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高中数学导数题型总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 20:37
tags:高中数学导数

高中数学证明题知识点-黄冈中学高中数学必修五百度云

2020年9月17日发(作者:钮文新)



导数
经典例题剖析
考点一:求导公式。
例1.
f
?
(x)

f(x)?


考点二:导数的几何意义。
例2. 已知函数
y?f(x)
的图象在点M(1,f(1))
处的切线方程是
y?
1
3
x?2x?1的导函数,则
f
?
(?1)
的值是 。
3
1
x?2
,则
2
f(1)?f
?
(1) ?

例3.曲线
y?x?2x?4x?2
在点
(1,?3)
处的切线方程是 。
考点三:导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C:
y
?
x?
3x
?
2x
,直线
l:y?kx
,且直线
l
与曲线C相切于点
32
32
?
x
0
,y
0
?
x
0
?0
,求直线
l
的方程及切点坐标。
考点四:函数的单调性。
例5.已知
f
?
x
?
? ax?
3
x?x?
1
在R上是减函数,求
a
的取值范围。
32

例6. 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c
在< br>x?1

x?2
时取得极值。
(1)求a

b的值;
32
3]
,都有
f(x)?c
成立,求c的取值范围。 (2)若对 于任意的
x?[0,
点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数
f
?
x
?
的极值步骤:①求导数
f'
?
x
?

②求
f'
?
x
?
?0
的根;③将
f'?
x
?
?0
的根在数轴上标出,得出单调区间,由
f'
?
x
?
在各
区间上取值的正负可确定并求出函数
f
?
x
?
的极值。

2



例7. 已知
a
为实数,
f
?
x
?
?x?4
?x?a
?
。求导数
f'
?
x
?
;(2)若f'
?
?1
?
?0
,求
f
?
x
?
2
??
在区间
?
?2,2
?
上的最大值和最小 值。
解析:(1)
f
?
x
?
?
x
?ax
?
4x
?
4a

?

f'
?
x
?
?3x?2ax?4

322
1
2

?f'
?
x
?
?3x?x?4?
?
3x?4
??
x?1
?

2
4

f'
?
x
?
?0
,即
?
3x?4
??< br>x?1
?
?0
,解得
x??1

x?
, 则
f
?
x
?

f'
?
x
?
在区间
?
?2,2
?
3
上随
x
的变化情况如下表:
(2)
f'
?
?1
?
?3?2a?4?0

?a?
x

?2


0
?
?2,?1
?


增函数
?1

0
极大值
4
??
?
?1,
?

3
??

减函数
4

3
0
极小值
?
4
?
?
,2
?

?
3
?

增函数
2


0
f'
?
x
?

f
?
x
?

f
?
?1
?
?
9

2
50
?
4
?
f
??
??
。所以,
f
?
x
?
在区间
?
?2,2
?
上的最大值为
27?
3
?
50
?
4
?
f
??
? ?
,最
27
?
3
?
小值为
f
?
? 1
?
?
9

2
2
答案:(1)
f
'
?
x
?
?
3
x?
2
ax?
4
;(2)最大值为
f
??
??
?
4
?
?< br>3
?
50
9
,最小值为
f
?
?1
?
?

27
2
点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数< br>f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的最 值,要先求
出函数
f
?
x
?
在区间
?
a, b
?
上的极值,然后与
f
?
a
?

f?
b
?
进行比较,从而得出函数的最大最
小值。
考点七:导数的综合性问题。
例8. 设函数
f(x)?ax?bx?c
( a?0)
为奇函数,其图象在点
(1,f(1))
处的切线与直线
3
x?6y?7?0
垂直,导函数
f'(x)
的最小值为
?12
。(1 )求
a

b

c
的值;
(2)求函数
f (x)
的单调递增区间,并求函数
f(x)

[?1,3]
上的最大 值和最小值。





解析:
(1)∵
f(x)
为奇函数,∴
f(?x)??f(x)
,即
?a x?bx?c??ax?bx?c

33

c?0
,∵
f' (x)?3ax?b
的最小值为
?12
,∴
b??12
,又直线x?6y?7?0
的斜率为
2
1
,因此,
f'(1)?3a?b ??6
,∴
a?2

b??12

c?0

6
2
3
(2)
f(x)?2x?12x

f'(x)?6x?12?6(x?2)(x?2)
,列表如下:
x

(??,?2)

?

增函数
?2

(?2,2)

2

(2,??)

?

增函数
f'(x)

f(x)

0

极大
?

减函数
0

极小
所 以函数
f(x)
的单调增区间是
(??,?2)

(2,??),∵
f(?1)?10

f(2)??82

f(3)?18< br>,∴
f(x)

[?1,3]
上的最大值是
f(3)?18< br>,最小值是
f(2)??82

答案:(1)
a?2
b??12

c?0
;(2)最大值是
f(3)?18
,最小值 是
f(2)??82

点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导 数的应用等基础知识,以
及推理能力和运算能力。



导数强化训练
(一) 选择题
x
2
1
1. 已知曲线
y?
的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( A )
4
2
A.1
3
B.2
2
C.3 D.4
( B ) 2. 曲线
y?x?3x?1
在点(1,-1)处的切线方程为
A.
y?3x?4

2
B.
y??3x?2
C.
y??4x?3
D.
y?4x?5

3. 函数
y?(x?1)(x?1)

x?1
处的导数等于 ( D )



A.1 B.2 C.3 D.4



4. 已知函数
f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)
的解析式可能为 ( A )
A.
f(x)?(x?1)
2
?3(x?1)
B.
f(x)?2(x?1)

C.
f(x)?2(x?1)
2
D.
f(x)?x?1

5. 函数
f(x)?x
3
?ax
2
?3x?9
, 已知
f(x)

x??3
时取得极值,则
a
=( D )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

6. 函数
f(x)?x
3
?3x
2
?1
是减函数的区间为( D )
(A)
(2,??)
(B)
(??,2)
(C)
(??,0)
(D)
(0,2)

7. 若函数
f
?x
?
?x
2
?bx?c
的图象的顶点在第四象限,则函数
f'
?
x
?
的图象是( A )



y
y
y
y



o x
o x
o x
o


A
B
C
D

8. 函数
f(x)?2x
2
?
1
3
x
3
在区间
[0,6]
上的最大值是( A )
A.
32
3
B.
16
3
C.
12
D.
9

9. 函数
y?x
3< br>?3x
的极大值为
m
,极小值为
n
,则
m?n
为 ( A )
A.0 B.1 C.2 D.4
10. 三次函数
f
?
x
?
?ax< br>3
?x

x?
?
??,??
?
内是增函数, 则 ( A )
A.
a?0
B.
a?0
C.
a?1
D.
a?
1
3

11. 在函 数
y?x
3
?8x
的图象上,其切线的倾斜角小于
?
4的点中,坐标为整数的点的个数
是 ( D )
A.3 B.2 C.1 D.0




x



12. 函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
,导函数
f
?
(x)

(a,b)
内的图象如图所示,则函数

f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点( A )
A.1个
C.3个




(二) 填空题




B.2个
D. 4个
y

y?f
?
(x)
b

a
O


x

3
13. 曲线
y?x
在点
?
1,1
?
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为< br>__________。
14. 已知曲线
y?
______________
15. 已知
f
都有
f
(n)
(n)
1
3
4
x?
,则过点P(2,4)
“改为在点
P(2,4)
”的切线方程是
33
(x )
是对函数
f(x)
连续进行n次求导,若
f(x)?x
6
?x
5
,对于任意
x?R

(x)
=0,则n的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买
x
吨,运费为4万元/次 ,一年的总存储
费用为
4x
万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则
x?
吨.

(三) 解答题
17. 已知函数
f?
x
?
?x?ax?bx?c
,当
x??1
时,取得极 大值7;当
x?3
时,取得极
32
小值.求这个极小值及
a,b,c
的值.

















18. 已知函数
f(x)??x?3x?9x?a.

(1)求
f(x)
的单调减区间;
(2)若
f(x)
在区 间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.




19. 设
t?0
,点P(
t
,0)是函数
f(x)?x? ax与g(x)?bx?c
的图象的一个公共点,
两函数的图象在点P处有相同的切线。
(1)用
t
表示
a,b,c

(2)若函数
y? f(x)?g(x)
在(-1,3)上单调递减,求
t
的取值范围。




20. 设函数
f
?
x
?
?x
3
?bx
2
?cx(x?R)
,已知
g(x)?f(x )?f
?
(x)
是奇函数。
(1)求
b

c
的值。
(2)求
g(x)
的单调区间与极值。




21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问< br>该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?



22. 已知函数
f(x)?
2
32
32
1
31
2
3]
内各有一个极值点.


(1,
x ?ax?bx
在区间
[?11)
32
(1)求
a?4b
的最 大值;
,f(1))
处的切线为
l
,若
l
在点
A
处穿(1) 当
a?4b?8
时,设函数
y?f(x)
在点
A(1
过函数
y?f(x)
的图象(即动点在点
A
附近沿曲线
y?f(x)
运动,经过点
A
时,

l
的一侧进入另一侧 ),求函数
f(x)
的表达式.

2



强化训练答案:
1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A
(四) 填空题
13.
8
14.
y?4x?4?0
15. 7 16. 20
3
(五) 解答题
17. 解:
f'
?
x
?
?3x
2
?2ax?b

2
据题意,-1,3是方程
3x?2ax?b?0
的两个根,由韦达定理得
2a
?
?1?3??
?
?
3

?
?
?1?3?
b
?
3
?

a??3,b??9


f
?
x
?
?x
3
?3 x
2
?9x?c

f
?
?1
?
?7
,∴
c?2

f
?
3
?
?3
3
?3?3
2
?9?3?2? ?25
极小值
∴极小值为-25,
a??3,b??9

c?2

18. 解:(1)
所以函数
(2)因为
所以
f
?
(x)??3x
2
?6x?9.

f
?
(x)?0
,解得
x??1或x?3,

f(x)
的单调递减区间为
(??,?1),(3,??).

f(?2)?8?12?18?a?2?a,

f(2)??8?12?18?a?22?a,

f(2)?f(?2).
因 为在(-1,3)上
f
?
(x)?0
,所以
f(x)
在[- 1,2]上单调递增,又由

f(x)
在[-2,-1]上单调递减,因此
f (2)

f(?1)
分别是
f(x)
在区间
?
?2 ,2
?
上的最大值和最小
值.于是有
22?a

即函数
?20
,解得
a??2.

f(x)??x
3
?3x
2
?9x?2.
因此
f(?1)?1?3?9?2??7,

f(x)
在区间
?
?2,2
?
上的最小值为-7.
19. 解:(1)因为函数

t
3
f(x)
,< br>g(x)
的图象都过点(
t
,0),所以
f(t)?0

?at?0
.因为
t?0,
所以
a??t
2
.
g(t)?0,即bt
2
?c?0,所以c?ab.



又因为
f(x)

g(x)
在点(t
,0)处有相同的切线,所以
f
?
(t)?g
?
(t ).


f
?
(x)?3x
2
?a,g
?
(x)?2bx,所以3t
2
?a?2bt.


a??t
2
代入上式得
b?t.
因此
c?ab??t
3
.

a??t
2

b?t

c ??t
3
.

(2)
y?f(x)?g(x)?x
3
?t
2
x?tx
2
?t
3
,y
?
?3x
2
?2tx?t
2
?(3x?t)(x?t)
.

y
?
?(3x?t)(x?t)?0
时,函数
y?f(x)?g(x)单调递减.
y
?
?0
,若
t?0,则?

t t
?x?t
;若
t?0,则t?x??.

33
由题意,函数
y?f(x)?g(x)
在(-1,3)上单调递减,则
ttt
(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).
所以
t?3 或??3.即t??9或t?3.

333
又当
?9?t?3
时,函 数
y?f(x)?g(x)
在(-1,3)上单调递减.
所以
t
的取值范围为
(??,?9]?[3,??).


20. 解:(1)∵
f
?
x
?
?x
3
? bx
2
?cx
,∴
f
?
?
x
?
? 3x
2
?2bx?c
。从而
g(x)?f(x)?f
?
(x )?x
3
?bx
2
?cx?(3x
2
?2bx?c)

x
3
?(b?3)x
2
?(c?2b)x?c
是一个奇函数,所以
g(0)?0

c?0
,由奇函数定义得
b?3

32
(2)由(Ⅰ)知
g(x)?x?6x
,从而
g< br>?
(x)?3x?6
,由此可知,
(??,?2)

(2, ??)
是函数
g(x)
是单调递增区间;
(?2,2)
是函数
g(x)
是单调递减区间;
g(x)

x??2
时,
g(x)

x?2
时,取得极大值,极大值 为
42
,取得极小值,极小值为
?42


21. 解:设长方体的宽为
x
(m),则长为
2x
(m),高为
h?< br>18?12x
?4.5?3x(m)
4
3
??
?
0< x<
?
.
2
??
故长方体的体积为
V
?
x
?
?2x
2
?
4.5?3x
?
?9x
2
?6x
3
m
3
从而
V?(x)

V'< br>??
3
??
?
0?x?
?

2
??
?18x?18x
2
(4.5?3x)?18x(1?x).

?< br>x
?
?0
,解得
x?0
(舍去)或
x?1
, 因此
x?1
.
x?1
时,
V'
?
x
?< br>?0
;当
1?x?
3
时,
V'
?
x
?
?0

2

0?



故在
x?1

V
?
x
?
取得极大值,并且这个极大 值就是
V
?
x
?
的最大值。
?V'
?
x
?
?9?1
2
?6?1
3
m
3
从而最大体 积
V
??
,此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
3
答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为
3m

22. 解:(1)因为函数
113]
内分别有一个极值点,所以


(1,
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
在区间
[?11)
32
f?
(x)?x
2
?ax?b
?0

[?11)
3]
内分别有一个实根,


(1,
设两实根为
x
1
,x
2

x
1
?x
2
),则
x
2
?x
1
?a
2
?4b
,且
0?x2
?x
1
≤4
.于是
,x
2
?3
, 且当
x
1
??1

a??2
,故
b??3
时等号成立.
0?a
2
?4b≤4

0?a
2
?4 b≤16

a
2
?4b
的最大值是16.
(2)解法一: 由
f
?
(1)?1?a?b

f(x)
在点
(1, f(1))
处的切线
l
的方程是
21
y?f(1)?f
?
(1)(x?1)
,即
y?(1?a?b)x??a

32
因为切线
l
在点
所以
g(x)?
A(1,f(x))
处空 过
y?f(x)
的图象,
21
f(x)?[(1?a?b)x??a]
x?1
两边附近的函数值异号,则
32
x?1
不是
g(x)
的极值点.

g(x)
1121
?x
3
?ax
2
?bx?(1?a?b)x??a
,且
3232
g
?
(x)?x
2
?ax?b?( 1?a?b)?x
2
?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)

1??1?a
,则
x?1

x??1?a
都是
g(x)
的极值点.
1
?4b?8
,得
b??1
,故
f( x)?x
3
?x
2
?x

3
21
解法二 :同解法一得
g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]

32
13 a3
?(x?1)[x
2
?(1?)x?(2?a)]

322< br>所以
1??1?a
,即
a??2
,又由
a
2
因为切线
l
在点
A(1,f(1))
处穿过
y?f(x)
的 图象,所以
g(x)

x?1
两边附近的函数值异号,于是
?1?m
2
). 存在
m
1
,m
2

m
1

m
1
?x?1
时,
g(x)?0
,当
1 ?x?m
2
时,
g(x)?0


或当
m
1
?x?1
时,
g(x)?0
,当
1? x?m
2
时,
g(x)?0


h(x)
3a< br>??
3a
??
?x
2
?
?
1?
?< br>x?
?
2?
?
,则
2
??
2
??

m
1
?x?1
时,
h(x)?0
,当
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2
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时,
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,当
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