高中数学向量题-高中数学概率教材
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导 数
考试内容:
导数的背影.导
数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的
最大值和最小值.考试要求:
(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意
义.(3)掌握函数,y=c(c为常数
)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数.(4)
理解极大值、极小值、最大值、
最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大
值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(
5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值
和最小值.
§14. 导 数
知识要点
导数的概念 导数的几何意义、物理意义
常见函数的导数
导数的运算法则
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
导
数
导数的运算
导数的应用
1. 导数(导函数的简称)的定义:设
x
0
是函数
y?f(x)
定义域的一点,如果自变量
x
在
x
0
处
有增量
?x
,则函数值
y
也引起相应的增量<
br>?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
;比值
?y<
br>f(x
0
??x)?f(x
0
)
称为函数
y?f(x
)
在点
x
0
到
x
0
??x
之间的平均变化
率;如果极限
?
?x?x
f(x
0
??x)?f(x
0)
?y
存在,则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限叫做
?lim
?x?0
?x
?x?0
?xlim
记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
,即
f
'
(x
0
)
=
lim
y?f(x)
在
x
0
处的导数,
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?li
m
?x?0
?x
?x?0
?x
注:①
?x
是增量,
我们也称为“改变量”,因为
?x
可正,可负,但不为零.
②以知函数
y?
f(x)
定义域为
A
,
y?f
'
(x)
的定义域为
B
,则
A
与
B
关系为
A?B
.
2. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续与点
x<
br>0
处可导的关系:
⑴函数
y?f(x)
在点
x
0<
br>处连续是
y?f(x)
在点
x
0
处可导的必要不充分条件.
可以证明,如果
y?f(x)
在点
x
0
处可导,那么
y?f(x)
点
x
0
处连续.
事实上,令
x?x
0
??x
,则
x?x
0
相当于
?x?0
.
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于是
limf(x)?limf(x<
br>0
??x)?lim[f(x?x
0
)?f(x
0
)?f(x
0
)]
x?x
0
?x?0?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x
0
??x)?f(x
0<
br>)
??x?f(x
0
)]?lim?lim?limf(x
0
)?f
'
(x
0
)?0?f(x
0
)?f(x
0<
br>).
?x?0?x?0?x?0?x?0
?x?x
⑵如果
y?f(x)
点
x
0
处连续,那么
y?f(x)
在点
x
0
处可导,是不成立的.
?lim[
例:
f(x)?|x|
在点<
br>x
0
?0
处连续,但在点
x
0
?0
处不可导
,因为
?y?y?y
不存在.
?1
;当
?x
<0时,??1
,故
lim
?x?0
?x?x?x
?y
|?x|
,当
?x
>0时,
?
?x?x
注:①可导的奇函数函数其导
函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义:
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线
y?f(x
)
在点
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率,
也就是说,曲
线
y?f(x)
在点P
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率
是
f
'
(x
0
)
,切线方程为
y?y
0<
br>?f
'
(x)(x?x
0
).
4.
求导数的四则运算法则:
(u?v)
'
?u
'
?v
'?y?f
1
(x)?f
2
(x)?...?f
n
(x)
?y
'
?f
1
'
(x)?f
2
'
(x)?
...?f
n
'
(x)
(uv)
'
?vu
'
?v
'
u?(cv)
'
?c
'
v?cv
'
?cv
'
(
c
为常数)
vu
'
?v
'
u
?
u
?
(v?0)
??
?
2
v
?
v
?
'
注:①
u,v
必须
是可导函数.
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、
差、
积、商不一定不可导.
22
例如:设
f(x)?2sinx?
,
g(x)?cosx?
,则
f(x),g(x)
在
x?0
处均不可导,但它们和
xx
f(x)?g(x)?
sinx?cosx
在x?0
处均可导.
5. 复合函数的求导法则:
f
x
'
(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(x)
或
y
'
x
?y
'
u
?u
'
x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性:
⑴
函数单调性的判定方法:设函数
y?f(x)
在某个区间内可导,如果
f
'<
br>(x)
>0,则
y?f(x)
为
增函数;如果
f
'<
br>(x)
<0,则
y?f(x)
为减函数.
⑵常数的判定方法; 如果函数
y?f(x)
在区间
I
内恒有
f
'
(
x)
=0,则
y?f(x)
为常数.
注:①
f(x)?0
是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如
y?2x
3
在
(??,??
)
上并不是
都有
f(x)?0
,有一个点例外即x=0时f(x) =
0,同样
f(x)?0
是f(x)递减的充分非必
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要条件.
②一般地,如果f
(
x
)
在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)
在该区间上仍旧是
单调增加(或单调减少)的.
7. 极值的判别方法:(极值是在
x
0
附近
所有的点,都有
f(x)
<
f(x
0
)
,则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极大值,极小值同理)
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时,
①如果在<
br>x
0
附近的左侧
f
'
(x)
>0,右侧
f<
br>'
(x)
<0,那么
f(x
0
)
是极大值;
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
<0,右侧
f
'
(x)
>0,那么
f(x
0
)
是极小
值.
也就是说
x
0
是极值点的充分条件是
x
0
点
两侧导数异号,而不是
f
'
(x)
=0.
此外,函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点.
当然,极值是一个局部概
念,极值点的大小关系是不确
定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
②
注①: 若点
x
0
是可导函数
f(x)
的极值点
,则
f
'
(x)
=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函
数,其
一点
x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.
例如:
函数
y?f(x)?x
3
,
x?0
使
f
'
(x)
=0,但
x?0
不是极值点.
②例如:函数
y?f(x)?
|x|
,在点
x?0
处不可导,但点
x?0
是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进
行
比较.注:函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数:
'
I.
C
'
?0
(
C
为常数)
(sinx)?cosx
(arcsinx)?
'
1
1?x
2
(x
n
)
'
?nx
n?1
(
n?R
)
(cosx)
'
??sinx
(arccosx)
'
??
1
1?x
2
1
'
11
'
(arctanx)?
II.
(lnx)?
(log
a
x)?log
a
e
x<
br>x
x
2
?1
'
(e
x
)
'
?e
x
(a
x
)
'
?a
x
lna
(arccotx)
'
??
III. 求导的常见方法:
①常用结
论:
(ln|x|)
'
?
1
x
2
?1
<
br>(x?a
1
)(x?a
2
)...(x?a
n
)1
.②形如
y?(x?a
1
)(x?a
2
)...(x
?a
n
)
或
y?
两
(x?b
1
)(x?b
2
)...(x?b
n
)
x
边同取自然对数,可转化求代数
和形式.
③无理函数或形如
y?x
x
这类函数,如
y?x
x
取自然对数之后可变形为
lny?xlnx
,对两边
y
'
1
求导可得
?lnx?x??y
'
?ylnx?y?y
'
?
x
x
lnx?x
x
.
yx
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导数中的切线问题
例题1:已知切点,求曲线的切线方程
曲线
y?x
3
?3x
2
?1
在点
(1,?
1)
处的切线方程为( )
例题2:已知斜率,求曲线的切线方程
与直线
2x?y?4?0
的平行的抛
物线
y?x
2
的切线方程是( )
<
br>注意:此题所给的曲线是抛物线,故也可利用
?
法加以解决,即设切线方程为
y
?2x?b
,
代入
y?x
2
,得
x
2
?2
x?b?0
,又因为
??0
,得
b??1
,故选D.
例题3:已知过曲线上一点,求切线方程
过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
求过曲
线
y?x
3
?2x
上的点
(1,?1)
的切线方程.
例题4:已知过曲线外一点,求切线方程
1
求过点
(2,0)
且与曲线
y?
相切的直线方程.
x
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练习题:
已知函数
y?x
3
?3x
,过点
A(016)
,
作曲线
y?f(x)
的切线,求此切线方程.
看看几个高考题
1.(2009全国卷Ⅱ)曲线
y?
x
在点
?
1,1
?
处的切线方程为
2x?1
2
2.(20
10江西卷)设函数
f(x)?g(x)?x
,曲线
y?g(x)
在点
(1,g(1))
处的切线方程为
y?2x?1
,则曲线
y?f
(x)
在点
(1,f(1))
处切线的斜率为
3.(2009宁夏海南卷)曲线
y?xe?2x?1
在点(0,1)处的切线方程为
。
4.(2009浙江)(本题满分15分)已知函数
f(x)?x?(1?a)x?a(a
?2)x?b
(a,b?R)
.
(I)若函数
f(x)
的图象过原点,且在原点处的切线斜率是
?3
,求
a,b
的值;
5.(2009北京)(本小题共14分)
设函数
f(x)?x?3ax?b(a?0)
.
(Ⅰ)若曲线
y?
f(x)
在点
(2,f(x))
处与直线
y?8
相切,求
a
,b
的值;
3
32
x
.1 函数的单调性和导数
1.利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地,设函数
y?f(x)
在某个区间可导,
如果在这个区间内
f(x)?0
,则
y?f(x)
为这个区间内的
;
如果在这个区间内
f(x)?0
,则
y?f(x)
为这个区间内的
。
2.利用导数确定函数的单调性的步骤:
(1) 确定函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数的导数;
(3) 解不等式f ?(x)>0,得函数的单调递增区间;
解不等式f ?(x)<0,得函数的单调递减区间.
'
'
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【例题讲解】
a)
b) 确定函数f(x)=2x
3
-6x
2
+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
【课堂练习】
1.确定下列函数的单调区间
(1)y=x
3
-9x
2
+24x
(2)y=3x-x
3
2.已知函数
f(x)?xlnx
,则( )
A.在
(0,??)
上递增 B.在
(0,??)
上递减
求证:
y?x?1
在
(??,0)
上是增函数。
3
?
1
??
1
?
?
e
??
e
?<
br>32
3.函数
f(x)?x?3x?5
的单调递增区间是__________
___.
函数图象及其导函数图象
3
1.
函数
y?f(x)
在定义域
(?,3)
内可导,其图象如
2
C.在
?
0,
?
上递增
D.在
?
0,
?
上递减
图,记
y?f(x)
的导
函数为
y?f(x)
,则不等
式
f(x)?0
的解集为______
_______
2. 函数
f(x)
的定义域为开区间
(?
3
,3)
,导函数
2
y?f
?
(x)
3
f
?
(x)
在
(?,3)
内的图象如图所示,则
函数
f(x)
2
的单调增区间是_____________
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