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高中数学竞赛专题讲座:三角函数与向量

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 21:04
tags:高中数学视频

下载电子版高中数学必修1-学而思网校高中数学选修2-3邓诚

2020年9月17日发(作者:杨丞琳)


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高中数学竞赛专题讲座:三角函数与向量

一、三角函数部分
1.(集训 试题)在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且
C

A

sinB
都是方程logx=log(4x-4)的根,则△ABC(B)
b
b
sinA
A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形
C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形
解:由log
b
x=log
b(4x-4)得:x
2
-4x+4=0,所以x
1
=x
2
=2,故C=2A,sinB=2sinA,
因A+B+C=180°,所以3A+B=180°, 因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin
3
A=2sinA,
∵sin A(1-4sin
2
A)=0,又sinA≠0,所以sin
2
A=
11
,而sinA>0,∴sinA=.
42
因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。
2.(2006吉林预赛 )已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π3对称,则函数y=asinx+cosx的图象的一 条对称轴是(C)
A.x=π3 B.x=2π3 C.x=11π6 D.x=π
3.2006年南昌市)若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定
4.(2006 年南昌市)若
a?sin
?
?tan
?
,
b?cos
?
?cot
?
,则以下诸式中错误的是( B )


ab?11?ab
B.
cos
?
?

b?1a ?1
(a?b)(a?b?2)
(a?b?1)
2
?1?2ab
C.
tan
?
?cot
?
= D.
tan
?
?cot
?
=
(a?1)(b?1)
(a?1)(b?1)
A.
sin
?
=
5.(2006安徽初赛) 已知△ABC为等腰直角三角形,∠C = 90°,D、E为AB边上的两个点,且点D在AE之间,
∠DCE = 45°,则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是 ( )
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定
6.(2006陕西赛区预赛)若
sin
A.
[0,
?
4
442
1
310
7.(2006年江苏)在△
ABC
中 ,
tanA?

cosB?
.若△
ABC
的最长边为
1
,则最短边的长为 ( D )
2
10
453525
5
A. B. C. D.
555
5
x
?cos2x

f
4
(x)?sinx
2
,上述函数中,8.(2005年浙江)设
f
1
(x)?2
,< br>f
2
(x)?sinx?cos2x

f
3
(x)? sin
2

周期函数的个数是( B )
A.1 B.2
【解】:
f
1
(x)?
C.3 D.4
]

?
?cos
3
?
?cos
??sin
?
,0?
?
?2
?
,则角
?
的取值范围是(C)
?
?
5
??
3
?
]
D.
[,)
B.
[,
?
]
C.
[,
4
4
3
2
是以任何正实数为周期的周期函数;
f
2
(x)
不是周期函数。 因为
sinx
是以
T
1
? 2
?
为周期
2
?
的周期函数,
cos2x
是以
T
2
?
为周期的周期函数, 而
T
1

T
2
之比不是有理数,故
f
2
(x)
不是周期函数。
2
x
2
?
因为
sin
是以
T
1
?22
?
为周期的周期函数,
cos2x
是以
T
2
?
为周期的周期函数,
f
3
(x)
不是周期函数。
2
2
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T
1
?2
,故
f
3
(x)
是周期函数.
f
4
(x)?sinx< br>2
不是周期函数.因此共有2个周期函数.
?
选 【 B 】
T< br>2
9.(2005年浙江)若
sinx?siny?1
,则
cosx? cosy
的取值范围是 ( )

A.
[?2, 2]
B.
[?1, 1]
C.
[0,3]
D.
[?3,3]

【解】:设
cosx?cosy?t

?

cos
2
x?2 cosxcosy?cos
2
y?t
2
。又由
sinx?siny?1
,故
sin
2
x?2sinxsiny? sin
2
y?1
。因此有
2(cosxcosy?sinxsiny)?t
2
?1
,即
2cos(x?y)?t
2
?1

由于
?1?cos(x?y)?1
,所以有
t
2
?3
,即
?3?t?3

?
选 【 D 】
10. (2005全国)
?ABC
内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆
ABC
?BB
1
?cos?CC
1
?cos
222
的值为 于
A
1

B
1

C
1< br>。则
sinA?sinB?sinC
A.2 B.4 C.6 D.8
解:如图,连
BA
1

AA
1
?cos

AA
1
?2sin(B?
A
)?2sin(
A? B?C
?
B
?
C
)
?2cos(
B
?C
).

2222
22
( )



?AA
1
cos
ABCAA?B?CA?C?B
???2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)?cos(?B)
22222222< br>
BCA
?sinC?sinB,同理BB
1
cos?sinA?si nC,CC
1
cos?sinA?sinB,?AA
1
cos?BB
1
?
222
BC2(sinA?sinB?sinC)
cos?CC
1
cos?2(sinA?sinB?sinC),?原式??2.选A.
22sinA?si nB?sinC
cos3
?
1sin3
?
?
,则
?
73
cos
?
3sin
?
12(2 004年浙江省预赛)设
a
i
?R
?
(i?1,2,?n),
?
,
?
,
?
?R,

?
?
?< br>?
?
?0,
则对任意
x?R

11(2006陕 西赛区预赛)已知
?
为锐角,且
??
111
??
?
n .
??
?
(
?
?
?
)x?
x(
?
?
?
)x
?
x(
?
?
?
)x
?
x
??
1?a
i
?a
i
1?a
i
?a
i
?a
i
i?1
1?a
i
??
111
解:
??
(
?
?
?
)x
1?a
i
?
x
?a
i
(
?
?
?
)x
1?a
i
?
x
?a
i
(
?
?
?
)x
1?a
i
?
x?a
i
n
a
i
?
x
a
i
(< br>?
?
?
)x
1
?
?
x
???1
(
?
?
?
)x(
?
?
?
)x
?
x
?
x(
?
?
?
)x
a
i
?a
i
?1a
i
?1?a
i
1?ai
?a
i
?
111
所以,
?
??
(< br>?
?
?
)x
?
x
?
1?a
i
?
x
?a
i
(
?
?
?
)x
1? a
i
?
x
?a
i
(
?
?
?)x
?a
i?1
1?a
ii
?
?
n
?
?
?n.

?
?
sin
4
xcos
4
x1
??,
则13(2006年浙江省预赛)设
a,b
是非零实 数,
x?R
,若
a
2
b
2
a
2
? b
2
1
sin
2008
xcos
2008
x
??

20062006
221003
ab
(a?b)
4
sinxco
4
sx1
??,
解:已知 ……………… (1)
a
2
b
2
a
2
?b
2
b
2
a
2
4444
将(1)改写成
1?sinx?cosx?
2
sinx?
2
cosx
.
ab
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1?(sin
2
x?cos
2
x)
2
?sin
4
x?cos
4
x?2sin
2
xcos
2
x
.
b
2
a
2
4224
所以有
2
sinx?2sinxcosx?
2
cosx?0
.
a b
2
sin
4
xcos
4
x
a
?
b
22
?
?,

?
sinx?cosx
?
?0
, 也即 将该值记为C。则由(1)知,
44
ab
b
?< br>a
?
1
1
a
2
C?b
2
C?
2
。于是有,.
C?
a?b
2
(a
2
?b< br>2
)
2
sin
2008
xcos
2008
x 11
2502250222
而.
??aC?bC?(a?b)?
24221 003
ab(a?b)(a?b)
14(200 6天津)在
Rt?ABC
中 ,
c

r

S
分别表示它的斜边长,内切圆半径和面积,则
cr
的取值范围是
S
[22?2,1)

15(200 6天津)已知
A(2cos
?
,3sin
?
)

B(2cos
?
,3sin
?
)

C (?1,0)
是平面上三个不同的点,且满足关系式
CA?
?
BC
, 则实数
?
的取值范围是
16(2006年江苏)设
cos2
?< br>?
172006吉林预赛)若
sin
2
(x?
1
?< br>?
?3

3
12
11
2
44
,则
cos
?
?sin
?
的值是 .
18
3
?
3
?
??
1
2
,且 ,则tanx的值为__________.
)?sin(x?
12
)??
4
x?(,)
24
86
2
?
,(<?<?
)
,则
tan
?
?cot
?
=_
?
____. < br>23
5
2
19.(2006年上海)设
n(n?2)
是给定的 整数,
x
1
,x
2
,?,x
n
是实数,则
sinx
1
cosx
2
?sinx
2
cosx
3< br>???sinx
n
cosx
1
n
的最大值是 .
2
20.(2004 全国)在平面直角坐标系xoy中,函数
f(x)?asi nax?cosax(a?0)
在一个最小正周期长的区间上的图
18(2006年南昌市)已 知
sin
?
?cos
?
=
像与函数
g(x)?a< br>2
?1
的图像所围成的封闭图形的面积是________________.
2
?
1
,它的最小正周期为,振幅为
a
2
?1
。 由
f(x)
的图像与
a
a
2
?
g(x)
的 图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为、宽为
a
2
?1
的长方 形,故它的面积是
a
2
?
a
2
?1

a
21.(2005全国)设
?

?

?
满足
0?
?
?
?
?
?
?2
?
,若对于任意
x?R,cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?
4
?
cos(x?
?
)?0,

?
?
?
?
.

解:
f(x)?a
2
?1sin(ax?
?
),其中
?
?arctan
3
解:设
f(x)? cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?cos(x?
?
) ,

x?R

f(x)?0
知,
f(?
?
)?0,f(?
?
)?0,f(?
?
)?0,

cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)??1,c os(
?
?
?
)?

cos(
?
??
)??1

cos(
?
?
?
)?cos(< br>?
?
?
)??1.

?cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?

?0?
?
?
?
?
?
? 2
?
,
?
?
?
?
,
?
?
?
,
?
?
?
?{
2
?
4
?
,},
33

?
?
?
?
?
?
?
,
?
?
?
?
?
?
?
.
只有
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
4
?
.?
?
?
?
?.

33
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?
2
?
4
?
,

?
?< br>?
?,
?
?
?
?,?x?R,

x?
?
?
?

3
33
4
?
2
?< br>2
?
4
?
))
构成
),sin(
?
?)),(cos(
?
?),
sin(
?
?
由于三点(cos
?
,sin
?
),(cos(
?
?
3
333
单位圆
x
2
?y
2
?1
上正三角形 的三个顶点.其中心位于原点,显然有
2
?
4
?
cos
?
?cos(
?
?)?cos(
?
?)?0.

另一 方面,当
?
?
?
?
?
?
?
?

cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?0.

二、向量部分
1.(集训试题)已知
a
=(cos
则△OAB的面积等于
A.1 B.
33
22
π, sinπ),
OA?a?b
,
OB?a?b
,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,
33
( )
D.
1
C.2
2
?
?
(a?b)(a?b )?0
解:设向量
b
=(x, y),则
?

?
?
|a?b|?|a?b|
3

2
?
1 313
)?(?x?,?y??0
?
(x?,y?
?
2222

?

1
2
3
2
1
2
32
?
(x?)?(y?)?(x?)?(y?)
?
2222
?< br>22
?
1
3131
?
x?y?1
,)
(?,)
,∴S

AOB
=
|a?b||a?b|
=1 。 即
?
. ∴
b?(
2222
2
?
?
x ?3y
?????????????
2.(2004全国)设O点在
?ABC
内部,且有
OA?2OB?3OC?0
,则
?ABC
的面积与
?AO C
的面积的比为
( )
A.2 B.
3

2
C.3 D.
5

3
A
??????????? ?
OA?OC?2OD(1)

???

??????????2(OB?OC)?4OE(2)
?????????????????????
由(1) (2)得,
OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0

????????

OD与OE
共线,
????????
SS
33?2

|OD|?2|OE|?
?AEC
?,?
? ABC
??3
, 故选C。
S
?AOC
2S
?AOC2
????
2
????
1
????
3.(2006陕西 赛区预赛)如图1,设P为△ABC内一点,且
AP?AB?AC

55
D
O
BE
C
解:如图,设D,E分别是AC,BC边的中点,
则△ABP的面积与△ABC的面积之比为( A )
12
B.
55
11
C. D.
43
4.( 2005年浙江)已知
a

b
是两个相互垂直的单位向量,而
|c| ?13

c?a?3

c?b?4
.
A.
< br>则对于任意实数
t
1
,t
2

|c?t
1< br>a?t
2
b|
的最小值是 ( )
A.5 B.7 C.12 D.13
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【解】:由条件可得
c?t
1
a?t
2
b
2< br>2
22
?c?6t
1
?8t
2
?t
1
?t
2

2

?169?(t
1
?3)
2
?(t
2
?4)
2
?25?144? (t
1
?3)
2
?(t
2
?4)
2
?14 4


t
1
?3,t
2
?4
时,
c?t
1
a?t
2
b?144

?
选 【 C 】
5.(2005全国)空间四点A、B、C、D满足
|A B|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,

AC?BD
的取值
( )
A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个
?
2
解:注意到
3?11?1130?7?9,
由 于
AB?BC?CD?DA?0,

DA
2
?DA
= 2222
(AB?BC?CD)
2
?AB
2
?BC
2< br>?CD
2
?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB
2
?< br>BC
2
?CD
2
?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB) ?AB
2
?BC
2
?CD
2
?2(AB?

2

BC)?(BC?CD),

2AC?BD?AD
2
?BC
2
?AB
2
?CD
2
?0,?AC?B D
只有一个值得0,故选A。
6.(2006吉林预赛)已知P为△ABC内一点,且满足< br>3PA?4PB?5PC?0
,那么S
△PAB
:S
△PBC
:S
△PCA
= .
7.(2006年南昌市)等腰 直角三角形的直角顶点
A
对应的向量为
A
?
1,0
?
,重心
G
对应的向量为
G
?
2,0
?
,则三角形 另二
个顶点
B

C
对应的向量为_____
?
?< br>53
?
,?
?
_________.
?
22
?
2
的圆周
2
8.(2006年浙江省预赛)手表的表面在一平面上。整点 1,2,…,12这12个数字等间隔地分布在半径为
上。从整点i到整点(i+1)的向量记作
t
i
t
i?1
,则
t
1
t
2
? t
2
t
3
?t
2
t
3
?t
3t
4
???t
12
t
1
?t
1
t2

63?9
.
解:连接相邻刻度的线段 构成半径为
2
的圆内接正12边形.相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角,为30
2
2
?
2?3
?
2
?
2?3
??
cos
?
?2
2?33
. 共有
2
度。各边向量的长为
2?
. 则
t
1
t2
?t
2
t
3
?
?sin

?2?
4
?
6
21242
4
??
12个相等项. 所以求得数量积之和为
63?9
.



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本文更新与2020-09-17 21:04,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/401939.html

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