高中数学导数知识点归纳总结(1)

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导 数

考试内容：
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值 ．函数的
最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意< br>义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数． （4）
理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大
值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值
和最小值．

§14. 导 数 知识要点

导数的概念 导数的几何意义、物理意义
常见函数的导数
导数的运算法则
函数的单调性
函数的极值
函数的最值


导
数
导数的运算



导数的应用


1. 导数（导函数的简称）的定义：设
x
0
是函数
y?f(x)< br>定义域的一点，如果自变量
x
在
x
0
处
有增量
?x
，则函数值
y
也引起相应的增量
?y?f(x
0
?? x)?f(x
0
)
；比值
?y
f(x
0
??x)? f(x
0
)
称为函数
y?f(x)
在点
x
0
到
x
0
??x
之间的平均变化率；如果极限
?
?x?x< br>f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
存在，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，并把这个极限叫做
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
lim

记作f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x? x
0
，即
f
'
(x
0
)
=
lim
y?f(x)
在
x
0
处的导数，
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
注：①
?x
是增量，我们也称为“改变量”，因为
?x
可正，可负，但不为零.
②以知函数
y?f(x)
定义域为< br>A
，
y?f
'
(x)
的定义域为
B
，则A
与
B
关系为
A?B
.
2. 函数
y?f( x)
在点
x
0
处连续与点
x
0
处可导的关系： < br>⑴函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续是
y?f(x)
在点
x
0
处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果
y? f(x)
在点
x
0
处可导，那么
y?f(x)
点
x
0
处连续.
事实上，令
x?x
0
??x
，则x?x
0
相当于
?x?0
.
于是
limf(x)?l imf(x
0
??x)?lim[f(x?x
0
)?f(x
0
)?f(x
0
)]

x?x
0
?x?0?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x
0
??x)?f(x
0
)
??x?f(x
0
)]?lim?lim?limf(x
0
)?f
'
(x
0
)?0?f(x
0
)?f(x
0
).
?x?0?x?0?x?0?x?0
?x?x
⑵如果
y?f(x)
点
x
0
处连续，那么
y?f(x)
在点
x
0
处可导，是不成立的.
?lim[
例：
f(x)?|x|< br>在点
x
0
?0
处连续，但在点
x
0
?0处不可导，因为
?y?y?y
不存在.
?1
；当
?x
＜0时，
??1
，故
lim
?x?0
?x?x?x
?y|?x|
，当
?x
＞0时，
?
?x?x
注：①可导的奇 函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的 几何意义就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x))
处 的切线的斜率，
也就是说，曲线
y?f(x)
在点P
(x
0
,f(x))
处的切线的斜率是
f
'
(x
0
)
，切 线方程为
y?y
0
?f
'
(x)(x?x
0
).< br>
4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)
'
?u
'?v
'
?y?f
1
(x)?f
2
(x)?...?f< br>n
(x)?y
'
?f
1
'
(x)?f
2'
(x)?...?f
n
'
(x)

(uv)
'
?vu
'
?v
'
u?(cv)
'
?c
'
v?cv
'
?cv
'
（
c
为常数）
vu
'
?v
'
u
?
u
?
(v?0)

??
?
2
v
v
??
'
注：①
u, v
必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导 ，则它们的和、差、
积、商不一定不可导.
22
例如：设
f(x)?2si nx?
，
g(x)?cosx?
，则
f(x),g(x)
在
x?0
处均不可导，但它们和
xx
f(x)?g(x)?

sinx?cosx
在
x?0
处均可导.
5. 复合函数的求导法 则：
f
x
'
(
?
(x))?f
'
(u)< br>?
'
(x)
或
y
'
x
?y
'
u
?u
'
x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
'
(x)
＞0，则
y?f(x)
为
增函数；如果
f
'
(x)
＜0，则
y?f(x)
为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数
y?f(x)
在区间< br>I
内恒有
f
'
(x)
=0，则
y?f(x)
为常数.
注：①
f(x)?0
是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x
3
在
(??,??)
上并不是
都有
f(x)? 0
，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样
f(x)?0
是f（x）递减的充分非必
要条件.
②一般地，如果 f
（
x
）
在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（ x）
在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＜
f(x
0
)
，则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极大值，极小 值同理）
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
①如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0，右侧< br>f
'
(x)
＜0，那么
f(x
0
)
是极大值 ；
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞0，那么
f(x
0
)是极小值.
也就是说
x
0
是极值点的充分条件是
x
0
点两侧导数异号，而不是
f
'
(x)
=0. 此外，函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点.

当然，极值是一个局部概 念，极值点的大小关系是不确
定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点
x
0
是可导函数
f(x)
的极值点，则
f
'
(x)
=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函
数，其一点
x
0
是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数
y?f(x)?x
3
，
x?0
使
f
'
(x)=0，但
x?0
不是极值点.
②例如：函数
y?f(x)?|x|，在点
x?0
处不可导，但点
x?0
是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进
行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数：
'
I.
C
'
?0
（
C
为常数）
(sinx)?cosx

(arcsinx)?
②
'
1
1?x
2

(x
n
)
'
?nx
n?1
（
n?R
）
(cosx)
'
??sinx

(arccosx)
'
??
1
1?x
2

II.
(lnx)
'
?
1
'
11

(log
a
x)
'
?log
a
e

(arctanx)?
2

x
x
x?1

(e
x
)
'
?e
x

(a
x
)
'
?a
x
lna

(arccotx)
'
??
III. 求导的常见方法：
①常用结论：
(ln|x|)
'
?
1
.
x
1
x
2
?1

②形如
y?(x?a1
)(x?a
2
)...(x?a
n
)
或
y?
求代数和形式.
(x?a
1
)(x?a
2
)...(x? a
n
)
两边同取自然对数，可转化
(x?b
1
)(x?b< br>2
)...(x?b
n
)
③无理函数或形如
y?x
x
这类函数，如
y?x
x
取自然对数之后可变形为
lny?xlnx< br>，对两边
y
'
1
求导可得
?lnx?x??y
'?ylnx?y?y
'
?x
x
lnx?x
x
.
yx