2020年高中数学学业水平考试复习提纲

2020年高中数学学业水平考试复习提纲
【必修一】
一、 集合与函数概念
并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。 记作：
A∪B
交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A∩B
补集：就是作差。
1、集合
?
a
1
,a
2
,...,a
n
?
的子集个数共有
2
个；真子集有
2–1个；非空子集有
2
–1个；非空的真子
nnn
有
2
–2个.
n

2、求
y?f(x)
的反函数：解出
x? f
?1
(
y
)
，
x,y
互换，写出
y?f
?1
(x)
的定义域；函数图象关于
y=x对称。

3、 （1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数
?0
；③指数的真数属于R、对
数的真数
?0
.

4、函数的单调性：如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
< x
2
时，都有f(x
1
)<（
?
）f(x
2
)，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，函数的单调性
是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质。

5、奇函数：是
f(-x)=-f(x)
，函数图象 关于原点对称（若
x?0
在其定义域内，则
；
f(0)?0
）偶函数：是
f(-x)=f(x)
，函数图象关于y轴对称。

6、指数幂的含义及其运算性质：
（1）函数
y?a(a?0
且
a?1)
叫做指数函数。
x
（2）指数函数
y?a
x
(
a?
0,
a?
1)
当
0?a?1
为减函数，当
a?1
为增函数；
①
a?a?a
rsr?s
rsrs
；②
(a)?a
；③
(ab)?ab(a?0,b?0,r,s?Q)
。
rrr
（3）指数函数的图象和性质

a?1

0?a?1




图
1
-4-2

1
0
-1

-4-2
0
-1


象
(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
性
（4）在 R上是增函数
质
(5)
x?
0,
a?
1
;
x


（4）在R上是减函数

(5)
x?
0,0
?a?
1
;
x

x?0,0?a?1

x
x?0,a?1

x

7、对数函数的含义及其运算性质：
（1）函数
y?
log
ax
(
a?
0,
a?
1)
叫对数函数。
（2） 对数函数
y?
log
a
x
(
a?
0,
a?
1)
当
0?a?1
为减函数，当
a?1
为增函数；
①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：
log
a
1?0
；③底 真相同的对数等于1：
log
a
a?1
，
（3）对数的运算性质：如果
a
> 0 ,
a
≠ 1 ,
M
> 0 ,
N
> 0，那么：
①
log
a
MN
?log
a
M
?log
a
N
； ②
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
； ③
N
log
a
M
n
?nlog
a< br>M(n?R)
。
（4）换底公式：
log
a
b?
l og
c
b
(
a?
0
且a?
1,
c?
0
且c?
1,
b?
0)

log
c
a

(5)对数函数的图象和性质

a?1

0?a?1




2.5
2.5
1.5
1.5
图
1
-1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
-1
0-0.5
1
-1
-1
-1.5
-2
-2.5

-1.5
-2
-2.5


象

(1)定义域：（0，+∞）
（2）值域：R

（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
性
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
质
(5)
x?1,log
a
x?0
； (5)
x?1,log
a
x?0
；




0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0


8、幂函数：函数
y?x
叫做幂函数（只考虑
?
?1,2,3,?1,
?
1
的图象）。
2
9、方程的根与函数的零点：如果函数
y?f(x)
在区间 [
a
,
b
] 上的图象是连续不断的一条
曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么，函数
y?f(x)
在区间 (
a
,
b
) 内有零点，即存在

c?(a,b)
，使得
f(c)?0
这个
c
就是方程
f(x)?0
的根。
【必修二】
一、直线 平面 简单的几何体
1、长方体的对角线长
l2
?a
2
?b
2
?c
2
；正方体的对角线长< br>l?3a

2、球的体积公式：
v?
4
?　R
3
； 球的表面积公式：
S?4
?　R
2

3
3、柱体、锥体、台体的体积公式：
1
V
柱体
=
S
h (
S
为底面积，
h
为柱体高)；
V
锥体
=
Sh
(
S
为底面积，
h
为柱体高)
3
1
V
台 体
=
(
S
’+
S'S
+
S
)
h< br> (
S
’,
S
分别为上、下底面积，
h
为台体高)
3
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：
（1）四公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个平面有一个公共 点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集
合是一条过这个公共点的直线。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
（2）空间线线，线面，面面的位置关系：
空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面
直线。
空间直线和平面的位置关系：
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）它们 的图形分别可表示为如下，符号分别可表示
为
a?
?
，
a
?
?A
，
a
?
。
空间平面和平面的位置关系：

（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线。
5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条 直线与平面内一条直线平行，那么该直线
与这个平面平行。
a?
?
?
?
符号表示：
b?
?
?
?a

?
。图形表 示：
ab
?
?
6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行，那么这
两个平面平行。
a?
?
?
b?
?
?
?
?
符号表示：
ab?P
?
?
?< br>
?
。图形表示：
?
a
?
?
b
?
?
?
7、. 直线 与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与
已知平面相交，那么交线 与这条直线平行。
a
?
?
?
符号表示：
a?
?< br>?
?ab
。 图形表示：
??
?b
?
?
?

?
,
??
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的
?a,
??
?b?ab
8、两个平面平行的性质定理：
平行。

符号表示：
9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面。
a?
?
,b?
?
,ab?P, l?a,l?b?l?
?
符号表示：
10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
l?
?
,l?
?
?
?
?
?
符号表示：
11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
a?
?
?
?
?a

b
。
b??
?
符号表示：
12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其 中一个平面内垂直于交线
l?
?
,
??
?m,l?m?l?
?
.
l
的直线垂直于另一个平面。符号表示：
P
H
?
?
13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。
直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）
14、异面直线所成角的取值范围是
?
0?,90?
?
；
直线与平面所成角的取值范围是
?
0?,90?
?
；
二面角的取值范围是
?
0?,180?
?
；

两个向量所成角的取值范围是
?
0?,180?
?

二、直线和圆的方程
k?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
1、斜率：
k?tan
?
，
k?(??, ??)
；直线上两点
P
1
(
x
1
,
y1
),
P
2
(
x
2
,
y
2< br>)
，则斜率为
2、直线的五种方程 ：
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式
y?y
1
x?x
1
?
( (
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2(x
2
,y
2
)
； (
x
1
?x2
)、(
y
1
?y
2
)).
y
2< br>?y
1
x
2
?x
1
(4)截距式
xy< br>??
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3、两条直线的平行、重合和垂直：
(1)若
l
1
:y?k1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
‖
l
2
?k
1
?k
2
且b
1
≠
b
2
;
②
l
1
与l
2
重合时?k
1
?k
2< br>且b?b
2
；
③
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.

(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零 ,

①
l
1
||l
2
?
A
1
B
1
C
1
；②
l
1
?l
2?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0

??
A
2
B
2
C
2
4、两点P
1
（x
1
，y
1
）、P
2
（x
2
， y
2
）的距离公式 │P
1
P
2
│=
(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

5、两点P
1
（x
1
，y
1
）、P
2
（x
2
，y
2
）的中点坐标公式 M（
x
1
?x
2
y?y
2
，
1
）
2
2
6、点P（x
0
，y
0
）到直线（直线方程必 须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式
d=
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

7、平行直线Ax+By+C
1
=0、Ax+By+C
2
=0的距离公式d=
C
2
?C
1< br>A?B
22

8、圆的方程：标准方程
?
x?a
?< br>?
?
y?b
?
?r
，圆心
22
2
?
a,b
?
，半径为
r
；
22
DED?E?4F< br>）
22
一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
，（配方：
(x ?)?(y?)?

224
22
D
2
?E
2< br>?4F?0
时，表示一个以
(?
D
,?
E
)
为圆心，半径为
1
22
2
D
2
?E
2
?4 F
的
圆；
9、点与圆的位置关系：
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种： < br>222
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
10、直线与圆的位置关系：

直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
11、弦长公式：
若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交 于A(x
1
，y
1
)，B（x
2
，
y
2< br>）两点，则由
ax
2
+bx+c=0(a≠0)
二次曲线方程
y=kx+m
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：
AB
=
(x
2
? x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2< br> =
1?k
2
x
1
?x
2

=（1?k
2
）（x
1
?x
2
）?4x
1
x
2

?
2
?
11
2
2
=
1?
2
y
1
?y
2
?(1?
2
)(y
1
?y
2
)?4y
1
y
2
=
1?k
kk
13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：
B
??
b
2
?4ac

a
Z
F
z
C
y
Y
⑴ xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0
X
x
D
O
E
A
xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0

yoz平面上的点的坐标的特征C（0，y，z）：横坐标x=0
x轴上的点的坐标的特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0
y轴上的点的坐标的特征E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0
z轴上的点的坐标的特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0
⑵│P
1
P
2
│=
（x
2
-x
1
）?（y
2
-y
1
）?（z
2
-z
1
）

222
【必修三】
算法初步与统计：
以下是几个基本的程序框流程和它们的功能
图形符号 名称 功能
终端框（起止框）

输入、输出框
表示一个算法的起始和结束
表示一个算法输入输出的信息
处理框（执行框） 赋值、计算（语句、结果的传送）

判断框
判断某一条件是否成立时，在出口处
标明“是”或“Y”，不成立 时标明“否”

或“N”
流程线 连接程序框（流程进行的方向）
连接点 连接程序框图的两部分
注释框 帮助注解流程图
循环框

程序做重复运算
一、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构
二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般
格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型
循环结构“DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。
三．三种常用抽样方法：
1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表： 包括条形图，折线图，
饼图，茎叶图。
四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（ 即一组数据中最大值与最小值的差）；

（2）决定组距与组数；
（3）将数据 分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小
正方形的面积=组距× 频率。
2、频率分布直方图：
频率=小矩形面积
（注意：不是小矩形的高度）
计算公式：
频率
=
频数
样本容量

频数=样本容量?频率

频率=小矩形面积=组距?
频率
组距

各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1
3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。
折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
将一组数据按照从大到小（或从小到 大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两
位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。
（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。

（2）方 差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平
均数的程度越高。
（3）计算公式：

s?
1
[(x
1
?x)2
?(x
2
?x)
2
?
n
?(x
n< br>?x)
2
]
标准差：

s
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2?
n
?(x
n
?x)
2
]
方差： < br>?
，截距为
a
?
x+
a
?
=
b?
，即回归方程为
y
?
（此直线必过点（
x
，直线回归 方程的斜率为
b
）。
y
）
6、频率分布直方图：在频率分布直方图 中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，
方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量， 频率之和等于1。
五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…表示.
随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件
A
发生的频率 总接近于某个常 数，
在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件
A
的概率,记作
P
（
A
）。由定义可知0≤
P
（
A
）
≤1，显然必然事 件的概率是1，不可能事件的概率是0。

1、事件间的关系：
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件
A）；
（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。
2、概率的加法公式：
（1）当
A
和
B
互斥时，事件
A
+
B
的概率满足加法公式：
P
（
A
+
B
）=
P
（
A
）+
P
（
B
）（
A
、
B
互斥）（2）若事 件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．

3、古典概型：
（1 ）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）
每个基本事件出 现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：

P(A)?
事件A包 含的基本事件个数
实验中基本事件的总数
?
m

n
4、几何概型：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度（面积或体积）
成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
（2）几何概型的特 点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每
个基本事件出现的可能性相等．
（3）几何概型的概率公式：
P
(
A
)
?
事件A 构成的区域的长度（面积或体积）
实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）

【必修四】
一、 三角函数
1、弧度制：（1）、
180
??
弧度，1弧度
?(
?
180
?
)
?
?57
?
18
'
；弧长公式：
l?|
?
|r
（
l
为
?
所对的弧长，
r
为半径，正负号的确定：逆时 针为正，顺时针为负）。
2、三角函数：
（1）、定义：
sin
?
?
yxyx
r?
　　cos
?
?
　
　ta n
?
?　　cot
?
?　　
rrxy
x
2
?y
2

3、特殊角的三角函数值：

?
的角度
0?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

270?

360?

5
?

6
?
的弧度
0

?

6
1

2
3

2
3

3
?

4
2

2
2

2
?

3
3

2
?

2
1

2
?

3
3

2
3
?

4
2

2
?
2

2
?

3
?

2
2
?

sin
?

0

1

2
?
3

2
?
3

3
0

?1

0

cos
?

1

1

2
3

0

?
1

2
?3

?1

0

1

tan
?

0

1

—
?1

0

—
0

4、同角三角函数基 本关系式：
sin
?
?
cos
?
?
1

tan
?
?
22
sin
?

cos
?
tan
?
cot
?
?1

5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。
1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二：
3、诱导公式三：
sin
?
?
?2k
?
?
? sin
?
,sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?2k
?
?
?c os
?
,

cos
?
??
?
?
??cos
?
,

tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.sin
?
?
?
?
??sin
?
,
co s
?
?
?
?
?cos
?
,

ta n
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式 四： 5、诱导公式五： 6、
诱导公式六：

?
?
?
?
?
? sin
?
?
?
sin
?
,
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?

co
?

s
?
?
?
?
??co
?
s,

?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??tantan
?
.
cos
?
?
?
?< br>?sin
?
.
?
2
?
6、两角和与差的正弦、余弦、 正切：
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
?
2
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
??sin
?
2
?
S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?< br>
S
(
?
?
?
)
：
sin(< br>?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?

1 ?tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?
tan
?
+tan
?
= tan(
?
+
?
)(
1?
tan
?
tan
?
) tan
?
-tan
?
=
tan(
?
-
?
)(
1?
tan
?
tan
?
)
7、辅助 角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
?
?
??
ab
?
sinx?cosx
?

2222
a ?b
?
a?b
?
?a
2
?b
2
(sinx ?cos
?
?cosx?sin
?
)?a
2
?b
2
?sin(x?
?
)

8、二倍角公式：（1）、
S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?

C
2
?
：
cos2
?
?cos< br>2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
??2cos
2
?
?1

T
2
?
：
tan2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?

（2）、降次公式：（多用于研究性质） < br>sin
?
cos
?
?
11?cos2
?
11
2
sin2
?

sin
?
???cos2
?
?

2222< br>2
cos
?
?
1?cos2
?
11
?cos 2
?
?

222
9、在
y?sin
?
,y ?cos
?
,y?tan
?
,y?cot
?
四个三角函数中 只有
y?cos
?
是偶函数，
其它三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非 寄非偶函数）
10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区 间、
单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；
y?
y?
如：
y?
y?
Asin(
?
x?
?
)?b
Acos(
?
x?
?
)?b
再求解。
Atan(
?
x?
?
)?b
Acot(
?
x?
?)?b
11、三角函数的图象与性质：
函数 y=sinx y=cosx y=
图象


定义域
R

R

{x|x?k
?
?
?
2
,
值域
[?1,1]

[?1,1]

R

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
周期性
2
?

??
2
?

?

在
[2
k
?
?
单调性
,2
k
?
?
]
(k?Z)
增
22
在
[2k
?
?
?
,2k
?
]
(k?Z)
增
在
(k?Z)
在
[2k
?
?
?2
,2k
?
?
3
?
]
(k?Z)
减
2
在
[2k
?
,2k
?
?
?
]< br>(k?Z)
减
当
x?
?
?2k
?
,k?Z
时，
y
max
?
1

2
最值
当
x??
当
x?2k
?
,k?Z
时，
y
ma x
?
1

无
?
2
?2k
?
,k ?Z
时,
y
min
??
1

当
x?(2k ?1)
?
,k?Z
时，
y
min
??
1

对称中心
(k
?
,0)
，
k?Z

对称性
对称轴：
x?k
?
?
对称中心
(k
?
?< br>?
,0)
，
k?Z

2
对称中心
(k
?
,0)
，
?
(k?Z)

2
对称轴：
x?k
?
(k?Z)

对称轴：无12．函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象 ：
（1）用“图象变换法”作图
由函数
y?sinx
的图象通过变换得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象，有两种主要途径“先平 移
后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一：先平移后伸缩
A倍
?
纵 坐标变为原来的
????????y?Asin(
?
x?
?
)
横坐标不变
(
?
?0)或向右(
?
?0)
y?sinx?
向左
????????y?sin(x?
?
)
平移|
?|个单位

(
?
?0)或向右(
?
?0 )
y?sinx?
向左
????????y?sin(x?
?
)平移|
?
|个单位
，
?

?????????y?si n（
?
x?
?
）
纵坐标不变
1
横坐标变为原来的倍
法二：先伸缩后平移

(
?
?0)或向右(
??0)
?
??y?sinx???????
y?sin
?
x?< br>向左
????????y?sin(
?
x?
?
)
纵坐 标不变
1
横坐标变为原来的倍

平移|
?
|个单位
?

A倍
?
纵坐 标变为原来的
????????y?Asin(
?
x?
?
)
横坐标不变

当函数
y?Asin(
?
x?
?)
（A>0，
?
?0
，
x?[0，??)
）表示一个振 动量时，A
就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间
T?
2
?
?
，它叫做振动的周期；单位时间内 往复振动的次数
f?
12
?
，它叫做振动的频率；
?
x?< br>?
叫做相位，
?
叫做初相（即当x＝0时的相位）。
?
T
?
二、平面向量
1、平面向量的概念：

?
1
?
在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量． ?
2
?
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指 的方向表
示向量的方向．
，记作
??
．
?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模（或长度）
?
4
?
模 （或长度）为
0
的向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位向量．
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记作
?a
．
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μ
a< br>)=(λμ)
a
;(2)第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
;(3)第二分配律：λ
??
?
?
?
?
?
?
?
(
a
?
b
)=λ
a< br> +λ
b
.
?
??
?
3、向量的数量积的运算律：(1)
a
·
b
=
b
·
a
（交换律）; ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
(2)（
?
a
）·
b
=
?
（
a
·
b
）=
?
a
·
b
=
a
·（
b
?
）;(3)（
a?b
）·
c
=


a
·
c
+
b
·
c
.
4、平面向量基本定理：
如果
e< br>1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一 向量，有且
??
只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
?
??

不共线的向量
e
1
、
e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
??
5、坐标运算：（1）设a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

? ?
??
数与向量的积：λ
a?
?
?
x
1
, y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
，数量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

（2）、设A、B两点的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?< br>.
?
???
（终点减起点）
6、平面两点间的距离公式：（1） < br>d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（2）向量
a
的模|
a
|：
|
a
|
2
?a?a
?x?y
；
22
（3）、平面向量的数量积：
a?b?a?bcos
?
， 注意：
0?
a
?0
，
0?a?0
，
????
????
cos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1< br>2
?y
1
2
x
2
2
?y
2
2
a?(?a)?0

（4）、向量
a?
?
x
1< br>,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2?
的夹角
?
，则，
????
??
??
7、重要结论：（1）、两个向量平行：
ab?a?
?
b

(
?
?R)
，
ab?

x
1
y< br>2
?x
2
y
1
?0

??
（2）、两个非零向量垂直
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
?
0

（3）、P分有向线段
P
1
P
2
的：设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
1
P?
?
PP
2
，

< br>x
1
?
?
x
2
?
x?

?

1

?

?

?
?
?
y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
?
则定比分点坐标公式 中点坐标公式
x
1
?x
2
?
x?
?
?< br>2
?
?
y?
y
1
?y
2
?
?2


三、空间向量
1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似）
?
1
?
在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量．
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表
示向量的方向．
，记作
??
．
?
3
?
向量< br>??
的大小称为向量的模（或长度）
?
4
?
模（或长度）为< br>0
的向量称为零向量；模为
1
的向量称为单位向量．
?
5< br>?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记 作
?a
．
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数
?
与空间向量
a
的乘积
?
a
是一 个向量，称为向量的数乘运算．当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相同；当
?
?0
时，
?
a
与
a< br>方向相反；当
?
?0
时，
?
a
为零向量，记为
0
．
?
a

的长度是
a
的长度的
?
倍．
3、设
?
，
?
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律：
?
a ?b?
?
a?
?
b
；结合律：
?
?
?a
?
?
?
??
?
a
．
??
4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行
向量，并规定 零向量与任何向量都共线．
5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量
a
，< br>bb?0
，
ab
的充要条件是存在
??
实数
?
，使
a?
?
b
．
6、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
7、向量共面定理：空间一点
?
位于平面
??C
内的充要条件是存在 有序实数对
x
，
y
，使
???x???y?C
；
8、已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
?
，作???a
，
???b
，则
????
称
为向量
a
，
b
的夹角，记作
?a,b?
．两个向量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,
?
?
．
9、对于两个非零向量a
和
b
，若
?a
,
b??
?
2
，则向量
a
，
b
互相垂直，记作
a?b
．
10 、已知两个非零向量
a
和
b
，则
abcos?a,b?
称为
a
，
b
的数量积，记作
a?b
．即
a?b?abc os?a,b?
．零向量与任何向量的数量积为
0
．

11、
a?b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
12、若
a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
?
1
?e?a?a?e?acos?a,e?
；
?
aba与b同向
2
?
，
a?a?a
，
a?a?a
；
?
2
?a?b?a?b?0
；
?
3
?
a?b?
?
?a ba与b反向
?
?
??
??
?
4
?
cos ?a,b??
a?b
ab
．
13、量数乘积的运算律：
?
1
?
a?b?b?a
；
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
?
a?b
?
?a?
??
b
?
；
?
3
?
?
a?b
?
?c?a?c?b?c
．
14、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
ab?a?b
a ?
?
bR
，
?
?
?
?
异面垂直时
a?b?a?b?a?b?0
．
a
b
，15、若空间不重合的两个平面< br>?
，
?
的法向量分别为
a
，则
?

?
?b?
a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．
16、直线
l< br>垂直
?
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量．