高中数学导数最全类型题

导数及其应用
1、 导数的几何意义
已知点P在曲线y=
4
上，α为曲线在点P处的切线倾斜角，则α的取值范围是多少？
e
x
?1





2、 若曲线y=2x
2
的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则切线l的方程为






3、 若存在过点（1，0）的直线与曲线y= x
3
和y=ax
2
+
15
x?9
都相切 ，则a的值为多少
4






4、 曲线y=e
x
在点（2，e
2
）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为多少 ？







5、 已知函数（f x）的定义域为
?
?3,??
?
，且f(6)=2,
f(x)
为f(x)的导函数，图像如图所示，若正数a，b满足（f2a+b）
,
＜2，则
b?3
的取值范围。
a?2
.

6、 曲边梯形由曲线所围成，过曲线
曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为多少？








导数的运算
7、 已知函数
f(x)?f`
??
cosx?sinx
,则
f
??
的值为多少







y=x
2
+1，y=0，x=1，x=2y=x
2
+1， x∈[1，2

]上一点P作切线，使得次切线从
?
π
?
?
4
?
?
π
?
?
4
?
8、 已知 函数f（x）=sinx+cosx，
f(x)
是f（x）的导函数，则函数F（x）=f（x ）·
f(x)
+f
2
（x）的最大值为多
少？






9、 若函数f（x）的导函数
f(x)
=x
2
-4x+3，则函数f（x+1）的单调递减区间是
.
,
,,

10、 已知函数
f(x)?lnx?ax
且
f`(e)?e
则a的值为多少？






利用导数求解函数的单调区间
11、 已知函数
f(x)?ln(x?1)?x?
k
2
x
（k≥0）
2
（1） 当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程
（2） 求f(x)的单调区间















12、





.
函数
f(x)?(x?3)e
的单调递增区间是？
x

13、






14、设函数
f(x)?xe
（k≠0）
（1）求曲线y=
f(x)
在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数
f(x)
的单调区间
（3）若函数
f(x)
在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围













14、 已知函数
F(x)?2x?t?x?x?1(x∈R)
(t为常数t∈R)
3
kx
已知函数
f(x)?x?3x?2lnx
则函数
f(x)
的单 调递减区间是？
2
（1） 写出此函数
F(x)
在R上的单调区间
（2） 若方程
F(x)
-m=0恰有两解，求实数m的值










.

15、 已知函数
f(x)?(ax?x)lnx?
2
1
2
ax?x(a?R)

2
(1) 当a=0时，求曲线y=
f(x)
在点（e，
f(e)
）处的切线方程
(2) 求函数
f(x)
的单调区间













已知函数的单调区间求解参数的取值范围
16、 已知函数
f(x)?3ax?2(3a?1)x?4x

42
（1） 当a=
1
时，求
f(x)
的极值；
6
（2） 若
f(x)
在（-1，1）上是增函数，求a 的取值范围












17、
.
已知函数
f(x)?lnx?ax?ax(a?R)
若函数
f(x)
在区间[1，+∞﹚上是减函数，求实数a的取值范围。
22

18、 已知a∈R，函数
f(x)
=
(?x?ax)e(x?R)

2x
（1） 当a=2时，求函数
f(x)
的单调递增区间
（2） 若函数
f(x)
在（-1，1﹚上单调递增，求a的取值范围
（3） 函数
f(x)
是否为R上的单调函数？若是求出啊的取值范围，若不是说明理由














19、 设函数
f(x)
=
x?ax?ax ?1,g(x)?ax?2x?1
其中实数a≠0
3222
（1） 若a＞0，求函数
f(x)
的单调区间
（2） 当函数y=
f(x)
与y=g（x）的图像只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），
求 h（a）的值域
（3） 若
f(x)
与g（x）在区间[a，a+2]上均为增函数，求a的取值范围。












.

20、 设函数
f(x)
=
lnx?p(x?1),p?R)

（1） 当p=1时，求函数
f(x)
的单调区间；
（2） 设函数
g(x)?xf (x)?p(2x?x?1)
对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求p的取值范围














21、 已知a是实数，函数
f(x)
=
2 ax?2x?3?a
如果函数y=
f(x)
在区间[-1，1]上有零点，求a的取值 范围。
2
2




















利用导数求解函数的极值
22、
.
已知函数
f(x)
=
(x?ax?2a?3a)e
（x∈R），其中a∈R
22x

（1） 当a=0时，求曲线y=
f(x)
在点（1，
f(1)
﹚处切线的斜率
（2） 当a≠









23、
2
时，求函数
f(x)
的单调区间与极值 3
函数
f(x)
的定义域为开区间（a，b），导函数
f`(x)
在区间（a，b）内的图像如图所示，则函数
f(x)
在
区间（a，b）内的极小值 点有几个？









24、
e
x
设函数
f(x)?
，其中a为正实数。
2
1?ax
（1） 当a=
3
时，求
f(x)
的极值点；
4
（2） 若
f(x)
为R上的单调函数，求a的取值范围

.

利用导数求解函数的最值
25、
g( x
1
)f(x
2
)
e
2
x
2
?1
e
2
x
设函数
f(x)
=，
g(x)?
x
，对任意x
1
，x
2
∈（0，+∞），不等式恒成立，则
?
x
kk?1
e
正数k的取值范围为多少？












26、




27、 已知某厂家的年利润y（单位： 万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=
?
函数
f(x)
=x?3x?2
在区间[-1，1]上的最大值是多少？
32
1
3
x?81x?234
，
3
则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为多少？







28、
.
设关于x的方程
2x?ax?2?0
的两根为α，β（α＜β﹚，函数
f(x )
=
2
4x?a
，丨f（α）·f（β）
x
2
?1

丨=4
（1） 证明：
f(x)
是[α，β]上的增函数
（2） 当a为何值时，
f(x)
在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小。













29、 已知函数
f(x)
=
x?ax?bx?c，曲线y=
f(x)
在点x=1处的切线为l：3x-y+1=0，若x=
32< br>2
时，y=
f(x)
3
有极值。
（1） 求a，b，c的值；
（2） 求y=
f(x)
在[-3，1]上的最大值和最小值







30、 已知函数
f(x)
=
a
x
?
2
（a＞0，且a≠1）
a
x
（1） 若a＞1，且关于x的方程
f(x)
=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
?
，g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与（2） 设函数
g(x)?f(?x),x?
?
?2,?∞
a无关。试求a的取值范围。








.

导数解决实际应用问题
31、 某市政府为了打造宜居城市，计划在公 园内新建一个如图所示的矩形ABCD的休闲区，内部是景观区
A
1
B
1C
1
D
1
,景观区四周是人行道，已知景观区的面积为8000平方米， 人行道的宽度为5m。
（1） 设景观区的宽B
1
C
1
的长度为x 米，求休闲区ABCD所占面积关于x的函数；
（2） 规划要求景观区的宽B
1
C
1
的长度不能超过50米，如何设计景观区的长和宽，才能使ABCD所占面积
最小？



.

32、 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源 损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使
用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层 建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔
热层厚度x（单位;cm）满足 关系C（x）=
k
(0?x?10)
，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，< br>3x?5
设
f(x)
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（1） 求k的值及
f(x)
的表达式
（2） 隔热层修建多厚时，总费用
f(x)
达到最小，并求最小值。








利用导数研究一元不等式问题
33、 设a为实数，函数
f(x)
=
e?2x?2a,x?R

x
(1) 求
f(x)
的单调区间与极值；
(2) 求证：当
a＞ln2-1
且x＞0时，
e＞x-2ax?1














.
x2

34、 已知函数
f(x)
=
1?x?1?x
。
（1） 求函数
f(x)
的单调区间
x
2
（2） 是否存在正实数a，使不 等式
1?x?1?x
≤2
?
在0≤x≤1时恒成立？如果存在求出最小的正数
α
α；若不存在，说明理由。
















35、 已知函数
f(x)
=
lnx?
a

x
（1） 若a＞0，试判断
f(x)
在定义域内的单调性；
（2） 若
f(x)
在[1，e]上的最小为
3
，求a的值；
2
（3） 若
f(x)
＜x
2
在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围














.

36、













37、 x
2
x2
＜ln(1?x)
＜
x?
证明不等式
x?
，x∈（0，+∞）
2
2(1?x)
x
2
证明不等式
e
＞
1?x?
，x∈（0，+∞）
2
x














利用导数研究二元不等式问题
38、 已知函数
f(x)?x?1?alnx(a＜0

）
（1） 确定函数
f(x)
的单调性
.

（2） 若对任意
x
1
,x
2
?(0,1]且x
1
?x2
,都有
f(x
1
)?f(x
2
)＜4

11
,求实数a的取值范围
?
x
1
x
2
1
当a＜0时，函数f(x)在(0,1]上是增函数．又函数y＝在(0,1]上是减函数．
x
不妨设0＜x
1
≤x
2
≤1，
1111
则|f(x
1
)－f(x
2
)|＝f(x
2
)－f(x< br>1
)，－＝－，
x
1
x
2
x
1
x
2
1144
所以|f(x
1
)－f(x
2
)|≤4 －等价于f(x
2
)－f(x
1
)≤－，
x
1
x
2
x
1
x
2
44
即f(x
2
)＋ ≤f(x
1
)＋.
x
2
x
1
44
设h( x)＝f(x)＋＝x－1－alnx＋，
xx
11
则|f(x
1
)－f(x
2
)|≤4－等价于函数h(x)在区间(0,1]上是减函数．(13分) x
1
x
2
a4
x
2
－ax－4
因为h ′(x)＝1－－
2
＝，所以x
2
－ax－4≤0在x∈(0,1]时恒成立 ，
xxx
2
44
即a≥x－在x∈(0,1]上恒成立，即a不小于y＝x －在区间(0,1]内的最大值．
xx
44
而函数y＝x－在区间(0,1]上是增 函数，所以y＝x－的最大值为－3.所以a≥－3.
xx
又a＜0，所以a∈[－3,0)．








39、 已知函数
f(x)?
1
2
x?ax?(a?1)lnx,a＞1

2
（1） 讨论函数
f(x)
的单调性
（2） 证明：若a＜5， 则对任意x
1
，x
2
∈（0，+∞），x
1
≠x
2
，
有











.
f(x
1
)?f
?
x
2
?
＞-1

x
1
?x
2

40、 已知函数
f(x)
=
x?
2
2
?alnx(x＞0)
对任意两个不想等的正数x
1
，x
2
，证明：当a≤0时，
x
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
x?x
2
＞f(
1
)

22
















41、 已知函数
f(x)?
1
3
a?2
2
1
x?x?2ax?3,g(a )?a
3
?5a?7

326
（1） 当a=1时，求函数
f(x)
的单调递增区间
（2） 若函数
f(x)在区间[-2，0]上不单调，且x∈[-2，0]时，不等式
f(x)
＜g（a）恒成立 ，求实数a的取值
范围













.

42、 已知函数
f(x)?lnx?a(x?1),a?R

（1） 讨论函数
f(x)
的单调性
（2） 当x≥1时，
f(x)
≤















利用导数研究正整数不等式
43、 已知函数
f(x)
=
ax?
lnx
恒成立，求a的取值范围
x?1
b
?c,(a＞0)
的图像在点（1，
f(1)
）处的切线 方程为y=x-1
x
（1） 用a表示出b，c
（2） 若
f(x)
≥
lnx
在[1，+∞﹚上恒成立，求a的取值范围
（3） 证明：
1?













.
n
111
(n?1)

??.........?
＞
ln(n?1)?
2(n?1)
23n

44、 已知函数
f(x)
=
x?a?lnx(a＞0)

（1） 若a=1，求
f(x)
的单调区间及
f(x)
的最小值 < br>ln2
2
ln3
2
lnn
2
(n?1)(2n?1)
（2） 试比较
2
?
2
?.....?
与的大小（n∈N* 且n≥2）并证明你的结论
2
2(n?1)
23n

















.

45、 设函数
f(x)
=
x?bln(x?1),
其中b≠0
2
（1） 若b=﹣12，求
f(x)
的单调递增区间
（2） 如果函数
f(x)
的定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围
（3） 求证：对任意的n∈N*，不等式
ln


























.
n?1n-1
＞
3
恒成立
n
n

46、 已知函数
f(x)
=
1?x
?lnx

ax
（1） 若函数
f(x)
在[1，+∞﹚上为增函数，求a的取值范围
（2） 当a=1时，求
f(x)
在[
1
,2]
上的最大值和最小值
2
1111
???.....?

234n
（3） 当a=1时，求证；对于大于1的任意正整数n都有
lnn＞




























47、 已知函数
f(x)
=
e?ax?1(a＞0)

x
（1） 求函数
f(x)
的最小值
（2） 若
f(x)
≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值
.

e
?
1
??
2
??
3
??
n?1
?
（3） 在（2）的条件下，证明：
??
?
??
?
??
?.....?
?
（其中n∈N*）
?
＜
e?1
nnnn
????????










48、 设函数
f(x)
=
(x?1)?blnx
，其中b为常数
2
nnnn
（1） 当b＞
1
时，判断函数
f(x)
在定义域上的单调性
2
（2） 若函数
f(x)
有极值点，求实数b的取值范围及
f(x)
的极值点
（3） 求证；对于任意不小于3的正整数n，不等式
11
-都成立
＜ln(n?1)lnn＜
2
n
n
.