最新高中数学导数专题讲义(答案版)

导数专题讲座内容汇总
目 录
导数专题一、单调性问题 .................................. .................................................. .................................. 2

导数专题二、极值问题 ................................... .................................................. ................................... 38

导数专题三、最值问题 ................................... .................................................. ................................... 52

导数专题四、零点问题 ................................... .................................................. ................................... 76

导数专题五、恒成立问题和存在性问题 ............................ .................................................. ............ 118

导数专题六、渐近线和间断点问题 ......... .................................................. ....................................... 168

导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 ........................ .................................................. 187

导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 ............... .................................................. ..... 198

导数专题九、公切线解决导数中零点问题 ............. .................................................. ....................... 211

导数专题十、极值点偏移问题 .................................................. .................................................. ...... 216

导数专题十一、构造函数解决导数问题 ............. .................................................. ........................... 224



1 236

导数专题一、单调性问题
【知识结构】
单调性问题
一、分类讨
论求函数单
调性
二、 已知函
数单调求参
数范围
三、已知函
数不单调求
参数范围
四 、已知函
数存在单调
区间求参数
范围
五、两个函
数在具有相
同的单调性
求参数范围

【知识点】
一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；
二、分类讨论求函数单调性： 含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨
论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域 的位置关系.
三、分类讨论的思路步骤：
第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；
第二步、以导函数的零点存在性进行讨论 ；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关
系及与区间的位置关系（分类讨论）；
第三 步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定
义域）；
第四步、（列表）根据第五步的草图列出
f'
?
x
?
，
f
?
x
?
随
x
变化的情况表，并写出函数的
单调区间 ；
第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点
函数值比较得到函数的最值.
四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：
1.最高次项系数是否为0；
2.导函数是否有极值点；
3.两根的大小关系；
4.根与定义域端点讨论等。
五、求解函数单调性问题的思路：
（1）已知函数在 区间上单调递增或单调递减，转化为
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0
恒成立；
（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点 ，通常利用分离变量法求解
参变量的范围；
（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减 区间，转化为导函数在区间上大于零或小
于零有解.

六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法
（1）参变分离；
（2）导函数的根与区间端点直接比较；
2 236

（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数 根的分布问题.这里讨论的以一元二次
为主。
七、求解函数单调性问题方法提炼：

（1）将函数
f
?
x
?
单调增（减）转化为导函数
f
?
?
x
?
?
?
?
?
0
恒成立；
（2）
f
?
?
x
?
?g
?x
?
h
?
x
?
，由
g
?
x< br>?
?0
（或
g
?
x
?
?0
）可将< br>f
?
?
x
?
?
?
?
?
0< br>恒成立转化为
h
?
x
?
?
?
?
?< br>0
（或
h
?
x
?
?
?
?
?
0
）恒成立；
（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。

3 236

【考点分类】
考点一、分类讨论求解函数单调性；
【例1-1】（2015-20 16朝阳一模理18）已知函数
f(x)?
x?alnx,a?R
．
（Ⅰ）求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）当
x?
?
1 ,2
?
时，都有
f(x)?0
成立，求
a
的取值范围；
，3)
可作多少条直线与曲线
y?f(x)
相切？并说明理由． （Ⅲ）试 问过点
P(1
【答案】（Ⅰ）函数
f(x)
的定义域为
xx?0．
f
?
(x)?1?
??
ax?a
?
． xx
（1）当
a?0
时，
f
?
(x)?0
恒成 立，函数
f(x)
在
(0,??)
上单调递增；
（2）当
a?0
时， 令
f
?
(x)?0
，得
x??a
．
当
0 ?x??a
时，
f
?
(x)?0
，函数
f(x)
为 减函数；
当
x??a
时，
f
?
(x)?0
，函数
f(x)
为增函数．
综上所述，当
a?0
时，函数
f(x )
的单调递增区间为
(0,??)
．
+?)
． 当
a?0
时，函数
f(x)
的单调递减区间为
(0,?a)
，单调递增区间为
(?a，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当
?a?1
时，即
a??1< br>时，函数
f(x)
在区间
?
1,2
?
上为增函数，
所以在区间
?
1,2
?
上，
f(x)
min
?f(1)?1
，显然函数
f(x)
在区间
?
1,2
?< br>上恒大于零；
，?a
?
上为减函数，在
?
?a,2
?
上（2）当
1??a?2
时，即
?2?a??1
时，函数
f(x)
在
?
1
为增函数，所以
f(x)
min
? f(?a)??a?aln(?a)
．
依题意有
f(x)
min
? ?a?aln(?a)?0
，解得
a??e
，所以
?2?a??1
．
（3）当
?a?2
时，即
a??2
时，
f(x)
在 区间
?
1,2
?
上为减函数，
所以
f(x)
min
?f(2)?2+aln2
．
依题意 有
f(x)
min
?2+aln2?0
，解得
a??
22< br>?a??2
． ，所以
?
ln2ln2
4 236

综上所述，当
a??
2
时， 函数
f(x)
在区间
?
1,2
?
上恒大于零．
ln2
a
，
x
0
（x
0
,x
0
?alnx
0
)
，则切线斜率
k?1?
（Ⅲ）设切点为a
)(x?x
0
)
．
x
0
切线方程为
y?(x
0
?alnx
0
)?(1?
因为切线过点
P(1 ,3)
，则
3?(x
0
?alnx
0
)?(1?
a
)(1?x
0
)
．
x
0
即
a(lnx< br>0
?
1
?1)?2?0
． ………………①
x
0
令
g(x)?a(lnx?
111a(x?1)
?1)?2

(x?0)
，则
g
?
(x)?a(?
2
)?
．
2
xx xx
（1）当
a?0
时，在区间
(0,1)
上，
g
?
(x)?0
，
g(x)
单调递增；
在区间
(1,?? )
上，
g
?
(x)?0
，
g(x)
单调递减，
所以函数
g(x)
的最大值为
g(1)??2?0
．
故方程
g(x)?0
无解，即不存在
x
0
满足①式．
因此当
a?0
时，切线的条数为
0
．
（2）当
a?0
时, 在区间
(0,1)
上，
g
?
(x)?0
，
g(x)
单调递减，
在区间
(1,??)< br>上，
g
?
(x)?0
，
g(x)
单调递增，
所以函数
g(x)
的最小值为
g(1)??2?0
．
1+
2
a
取
x
1
?e
22
?1?
2< br>?1?
aa
?e
，则
g(x
1
)?a(1??e?1 )?2?ae?0
．
a
故
g(x)
在
(1,??)
上存在唯一零点．
-1-
2
a
222
1?1?
12
1?
a
2
<
，则
g(x
2
)?a(?1??e?1)?2?ae
a< br>?2a?4?a[e
a
?2(1?)]
．
eaa
取
x
2
?e
设
t?1?
2
t
t
(t?1)< br>，
u(t)?e?2t
，则
u
?
(t)?e?2
．
a
5 236

当
t?1
时，
u
?
(t)?e?2?e?2?0
恒成立．
所以
u(t)
在
(1,??)
单调递增，
u(t)?u(1 )?e?2?0
恒成立．所以
g(x
2
)?0
．
故
g(x)
在
(0,1)
上存在唯一零点．
t
，3)
存在两条切线． 因此当
a?0
时，过点P
(1
，3)
的切线． （3）当
a ?0
时，
f(x)?x
，显然不存在过点P
(1
，3)
存在 两条切线； 综上所述，当
a?0
时，过点P
(1
，3)
的切线． 当
a?0
时，不存在过点P
(1
【例
1-2
】（
2 015-2016
海淀一模理
18
）已知函数
f(x)?lnx?
（ Ⅰ）求函数
f(x)
的最小值；

（Ⅱ）求函数
g(x)
的单调区间；

(
Ⅲ
)
求证：直线
y?x
不是曲线
y?g(x)
的切线
.
【答案】（Ⅰ）函数
f(x)
的定义域为
(0,??)
，


1x?1
?1
，
g(x)?
.
x
lnx
f'(x)?
11x?1
?
2
?
2


xxx

当
x
变化时，
f'(x)
，
f(x)
的变化情况如 下表：
x

f'(x)

f(x)

(0,1)

?

递减

1

0

(1,??)

?

极小值 递增


函数
f(x)
在
(0,??)
上的极小值为
f(a)?ln 1??1?0
，
所以
f(x)
的最小值为
0



（Ⅱ）解：函数
g(x)
的定义域为
(0,1)U(1,??)
，
1
1
lnx?(x?1)
g'(x)?
ln
2
x< br>11
lnx??1
f(x)
x
?
x
?

22

lnxlnx


6 236
由（Ⅰ）得，
f(x)?0
，所以
g'(x)?0

所以
g(x)
的单调增区间是
(0,1),(1,??)
，无单调减区间.
（Ⅲ）证明：假设直线
y?x
是曲线
g(x)
的切线
.
lnx
0
?
设切点为
(x
0
,y
0
)
，则
g'(x
0
)?1
，即
1
?1
x
0
?1

ln
2
x
0
又
y
0
?
x
0
?1x?1
,y
0
?x
0
，则
0
?x
0
.
lnx
0
lnx
0
x
0
?1
1
? 1?
, 得
g'(x
0
)?0
，与
g'(x
0
)?1
矛盾
x
0
x
0
g(x)
的切线
所以
ln x
0
?
所以假设不成立，直线
y?x
不是曲线
【练1-1】 （2015-2016西城一模理18）已知函数
f(x)?xe
x
?ae
x ?1
，且
f
'
(1)?e
.
(Ⅰ) 求
a
的值及
f(x)
的单调区间；
(Ⅱ) 若关于
x的方程
f(x)?kx
2
?2(k?2)
存在两个不相等的正实数根x
1
,x
2
，证明：
4
x
1
?x2
?ln
.
e
【答案】（Ⅰ）对
f(x)
求导，得< br>f
?
(x)?(1?x)e
x
?ae
x?1
，


所以
f
?
(1)?2e?a?e
，解得
a?e
.

故
f
(
x
)
?x
e
x
?
e
x
，
f
?
(x)?xe
x
.

令
f
?
(x)?0
，得
x?0
.
当x
变化时，
f
?
(x)
与
f(x)
的变化情况 如下表所示：

x

(??,0)

0

0

(0,??)

f
?
(x)

f(x)

?

↘
?

↗
所 以函数
f(x)
的单调减区间为
(??,0)
，单调增区间为
(0, ??)
.
（Ⅱ）解：方程
f(x)?kx
2
?2，即为
(x?1)e
x
?kx
2
?2?0
，


设函数
g(x)?(x?1)e
x
?kx
2
?2
.

求导，得
g
?
(
x
)
?x< br>e
x
?
2
kx?x
(e
x
?
2k
)
．


由
g
?
(x )?0
，解得
x?0
，或
x?ln(2k)
.

所以当
x?(0,??)
变化时，
g
?
(x)
与
g(x)
的变化情况如下表所示：

7 236

x

g
?
(x)

(0,ln(2k))

ln(2k)

(ln(2k),??)

?

↘
0


?

↗
g(x)


所以函数
g(x)
在
(0,ln(2k))
单调递减，在
( ln(2k),??)
上单调递增
.

由
k?2
，得
ln(2k)?ln4?1
.
又因为
g(1)??k?2?0
，

所以
g(ln(2k))?0
.
不妨设
x
1
?x
2
（其中
x
1
,x
2
为
f(x)?kx< br>2
?2
的两个正实数根），


因为函数
g(x)
在
(0,ln2k)
单调递减，且
g(0)?1?0
，g(1)??k?2?0
，

所以
0?x
1
?1
.

同理根据函数
g(x)
在
(ln2k,??)
上单调递增，且
g(ln(2k))?0
，


可得
x
2
?ln(2k)?ln4
，

4

所以
|x
1
?x
2
|?x
2
?x
1
?ln4?1?ln
，

e
4

即

|x
1
?x
2
|?ln
.
e
【练1-2】（2011-2012石景山一模文18）已知函数
f(x)?x?2 alnx
.
（Ⅰ）若函数
f(x)
的图象在
(2,f(2))
处的切线斜率为
1
，求实数
a
的值；
（Ⅱ）求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅲ）若函数
g(x)?
2
2
?f(x)
在
[1,2]
上是减函数，求实数
a
的取值范围.
x
2a2x
2
?2a
?
【答案】（Ⅰ）< br>f'(x)?2x?
…………1分
xx
由已知
f'(2)?1
，解得
a??3
. …………3分
（II）函数
f(x)
的定义域为
(0,??)
.
（1）当
a?0
时,
f'(x)?0
，
f(x)
的单调递增区间为
(0,??)
；……5分
（2）当
a?0
时f'(x)?
2(x??a)(x??a)
.
x
当
x
变化时，
f'(x),f(x)
的变化情况如下：
8 236

x

(0,?a)

?a

(?a,??)

+
f'(x)

-
f(x)


0

极小值

由上表可知，函数
f(x)
的单调递减区间是
(0,?a)
；
单调递增区间是
(?a,??)
. …………8分
（II）由
g(x)?
2
2
22a
? x?2alnx
得
g'(x)??
2
?2x?
，…………9分
xxx
由已知函数
g(x)
为
[1,2]
上的单调减函数，
则
g'(x)?0
在
[1,2]
上恒成立，
即
?
22a
?2x??0
在
[1,2]
上恒成立.
x
2
x
1
2
?x
在
[1,2]
上 恒成立.
x
…………11分
即
a?
令
h(x)?
1
2
11
?x
，在< br>[1,2]
上
h'(x)??
2
?2x??(
2
?2 x)?0
，
xxx
7
?h(2)??
,
min
2
所以
h(x)
在
[1,2]
为减函数.
h(x)
所以
a??
7
. …………14分
2
k
?2x
，
k?R
.
x【练1-3】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数
f(x)?(2k?1)lnx?< br>（Ⅰ）当
k?1
时，求曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1) )
处的切线方程；
（Ⅱ）当
k?e
时，试判断函数
f(x)
是否存在零点,并说明理由；
（Ⅲ）求函数
f(x)
的单调区间.
【答案】函数
f(x)
的定义域：
x?(0,??)
.
2 k?1k2x
2
?(2k?1)x?k(x?k)(2x?1)
f
?
(x)??
2
?2??
.
x
xx
2
x
2
9 236