高中数学基础知识完全总结(文科类)

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高中数学（文科）基础知识整合
第一部分 集合
1．理解集合中元素的意义是 解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲
．．．．．
线上的点？? ；
2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或 韦恩图等工具，将抽象的代数
．．．．
问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想 方法解决；
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真
子集。
3．（1）含 n个元素的集合的子集数为2
n
,真子集数为2
n
－1；非空真子集的数为2
n
-2；
（2）
A?B?A?B?A?A?B?B;
注意：讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况；
（3）
C
I
(A
?
B)
?
(C
I
A)
?
(C
I
B);C
I
(A
?
B)
?
(C
I
A)
?
(C
I
B)
。
第二部分 函数与导数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
⑤换元法 ；⑥利用均值不等式
x
a?b
ab??
2
a< br>2
?b
2
； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意
2
义等）；⑧利用函数有界性（
a
、
sinx
、
cosx等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为 ［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由
不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：① 首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为基本函数：内函数
u?g(x)
与外 函数
y?f(u)
；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则 增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的
单调性。
注意：外函数
y?f(u)
的定义域是内函数
u?g(x)
的值域。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
．．．．⑵
f(x)
是奇函数
?
f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x) ?0?
f(?x)
??1
；
f(x)
⑶
f(x)
是偶函数
?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?
f(?x)
?1 ；
f(x)
⑷奇函数
f(x)
在原点有定义，则
f(0)? 0
；
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义：
f(x)
在区间
M
上是增（减）函数
?? x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x
2
时
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1
)?f(x
2
)?0(?0)?(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0(?0)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0(?0)
；
x
1
?x
2
⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子
f(x< br>1
)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导
数法（见导数部分）；③复合函数法（见2 （2））；④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义： 对定义域内的任意
x
，若有
f(x?T)?f(x)
（其中
T为非零常数），则称函数
f(x)
为周期
函数，
T
为它的一个周 期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小
正周期。
（2）三角函数的周期
①
y?sinx:T?2
?
；②
y?cosx:T?2
?
；③
y?tanx:T?
?
；④
y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?
?
2
?
；⑤
y?tan
?
x:T?
；
|
?
|
|
?
|
⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）
⑷与周期有关的结论：①
f(x?a)?f(x?a)
或
f(x?2a)?f(x)(a?0)

?
f(x)
的周期为< br>2a
；②
y?f(x)
的
图象关于点
(a,0),(b,0)
中心对称
?
f(x)
周期2
a?b
；③
y?f(x )
的图象关于直线
x?a,x?b
轴对称
?
f(x)
周期为 2
a?b
；
④
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)中心对称，直线
x?b
轴对称
?
f(x)
周期4
a?b
；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数：
y?x
?
（
?
?R)
；⑵指数函数：
y?a
x
(a?0,a?1)
；
⑶对数函数:y?log
a
x(a?0,a?1)
；⑷正弦函数:
y?sinx
；
2
⑸余弦函数：
y?cosx
；（6）正切函数：
y?tanx
；⑺一元二次函数：
ax?bx?c?0
；
⑻其它常用函数：①正比例函数：
y?kx(k?0)
；②反比例函数：
y?
k1
(k?0)
；特别的
y?
，函数
xx
y?x?
a
(a?0)
；
x
22
9．二次函数：⑴解析式：①一般 式：
f(x)?ax?bx?c
；②顶点式：
f(x)?a(x?h)?k
，
(h,k)
为顶点；③零
点式：
f(x)?a(x?x
1
) (x?x
2
)
。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称 轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分 类讨论。
10．函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
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⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ
y?f(x)?y?f(x?a)
，
(a?0)
———左“+”右“-”；
ⅱ
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)
———上“+”下“-”；
② 伸缩变换：
ⅰ
y?f(x)?y?f(
?
x)
， （
?< br>?0)
———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
1
?
倍；
ⅱ
y?f(x)?y?Af(x)
， （
A?0)
———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的
A
倍；
??< br>y??f(?x)
；ⅱ
y?f(x)
???
y??f(x)
； ③ 对称变换：ⅰ
y?f(x)
??
?
y?f
ⅲ
y?f(x)
???
y?f(?x)
； ⅳ
y?f(x)
???
④ 翻转变换：
ⅰ
y?f(x)?y?f( |x|)
———右不动，右向左翻（
f(x)
在
y
左侧图象去掉）；
ⅱ
y?f(x)?y?|f(x)|
———上不动，下向上翻（|
f(x)< br>|在
x
下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1 )证明函数
y?f(x)
图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点 仍在图像上；
（2）证明函数
y?f(x)
与
y?g(x)
图象的 对称性，即证明
y?f(x)
图象上任意点关于对称中心（对称轴）的
对称点在
y?g(x)
的图象上，反之亦然；
注：①曲线C
1
:f(x,y)=0 关于点（a,b）的对称曲线C
2
方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲线 C
1
:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C
2
方程为：f(2a－ x, y)=0;
③曲线C
1
：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+ a)的对称曲线C
2
的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0) ;④f(a+x)=f(b
x?0y?x
(0,0)y?0
?1
(x)
；
??
y=f(x)图像关于直线x=－x) （x∈R）
?
a?b
对称；
2
??
y=f(x)图像关于直线x=a对称； 特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）
?
⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－ x)的图像关于直线x=
a?b
对称；
2
12．函数零点的求法：⑴直接法 （求
f(x)?0
的根）；⑵图象法；⑶二分法.
13．导数 ⑴导数定义：f(x )在点x
0
处的导数记作
y
?
?f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?x
x?x
0
?x?0
'
n'n?1'
⑵常见函数 的导数公式: ①
C
?0
；②
(x)?nx
；③
(sinx )?cosx
；
'x'xx'x
④
(cosx)??sinx
；⑤
(a)?alna
；⑥
(e)?e
；⑦
(log
a
x)?
'
1
；
xlna
⑧
(lnx)?
'
1
uu
?
v?uv
?
。⑶导数的四则运算法则：
(u? v)
?
?u
?
?v
?
;(uv)
?
?u< br>?
v?uv
?
;()
?
?;

x
v
v
2
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⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还 是“过”该点的切线？②利
用导数判断函数单调性：ⅰ
f
?
(x)?0?f(x)
是增函数；
ⅱ
f
?
(x)?0?f(x)
为减函数；ⅲ
f
?
(x)?0?f(x)
为常数；
③利用导数求极值：ⅰ求导 数
f
?
(x)
；ⅱ求方程
f
?
(x)?0
的根；ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
?
180
??
?
)
? 57
?
18
'
1．⑴角度制与弧度制的互化：
?
弧度?180
，
1?
弧度，
1
弧度
?(
180?
1
2
1
⑵弧长公式：
l?
?
R
；扇 形面积公式：
S?
?
R?Rl
。
22
2．三角函数定义： 角
?
中边上任意一点
P
为
(x,y)
，设
|OP| ?r
则：
sin
?
?
yxy
,cos
?
?,tan
?
?

rrx
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；
5．⑴
y?Asin (
?
x?
?
)
对称轴：
x?
k
?
?
?
2
?
?
；对称中心：
(
?
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；
?
?
?
,0)(k?Z)
； ⑵
y?Acos(
?
x?
?
)
对称轴：
x?
k
?
?
?
；对称中心：
(
?
22
k
?
?
?
2
?
6．同角三角函数的基本关系：
sinx?cosx?1;
sinx< br>?tanx
；
cosx
7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
? cos
?
sin
?
;

?
?
?
) ?
②
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
③
tan(8．二倍角公式：①
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
tan
?
?tan
?
。
1
?tan
?
tan
?
2tan
?
。
2
1?tan
?
2222
②
cos2
?
?cos
?< br>?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
；③
tan2
?
?
2
1?cos2
?
1?cos2?
1
2
;sin
?
cos
?
?sin2
?
.
;cos
?
?
222
abc
???2R
（
2R
是
?ABC
外接圆直径） 9．正、余弦定理⑴正弦定理sinAsinBsinC
*降幂公式:
sin
?
?
注：①a:b:c?sinA:sinB:sinC
；②
a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC
；③
abca?b?c
???
。
sinAsin BsinCsinA?sinB?sinC
b
2
?c
2
?a
2
⑵余弦定理：
a?b?c?2bccosA
等三个；注：
cosA?
等三个。
2bc
222
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10。几个公式:⑴三角形面积公式：
S
?ABC
?11
ah?absinC?
22
p(p?a)(p?b)(p?c),(p?1
(a?b?c))
；
2
⑵内切圆半径r=
2S
?A BC
；外接圆直径2R=
a?b?c
abc
??;

sinAsinBsinC
11．已知
a,b,A
时三角形解的个数的判定：
C
b
h
A
a
其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a②a=h时，一解（直角）；③h 角，一钝角）；④a
?
b时，一解（一锐角）。
⑵A为直角或钝角时：①a
?
b时，无解；②a>b时，
一解（锐角）。

第四部分 立体几何

1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为
22:1
。
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S
侧
+2S
底
；②侧面积：S
侧
=
2
?
rh
；③体积：V= S
底
h
⑵锥体：①表面积：S=S
侧
+S
底
； ②侧面积：S
侧
=
?
rl
；③体积：V=
1
S底
h：
3
1
（S+
SS
'
?S
'< br>）h；⑷球体：
3
⑶台体：①表面积：S=S
侧
+S
上底S
下底
；②侧面积：S
侧
=
?
(r?r
')l
；③体积：V=
2
①表面积：S=
4
?
R
；②体积：V=
?
R
。
4
3
3
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行
?
线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；
②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。
⑵直线与平面 所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得
si n
?
。
⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；
6． 结论：⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在 ∠BOC
?
2
;
⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为的平分线上；⑵立 平斜公式(最小角定理公式)：
cos
?
?cos
?
1
co s
?
，则S
侧
cos
?
=S
底
；
⑷长方体的性质①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
?
,
?,
?
,
则：cos
2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
=1；
sin
2
?
+sin
2
?
+sin
2
?
=2 。
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②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面 所成的角分别为
?
,
?
,
?
,
则有cos
2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
=2；< br>sin
2
?
+sin
2
?
+sin
2
?
=1 。
⑸正四面体的性质：设棱长为
a
，则正四面体的：
① 高：
h?
1
626
a
；②对棱间距离：
a；③相邻两面所成角余弦值：；④内切球半径：
a
；外接球半径：
3
32 12
6
a
；
4
第五部分 直线与圆
1．直线方程⑴ 点斜式：
y?y
?
?k(x?x
?
)
；⑵斜截式：
y?kx?b
；⑶截距式：
xy
??1
；⑷两点式：
ab
y?y
1
x?x
1
；⑸一般式：Ax?By?C?0
，（A，B不全为0）。（直线的方向向量：（
B,?A)
， 法
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1向量（
A,B)

2．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
3．两条直线的位置关系：

直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注


l
1
:y?k
1
x?b
1

k1?k2,b1?b2

k
1
?k
2
??1

l
1
,l
2
有斜率

l
2
:y?k
2
x?b
2


l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

A
1
B
2
?A
2
B
1
,
且
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
不可写成

4．几个公式
l
2
:A
2
x

?B
2
y?C
2
?0B
1
C
2
?B
2
C
x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
⑴设A（x
1
,y
1
）、B(x
2
,y
2
)、C（x
3
,y
3
），⊿ABC的重心G：（1
）；
,
33
⑵点P（x
0,
y
0
）到直线Ax+By+C=0的距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
；
⑶两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的距离是
d?
C
1
?C
2< br>；
A
2
?B
2
5．圆的方程：⑴标准方程：①
(x ?a)?(y?b)?r
；②
x?y?r
。
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0)

注：Ax
2
+Bxy+Cy
2+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A=C≠0且B=0且D
2
+E
2
－4AF>0；
6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
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2222
222222

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⑴点与圆的位置关系：（
d
表示点到圆心的距离）
①
d?R?点在圆上；②
d?R?
点在圆内；③
d?R?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（
d
表示圆心到直线的距离）
①
d?R?
相切；②
d?R?
相交；③
d?R?
相离。
⑶圆与圆的位 置关系：（
d
表示圆心距，
R,r
表示两圆半径，且
R?r
）
①
d?R?r?
相离；②
d?R?r?
外切；③
R?r ?d?R?r?
相交；
④
d?R?r?
内切；⑤
0?d?R?r?
内含。
8．与圆有关的结论：
⑴过圆x
2
+y
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切线方程为：x
0
x+ y
0
y=r
2
；
过圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切线 方程为：(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)=r
2
；
⑵以A(x
1
，y
2
)、B(x
2
, y
2
)为直径的圆的方程：(x－x
1
)(x－x
2
)+( y－y
1
)(y－y
2
)=0。
第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆：
|MF
1
|?|MF
2
|?2a,(2a?| F
1
F
2
|)
；
⑵双曲线：
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F
1
F
2
| )
；⑶抛物线：略
2．结论 ⑴焦半径：①椭圆：
PF
1
?a?e x
0
,PF
2
?a?ex
0
（e为离心率）； （左“+”右“-”）；②抛物线：
PF?x
0
?
p

2< br>⑵弦长公式：
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2
]

?1?
11
?y?y?(1 ?)?[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y< br>2
]
；
21
22
kk
注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆 ：
|AB|?2a?e(x
1
?x
2
)
；②抛物线：
AB
＝x
1
+x
2
+p=
短弦）：①椭圆、双曲线：2b
；②抛物线：2p。
a
2
2p
；（Ⅱ）通径（最
2
sin
?
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：
mx
2
?ny
2
?1
（
m,n
同时大于0时表示椭圆，
mn?0
时表示双曲
线）；
⑷椭圆中的结论：①内接矩形最大面积 ：2ab；
②P，Q为椭圆上任意两点，且OP
?
0Q，则
1111
； ???
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>．
S
?PF
1
F
2
? btan
于点
N
，则
2
?
2
，（
?
??F
1
PF
2
）；<Ⅱ>．点
M
是
?PF< br>1
F
2
内心，
PM
交
F
1
F
2
|PM|a
?
；
|MN|c
④当点
P
与 椭圆短轴顶点重合时
?F
1
PF
2
最大；
⑸双曲线中的结论：
22
22
yy
xx
①双曲线
?
2
?1
（a>0,b>0）的渐近线：
2
?
2
? 0
；
2
abab
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②共渐进线
y??
b
x
2
y
2
的双曲线标准方程为
x
?
2
?
?
(
?为参数，
?
≠0）；
2
a
ab
③双曲线焦点三角形： <Ⅰ>．
S
?PF
1
F
2
x
2
y
2
?
，（
?
??F
1
PF
2
）；<Ⅱ>． P是双曲线
2
－
2
=1(a＞0，b＞0)的左（右）
?
a b
tan
2
b
2
支上一点，F
1
、F
2< br>分别为左、右焦点，则△PF
1
F
2
的内切圆的圆心横坐标为
?a,(a)
；
④双曲线为等轴双曲线
?
e?
（6）抛物线中的结论：
2
p
①抛物线y=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>． x
1x
2
=；y
1
y
2
=－p
2
；
4
2?
渐近线为
y??x
?
渐近线互相垂直；
2
<Ⅱ>．
112
??
；<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切； <Ⅳ>．以AF（或BF）为直径的圆与
y
轴相
|AF||BF|p
p
2
?
。
2sin
?
切；<Ⅴ>．
S
?AOB
②抛物线y
2
=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：
<Ⅰ>．
x
1
x
2
?4P
2
,y
1
y2
??4P
2
； <Ⅱ>．
l
AB
恒过定点
(2p,0)
；
<Ⅲ>．
A,B
中点轨迹方程：
y
2
?p(x?2p)
；<Ⅳ>．
OM?AB
，则
M
轨迹方程为：
(x?p)
2
?y
2
?p
2
；<
Ⅴ>．
(S
?AOB
)
mi n
?4p
2
。
③抛物线y
2
=2px(p>0)，对称 轴上一定点
A(a,0)
，则：
<Ⅰ>．当
0?a?p
时，顶点到 点A距离最小，最小值为
a
；<Ⅱ>．当
a?p
时，抛物线上有关于
x
轴对称的两
点到点A距离最小，最小值为
2ap?p
2
。
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：①联 立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程？
②直线斜率不存在时考虑了吗？③判别式验证了吗？
⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x1
，y
1
)、B(x
2
,y
2
)；②作差得< br>k
AB
?
y
1
?y
2
???
；③解 决问题。
x
1
?x
2
4．求轨迹的常用方法：
（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法） ；⑷待定系
数法；（5）参数法；（6）交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设 a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
)，则：① a∥b(b≠0)
?
a=
?
b （
?
?R)< br>?
x
1
y
2
－x
2
y
1
= 0；
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② a⊥b(a、b≠0)
?
a·b=0
?
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0 .
⑵a·b=|a|| b|cos=x
2
+y
1
y
2
； 注：①|a| cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上
的投影；②a· b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。⑶cos=
a?b
；
|a||b|
⑷三点共线的充要条件P，A，B三点共线?
OP?xOA?yOB(且x?y?1)
；

第八部分 数列
1．定义：
⑴等差数列
｛a
n
｝?a
n?1
?a
n
?d(d为常数）?2a
n
?an?1
?a
n?1
(n?2,n?N*)

?a
n< br>?kn?b?s
n
?An
2
?Bn
；
⑵等比数列
｛a
n
}?
a
n?1
2
?q(q?0)?a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n?2,n?N)

a
n
?a
n
?cq
n
(c,q均为不为0的常数）?Sn? k?kq
n
(q?0,q?1,k?0)
；
2．等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n
?a
1
q
n?1

1.q?1时，S
n
?na
1
;
n(a
1
?a
n
)
a
1
(1?q
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

2.q?1时，S
n
?
前n项和
S
n
?

22
1?q
a?a
n
q
?
1
1?q
性质 ①a
n
=a
m
+ (n－m)d, ①a
n
=a
m
q
n-m
;
②m+n=p+q时a
m
+a
n
=a
p
+a
q
②m+n=p+q时a
m
a
n
=a
p
a
q

③
S
k
,S
2k
? S
k
,S
3k
?S
2k
,?
成AP ③
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S2k
,?
成GP
m
④
a
k,a
k?m
,a
k?2m
,?
成AP,
d'?md ④
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?成GP,
q'?q

等差数列特有性质：①项数为2n时：S
2n
=n(a
n
+a
n+1
)=n(a
1
+a
2n< br>)；
S
偶
?S
奇
?nd
；
S
奇< br>S
偶
?
a
n
；②项数为2n-1时：
a
n? 1
S
2n-1
=(2n-1)
a
中
；
S
奇
-S
偶
?a
中
；
S
奇
S
偶
?
n
；
n-1
③若
a
n
?m,a
m
?n,(m?n)，则a
m?n
? 0
；若
S
n
?m,S
m
?n,则S
m?n
??(m?n)
；
若
S
n
?S
m
,(m?n)， 则S
m?n
?0
。
3．数列通项的求法：
S
1
(n=1)

S
n

－S
n-1
(n≥2)
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a
n
=
⑴分析法；⑵定义法（利用A P,GP的定义）；⑶公式法：累加法（
a
n
?1
?a
n
? c
n
；
⑷叠乘法（
a
n?1
?c
n
型） ；⑸构造法（
a
n?1
?ka
n
?b
型）；（6）迭代法；
a
n
11
??4
）；⑻作商法（
a
1
a< br>2
?a
n
?c
n
型）；⑼待定系数法；
a
n
a
n?1
⑺间接法（例如：
a
n?1
?a
n
?4a
n
a
n?1
?
⑽（理科）数学归纳法。
注：当遇 到
a
n?1
?a
n?1
?d或
a
n?1
? q
时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。
a
n?1
4．前
n
项和的求法：⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。
5．等差数列前n项和最值的求法：
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
；⑵利用二次函数的图象与性质。 ⑴
?
?
或
?
?
?
??
?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?

第九部分 不等式
a?b
1．均值不等式：
ab??
2
a
2
?b
2

2
a?b
2
a
2
?b
2
注意：①一正二定三相等；②变形，
ab?(
。
) ?
22
2．绝对值不等式：
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

3．不等式的性质：
⑴
a?b?b?a
；⑵
a?b,b?c? a?c
；⑶
a?b?a?c?b?c
；
a?b,c?d

? a?c?b?d
；⑷
a?b,c?0?ac?bd
；
a?b,c?0?ac? bc
；
a?b?0,

c?d?0?ac?bd
；⑸
a?b ?0?a
n
?b
n
?0(n?N
?
)
；（6）a?b?0?

n
a?
n
b(n?N
?
)
。
4．不等式等证明（主要）方法：⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。

第十部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈R
?
b=0 (a,b∈R)
?
z=
z
?
z
2
≥0；
⑵z=a+bi是虚数
?
b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是纯虚数
?
a=0且b≠0(a,b∈R)
?
z＋
z
＝0（z≠0）
?
z
2
<0；
⑷a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z
1
± z
2
= (a + b) ± (c + d)i；⑵ z
1
.z
2
= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z
1
÷z
2
=
(a?bi)(c?di)
?

(c?di)(c?di)
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ac?bdbc?ad
(z≠0)
?i
2
c
2
?d
2
c
2
?d
2
3．几个重要的结论： < br>222222
2
(1)z
1
?z
2
?z
1< br>?z
2
?2(z
1
?z
2
);(2)z?z?z?z
；⑶
(1?i)??2i
；⑷
1?i1?i
?i;??i;

1?i1?i
第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作
A?B
；
⑵事件A与事件B相等：若
A?B,B?A
，则事件A与B相等，记作A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作
A?B
（或
A ?B
）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作
A?B
（或
AB
） ；
⑸事件A与事件B互斥：若
A?B
为不 可能事件（
A?B?
?
），则事件A与互斥；
﹙6﹚对立事件：
A ?B
为不可能事件，
A?B
为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：
P(A)?
A包含的基本事件的个数
；
基本事件的总数
构成事件A的区域长度（面积或体积等）
；
试验的全部结 果构成的区域长度（面积或体积等）
⑶几何概型：
P(A)?
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个 不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个
体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽 样。
注：①每个个体被抽到的概率为
n
；
N
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号
l
；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为 使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，
然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样 叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数
x?
1
(x
1
?x
2
?????x
n
)?
1
?
x
i
；
nn
i?1
n
⑵样本方差
S
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n?x)
2
]
?
1
?
(x
i
?x)2
；
n

N
n
n
n
i?1
n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)
2< br>]
=
1
(x?x)
2
；
?
i
n
n
i?1
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3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n

i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注：⑴
r
>0时 ，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4．回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和：
2
⑵残差：；⑶残差平方和： ；⑷回归平方和：
e?y? y
(y?y)(yi?yi)(y?y)
?
i
??
i
iii
22
i?1i?1i?1
n
??
n
?
n
－
?
(yi?yi)
i?1
2
n
?
2
；⑸相 关指数
R?1?
2
?
(y
?
(y
i?1
i ?1
n
n
i
?y
i
)
2
。
?
i
?y
i
)
2
2
注：①
R
得知越 大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②
R
越接近于1，则回归效果越好。
5．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量
K
越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十三部分 算法初步

1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；⑥ 连接点。

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；

⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r=0? 否
求n除以i的余数

输入n
是

n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
i
?
n或r=0?否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句： I
NPUT “提示内容”；变量
；输出语句：
PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
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2

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语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF


⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
3．算法案例：
⑴辗转相除法与更相减损法----- 求两个正整数的最大公约数；
⑵秦九韶算法------求多项式的值；
⑶进位制 ----------各进制数之间的互化。

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1． 四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；
⑶否命题：若
?
p则
?
q；⑷逆否命题：若
?
q则
?
p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
2．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；
（2）利用集合间 的包含关系：例如：若
A?B
，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是< br>B的充要条件；
3．逻辑连接词：
⑴且(and) ：命题形式 p
?
q； p q p
?
q p
?
q
?
p
⑵或（or）：命题形式 p
?
q； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命题形式
?
p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用
?
表示；
全称命题p：
?x?M,p(x)
； 全称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用
?
表示；
特称命题p：
?x?M,p(x)
； 特称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
；
第十五部分 推理与证明
1．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分 析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出
猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归 纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事< br>实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其 中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类
比推理，简称类比。
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注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提 ---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶
结 论 ---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明

⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最 后推导出所要证明的结论成立，
这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明 的结论归结为判定一个明显成立
的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。 分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题 不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明
方法叫反 证法。



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