数
s(t)
对时间
t
的导
数)。
.


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2.求曲线切线方程的步骤:
(1)求出函数
y ?f(x)
在点
x?x
0
的导数,即曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的斜率;
(2) 在已知切点坐标
P(x
0
,f(x
0
))
和切线斜率的条件 下,求得切线
方程为
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)

注:①当曲线
y?f(x)
在点P(x
0
,f(x
0
))
处的切线平行于
y
轴 (此时
导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为
x?x
0

②当切点坐标未知时,应首先设出切点坐标,再求解。
例1:(2010 ·海南高考·理科T3)曲线
y?
的切线方程为( )
(A)
y?2x?1
(B)
y?2x?1
(C)
y??2x?3
(D)
y??2x?2

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运
算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方
程.
【规范解答】选A.因为
y
?
?
x
在点
?
?1,?1
?

x?2
2
,所以,在点
?
?1, ?1
?
处的切线斜率
(x?2)
2
k?y
?
x?? 1
?
2
?2
,所以,切线方程为
y?1?2(x?1)
,即
y?2x?1
,故选A.
2
(?1?2)
.


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二、利用导数研究导数的单调性
考情聚焦:1 .导数是研究函数单调性有力的工具,近几年各省
市高考中的单调性问题,几乎均用它解决。
2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一
般为含参数的高次、分式或指、对数式结 构,多以解答题形式考查,
属中高档题目。
解题技巧:利用导数研究函数单调性的一般步骤。
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数
f
?
(x)

(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数
f(x)
的定义
.


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域内解(或证明)不等式
f
?
(x)>0或
f
?
(x)
<0。
②若已知
f(x)
的单调性,则转化为不等式
f
?
(x)
≥0或
f
?
(x)
≤0在
单调区间上恒成立问题求解。
例2:(2010·山东高考文科·T2 1)已知函数
f(x)?lnx?ax?
1?a
?1(a?R)

x
(1)当
a??1
时,求曲线
y?f(x)
在点
(2,f( 2))
处的切线方程;
(2)当
a?
时,讨论
f(x)
的单调性.
【命题立意 】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用
导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形 结合思想和等价
变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线
y?f (x)
在点
(2)直接利用函数与导数的关系讨论函数
(2,f(2))
处的 切线的斜率;
的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】(1) 当
a??1 时,f(x)?
lnx?x??1,x?(0,??),
所以
x
2
?x?2
f
?
?
x
?
?

x
2
2
x
1
2
因此,
f
?< br>?
2
?
?1
,即曲线
y?

f(2)?ln 2?2,
f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1.,

所以曲线
y?f(x)在点(2,f(2)) 处的切线方程为 y?(ln2?2)?x?2,

即 x?y?ln2?0.

ax
2
?x?1?a
1?a1a?1
(2)因为
f(x)?lnx?ax ?

?1
,所以
f'(x)??a?
2
??
2< br>x
xx
x
x?(0,??)
,令
g(x)?ax
2< br>?x?1?a,
x?(0,??),

.


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(1) 当
a?0
时,
g(x)??x?1,x?
?
0,? ?
?
,
所以

x?
?
0,1
?< br>时,
g
?
x
?
>0,此时
f
?
?< br>x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递减 ;

x?
?
1,??
?
时,
g
?
x
?
<0,此时
f
?
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递增.
(2) 当
a?0
时,由
f
?
?
x
?
?0
,即
ax
2
?x?1?a?0
,解得
x
1
?1,x
2
??1
.
① 当
a?
时,
x
1
?x
2

g
?
x
??0
恒成立,此时
f
?
?
x
?
?0
, 函数
f
?
x
?

(0,+∞)上单调递减;
② 当
0?a?
时,
?1?1?0

x?
?
0,1
?
时,
g
?
x
?
?0
,此时
f< br>?
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递减
?
1
?
x?
?
1,?1
?
时,
g
?
x
?
<0,此时
f
?
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递 增
?
a
?
?
1
?
x?
?
?1, ??
?
时,
g
?
x
?
?0
,此时
f
?
?
x
?
?0
,函数
f
?
x< br>?
单调递减
?
a
?
1
a
1
21
2
1
a
③ 当
a?0
时,由于
?1?0
,
x?
?
0,1?
时,
g
?
x
?
?0
,此时
f
?
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递减:
x?
?
1,??
?
时,
g
?
x
?
<0,此时
f
?
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递增.
1
a
综上所述:

a?0
时,函数
f
?
x
?

?
0,1
?
上单调递减;函数
f< br>?
x
?

?
1,??
?
上单调递


a?
时,函数
f
?
x
?

?< br>0,??
?
上单调递减
?

0?a?
时,函数f
?
x
?

?
0,1
?
上单调递减; 函数
f
?
x
?

?
?
1,?1
?

a
2
??
1
2
1
1
单调递增 ;
?
函数
f
?
x
?

?
?< br>?1,??
?
上单调递减.
?
1
?
a
.


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【方法技巧】
1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出;
(2)数的运算:如除法运算中除 式不为零,在实数集内偶次方根的被
开方数为非负数,对数中真数与底数的要求,不等式两边同乘以一个
正数还是负数等;
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题,由参数值的不同而导致结
果发生改变;
(4)在研究几何问题时,由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确
定),引起问题的结果有多种可 能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准;
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏;
(3)当讨论的对象不止一种时,应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象,确定对象的范围;
(2)确定统一的分类标准,进行合理分类,做到不重不漏;
(3)逐段逐类讨论,获得阶段性结果;
(4)归纳总结,得出结论.
.


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三、利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦 :1.导数是研究函数极值与最值问题的重要工具,几乎是
近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必 用方法。
2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,且函数一般为
含参数的高次、 分式、或指、对数式结构,多以解答题形式出现,属
中高档题。
解题技巧:1.利用导数研究函数的极值的一般步骤:
(1)确定定义域。(2)求导数f
?
(x)
。(3)①或求极值,则先求方程
f
?
(x )
=0
的根,再检验
f
?
(x)
在方程根左右值的符号,求 出极值。(当根中有参
数时要注意分类讨论)
.


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②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程
f
?
(x)
=0的根的大
小或存在情况,从而求解。
2.求函数
y?f(x)
的极值与端点处的函数 值
f(a),f(b)
比较,其中最大
的一个是最大值,最小的一个是最小值。
?x
f(x)?xe(x?R)
例3:(2010·天津高考理科·T21)已知函 数
(Ⅰ)求函数
f(x)
的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知函数
y? g(x)
的图象与函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?1

称,证明当
x?1
时,
f(x)?g(x)

(III)如果x
1
?x
2
,且
f(x
1
)?f(x
2
)
,证明
x
1
?x
2
?2

【 命题立意】本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调
性与极值等基础知识,考查运算能力及 用函数思想分析解决问题的能
力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
(Ⅰ)解:f’
(x)?(1?x)e
?x
,令f’ (x)=0,解得x=1,
当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表
x
f’(x)
(
??,1
)
+
1
0
极大值[来
f(x)
Z

(
1,??
)
-
源:学。科。
]

网]
所以f(x)在(
? ?,1
)内是增函数,在(
1,??
)内是减函数。
.


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1
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
e

(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
e

?xx?2
F(x)?xe?(x?2)e
令F(x)=f(x)-g(x),即
2x?2?x
F'(x)?(x?1)(e?1)e
于是
2x-2?xe?1?0,又e?0,所以F
’(x)>0,从而函数F当x>1时,2x-2>0,从而
x?2
(x)在[1,+∞)是增函数。
-1-1
e?e?0,所以x>1时,有
F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). 又F(1)=
(Ⅲ)证明:(1)
(x
1
?1)(x
2
?1)?0,由(?)及f(x
1
)?f(x
2
),则x
1
?x
2
?1.与x1
?x
2
矛盾。

(2)若
(x
1
? 1)(x
2
?1)?0,由(?)及f(x
1
)?f(x
2
),得x
1
?x
2
.与x
1
?x
2
矛盾。

根据(1)(2)得
(x
1
?1)(x
2
?1) ?0,不妨设x
1
?1,x
2
?1.

由(Ⅱ)可知,f(x
2
)
>
g(x
2
)
,则
g(x
2
)
=
f(2-x
2
)
,所以
f(x2
)
>
f(2-x
2
)
,从而
f(x
1
)f(2-x
2
)
>.因为
x
2
?1
, 所以
2?x
2
?1
,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在
区间(-∞,1 )内是增函数,所以
x
1
>
2?x
2
,即
x
1
?x
2
>2。
.


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四、利用导数研究函数的图象
考情聚焦:1.该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极 值(最
值)、零点及数形结合思想等重要考点,而成为近几年高考命题专家
的新宠。
2.常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题,
且函数一般为含参数的高次、分式、 指、对数式结构,多以解答题中
压轴部分出现。属于较难题。
例4:(2010·福建高考理 科·T20)(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图像
记为曲线C.
(i)求函数f(x)的单调区间;
.


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(ii )证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1)
处的切线交于另一点P2( x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另
一点P3 (x3 f(x3)),线段P1P 2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面
s
1
积分别记为S1,S2,则
s
2
为定值:
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a< br>?
0),请给出类似
于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明。
【命题立意 】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查
抽象概括、推理论证、运算求解能力,考查函数 与方程思想、数形结
合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步(1) 利用导数求解函数的单调区间,(2)利用
导数求解切线的斜率,写出切线方程,并利用定积分求解S
1
,S
2
及其比
值;第二步利用合情推理的方法对问题进行推 广得到相关命题,并利
用平移的方法进行证明。

(i)
规范解答】(Ⅰ)
f'(x)?3x
2
?1?(3x?1)(3x?1)
,令
f'(x )?0
得到
x?
11
或x??
33
,令
f'(x) ?0

?
11
?x?
33
,因
(??,?
1
)
3
和此原函数的单调递增区间为
(
111
,??)(? ,)
333
; ;单调递减区间为
23
2
f'(x)?3x?1P( x,x?x)
f'(x)?3x?1
,因此过点
P
1
的切线方程1111
11
(ii),,
为:
.
y?
?
3 x
1
2
?1
?
?
x?x
1
?
?x
1
3
?x
1
,即
y?
?
3x
1< br>2
?1
?
x?2x
1
3
,由


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23
?
?
y?
?
3x
1
?1< br>?
x?2x
1
?
323
3
x?x?3x?1x?2x
y?x?x
??
?
11
?
得,所以
x?x
1

x??2x
1
,故
x
2
??2x
1< br>,
32
1
3
1
进而有
,用
x
2代替
S
1
?
?
?2x
1
x
1
?2x
1
27
4
?
1
4
3
223
?
?x?xx?2xxx
111
?
x
?
?
x?3x x?2x
?
dx
?
424
??
1
x
1,重复上面的计算,可得
x
3
??2x
2

S
2
?
27
4
x
2
4
,又
x
2??2x
1
?0

S
1
1
27?16
4
?
?S
2
?x
1
?0
S
4
,因 此有
2
16

32
g(x)?ax?bx?cx?d
的图 像为曲线
C'
,(Ⅱ)【命题】若对于任意函数
b
其类似于(I)(ii)的 命题为:若对任意不等于
3a
的实数
x
1
,曲线与其在
?< br>点
P
1
(x
1
,g(x
1
))
处的 切线交于另一点
P
2
(x
2
,g(x
2
))
,曲线
C'
与其在点
P
2
(x
2
,g(x
2
))
处的切线交于另外一点
P
3
(x
3
,g( x
3
))
,线段
P
1
P
2

P< br>2
P
3
与曲线
C'
S
1
1
?
S
所围成面积为
S
1
、S
2
,则
2
16

32
y?ax?bx?cx?d
,无论如何平移,其面积值是恒【证明】 对于曲线
2
32
y'?3ax?2bx?c

y?ax?bx?cx
定的,所以这里仅考虑的情形,
322
P
1
(x
1
,ax
1
?bx
1
?cx
1
)

f'(x
1
)?3ax
1
?2bx
1
?c
,因此过点
P
1
的切线方程为:
232
?
?
y?(3ax
1
?2bx
1
?c)x?2x
1
?bx
1
?
32
y?(3ax
1
2
?2bx
1
?c)x?2x
1
3
?bx
1
2
,联立
?
?
y?ax? bx?cx
,得
32223
ax?bx?3ax?2bxx?bx?2x?0

1111
到:
??
化简:得到
b?2ax
1
2b
2
?4a
2
x
1
2
?6abx
1?ac
P
2
(?,)
2
(x?x)(ax?b?2ax)?0< br>aa
11
从而所以同
样运用(i)中方法便可以得到
.
x< br>3
?
2b
?4x
1
??2x
2
a


实用文档
S
1
1
?
所以
S
2
16
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计
算,利用导数判断函数单调性、 极值、最值等问题,试题还与不等式、
三角函数、数列、立几、解几等知识的联系,类型有交点个数、恒 成
立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、
数形结合等重要的思想方 法,主要考查导数的工具性作用。

例5.(2010·江西高考理科·T12)如图,一个 正五角星薄片(其
对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记
t
时刻五角星露出水面部分
的图形面积为
S(t)(S(0)?0)
,则导函数
y?S'(t)
的图像大致为






【命题立意】本题 将各知识点有机结合,属创新题型,主要考查对函
数的图像识别能力,灵活分析问题和解决问题的能力, 考查分段函数,
考查分段函数的导数,考查分类讨论的数学思想,考查函数的应用,
考查平面图 形面积的计算,考查数形结合的思维能力.
.


实用文档
【思路点 拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法;也可先求
面积的函数,再求其导数,最后结合图像进行 判断.
【规范解答】选A.方法一:在五角星匀速上升过程中露出的图形部
分的面积共有四段 不同变化情况,第一段和第三段的变化趋势相同,
只有选项A、C符合要求,从而先排除B、D,在第二 段变化中,面积
的增长速度显然较慢,体现在导函数图像中其图像应下降,排除选项
C,故选A .
方法二:设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离

0
1,且设
tan18?m
,则依据题意可得:
1
?
t?2mt?m t
2
?
2
?
(m?1?m
2
)(?x
2< br>?4x?3)?m
?
?
S(t)?
?
m(m?4?5m
2
?41?m
2
)
2
mx?
?
1?m
2
?
2322
?
?1?m
2
x
2
?4(m? 1?m
2
)x?
m?9m?4(m?m?1)1?m
?
1?m
2
?
0?t?1
2m
1?t??1
1?m
2
2m
?1?t?2
2
1?m
2m
2?t?2?
1?m
2

2mt
?
?
(1?m
2
?m)(?2t?4)< br>?
S
?
(t)?
?
2mt
?
22
?
?
?21?mt?4(1?m?m)
其导函数
选A.
0?t?1< br>2m
1?t??1
2
1?m
2m
?1?t?2
21?m
2m
2?t?2?
1?m
2

【方法 技巧】从题设条件出发,结合所学知识点,根据“四选一”的
要求,逐步剔除干扰项,从而得出正确的判 断.这种方法适应于定性
型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时,先根据某
些 条件在选择支中找出明显与之矛盾的,予以排除,再根据另一些条
件在缩小的选择支的范围内找出矛盾, 这样逐步筛选,直到得出正确
.


实用文档
的选择.它与特例法、图 解法等结合使用是解选择题的常用方法,近
几年高考选择题中考查较多.
1
?
??
1
a,a
2
?
?
?
2
?
处 例6.(2010·全国高考卷Ⅱ理科·T10)若曲线
y?x
在点
?
的切线 与两个坐标围成的三角形的面积为18,则
a?
[来
(A)64 (B)32 (C)16 (D)
8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义,曲线的切线方程求法,
考查考生的运算求解能力.
【思路点拨】先求出切线方程,然后表示出切线与两个坐标围成的三
角形的面积。
1
3
?
??
1
?
2
1
a,a
2?
?
?
y
?
??x,
2
?
处的切线:
2
【规范解答】选A,所以曲线
y?x
在点
?
y?a
?
1
2
1
?
2
3
?
2
??a( x?a),由x?0得y?a,由y?0得,x?3a,
22

1
31
13
?
2
?a3a?18,解得a?64.
所以,
22

【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型:(1)“在”曲线上
一点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标得到斜率。(2)
“过”曲线上一点的切线 问题,此时该点未必是切点,
故应先设切点,再求切点坐标。


.

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本文更新与2020-09-17 20:29,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/401899.html

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