高中数学文科导数练习题

数学导数练习（文）
一、1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中
s
的单位是米，
t
的单位是秒，那么物体在
3
秒末的瞬时速度是（ ）A
7
米秒 B
6
米秒 C
5
米秒 D
8
米秒
2. 已知函数
f
(
x
)=
ax
2
＋
c
,且
f
?
(1)
=2,则< br>a
的值为（ ） A.1 B.
2
C.－1D. 0
3
f(x)
与
g(x)
是定义在R上的两个可导函数，若
f(x),
g(x)
满足
f
'
(x)?g
'
(x),则
f(x)
与
g(x)
满足（ ）A
f(x)?
2
g(x)
B
f(x)?
g(x)
为常数函数
C
f(x)?g(x)?0
D
f(x)?
g(x)
为常数函数
4. 函数
y=x
3
+x
的递增区间是（ ）A
(??,1)
B
(?1,1)
C
(??,??)
D
(1,??)

5.若函数f(x)在区间（a ，b）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a， b）
内有（ ）A.
f(x) 〉0
B.
f(x)〈 0
C.
f(x) = 0
D.
无法确定
< br>6.
f'(x
0
)
=0是可导函数
y
=f(x)在点
x
=
x
0
处有极值的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
7．曲线
f(x)=x< br>3
+x-2
在
p
0
处的切线平行于直线
y=4x-1
，则
p
0
点的坐标为（ ）
A
(1,0)
B
(2,8)
C
(1,0)
和
(?1,?4)
D
(2,8)
和
(?1,?4)

8．函数
y?1?3x?x
3
有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极
小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2
9 对于< br>R
上可导的任意函数
f(x)
，若满足
(x?1)f
'
(x)?0
，则必有（ ）
A
f(0)?f(2)?2f(1)
B
f(0)?f(2)?2f(1)

C
f(0)?f(2)?2f(1)
D
f(0)?f(2)?2f(1)

10．函数
f(x)
的定义域为 开区间
(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在

y
y?f
?
(x)
(a,b)
内的图象如图所示，则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内

a
b
O


有极小值点（ ） A.
1
个 B.
2
个
C.
3
个 D.
4
个
二、11．函数
y?x?x?x
的单调区间为______________________ _____________.
32
x
12．已知函数
f(x)?x?ax
在R上有两个极值点，则实数
a
的取值范围是 .
13.曲线
y?x?4x
在点
(1,?3)
处的切线倾斜角为__________.
3
14. 曲线
y?x
在点?
1,1
?
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围 成的三角形的面积为
3
3
__________。
15. 已知曲线
y?
1
3
x?
3
4
3
，在点
P(2,4 )
的切线方程是______________

16. 某公司一年购买某种 货物400吨，每次都购买
x
吨，运费为4万元／次，一年的总存储
费用为
4 x
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x?
吨．
三、解答题：
15．求垂直于直线
2x?6y?1?0
并且与曲线
y?x
3
?3x
2
?5
相切的直线方程
16．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？


17．已知
f(x)?ax
4
?bx
2
?c
的图象经过点
(0,1)
，且在
x?1
处的切线方程是
y?x?2
，
请解答下列问题：（1）求
y?f(x)
的解析式；（2）求
y?f(x)
的单调递增区间。



3
18． 已知函数
f(x)?ax?
3
2
(a?2)x?6x?3

2
（1）当
a?2
时，求函数
f(x)
极小值；
（2）试讨论曲线
y?f(x)
与
x
轴公共点的个数。



19.已知函数
f(x)?x?ax?bx?c
在
x? ?
（1）求
a,b
的值与函数
f(x)
的单调区间
（2） 若对
x?[?1,2]
，不等式
f(x)?c
恒成立，求
c
的取值范围





32
20.已知x?1
是函数
f(x)?mx?3(m?1)x?nx?1
的一个极值点，其中< br>m,n?R,m?0
，
2
32
2
3
与
x?1
时都取得极值
（1）求
m
与
n
的关系式；
（2）求
f(x)
的单调区间；
（3）当
x?
?
?1,1
?
时，函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m， 求m的取值
范围.

参考答案
一、选择题
AACACBBCCCA
二、填空题
11．递增区间为：（-∞，
13
），（1，+∞）递减区间为（
?
1
3
1
3
，1）
（注：递增区间不能写成：（-∞，
12．
(??,0)

13．
14．
3
4
8
）∪（1，+∞））
?

3

15.
y?4x?4?0

16.20
三、解答题：
17．解：设切点为
P(a,b)
，函 数
y?x
3
?3x
2
?5
的导数为
y
'< br>?3x
2
?6x

'2
切线的斜率
k?y|
x?a
?3a?6a??3
，得
a??1
，代入到
y?x
3
?3x
2
?5

得
b??3
，即
P(?1 ,?3)
，
y?3??3(x?1),3x?y?6?0

18．解：设 小正方形的边长为
x
厘米，则盒子底面长为
8?2x
，宽为
5?2x


V?(8?2x)(5?2x)x?4x?26x?40x


V?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或x?
'2'
32
10
3
，
x?
10
3
（舍去）

V
极大值
?V(1)?18
，在定义域内仅有一个极大值，

?V
最大值
?18

42
19．解：（1）
f(x )?ax?bx?c
的图象经过点
(0,1)
，则
c?1
，
f(x)?4ax?2bx,k?f(1)?4a?2b?1,

'3'
切点 为
(1,?1)
，则
f(x)?ax?bx?c
的图象经过点
(1, ?1)

得
a?b?c??1,得a?
f(x)?
5
2x?
4
42
5
2
,b??
9
2

9
2
x?1

2

（2）
f
'
(x)?10x
3
?9x?0,?
310
10
31010
?x?0,或x?
310
10

单调递增区间为
( ?
'2
310
10
,0),(,??)

2
aa
2
20．
解：（1）
f(x)?3ax?3(a?2)x?6?3a( x?)(x?1),
f(x)
极小值为
f(1)??

（2）①若< br>a?0
，则
f(x)??3(x?1)
2
，
?f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点；
②若
a?0
，
?
f(x)
极大值为
f(1)??
?f(x)
的图像与
x
轴 有三个交点；
a2
?0
，
?f(x)
的极小值为
f()?0
，
2a
③若
0?a?2
，
f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点；
④若
a?2
，则
f
'
(x)?6(x ?1)
2
?0
，
?f(x)
的图像与
x
轴只有一个 交点；
⑤若
a?2
，由（1）知
f(x)
的极大值为
f( )??4(
a
21
a
?
3
4
)?
2
3
4
?0
，
?f(x)
的图像与
x
轴只有一个交 点；
综上知，若
a?0,f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点；若
a?0
，
f(x)
的图像与
x
轴有三个
交点。

21．解：（1）
f(x)?x
3
?ax
2
?b x?c,f
'
(x)?3x
2
?2ax?b

由
f (?
'
'
2
3
)?
2
12
9
?< br>4
3
a?b?0
，
f(1)?3?2a?b?0
得
a ??
'
1
2
,b??2

f(x)?3x?x?2?(3x ?2)(x?1)
，函数
f(x)
的单调区间如下表：

x

(??,?
2
3
)

?
2
3

(?
2
'
f(x)


?

0

3
?

,1)


1


(1,??)


0


?

f(x)
?
极大值
?
2
3
极小值
?
)
与(1,??)
,递减区间是
(?
所以函数
f(x)
的递增区间是
(??,?
（2）
f(x)?x?
3
2
3
,1)< br>；
22
27
?c

2
1
2
x?2 x?c,x?[?1,2]
，当
x??
2
2
3
时，
f(?
2
3
)?
为极大值，而
f(2)?2?c
，则
f(2)?2?c
为最大值，要使
f(x)?c,x?[?1,2]

恒成立，则只需要
c?f(2)?2?c
，得
c??1,或c?2

2
22．解(1)
f
?
(x)?3mx?6(m?1)x?n
因为
x?1
是函数
f(x)
的一个极值点,
2

< br>所以
f
?
(1)?0
,即
3m?6(m?1)?n?0
，所以
n?3m?6

?
?
?
?
2
?
?
?
?

m
?
?
（2）由（1）知，
f
?
(x)?3mx< br>2
?6(m?1)x?3m?6
=
3m(x?1)
?
x??
1?
当
m?0
时，有
1?1?


x

2
??
??,1?
??

m
??
?0

2
m
，当
x
变化时 ，
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如下表：
1?
2
m

2
??
1?,1
?

?
m
??
?0

1
?
1,??
?

?0

f
?
(x)

f(x)

0
极小值
?
?
0
极大值 调调递减 单调递增 单调递减
故有上表知，当
m?0
时，
f(x)
在
?
??,1?
在
( 1?
2
m
2
?
?
单调递减，
m
?
,1)
单调递增，在
(1,??)
上单调递减. （3）由已知得
f
?
(x)?3m
，即
mx
2
?2(m?1)x?2?0

2
又
m?0
所以
x?
2
m
(m?1)x?
1
m
)x?
2
m
2< br>m
?0
即
x?
2
2
m
(m?1)x?
2
m
?0,x?
?
?1,1
?
①
2
设
g(x)?x?2(1?
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， < br>22
?
??0
?
g(?1)?0
?
1?2?
所以
?
解之得
?
?
mm
g(1)?0
?
?
?1?0
?
?
4
3
?m
又
m?0

4
3
?m?0
所以
?
即
m
的取值范 围为
?
?
?
?
4
?
,0
?

3
?