高中数学《导数及其应用》知识点总结-高中数学导数知识点归纳

《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1. 函 数的平均变化率：函数
f(x)
在区间
[x
1
,x
2
]
上的平均变化率为：
f(x
2
)?f(x
1
)
。
x
2
?x
1
2. 导数的定义：设函数
y?f (x)
在区间
(a,b)
上有定义，
x
0
?(a,b)，若
?x
无限趋近于
0时，比值
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
无限趋近于一个常数A，则称函数
f(x)
在
x?x
0
处可导，
?
?x?x
并称该常数A为函数
f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x0
)
。函数
f(x)
在
x?x
0
处的导数的实
质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
；（2）求平均变
化率：
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x
0
??x)?f(x
0
)
；（3）取极限，当
?x
无限趋近与0时，无 限趋
?x?x
近与一个常数A，则
f
?
(x
0
)? A
.
4. 导数的几何意义：
函数
f(x)
在
x?x
0
处的导数就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率。由此，
可以利用导数求曲线的切 线方程，具体求法分两步：
（1）求出
y?f(x)
在x
0
处的导数，即为曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0< br>))
处的切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方 程为
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
。
当点
P(x
0
,y
0
)< br>不在
y?f(x)
上时，求经过点P的
y?f(x)
的切线方程，可设 切点坐标，
由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线
y?f (x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线平行与 y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为
x?x
0
。
5. 导数的物理意义：
质点做直线运动的位移S是时间t的函数
S(t)
，则V?S
?
(t)
表示瞬时速度，
a?v
?
(t)
表
示瞬时加速度。
二、导数的运算
1. 常见函数的导数：
（1）
(kx?b)
?
?k
(k, b为常数)；
（3）
(x)
?
?1
；








（2）
C
?
?0
(C为常数)；
（4）
(x
2
)
?
?2x
；
（6）
(
1
)
?
??
1
2
；
x
x
1

（5）
(x
3
)
?
?3x
2
；

（7）
(x)
?
?
1
；
2x




（8）
(x
α
)
?
?αx
α
?1
（α为常数）；
（10）
( log
a
x)
?
?
1
log
a
e?
1
(a?0,a?1)
；
xxlna
（12）
(lnx)
?
?
1
；
x
（14）
(cosx)
?
??sinx
。
（9 ）
(a
x
)
?
?a
x
lna(a?0,a?1)< br>；
（11）
(e
x
)
?
?e
x
；


（13）
(sinx)
?
?cosx
；
2. 函数的和、差、积、商的导数：
（1）
[f(x)?g(x) ]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
；
（2 ）
[Cf(x)]
?
?Cf
?
(x)
（C为常数）；
（3）
[f(x)g(x)]
?
?f
?
(x)g(x )?f(x)g
?
(x)
；
f(x)f
?
(x)g(x )?f(x)g
?
(x)
]
?
?(g(x)?0)
。 （4）
[
g(x)
g
2
(x)
3. 简单复合函数的导数：
?
?y
u
?
?u
x
?，即
y
x
?
?y
u
?
?a
。 若
y?f(u),u?ax?b
，则
y
x
三、导数的应用
1. 求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数
y?f(x)< br>在区间
(a,b)
内可导，
（1）如果恒
f
?
(x)?0
，则函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为增函数；
（2）如果恒
f
?
(x)?0
，则函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为减函数；
（3）如果恒
f
?
(x)?0
，则函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为常 数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数
y?f(x)
的定义域；②求 导数
f
?
(x)
；
③解不等式
f
?
(x )?0
，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式
f
?
(x)?0
，解集
在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：
设函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内可导，
(1)如 果函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为增函数,则
f
?
(x)?0
(其中使
f
?
(x)?0
的
x
值不构
成区间)；
(2) 如果函数
y?f(x)
在区间
(a,b )
上为减函数,则
f
?
(x)?0
(其中使
f
?< br>(x)?0
的
x
值不构
成区间)；
(3) 如果函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上为常数函数,则
f
?
( x)?0
恒成立。
2. 求函数的极值：
设函数
y?f (x)
在
x
0
及其附近有定义，如果对
x
0
附近的 所有的点都有
f(x)?f(x
0
)
（或
f(x)?f(x
0
)
），则称
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
2

（1）确定函数
f(x)
的定义域；（2）求导数
f
?
(x)
；（3）求方程
f
?
(x)?0
的全部 实根，
x
1
?x
2
??x
n
，顺次将定义域分成若 干个小区间，并列表：x变化时，
f
?
(x)
和
f(x)
值 的
变化情况：
x
f
?
(x)

f(x)

(??,x
1
)

x
1

(x
1
,x
2
)

…


x
n

(x
n
,??)

正负
单调性
0

正负
单调性
0

正负
单调性
（4）检查
f
?
(x)
的符号并由表格判断极值。
3. 求函数的最大值与最小值：
如果函数
f(x)
在定义域I内存在
x
0
，使得对任意的
x?I
，总有
f(x)?f(x
0
)
，则称
f(x
0
)
为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内 的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯
一的。
求函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的最大值和最小值的步骤：
（1）求
f(x)
在区间
(a,b)
上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与
f(a),f(b)
比较，得到
f(x)
在区 间
[a,b]
上的最大值与最
小值。
4. 解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
f(x)(x?A)
的值域是
[a,b]
时，
不等式f(x)?0
恒成立的充要条件是
f(x)
max
?0
，即b?0
；
不等式
f(x)?0
恒成立的充要条件是
f(x)< br>min
?0
，即
a?0
。
f(x)(x?A)
的值域是
(a,b)
时，
不等式
f(x)?0
恒成立的充要条件是
b?0
；
不等式
f(x)?0
恒成立的充要条件是
a?0
。
（2）证明不等式
f(x)?0
可转化为证明
f(x)
max
?0< br>，或利用函数
f(x)
的单调性，转化为
证明
f(x)?f(x
0
)?0
。
5. 导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最
值时，一定要注 意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
3

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