(完整word版)高中数学导数专题训练

高二数学导数专题训练
一、选择题
1.一个物体的运动方程为S=1+t+< br>t
2
其中
s
的单位是米，
t
的单位是秒，那么物体在
3
秒
末的瞬时速度是（）
A
7
米秒B
6
米秒C
5
米秒D
8
米秒
2.已知函数
f
(
x
)=
ax
2
＋
c
,且
f
?
( 1)
=2,则
a
的值为（）
A.1 B.
2
C.－1 D.0
3
f(x)
与
g(x)
是定义在R上的两个可导函数，若< br>f(x)
,
g(x)
满足
f
'
(x)?g
'
(x)
,则
f(x)
与
g(x)
满足（）
A< br>f(x)?
2
g(x)
B
f(x)?g(x)
为常数函数
C
f(x)?
g(x)?0
D
f(x)?g(x)
为常数函数
4.函数
y=x
3
+x
的递增区间是（）
A
(? ?,1)
B
(?1,1)
C
(??,??)
D
(1,??)

5.若函数f(x)在区间（a，b）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x) 在（a，
b）内有（）
A.
f(x)〉0
B.
f(x)〈0
C.
f(x)=0
D.
无法确定
6.
f'(x
0
)
=0是可导函数
y
=f(x)在点
x
=
x
0< br>处有极值的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
7．曲线
f(x)=x
3
+x -2
在
p
0
处的切线平行于直线
y=4x-1
，则
p
0
点的坐标为（）
A
(1,0)
B
(2,8)

C
(1,0)
和
(?1,?4)
D
(2,8)
和< br>(?1,?4)

8．函数
y?1?3x?x
3
有（）
A.极小值-1，极大值1 B.极小值-2，极大值3
C.极小值-1，极大值3D.极小值-2，极大值2
9.对于
R
上可导的 任意函数
f(x)
，若满足
(x?1)f
'
(x)?0
，则 必有（）
A
f(0)?f(2)?2f(1)
B
f(0)?f(2)?2f (1)

C
f(0)?f(2)?2f(1)
D
f(0)?f(2) ?2f(1)

10.若函数
y?f(x)
在区间
( a,b)
内可导，且
x
0
?(a,b)
则
lim
h ?0
的值为（）
A．
f
'
(x
0
)
B．
2f
'
(x
0
)
C．
?2f
'
( x
0
)
D．
0

二、填空题
f(x
0
?h)?f(x
0
?h)

h
1 1．函数
y?x
3
?x
2
?x
的单调区间为_______ ____________________________.
12．已知函数
f(x)? x
3
?ax
在R上有两个极值点，则实数
a
的取值范围是.
13.曲线
y?x
3
?4x
在点
(1,?3)
处的切线倾 斜角为__________.
14.对正整数
n
，设曲线
y?x
n
(1?x)
在
x?2
处的切线与
y
轴交点的纵坐标为a
n
，则数列
?
a
n
?
??
的前n
项和的公式是 .
n?1
??
三、解答题：
15．求垂 直于直线
2x?6y?1?0
并且与曲线
y?x
3
?3x
2
?5
相切的直线方程
16．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？
17．已知
f(x)?ax
4
?bx
2
?c
的图象 经过点
(0,1)
，且在
x?1
处的切线方程是
y?x?2
，
请解答下列问题：
（1）求
y?f(x)
的解析式；
（2）求
y?f(x)
的单调递增区间。
18．已知函数
f(x) ?ax
3
?bx
2
?(c?3a?2b)x?d
的图象如图所示．
（I）求
c,d
的值；
（II）若函数
f(x)
在
x?2
处的切线方程为
3x?y?11?0
，求函数
f(x)
的解 析式；
（III）在（II）的条件下，函数
y?f(x)
与
y?
1
f
?
(x)?5x?m
的图象有三个不同的
3
交点，求< br>m
的取值范围．
19．已知函数
f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1
．
（I）当
k?1
时，求函数
f(x)
的最大值；
（II）若函数
f(x)
没有零点，求实数
k
的取值范围；
20.已知
x?1
是函数
f(x)?mx
3
?3(m?1)x2
?nx?1
的一个极值点，其中
m,n?R,m?0
，

（1）求
m
与
n
的关系式；
（2）求
f(x)
的单调区间；
（3）当
x?
?
?1,1
?
时，函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m， 求m的取
值范围.
参考答案
一、选择题
AABCBACCDB
二、填空题
11．递增区间为：（-∞，），（1，+∞）递减区间为（
?
，1）
（注：递增区间不能写成：（-∞，）∪（1，+∞））
12．
(??,0)
13．
?

14．
2
n?1
?2
y

x?2
1
3
1
3
1
3
3
4
??2
n?1
?
n?2
?
,切线方程为:y?2
n
??2
n?1
?
n?2
?
(x?2)
，
a
n
?2
n
，
n?1
令< br>x?0
，求出切线与
y
轴交点的纵坐标为
y
0
??
n?1
?
2
n
，所以
n
21?2
a
n
?
则数列
?
?2
n?1
?2

??
的前
n
项和
S
n
?
1?2
?
n?1
?
??
三、解答题：
15．解：设切点为
P(a,b)，函数
y?x
3
?3x
2
?5
的导数为
y'
?3x
2
?6x

切线的斜率
k?y
'|
x?a
?3a
2
?6a??3
，得
a??1
，代入到
y?x
3
?3x
2
?5

得
b? ?3
，即
P(?1,?3)
，
y?3??3(x?1),3x?y?6?0< br>
16．解：设小正方形的边长为
x
厘米，则盒子底面长为
8?2x< br>，宽为
5?2x

V
'
?12x
2
?52x ?40,令V
'
?0,得x?1,或x?
10
10
，
x?< br>（舍去）
3
3
V
极大值
?V(1)?18
，在定义 域内仅有一个极大值，
17．解：（1）
f(x)?ax
4
?bx
2
?c
的图象经过点
(0,1)
，则
c?1
，
切 点为
(1,?1)
，则
f(x)?ax
4
?bx
2
?c
的图象经过点
(1,?1)

得
a?b?c?? 1,得a?,b??
（2）
f
'
(x)?10x
3
?9x? 0,?
单调递增区间为
(?
18．
解：函数
5
2
9
59
f(x)?x
4
?x
2
?1

22
2
310310
?x?0,或x?

1010
310310
,0),(,??)

1010
f( x)
的导函数为
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c?3a ?2b
…………（2
?
d?3
…………（4
?
?
c ?0
?
分）
（I）由图可知函数
f(x)
的图象过点（0，3）， 且
f
'
(1)?0

得
?
?
d?3
?
3a?2b?c?3a?2b?0
分）
（II）依题意
f
'
(2)??3
且
f(2)?5

解得
a?1,b??6

所以
f(x)?x
3
?6 x
2
?9x?3
…………（8分）
（III）
f
?
(x)?3x
2
?12x?9
．可转化为：
x
3
?6x< br>2
?9x?3?
?
x
2
?4x?3
?
?5x ?m
有三个不等
实根，即：
g
?
x
?
?x
3
?7x
2
?8x?m
与
x
轴有三个交点；
g< br>?
?
x
?
?3x
2
?14x?8?
?
3x?2
??
x?4
?
，




+
增

0
极大值

-
减

0
极小值

+
增
?
2
?
68
g
??
??m,g
?
4
?
??16 ?m
．…………（10分）
327
??
2
?
68
当且仅当
g
?
?m?0且g
?
4
?
??16?m? 0
时，有三个交点，
??
?
327
??
故而，
? 16?m?
68
为所求．…………（12分）
27
19．解：（I）当k?1
时，
f
?
(x)?
2?x

x?1f(x)
定义域为（1，+
?
），令
f
?
(x)?0, 得x?2
，………………（2分）
∵当
x?(1,2)时,f
?
( x)?0
，当
x?(2,??)时,f
?
(x)?0
，
∴
f(x)在(1,2)
内是增函数，
在(2,??)
上是减函数
∴当
x?2
时，
f(x)
取最大值
f(2)?0
… ……………（4分）
（II）①当
k?0时
，函数
y?ln(x?1)图象与函数
y?k(x?1)?1
图象有公共点，
∴函数
f(x)
有零点，不合要求；………………（8分）
1?k
)
11?k?kx
k
?k???
②当
k?0时
，
f
?
(x)?
………………（6分）
x?1x?1x?1
令
f
?
(x)?0,得x?
k?1
，∵
x?(1,
k?1)时,f
?
(x)?0,x?(1?
1
,??)时,f
?
(x)?0
，
kkk
∴
f(x)在(1,1?
1
)内是增函数，
在[1?
1
,??)
上是减函数，
kk
k(x?

∴
f(x)
的最大值是
f(1?
1
)??lnk
，
k
∵函数
f(x)
没有零点，∴
?lnk ?0
，
k?1
，
因此，若函数
f(x)
没有零点，则实数
k
的取值范围
k?(1,??)
．………………（10
分）
20．解(1)
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?n因为
x?1
是函数
f(x)
的一个极值点,
所以
f< br>?
(1)?0
,即
3m?6(m?1)?n?0
，所以
n?3 m?6

?2
?
?
（2）由（1）知，
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?3m?6
=
3m(x?1)
?
x?
?
1?
??
?

?
?
m< br>?
?
当
m?0
时，有
1?1?





调调递减

0
极小值
2
，当< br>x
变化时，
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如 下表：
m


单调递增
1
0
极大值


单调递减
故有上表知，当
m?0
时，
f(x )
在
?
?
??,1?
?
2
?
?
单 调递减，
m
?
在
(1?,1)
单调递增，在
(1,??)
上单调递减.
（3）由已知得
f
?
(x)?3m
，即mx
2
?2(m?1)x?2?0

2222
?0
即< br>x
2
?(m?1)x??0,x?
?
?1,1
?
①
mmmm
12
设
g(x)?x
2
?2(1?)x?
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
mm
2
m
又
m?0所以
x
2
?(m?1)x?
22
?
?
g(?1 )?0
?
1?2???0
所以
?
解之得
?
?mm
?
g(1)?0
?
?
?1?0
4
??m< br>又
m?0

3
4
所以
??m?0

3
?
?,0
即
m
的取值范围为
?
??

3
??
4