关于高中数学恒成立问题的解析及练习

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2009届高考数学快速提升成绩题型训练——恒成立问题



1. （1）若关于
x
的不等式
x
2
?ax?a?0
的解集为
(??,??)
，求实数
a
的取值范围；（2）若关于
x
的
不等式
x
2
?ax?a??3
的解集不是空集，求实数< br>a
的取值范围．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


2 三个同学对问题“关于
x
的不等式
x
2
?25?x3
?5x
2
?ax
在
?
1,12
?
上 恒成立，求实数
a
的取值范
围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量
x
的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于
x
的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求
a
的取值范围.


3. 已知向量
a?(x
2
,x?1),b?(1?x ,t),
若函数
f
?
x
?
?a?b
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，求
t
的取值范围.


4. 已知函数
f
?
x
?
?x
3
?3ax ?1,g
?
x
?
?f
?
?
x
?
? ax?5
，其中
f
'
?
x
?
是
f
?
x
?
的导函数.
（1）对满足
?1?a?1
的一切a
的值，都有
g
?
x
?
?0
，求实数
x
的
围；
（2）设
a??m
2
，当实数
m
在什么范围内变化时，函数
y?f
?
x
?
的
线
y ?3
只有一个公共点.


5. 求与抛物线
E:y?ax
2
相切于坐标原点的最大圆
C
的方程.


6. 设
a?R
，二次函数
f(x)?ax
2
?2x?2a.
若
f(x)?0
的解集为
A
，
B ?
?
x|1?x?3
?
,A?B??
，
求实数
a< br>的取值范围.

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??
?
?
取值范
图象与直

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7. 已知函数
f< br>?
x
?
?lnx
，
g
?
x
?
?
1
2
ax
2
?bx
，
a?0
.
若
b?2
，且
h
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
存在单调递减区间，求
a
的取值范围；


8. 设
x?3
是函数
f( x)?(x
2
?ax?b)e
3?x
(x?R)
的一个极值点. < br>（Ⅰ）求
a
与
b
的关系式（用
a
表示
b），并求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）设
a?0
，
g(x)?(a
2
?


9. 已知函数
f(x)?
4x?7
2?x
2
25
4
)e
x
,若存在
?
1
,
?
2
? [0,4]
使得
f(
?
1
)?g(
?
2
) ?1
成立，求
a
的取值范围.
,x?[0,1].

（1）求
f(x)
的单调区间和值域；
（2）设
a?1
，函数g
?
x
?
?x
3
?3a
2
x?2a, x?
?
0,1
?
,若对于任意
x
1
?
?< br>0,1
?
g(x
0
)?f(x
1
)
成立，求
,总存在
x
0
?
?
0,1
?
使得
a
的取值范围.


10. 求实数
a
的取值范围，使得 对任意实数
x
和任意
?
?
?
0,
?
，恒有 ：
?
2
?
?
?
?
?
x?3?2s


i
?
nco
?
s
?
?
?
x?asi
?
n?aco
?
s
?
?
22
1
8
。
11. 已知
x?1
是函数
f(x)?mx
3
?3(m?1)x
2
?nx?1
的一个极值点，其中
m,n?R ,m?0
。（I）求
m
与
n
的关系式；（II）求
f(x)
的单调区间；（III）当
x?
?
?1,1
?
时，函数y?f(x)
的图象上任意一点的切线
斜率恒大于3
m
，求
m< br>的取值范围.


12. 设数列{
a
n
}的前< br>n
项和为
S
n
，已知
a
1
＝1，
a
2
＝6，
a
3
＝11，且
(5n?8)S
n?1
?(5n?2)S
n
?An?B,n?1,2,3,?，
其中A,B为常数.
（Ⅰ）求A与B的值；
（Ⅱ）证明数列{
a
n
}为等差数列；

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选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 < br>（Ⅲ）证明不等式
5a
mn
?a
m
a
n
?1
对任何正整数
m
、
n
都成立.


2
13. 对于满足|a|
?
2的所有实数a,求使不等式x+ax+1>2 a+x恒成立的x的取值范围。


14. 已知函数
f(x)
是 定义在
?
?1,1
?
上的奇函数，且
f(1)?1
，若a,b?
?
?1,
?
1
，
a?b?0
，有f(a)?
a?b
f(b)
（1）证明
f(x)
在
?< br>?1,1
?
上的单调性；（2）若
f(x)?m
2
?2am? 1
?0
，对所有
a?
?
?1,1
?
恒成立，
求
m
的取值范围。


15. 若函数
y?mx
2
?6mx?m?8
在R上恒成立，求m的取值范围。


16. 已知函数
f(x)?x
2
?ax?3?a，⑴在R上
f(x)?0
恒成立，求
a
的取值范围。

⑵若
x?
?
?2,2
?
时，
f(x)?0
恒成立 ，求
a
的取值范围。


⑶若
x?
?
? 2,2
?
时，
f(x)?2
恒成立，求
a
的取值范围。


⒘ 若对任意的实数
x
，
sin
2
x ?2kcosx?2k?2?0
恒成立，求
k
的取值范围。
分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。


⒙已 知函数
f(x)?lg(a
x
?b
x
)
，常数
a? 1?b?0
，求（1）函数
y?f(x)
的定义域；
（2）当
a、 b
满足什么条件时
f(x)
在区间
?
1,??
?
上 恒取正。








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答案：
1.（1）设
f
?
x
??x
2
?ax?a
.则关于
x
的不等式
x
2< br>?ax?a?0
的解集为
(??,??)
?f
?
x
?
?0
在
?
??,??
?
上恒成立
?
即f
min
?
x
?
??
4a?a
4
2< br>f
min
?
x
?
?0
,
?0,
解得
?4?a?0

（2）设
f
?
x
?
?x
2
?ax?a
.则关于
x
的不等式
x
2
?ax?a??3
的解集不是空集
?f
?
x
?
??3
在
?
??,??
?
上能成立
?
即
f
min
?
x
?
??
f
min
?
x
?
??3
,
2
4a?a
4
??3,< br>解得
a??6
或
a?2
.
2. 关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.
设
f
?
x
?
?x
2
?25?x
3
?5x
2< br>,g
?
x
?
?ax
.
甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，
设
f
?
x
?
?x
2
?25?x
3
?5x2
,g
?
x
?
?ax

其解法相当于解下面的问题：
对于
x
1
?
?
1, 12
?
,x
2
?
?
1,12
?
,若
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?恒成立,求
a
的取值范围.
所以，甲的解题思路与题目
x?
?
1,12
?
,
f
?
x
?
?g
?< br>x
?
恒成立,求
a
的取值范围的要求不一致.因而, 甲
的解题思路不能解决本题.
按照丙的解题思路需作出函数
f
?
x
?
?x
2
?25?x
3
?5x
2
的图象和
g
?
x
?
?ax
的图象,然而,函数
f
?
x
?
的图象并不容易作出.
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由乙的解题思路,本题化为
立.
由

f
?
x
?
x
?x?
25
x
f?
x
?
x
?
f
?
x
?
??a
在
x?
?
1,12
?
上恒成立,等价于
x ?
?
1,12
?
时,
?
?a
成
?
?
x
?
min
?xx?5
在
x?5?
?
1,12
?
时,有最小值
10
,于是,
a?10
.
3. 依定义
f(x)?x
2
(1?x)?t(x?1)??x
3< br>?x
2
?tx?t,

2
则f
?
(x)??3x?2x?t.

f
?x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数等价于
f
?
?
x
?
?0
在区间
?
?1,1
?
上恒成立;
而
f
?
?
x
?
?0
在区间
?
?1,1
?
上恒成立又等价于
t?3x
2
?2x
在区间
?
?1,1
?
上恒成立;
设
g< br>?
x
?
?3x
2
?2x,x?
?
?1,1< br>?

进而
t?g
?
x
?
在区间
?< br>?1,1
?
上恒成立等价于
t?g
max
?
x
?
,x?
?
?1,1
?

考虑到
g
?< br>x
?
?3x
2
?2x,x?
?
?1,1
?< br>在
?
?1,
?
上是减函数,在
?
,1
?上是增函数,
?
3
??
3
?
?
1
? ?
1
?
则
g
max
?
x
?
?g< br>?
?1
?
?5
. 于是,
t
的取值范围是
t?5
.

4. 解法1.由题意
g?
x
?
?3x
2
?ax?3a?5
，这一问表面上是一 个给出参数
a
的范围，解不等式
g
?
x
?
?0的问题，实际上，把以
x
为变量的函数
g
?
x
?
，改为以
a
为变量的函数，就转化为不等式的恒成
立的问题，即
令
?
?
a
?
?
?
3?x
?
a?3 x
2
?5
，
?
?1?a?1
?
，则对
?1 ?a?1
，恒有
g
?
x
?
?0
，即
??
a
?
?0
，从而转化为
对
?1?a?1
，< br>?
?
a
?
?0
恒成立，又由
?
?
a
?
是
a
的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的
端点 得到.为此
?
3x
2
?x?2?0,
?
?
??
1
?
?0
只需
?
即
?
2

?
?1?0
?
?
3x?x?8? 0.
?
??
解得
?
2
3
?x?1
. ??
故
x?
?
?,1
?
时，对满足
?1?a? 1
的一切
a
的值，都有
g
?
x
?
?0.
?
3
?
2
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解法2.考虑不等式
g
?
x
?
?3x
2
?ax?3a?5?0
.
由
?1?a?1
知,
?
?a
2
?36a?60?0
,于是,不等式的解为
22

a?a?36a?60
6
?x?
a?a?36a?60
6
.
但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑
a
的条件,还应进一步完善.
2 2
为此,设
g
?
a
?
?
a?a?36a?606
,h
?
a
?
?
a?a?36a?60
6.
不等式化为
g
?
a
?
?x?h
?
a
?
,?1?a?1
恒成立,即
g
?
a
?
max
?x?h
?
a
?
min
,?1?a?1
.
由于
g
?
a
?
?
a?a
2
?36 a?60
6
在
?1?a?1
上是增函数,则
g
?
a
?
max
?g
?
1
?
??
2
3< br>,
a?
2
h
?
a
?
?
a?36a ?60
1?a?1
上是减函数,则
h
?
a
?
26
在
?
min
?h
?
1
?
?1.所以,
?
3
?x?1
.
故
x?
?
2
?
?
3
,1
?
?
时，对满足
?1?a? 1
的一切
a
的值，都有
g
?
x
?
?0.
??

5. 因为圆
C
与抛物线
E:y?ax2
相切于坐标原点,所以,可设
C:x
2
?
?
y?r< br>?
2
?r
2
.
由题意, 抛物线
E
上的点
P
?
x,y
?
除坐标原点
?
0,0
?之外,都在圆
C
设
P
和圆心
C
?
0,r
?
的距离为
d
,则本题等价于
d?x
2
?
?
y?r
?
2
?r
①
在
y?0
的条件下,恒成立.
整理①式得
y?2r?
1
a
②
于是,本题又等 价于②式在
y?0
的条件下,恒成立.即
y
1
min
?2r ?
a
,
由
y
min
?0
得
0?2r?
1
a
,即
r?
1
2a
. 所以,符合条件的最大圆的半径是
r?
1
2a
,最大圆
C
的方程为
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外边.的

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22
x
2
?
?
1
?
y ?
?
?
2a
?
?
?
1
?
?
?
?
2a
?

?

6.解法一：由题设,
a?0
.

f
?
x< br>?
?0
的两个根为
x
1
?
1
a
?2 ?
1
a
2
,x
2
?
1
a
?2?< br>1
a
2
,
显然,
x
1
?0,x
2< br>?0
.
(1) 当
a?0
时,
A?
?
xx
1
?x?x
2
?
,

A?B??? x
1
2
?1?
1
a
?2?
a
2
? 1
?a??2.

(2) 当
a?0
时,
A?< br>?
xx?x
1
?
?
?
xx?x
2
?
,

A?B???x
2
?3?
1
a
?2?
1
a
2
?3?a?
6
7
.
于是, 实数
a
的取值范围是
?
??,?2
?
?
?
?
6
,??
?
?
7
?
.
?
解法二:
(1) 当
a?0
时,因为
f
?x
?
的图象的对称轴
1
a
?0
，则对
x??
1,
?
3
，
f
ma
?
x
x
?
?
?
f1
?
?a?2?2a?0.?a

?2?.
(2) 当
a?0
时,
f
max
?< br>x
?
,x?
?
1,3
?
在
f
?1
?
或
f
?
3
?
实现,
由
f
?
1
?
??2?a?0,f
?
3
?
?7 a?6
,则
f
?
3
?
?7a?6?0?a?
67

于是,实数
a
的取值范围是
?
??,?2
?
?
?
?
6
,??
?
?
7
??
.
这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.


7. 只研究第（I）问.
b?2时,h(x)?lnx?
1
2< br>ax
2
?2x
，
则
h
?
(x)?
1?2x?1
x
?ax?2??
ax
2
x
.
因为函数
h
?
x
?
存在单调递减区间，所以
h
?
(x)?0
有解.
由题设可知,
h
?
x
?的定义域是
?
0,??
?
,
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f
?
1
?
最大，

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而
h
?
?x
?
?0
在
?
0,??
?
上有解,就等价于< br>h
?
?
x
?
?0
在区间
?
0,??
?
能成立,
即
a?
1
x
2
?
1
2
x
,
x?
?
0,??
?
成立, 进而 等价于
a?u
min
?
x
?
成立,其中
u
?
x
?
?
2
2
1
x
2
?
2
x
.
由
u
?
x
?
?
x
2
?
1
?
?
?
?
?1
?
?1< br>得,
u
min
?
x
?
??1
.
x
?
x
?
于是,
a??1
,
由题设a?0
,所以
a
的取值范围是
?
?1,0
?
?
?
0,??
?



8. 本题的第（Ⅱ） “若 存在
?
1
,
?
2
?[0,4]
使得
f(< br>?
1
)?g(
?
2
)?1
成立，求
a
的取值范围.”如何理解这
一设问呢？如果函数
f
?
x
?
在
x?
?
0,4
?
的值域与
g
?
x
?
在
x?
?
0,4
?
的值域的交集非空，则一定存在?
1
,
?
2
?[0,4]
使得
f(
?
1
)?g(
?
2
)?1
成立，如果函数
f
?
x
?
在
x?
?
0,4
?
的值域与
g
?
x
?
在
x?
?
0,4
?
的 值域的交
集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.
由（
3
, 函数
f
?
x
?
在
x?
?
0,4
?
的值域为
?
,
?2a?3e,a?6
?
??
??
又
g
?
x
?
在
x?
?
0,4?
的值域为
?
a
2
?
?
?25
?2
25
?
4
?
,
?
a?
?
e
?
,
4
?
4
?
?
存在
?
1
,
?
2
?[0,4]
使得
f(
?
1< br>)?g(
?
2
)?1
成立，等价于
f
max
?
x
?
?g
min
?
x
?
?1
或
g
max
?
x
?
?f
min
?
x
?
?1
，容
易证明,
a
2
?
25
4
?a?6
.
?
?
2
25
?
3
?
a?
?
?
?
a?6
?
?1,
于是,
?
?
.
?0?a?
4
??
2
?
a?0.
?

9. （1）对函数
f(x)
求导，得
令
f
?(x)?0
解得
x
1
1
2
7
2
.
f
?
(x)?
?4x?16x?7
(2?x)
22
??
(2x?1)(2x?7)
(2?x)
2

?或 x?
可以求得，当
x?(0,)
时，
f(x)
是减函数；当
x?(,1)
时，
f(x)
是增函数.
22
1
当
x?[0,1]
时，
f(x)
的值域为
?
?4,?3
?< br>.
（2）对函数
g(x)
求导，得
g
?
(x)?3 (x
2
?a
2
).

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因为
a?1
，当
x?(0,1)
时，
g
?
(x)?3(1?a
2
)?0.

因此当
x?(0,1)
时，
g(x)
为减函数，
从而当
x?[0,1]
时有
g(x)?[g(1),g(0)].

又
g(1)?1?2a?3a
2
,g(0)??2a,

即
x?[0,1]
时有
g(x)
的值域为是
[1?2a?3a
2
,?2a].

如何理解“任给
x
1
?[0,1]
，
f(x
1
)?[?4,?3]
，存在
x
0
?[ 0,1]
使得
g(x
0
)?f(x
1
)
”， 实际上，这等价于
f(x)
值域是
g(x)
值域的子集，即
[1 ?2a?3a
2
,?2a]?[?4,?3].
这就变成一个恒成
立问题，< br>f(x)
的最小值不小于
g(x)
的最小值，
f(x)
的最大 值不大于
g(x)
的最大值
?
1?2a?3a
2
??4,
即
?

?
?2a??3.
①
②
5
3
解①式得
a?1或a??
解②式得
a?
3
2
.

；
又
a?1
，故
a
的取值范围为
1?a?

3
2
.

10. 提示：原不等式
?
?
3 ?2sin
?
cos
?
?asin
?
?acos
?
?
?
2
1
4

答案：
a?6
或
a?
7
2



11. 分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I)
n?3m?6
（II）当
2
2
??
m?0
时，< br>f(x)
在
?
??,1?
(1?,1)
单调递增，单调递减， 在在
(1,??)
上单调递减.（III）为
f
?
(x)?3m?
m
m
??
对
x?
?
?1,1
?恒成立，即3
m
(
x
－1)［
x
－(1+
∵< br>m
<0，∴(
x
－1)［
x
－(1+
2
m< br>2
m
)］>3
m

)］<1(*)
1°
x
=1时，(*)化为0<1恒成立，∴
m
<0
2°
x
≠1时，∵
x
?
［－1,1］，∴－2≤
x
－1 <0
运用函数思想将(*)式化为
2
m
<(
x
－1)－< br>1
x?1
，令
t
=
x
－1，则
t
?
［－2,0］，记
g(t)?t?
，则
g(t)
t
1
在区间［－2,0］是单调增函数；
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∴
g(t)
min
?g(?2)??2?
1?22
234
由(*)式恒成立，必有
?????m
m23
??
3

，又
m
<0，则
?
4
3
?m?0

综合1°、2 °得
?
4
3
?m?0

分析二：（ III）中的
f
?
(x)?3m
，即
mx
2
?2( m?1)x?2?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立，
∵
m?0
∴
x
2
?
2
m
(m?1)x?
2
m
?0
即
x?
2
2
m
(m?1 )x?
2
m
?0,x?
?
?1,1
?
①
1
m
)x?
2
m
运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设g(x)?x
2
?2(1?
得其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
22
?
g(?1)?0
1?2???0
4
?
?
∴< br>?
解之得
??m
?
?
mm
3
?
g( 1)?0
?
?1?0
?
，再运用数形结合思想，可
又
m?0
所以
?
4
3
?m?0

即
m
的取值范围为
(?,0)
。
3
4
通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综
合运用。


12. 分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a
1
、a
2
、a
3
求出s
1
、s
2
、s
3
代入关系式，即求出A=-20、
B=-8；第二问利用
a
n
?s< br>n
?s
n?1
(n?1)
公式，推导得证数列{a
n
}为等差数列.由于a
n
=1+5(n-1)=5n-4，故
第三问即是证明
5(5mn?4)?(5m?4)(5n?4)?1
对任何正整数m、n恒成立.对此复杂的恒成立问题 ，
我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：
2(5m?4)(5n?4)?20(m?n)?37
，而基本不等式得到：
2(5m ?4)(5n?4)?5(m?n)?8
，因此要证明原不
等式恒成立，只要证5(m+n)- 8<20(m+n)-37，将其等价变形即为15(m+n)>29，而此式对任何正整数
m
、
n
都能成立。
通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化，从而将复杂问题简单化。


13. 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作 为常
数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成 立的问
题。
解：原不等式转化为(x-1)a+x
2
-2x+1>0,
2
设f(a)= (x-1)a+x-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
2
?
?
f(?2)?0
?
x?4x?3?0
即
?
2
?< br>?
?
f(2)?
?
x?1?0
解得：
?
?< br>x?3或x?1
?
x?1或x??1

∴x<-1或x>3.

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14. 分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的 是
m
的范
围，所以根据上式将
m
当作变量，
a
作为 常量，而
x
则根据函数的单调性求出
f(x)
的最大值即可。
（1） 简证：任取
x
1
,x
2
?
?
?1 ,1
?
且
x
1
?x
2
，则
?x
2
?
?
?1,1
?

f(x
1
)?f(x< br>2
)
x
1
?x
2
?0

?< br>?
x
1
?x
2
??
f(x
1
)?f (?x
2
)
?
?0
又
?f(x)
是奇函数
?
?
x
1
?x
2
??
f(x
1< br>)?f(x
2
)
?
?0

?f(x)
在
?
?1,1
?
上单调递增。
（2） 解：
?f(x)?m
2
?2am?1
对所有
x?
?
?1,1
?
，
a?
?
?1,1
?
恒成立，即 m?2am?1?f
max
，
?f
max
?f(1)?1

?m?2am?1?1
2
2
?m?2am?0
2
< br>1
?
a??
?
?
g(?1)?1?2a?0
?
2
2
即
g(a)??2am?m?0
在
?
?1,1
?
上恒成立。
?
?

?
?

?
g(1)?1?2a?0
?
a?
1
?
?2
??
1< br>2
?a?
1
2
。

15. 分析：该题就转化为被 开方数
mx
2
?6mx?m?8?0
在R上恒成立问题，并且注意对二次项系 数的讨
论。
略解：要使
y?mx
2
?6mx?m?8
在R 上恒成立，即
mx
2
?6mx?m?8?0
在R上
恒成立。
?
1

m?0
时，
8?0

?m?0
成立
?
?
m?0
，
?0?m?1

2

m?0
时，
?
2
??36m?4m?8?32mm?1?0
??? ?
?
?
?
由
1
?
，
2
?
可知，
0?m?1


16.⑴ 分析：
y?f(x)
的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。
略解：
??a
2
?4
?
3?a
?
?a
2
?4a? 12?0
??6?a?2

a
?
a
?
⑵
f (x)?
?
x?
?
??a?3
，令
f(x)
在?
?2,2
?
上的最小值为
g(a)
。
2
?
4
?
2
2
⑴当
?
a
2
??2，即
a?4
时，
g(a)?f(?2)?7?3a?0

?a?
7
3
又
?a?4

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?a
不存在。
aa< br>⑵当
?2???2
，即
?4?a?4
时，
g(a)?f(?) ??a?
2
24
a
2
??6?a?2
又
??4?a?4

?3

0
??4?a?2

又
?a??4

??7?a??4
⑶当
?
a
2
?2
，即
a??4
时，
g(a )?f(2)?7?a?0

?a??7
总上所述，
?7?a?2
。
⑶解法一：分析：题目中要证明
f(x)?a
在
?
?2,2
?
上恒成立，若把
a
移到等号的左边，则把原题转化成
左边二次函数在区间< br>?
?2,2
?
时恒大于等于0的问题。
略解：
f(x)? x
2
?ax?3?a?2?0
，即
f(x)?x
2
?ax? 1?a?0
在
?
?2,2
?
上成立。
⑴
??a
2
?4
?
1?a
?
?0

??2?22?a??2?22

?
??a
2
?4(1?a )?0
?
⑵
?
?
f(2)?0
?
f(?2)?
?
0
??5?a??22?2
—2
2
?
?
?
?
a
2
?2或?
a
2
??2
综上所述，
?5?a?22?2
。
解法二：（利用根的分布情况知识）
⑴ 当
?
a
2
??2
，即
a?4
时，
g(a) ?f(?2)?7?3a?2

?a?
5
3
?
?
4,??
?

?a
不存在。
⑵当
?2??
a
?2
，即
?4?a?4
时，
g(a?f)
aa
2
2
2
??< br>4
(?a?)?
－22?2?a?22?2??4?a?22?2

⑶ 当
?
a
2
?2
，即
a??4
时，
g(a) ?f(2)?7?a?2
，
?a??5

??5?a??4

综上所述
?5?a?22?2
。
此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。


⒘解法一：原不等式化为
cos
2
x?2kcosx?2k?1?0

令
t?cosx
，则
t?1
，即
f(t)?t
2< br>?2kt?2k?1?
?
t?k
?
2
?k
2
?2k?1
在
t?
?
?1,1
?
上恒大于0。
⑴ 若
k??1
，要使
f(t)?0
，即
f(?1)?0
，k??
1
2

?k
不存在
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，
3

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⑵若
?1?k?1< br>，若使
f(t)?0
，即
f(k)??k
2
?2k?1?0< br>
?1?2?k?1?2

?1?2?k?1

⑶若
k?1
，要使
f(t)?0
，即
f(1)?0
，
k?1
由⑴，⑵，⑶可知，
?k?1?2
。
解法二：
f(t)?t
2
?2kt?2k?1?0
，在
?
?1,1
?
上恒 成立。
⑴
??k
2
?2k?1?0?1?2?k?1?2

?
??k
2
?2k?1?0
?
?
f(1)?0
⑵
?
?k?1?
?
f(?1)?0
?
k?1或k??1
?
2

由⑴，⑵可知，
k?1?2
。


⒙ 解：（1）
?f(x)?lg(a
x
?b
x
)

?a
x
?b
x
?0
又
?a?1?b?0

?x?0

定义域
?
x|x?0
?

（2）
?f(x)?lg(a?b)

?f
?
(x)?< br>xx
alna?blnb
a?b
xx
xx

?f
?
(x)?0

?f(x)
在
?
0,??
?
上单调递增
?f (x)
在
?
1,??
?
上单调递增，
?f(x)?f(1)

要使
f(x)
在
?
1,??
?
上恒正， 只须
f(x)?f(1)?0
，即
lg(a?b)?0?lg1

?a?b?1
且
a?1?b?0
。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m





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