高中数学导数的应用

导数在实际问题中的应用

内容再现
1、函数的单调性与其导数正负的关系：
在某个区间
?
a,b
?
内，如果 ，那么函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增；
在某个区间
?a,b
?
内，
如果 ，那么函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减；若恒有 ，
则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内是常函数。
2、利用函数判断函数值的增减快慢：
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的
快，这时函数的图像比较“陡峭”（向上或向下）：反之，若函数在这个 范围内导数的绝对
值 ，那么函数在这个范围内变化的比较慢，这时函数的图像比较“平缓”。
3、判断函数极大、极小值的方法:
解方程
f
'
?
x
0
?
?0
，当
f
'
?
x
0?
?0
时：
（1）如果在
x
0
附近的左侧 ，右侧 ，那么
f
?
x
0
?
是极大 值，
x
0
是
极大值点。
（2）如果在
x
0
附近的左侧 ，右侧 ，那么
f
?
x
0
?
是极小值点。
4、（1）函数
f
?
x
?
的闭区间
a,b
上的最值：
如果在闭区间
a,b
上函数
y?f
?
x
?
的图像是 一条 曲线，则该函数在
??
??
?
a,b
?
上一定能取得
和 ，并且函数的最值必在 或 取得。
（2）求函数
y?f
?
x
?< br>在区间
a,b
上的最值的步骤：
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
的 ；将函数
y?f
?
x
?
的 与
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

三、巩固练习
??

1、 已知函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内可导，且
x
0
?(a,b)
，则
lim
h?0< br>f(x
0
?h)?f(x
0
?h)
?

h
( )
(A)
f'(x
0
)
(B)
2f'(x
0
)
(C)
?2f'(x
0
)
(D)
0

2、函数
y?xlnx
在区间 ( )
(A)
(0,)
上单调递减 (B)
(,??)
上单调递减
(C)
(0,??)
上单调递减 (D)
(0,??)
上单调递增
3、已知
f(x)?x
3
?3x
2
?a
(a?R)
在
[?3，3]
上有最小值
3< br>，则在
[?3，3]
上，
f(x)
的最
大值是
4、已知
x?1
是函数
f(x)?mx
3
?3(m?1)x
2
?nx?1
的一个极值点，其中
m,n?R,m?0
，
（ I）求
m
与
n
的关系式；
（II）求
f(x)
的单调区间；
（III）当
x?
?
?1,1
?
时，函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3< br>m
，求
m
的取值




1、
f
'
1
e
1
e
?
x
?< br>?0

f
'
?
x
?
?0

f
'
?
x
?
?0
2、大、小
3、（1）增、减 （2）减、增
4、（1）连续 最大值 最小值 端点 极值点 （2）极大值、极值点、端点
巩固练习答案：
1、B 2、A 3、57
4、解(I)
f
?
(x)?3mx?6(m? 1)x?n
因为
x?1
是函数
f(x)
的一个极值点,所以
f
?
(1)?0
,
即
3m?6(m?1)?n?0
，所以< br>n?3m?6

2

（II）由（I）知，
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?3m?6
=
3m(x?1)< br>?
x?
?
1?
?
?
?
?
2
?
?
?
?

m
?
?
当
m?0时，有
1?1?
2
，当
x
变化时，
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如下表：
m
x

f
?
(x)


2
??
??,1?
??

m
??
?0


单调递减
1?


2

m
2
??
1?,1
?

?
m
??
?0


单调递增
1
?
1,??
?

?0


单调递减
0

极大值
f(x)

极小值
故有上表知， 当
m?0
时，
f(x)
在
?
??,1?
上单调递减 .
?
?
2
2
?
(1?,1)
单调递增，单调递减 ，在在
(1,??)
?
m
m
?
（III）由已知得
f
?
(x)?3m
，即
mx?2(m?1)x?2?0

2
2222
(m?1)x??0
即
x
2
?(m?1)x??0 ,x?
?
?1,1
?
①
mmmm
12
2
设
g(x)?x?2(1?)x?
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
mm< br>2
又
m?0
所以
x?
22
?
?
g( ?1)?0
?
1?2???0
44
所以
?
解之得
? ?m
又
m?0
所以
??m?0

?
?
mm
33
?
g(1)?0
?
?1?0
?
即
m< br>的取值范围为
?
?,0
?

知识点梳理：
1、解应用题的基本程序是：
读题 建模 求解 反馈
（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实 际问题的数学模型，写出实际问题中变量之
间的函数关系
y?f
?
x
?
； 注意
x
的范围。
（2）利用导数求函数
f(x)
的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。
?
4
?
3
?
?

（3）把数学问题的解答转 化为实际问题的答案。
2、能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。
（1）生活和 生产实践中优化问题的常见类型：费用、用料最省问题；利润最大问题；面积、
体积最大问题等。 （2）在运用函数解决实际问题的过程中，要注意恰当地选择自变量，从而简化函数的解析
式，简化 问题解决的过程；
（3）在解决实际问题时，不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系， 而且要
根据实际意义正确确定函数的定义域；
（4）在实际问题中，有时会遇到在定义域内只 有一点满足
f
'
(x)?0
的情形，这时我们仍要
确定它是极大值还 是极小值，不应认为它就一定是解。

五、典型例题
2
1、一个物体的运动方程为
s=1-t+t
其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3
秒末的瞬时速度是（ ）
A、 7米秒 B、6米秒 C、 5米秒 D、 8米秒
2、 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等
的小正方形，然 后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正
方形的边长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm



A
O
B x
D
y
C


3、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要 留4米的运料通
道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为 （ ）
A．长102米，宽
5000
米
51

2
2
2
2 2
B．长150米，宽66米
C．长宽均为100米
4

D．长100米，宽
200
米
3
4、过抛物线y= x
2
-3x上一点P的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A，B两点，则
△A OB的面积是
5、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再 沿虚线折起,做成
一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容 积最大．
6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费10 00元。
如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过
180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)






7、某机车拖运货物时对货物所做的功W（单位：J）是时 间t（单位：s）的函数，设这个函
数可以表示为：
w(t)?t?5t?7
。
(1) 求t从1s变到3s 时，功W关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2) 求在t=1s 和t=3s时,该机车每秒做的功。

8、用长为90cm ，宽为48cm的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方
形，然后把四边形转
90
0
角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容
积最大？最大 容积是多少？







3

9、某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人
数为400人，轮船每小时使用的燃料费用 和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度
为25公里小时．当轮船的速度为10公里小时，它的 燃料费用是每小时30元，轮船的其
余费用(与速度无关)都是每小时480元．若公司打算从每个乘客 身上获利10元，试为该公
司设计一种较为合理的船票价格．


10、一 根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正
比，与它的长度l的 平方成反比．
(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？
( 2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长
度即为枕 木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？






11、用半径为
R
的圆形铁皮剪出一个圆心角为
?
的扇形 ，制成一个圆锥形容器，扇形的圆
心角
?
多大时，容器的容积最大？

六、课堂练习
1、一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=
（ ）
A 4s末 B 8s末 C 0s与8s末 D 0s,4s,8s末
2、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（ ）
A
1
432
t-4t+16t,则速度为零的时刻是
4
20
203
cm

cm
B
100cm
C
20cm
D 3
3
3、做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的 材料
每单位面积价格为b元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为（ ）
A．ab B．a
2
b C．ba D．b
2
a
4、某天中午12时整甲船自A处以每小时16公里的速度向正东行驶， 乙船自A的正北18
公里处以每小时24公里的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船间的距离对 时间的变
化率是 。
5、函数
y?x?2cosx
在
?
0,
?
?
?
上取最大值时，
x
的值为_ _ _.
?
?
2
?
6、一容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 时，材料最省。
7、如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方 形，制成
一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？







8、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产 量x(t)与每吨产品的价格p(元t)之间的关系式
为:p=24200－
1
2x,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利
5
润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)

9、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处， 乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位
于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km， 两厂要在此岸边合建一个
供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问 供水站C建在
岸边何处才能使水管费用最省？

10、已知f(x)=ax
3
+bx
2
+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.








11、统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中 每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千
y?
米每小时）的函数解析式为：
100 千米。
13
x
3
?x?8,(0?x?120)
12800080
，已知甲乙两地相距
（1）当汽车以每小时40千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多 少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

七、家庭作业
1、某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已1
?
?
400x－
2
x
2
(0≤x≤400 )
知总收益R与年产量x的关系是R＝R(x)＝
?
，则总利润最大时，
?< br>?
80 000 (x>400)
每年生产的产品是________．
2、在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.
3、如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)，则其在t＝4 s时的瞬时速度为( )
A．12 B．－12 C．4 D．－4
2
2

4、从时间t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t＋3t表示，则
第5 s时的电流强度为( )
A．27 Cs B．20 Cs C．25 Cs D．23 Cs
5、球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为______．
6、如果一质点从固定点A开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)
＝t＋3.
求：(1)t＝4时，物体的位移s(4)；
(2)t＝4时，物体的速度v(4)；
(3)t＝4时，物体的加速度a(4)．







3

7、、如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环
呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m， 在圆环上设置三个等分点A
1
，A
2
，A
3
.
点C 为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A
1
，A
2
，A
3
，B均用细绳相连接，
且细绳CA
1
，CA
2
，CA3
的长度相等．设细绳的总长为y m.
(1)设∠CA
1
O=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
(2)请你设计θ，当角θ正弦值是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．





8、已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数 的底，求证：a
b
＞b
a
.







9、设关于x的方程2x
2
－ax－2=0的两根为 α、β(α＜β),函数f(x)=
(1)求f(α)?f(β)的值；
(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；
(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？




4x?a
.
x
2
?1

10、某地建一座 桥，两端的桥墩已经建好，两桥墩相距m米，余下的工程只需建两端桥墩
之间的桥面和桥墩，经测算：一 个桥墩的工程费用是256万元，距离为x米的相邻两桥墩之
间的桥面工程费用为
(2?x)x
万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑
其它因素，记余下的工程费用是y万 元，
（1）试写出y关于x的函数关系式。
（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？






附答案：
典型例题答案：
1、 C
2、 A
3、 D
4、 8
31
5、设被切去的全等四边形的一边长为x, 则正六棱柱的体积V=6×
4
(1-2x)
2
×3x (02
),利
12
用导数知识可求得:当x=
6
时,V有最大值,此时正六 棱柱的底面边长为
3
.




6、解：设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y
则依题意有

f(x)
=1000x-5（x-100）x （100≤x≤180）

令
f
?
(x)?1500?10x?0
得x=150
又
f(100)?100000
，
f(150)?112500
，
f(180)?108000

所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。
7、解：（1）t从1s变到3s 时，功W关于时间t 的平均变化率为：
w(3)?w(1 )
3?1
?18
，其实
际意义是：t从1s变到3s时间内机车对货物所做的 功的平均值，即平均功率。
（2）根据导数的意义，在t=1s 和t=3s时，机车对货物每秒所做 的功即瞬时功率分别为
w
?
(1)
和
w
?
(3)< br>，
w
?
(t)?3t
2
?5
，所以：
w< br>?
(1)?8
，
w
?
(3)?32
。
8、 解：设截去的小正方形的边长为
xcm
，则此容器的长、宽、高分别为：
90?2x, 48?2x,x
（单位：
cm
）。∴容积为：
y?x(90?2x)(48? 2x)(cm)
3
(0?x?24)

即：
y?4x
3?276x
2
?4320x(0?x?24)

∴
y
?
?12x
2
?552x?4320
令
y
?
?0
得：
x?36
（舍）或
x?10

又当
x?(0,10)
时，
y
?
?0
，
y
↗；当
x?(10,24)
时，
y
?
?0
，< br>y
↘
∴
x?10
时，
y
最大
?19600

故 ：该容器的高为
10cm
时，容积最大，最大容积为
19600(cm)

9、解：设轮船航行速度为v公里小时，则01 0001 000
3
3
y＝480·＋·av.(其中a为比例系数)．由条件30＝ a·10
3
，所以a＝.代入上
100
vv
60(v
3
－8 000)
480 000480 000
2
式有y＝＋30v，v∈(0,25]，所以y′＝－＋60v＝ < br>vv
2
v
2
令y′＝0，解得v＝20.当v<20时，y′<0；当 v>20时，y′>0，又v＝20是(0,25]内
唯一极值点且是极小值点，于是，当v＝20时，y有最小值36 000元．所以平均每个
36 000
乘客的费用为＝90(元)．因此，该公司可定票价为100元．
400
3
10、解：(1)由题可设，安全负荷y
1
=k? ( k为正常数)，翻转90°后，安全负荷y
2
=k?.

∵
小；
，∴当0＜d＜a时，y
1
2
，安全负荷变大；当02
1
，安全负荷变 当d=a时，y
1
=y
2
，安全负荷不变．故将此枕木翻转90°后，安 全负荷不一定变大．
，即a
2
+4d
2
=4R
2
. (2)设截取的宽 为a，高为d，则
∵枕木的长度不变．∴u=ad
2
最大时，安全负荷最大．
1
由题意可设u(a)=ad
2
=a(R
2
-a
2
)，u′(a)=R
2
－a
2
，令u′(a)=0，可得a=
4< br>R.
当00，函数u(a)单调递增；当Ru(a)单调递减．所以当a=R，d=R时，u(a)取得最大，即安全负荷最大．
11、 解：设圆锥的底面半径为
r
，高为
h
，体积为
V
，则
由
h
2
?r
2
?R
2
，所以
V?

'
∴
V?
1111
?
r2
h?
?
(R
2
?h
2
)h?
?R
2
h?
?
h
3
,(0?h?R)
3333< br>
1
3
?
R
2
?
?
h
2< br>，令
V
'
?0
得
h?R

3
3
易知：
h?
3
R
是函数
V< br>的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。
3
∴当
h?
3
R
时，容积最大。
3
把
h?
6
3
R

R
代入
h
2
?r
2
?R
2
，得
r?
3
3
26
?

3
由
R
?
?2
?
r
，得
?
?
即圆心角
?
?
课堂作业答案：
1、 D
2、 A
26
?
时，容器的容积最大。
3

3、 C
4、 －1.6 【解析】某时刻距离对时间的变化率是距离对时间的导数在该时刻的导数值

S?(18?24t)
2
?(16t)
2
?S
'
?
1
2(18?24t)(?24)?2?16?16t
??S
'< br>|
1
??1.6
t?
2
(18?24t)
2
?(16t)
2
2
5、
y
'
?1?2sinx
，令
y?0
，得
x?
而
f
?
0
?
?2,f
?
?
6
< br>3
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ,f
??
?

?
662
???
2
?
2
?
?
?
?
f
??
?
。
?< br>2
?
2
所以最大值
f
?
答案：
3
?
?
?
?
??,
最小值
,
?
662
??
?

6
6、解：设一无盖水箱的底面边长为
x
分米，高 为
h
分米，则
x
2
h?256
，全面积
S?x2
?4xh?x2?
10241024
,?令S'?2x?
2
? 0，得x?8,?h?4
，由本题的实际意
x
x
义可知当高为4分米时，材料 最省
7、解：设小正方形的边长为xcm，盒子容积为y=f(x)；则y=f(x)=(8－2x) (5－2x)x=4x
3
－26x
2
+40x
(
0?x ?
5
)；∵
f
?
(x)?12x
2
?52x?40 ?4(3x?10)(x?1)
；当
f
?
(x)?0
得
2< br>1010555
x?或x?1
；∵
?[0,],1?[0,]
，又f( 1)=18，f(0)= f()=0，∴小正方形边长为1
33222
1
2
x)x－(50000+200x)
5










㎝时，盒子的容积最大，为18㎝
3
。
8、解:每月生产x吨时的利润为f (x)=(24200－
=－
1
3
x+24000x－50000(x≥0) .
5
3
由f′(x)=－x
2
+24000=0,解 得x
1
=200,x
2
=－200(舍去).
5
∵f(x)在［0,+∞)内只有一个点x
1
=200使f′(x)=0,
∴它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).
∴每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元.
9、解：根据题意 知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距
D点x km,则
∵BD=40,AC=50－x,
∴BC=
BD
2
?CD
2
?x
2
?40
2

又设总的水管费用为y元，依题意有：
y=30(5a－x)+5a
x
2
?40
2
(0＜x＜50)
y′=－3a+
5ax
x?40
22
,令y′=0,解得x=30
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
10、解：(1)f′(x)=3ax
2
+2bx+c
∵x=±1是函数f(x)的极值点，
∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax
2
+2bx+c=0的两根.
?
2b
??0
?
?
3a
由根与系数的关系，得
?< br>
c
?
??1
?
?
3a
又f(1)=－1, ∴a+b+c=－1,
由①②③解得a=
,b?0,c?
(2)f(x)=


①



②
③
1
2
3
,
2
1
3
3
x－x,
22
333
∴f′(x)=x
2
－=(x－1)(x+1)
222
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0
∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数.
∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1,
当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1.
y?
11、解：（1）当x=40时，代入
是：
13
x
3
?x?8,(0?x?120)
12800080
得每小时的耗油量
13(?40
3
??40?8)
12800080
=7（升），故此时耗油量 是
7?2.5?17.5
（升）
100
（2）当速度是x（千米每小时）， 从甲地到乙地行驶时间是
x
（小时）。耗油量为h
（x）（升）

?h(x)?y?
'
15
?(x
3
?x?8)??x
2
??,(0?x?120)
x12800080x1280x4

x800x
3
?80
3
h(x)???,(0?x?120)
640
x
2
640x
2

令
h(x)?0?x?80
''
x?(0,80)时，h(x)?0,h(x)在区间（0，80）是减函数，当x?(80, 120)时，h(x)?0
，当
'
80，120）
此时
h(x)在区间（
上是增函数。
1 35
h(x)?(?80
3
??80?8)??11.25
12800080 4
故当x=80时，h（x）取得最小值。此时
升
即当汽车以每小时80千米的速度 匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油最少，最少为11.25
升。


家庭作业：
1、300
2、
x?
3、A
4、D
5、
3
R

2
28
?

3
3
6、解析： y＝s(t)＝t＋3
(1)t＝4时，s(4)＝4＋3＝67(m)
(2)V
(4)
＝s(t)＝3·4＝48 ms
(3)a(t)＝V′(t)＝6t
∴a(4)＝V′(4)＝24 ms.
2
2
3
7、解：(1)在Rt△COA
1
中，CA
1
=，CO=2tanθ，
π
+2(0<θ<)．
4
y=3CA
1
+CB=3·+2-2tan θ=

(2)y′=2=2
1
，令y′=0，则sin θ=.
3
11
当sinθ>时，y′>0；sinθ<时，y′<0，∵y=sinθ在
3 3
上是增函数，
12
∴当角θ满足sinθ=时，y最小，最小为42+2；此时BC=2－ (m)． 32
8、证法一：∵b＞a＞e,∴要证a
b
＞b
a
,只要证b lna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则
f′(b)=lna－
aa
.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－aln b在(e,+∞)上
bb
lnx
(x＞e)，则f′
x
是增函数，∴ f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab
＞b
a
.
证法二：要证a
b
＞b
a
,只要证blna＞alnb(e＜a＜b
)
,即证
(x)=
,设f(x) =
1?lnx
＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
2
x
∴f(a)＞f(b),即
lnalnb
,∴a
b
＞b
a
.
?
ab
?8
a?16?a
2
9、解 ：(1)f(α)=,f(β)=
?8
a?16?a
2
,f(α)=f(β)=4
(2)设φ(x)=2x
2
－ax－2,则当α＜x＜β时，φ(x)＜0,
(4x?a)
?
(x
2
?1)?(4x?a)(x
2
?1 )
?
4(x
2
?1)?2x(4x?a)

f
?< br>(x)??
(x
2
?1)
2
(x
2
?1)< br>2
2(2x
2
?ax?2)2
?
(x)
?????0

2222
(x?1)(x?1)
∴函数f(x)在(α，β)上是增函数
(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,
∵|f(α )?f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α )|取最小值4，
此时a=0,f(β)=2
(n?1)x?m?n?
10、解：（ 1）设需新建桥墩的个数是n个，则
m
?1
x
（注意：，不是
nx? m
）
256n?256(
所建桥墩的费用：
m
?1)
x
（万元）
m
(2?x)x
x
（万元）
(n?1)(2?x)x?
桥 面总费用：

故：余下工程
y?f(x)?256(
256m
m m
?mx?2m?256
?1)??(2?x)x
xx
=
x

（2）当m=640时，函数的定义域是（0，640）
256m1
?
2< br>m
'
f(x)??
2
?mx?
2
(x
2?512)
2
x2x

'
f
令
(x)?0?x?512?0?x?64

'
0?x?64时，f(x)?0?f(x)在区间（0，64）上单调递减
当13
3
2
时，f(x)?0?f(x)在区间（64，640）上单调递增
当
64?x?640
n?
故当x=64时，函数y取得最小值，此时
即需 新建9个桥墩才能使y最小。








'
m640
?1??1?9
x64