高中数学导数概念的引入

一．导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数< br>y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
?x< br>我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x? x
0
，即
f
?
(x
0
)
=
li m
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
2. 导数的几何意义: 当点
P
n
趋近于
P
时，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数就是切线PT的
斜率k，即
k?lim
3. 导函数
二．导数的计算
1. 基本初等函数的导数公式
2. 导数的运算法则
3. 复合函数求导
?x?0< br>f(x
n
)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)

x
n
?x
0
y?f(u)
和u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y? f(g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)

三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的方法是:
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值;
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
（2） 将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的是一个
最大值，最小的是最小值.
四.生活中的优化问题

1、已知函数
f( x)?2x?1
的图象上一点
(1,1)
及邻近一点
(1??x,1??y)
，则
2
?y
等于
?x
（ ）A．4 B．
4?x
C．
4?2?x
D．
4?2?x
2

2、如果质点
M
按规律
S?3 ?t
2
运动，则在一小段时间
[2,2.1]
中相应的平均速度为（ ）
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
3、如果质点A按规律
S ?2t
3
运动，则在
t?3
秒的瞬时速度为（ ）
A．6 B．18 C．54 D．81
11
在点
(,?2)
处的切线斜率 为_________，切线方程为__________________．
x2
2
5、已知函数
f(x)?ax?2
，若
f
?
(?1)?1
，则
a?
__________．
4、曲线
y??
6、计算： < br>（1）
f(x)?5x?7
，求
f
?
(3)
；（2）
f(x)?
（3）
y?
2
2
1
x?2
，求
f
?
(?)
；
32
1
，求
y
?
|
x?0

x? 1
7、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间
t
存在函数关系
S?10t ?5t
2
，（
S
的单位：
m
，
t
的单位：
s
），求：
（1）
t?20,?t?0.1
时的
（2）求
t?20
的速度．

1、函数
y?
5
?S
；
?t
x
4
的导数是（ ）
1
?
4
4< br>?
1
1
3
2
3
A．
x
B．
x
C．
x
5
D．
?x
5

5
5
55
1
1
2、曲线
y?x
2
在点
(1,)
处切线的倾斜角为（ ）
2
2
5
?
?
?
A．1 B．
?
C． D．
4
44
3、已知曲线
y?x ?2x?2
在点
M
处的切线与
x
轴平行，则点
M
的 坐标是（ ）
A．
(?1,3)
B．
(?1,?3)
C．
(?2,?3)
D．
(?2,3)

2
x
在点
(1,1)
处的切线方程为____________________．
2 x?1
3
5、曲线
y?x
在点
(1,1)
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形面积为__________．
4、（2009全国卷Ⅱ理）曲线
y?
6、求下列函数的导数：
（1）y?()
x
?log
3
x
；（2）
y?(1?
7、已知
f(x)?2x?1
．
2
1
3
x)(1?
1
cos2x
)
；（3）
y?
．
sinx?cosx
x

（1）求
f (x)
在点
(1,1)
处的切线方程；（2）求过点
(1,0)
的切 线方程．
8、函数
y?(2?x)
的导数是（ ）
33
A．
6x
5
?12x
2
B．
4?2x
3
C．
2(2?x)
D．
2(2?x)?3x

3
32
9、已知
y?
1
sin2x?sinx
，那么
y
?
是（ ）
2
A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数 D．非奇非偶函数
10、曲线
y?e
A．< br>1
x
2
在点
(4,e)
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）
2
9
2
C．
2e
2
D．
e
2

e
B．
4e
2
2
2
11、已知
f(x)?ln(x?x?1)
，若
f
?
(a)?1
，则实数
a
的值为__________．
12、< br>y?sin3x
在
(
?
3
,0)
处的切线斜率为__ ________________．
1?x
，
?1?x?1
．
1?x
13、求下列函数的导数：
（1）
f(x)?1?2x
；（ 2）
f(x)?e
2
?x
2
?2x?3
；（3）
y ?ln
cos
2
x
?
?
14、已知
f(x)? ，求
f()
．
1?sin
2
x
4

1、（09广东文）函数
f(x)?(x?3)e
的单调递增区间是（ ）
A．
(??,2)
B．
(0,3)
C．
(1,4)
D．
(2,??)

2、设函数
y?f(x)
在定义域内可导，
y?f(x)
的图象如图1所示，则导函数
y ?f
?
(x)
可
能为（ ）
y
y
y
y y


x

A
32
x
O
x
O
x
O
x
O
x
O
图1

B
C D
3、 若函数
f(x)?x?ax?x?6
在
(0,1)
内单调递减，则实数
a
的取值范围是（ ）
A．
a?1
B．
a?1

3
C．
a?1
D．
0?a?1

4、函数f(x)?ax?x
在R上为减函数，则实数
a
的取值范围是_________ _____．
5、求函数
f(x)?2x?lnx
的单调区间．
6、（09北京理）设函数
f(x)?xe(k?0)
．
kx
2

（1）求曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程；（2）求函数
f(x)
的单调 区间；
（3）若函数
f(x)
在区间
(?1,1)
内单调递增，求
k
的取值范围．
7、函数
y?4x
2
?
1
的单调递增区间是（ ）
x
1
1
A．
(0,??)
B．
(,??)
C．
(??,?1)
D．
(??,?)

2
2
8、若函数
y?x
3?x
2
?mx?1
是
R
上的单调函数，则实数
m
的取值范围是（ ）
A．
(,??)
B．
(??,]
C．
[,??)
D．
(??,)

9．函数
f(x) ?lnx?
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2
x
的图象大致是（ ）
2
10、如果函数
y?f(x)
的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：
①函数
y?f(x)
在区间
(?3,?)
内单调递增；
②函数
y?f(x)
在区间
(?,3)
内单调递减；
③函数
y?f(x)
在区间
(4,5)
内单调递增；
④当
x?2
时，函数
y?f(x)
有极小值；
⑤当
x??
1
2
1
2
1
时，函数
y?f(x)
有极大值.
2
32
则上述判断中正确的是____________．
11、已知函数
f(x)?x?ax?bx?c
，
g(x)?12x?4
， 若
f(?1)?0
，且
f(x)
的图象
在点
(1,f(1) )
处的切线方程为
y?g(x)
．
（1）求实数
a
，b
，
c
的值；（2）求函数
h(x)?f(x)?g(x)
的单 调区间
12、已知函数
f(x)?
13、已知函数
f(x)?


1
2
x?lnx?(a?4)x
在
(1,??)
上是增函数，求实数
a
的取值范围．
2
x?1?alnx
（a?R
），
f(x)
的单调区间．

1．C 2．B 3．C 4．4；
y?4x?4
5．
?
7．210.5；210
1
?
1
?
3
81
x
11
?(x
2
?x
2
)
；1．C 2．C 3．B 4．
y??x?2
5． 6．；
()ln?
2
333xln3
?sinx?cosx
7．
y?4x?3
；
y?(4?22)x?(4?22)
或
12
6．5；
?
；－1
23
y?(4?22)x?(4?22)
8．A 9．B 10．D 11．0或1 12．－3
?2x
2
?x
2
?2x?3
13．；
(?2x?2)e
；
2
2
1?x
1?2x
8
14．
?

9
11
1．D 2．D 3．A 4．
a?0
5．增区间
(,??)
，减区间
(0,)

22
11
6．
y?x
；
k?0
时，增区间
(?,??)
，减区间< br>(??,?)

kk
11
k?0
时，增区间
(??, ?)
，减区间
(?,??)
；
[?1,0)(0,1]

kk
7．B 8．C 9．B 10．③ 11．
a?3,b?3 ,c?1
；增区间
(??,?3)
和
(1,??)
，
减区间
(?3,1)
12．
a?2

13．
a?0
时，增区间为
(0,??)

a?0
时，在
(0,2a
2
?2aa
2
?1)
上减，在
( 2a
2
?2aa
2
?1,??)






仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
无须自卑，不要自负，坚持自信。
用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！）

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