初中升高中数学衔接课-高中数学选修每一章重难点
题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,
研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识
点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在
此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
【2019最新】精选高中数学第一章常用逻辑用语1
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
1.4.3
含有一个量词的命题的否定
学习目标:1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存
在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特
称命题真假性的判定.(
重点,难点)3.能正确地对含有一个量词的命
题进行否定.(重点,易混点)
[自
主 预 习·探 新 知]
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的
”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,
并用符号“?”表示.
(2)含有全称
量词的命题叫做全称命题,通常将含有变量x的语
句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x
的取值范围用M表示,那
么全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为
?
x∈M,p(x).
2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“
至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量
词,并用符号“?”表示.
(2)含有存在量
词的命题,叫做特称命题,特称命题“存在M中
的元素x0,使p(x0)成立”,可用符号简记为“?
x0∈M,p(x0)”.
思考:(1)“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是
特称命
题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.
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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来
,研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知
识点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。
在此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
(2)“不等式(m+
1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成
立”是特称命题还是全称命题?请改写成
相应命题的形式.
[提示]
(1)是特称命题,可改写为“存在x0∈R,使ax+2x0
+1=0”
(2)是
全称命题,可改写成:“?x∈R,(m+1)x2-(m-1)x+3(m
-1)<0”.
3.含有一个量词的命题的否定
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题p:?x∈
M,p(x),它的否定p:?x0∈M,p(x0);
特称命题p:?x0∈M,p(x0),它的否
定p:?x∈M,p(x).
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题.
( )
(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题.
( )
(3)命题:?x∈R,x2-3x+3>0的否定是?x?R,x2-3x+3≤0.
(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,
则“p”形式的命题是(
)
A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根
B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根
C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根
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p>
题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出
来,研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的
知识点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法
。在此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根
[答案] C
3.下列四个命题中的真命题为( ) 【导学号:97792031】
A.?x0∈Z,1<4x0<3
B.?x0∈Z,5x0+1=0
C.?x∈R,x2-1=0
D.?x∈R,x2+x+2>0
D [当x∈R时,x2+x+2=+>0,故选D.]
[合 作 探 究·攻 重
难]
全称命题和特称命题的概念及真假判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真
假.
(1)?x∈N,2x+1是奇数;
(2)存在一个x0∈R,使=0;
(3)能被5整除的整数末位数是0;
(4)有一个角α,使sin
α>1
[解]
(1)是全称命题,因为?x∈N,2x+1都是奇数,所以该命
题是真命题.
(2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使=0成立,所以该命题是
假命题.
(3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该
命题是假命题.
(4)是特称命题,因为?α∈R,sin
α∈[-1,1],所以该命题
是假命题.
[规律方法]
1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法
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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这些题主
要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以翻
看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程中,如
果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
(1)分析命题中是否含有量词;
(2)分析量词是全称量词还是存在量词;
(3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断.
2.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“?x∈M,p(x
)”是真命题,需要对集合M
中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,
使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
(2)要判定特称命题“?
x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合
M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在
集合M中,使p(x)
成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.
[跟踪训练]
1.(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(
)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题
;B中x=0
时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,
所以C
是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.]
(2)下列命题中,真命题是( )
【导学号:97792032】
A.?x∈,sin x+cos x≥2
B.?x∈(3,+∞),x2>2x+1
C.?x∈R,x2+x=-1
D.?x∈,tan x>sin x
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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这些题
主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以
翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程中,
如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
B [(1)对于选项A,
sin x+cos x=sin≤,∴此命题不成立;
对于选项B,x2-2x-
1=(x-1)2-2,当x>3时,(x-1)2-2>0,
∴此命题成立;
对于
选项C,x2+x+1=+>0,∴x2+x=-1对任意实数x都不
成立,∴此命题不成立;
对于选项D,当x∈时,tan x<0,sin
x>0,命题显然不成立.故
选B.]
含有一个量词的命题的否定
(1)命题“?x∈R,x2≠x”的否定是( )
A.?x?R,x2≠x
B.?x∈R,x2=x
C.?x?R,x2≠x
D.?x∈R,x2=x
(2)写出下列命题的否定,并判断其真假:
①p:?x∈R,x2-x+≥0;
②p:所有的正方形都是菱形;
③p:至少有一个实数x0,使x+1=0.
[思路探究]
先判定命题是全称命题还是特称命题,再针对不同
的形式加以否定.
(1)[解析]
原命题的否定为?x∈R,x2=x,故选D.
[答案] D
(2)[解] ①綈p:?x0∈R,x-x0+<0,假命题.
因为?x∈R,x2-x+=≥0恒成立.
②p:至少存在一个正方形不是菱形,假命题.
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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研 究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点 后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此 过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
③p:?x∈R,x3+1≠0,假命题.
因为x=-1时,x3+1=0.
[规律方法] 对全称命题和特称命题进行
否定的步骤与方法
(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.
(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换
为恰当的全称量词.
(3)否定结论:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为
“不是”“没有”“不存在” “不成立”等.
提醒:无量词的全称命题要先补回量词再否定.
[跟踪训练]
2.(1)命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( )
A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1
B.?x?(0,+∞),ln x=x-1
C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1
D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1
A [特称命题的否定是全称命题,故原命题的否定是?x∈(0,
+∞),ln x≠x-1.]
(2)写出下列命题的否定,并判断其真假.
①p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;
②q: 存在一个实数x0,使得x+x0+1≤0;
③r:等圆的面积相等,周长相等;
④s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
[解] ①这一命题可以表 述为p:“对所有的实数m,方程x2+
x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m,使得 x2+x
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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始
,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入
手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察
哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本
知识。
-m=0没有实数根”.
注意到当Δ=1+4m<0时,即m<-
时,一元二次方程没有实
数根,所以p是真命题.
②这一命题的否定形式是q:“对
所有的实数x,都有x2+x+1
>0”,利用配方法可以证得q是真命题.
③这一
命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面积不相等或
周长不相等”,由平面几何知识知r是假命题.
④这一命题的否定形式是s:“存在α∈R,sin2α+
cos2α≠1”,由于
命题s是真命题,所以是假命题.
由全称(特称)命题的真假确定参数的范围
[探究问题]
1.若含参数的命题p是假命题,如何求参数的取值范围?
提示:先求p,再求参数的取值范围.
2.全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对
应关系?
提示:全称命题与恒成立问题对应,特称命题与存在性问题对应.
(1)若命题p
“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数
a的取值范围是________.
(2)已知命题p:?x∈R,9x-3x-a=0,若命题p是真命题,求
实数a的取值范围
.
【导学号:97792033】
[思路探究]
(1)先求p,再求参数的取值范围.
(2)令3x=t,看作一元二次方程有解问题.
[解析] (1) p:?x∈R,2x2-3ax+9≥0为真命题.
则Δ=9a2-72≤
0,解得-2≤a≤2
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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这些题
主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以
翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程中,
如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
[答案] [-2,2]
(2)设3x=t,由于x∈R,则t∈(0,+∞),
则9x-3x-a=0?a=(3x)2-3x?a=t2-t,t∈(0,+∞),
设f(t)=t2-t,t∈(0,+∞),
则f(t)=-,
当t=时,f(t)min=-,
则函数f(t)的值域是,
所以实数a的取值范围是.
母题探究:1.(变条件)若将本例题(2)条件“?x
∈R”,改为
“?x∈[0,1]”,其他不变,试求实数a的取值范围.
[解]
设3x=t,x∈[0,1],∴t∈[1,3].
a=t2-t,
∵t2-t=2-,∴a=t2-t在t∈[1,3]上单调递增.
∴t2-t∈.
即a的取值范围是.
2.(变条件)将本例题(2)换为“?x∈,tan
x≤m是真命题”,
试求m的最小值.
[解] 由已知可得m≥tan
x恒成立.设f(x)=tan x,显然该
函数为增函数,故f(x)的最大值为f=tan
=1,由不等式恒成立可
得m≥1,即实数m的最小值为1.
[规律方法]
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题
,全称命题为真时,
意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利
用代入
体现集合中相应元素的具体性质中求解;也可以根据函数等数
学知识来解决.
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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这
些知识点对应的考题提取出来,研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的
点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归
纳一下这些题型的解题方法。在此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
<
br>(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不
存在”“是否存在”等语句表述
.解答这类问题,一般要先对结论作
出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理
证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定
了假设.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1.下列命题中是全称命题,且为假命题的是(
)
A.存在x0∈R,sin x0+cos x0=2
B.偶函数图象关于y轴对称
C.?m∈R,x2+mx+1=0无解
D.?x∈N,x3>x2
D [A,C中命题是特称命题,故排除.B为省略量词
的全称命题,
且为真命题.D为全称命题.当x=0或1时,x3=x2,故D中命题
是假命题
.]
2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的数都是偶数
B.所有能被2整除的数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的数是偶数
D.存在一个能被2整除的数不是偶数
D
[全称命题的否定为相应的特称命题,即将“所有”变为“存
在”,并且将结论进行否定.]
3.命题p:?x0∈R,x+2x0+5<0是________(填“全称命题”
或“特称
命题”),它是________命题(填“真”或“假”),它的否
定为綈p:________.
【导学号:97792034】
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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这
些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,
可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程
中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
特称命题 假
?x∈R,x2+2x+5≥0 [命题p:?x0∈R,x
+2x0+5<0是特称命题.因为x2+
2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,
所以命题p为假命题.
命题p的否定为:?x∈R,x2+2x+5≥0.]
4.命题“?x∈R,>0”的否定是________.
?x0∈R,≤0
[“?x∈R,>0”的否定是“?x0∈R,<0或=0”
即?x0∈R,≤0]
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假;
(1)对某些实数x,有2x+1>0;
(2)?x∈{3,5,7},3x+1是偶函数;
(3)?x0∈Q,x=3
[解]
(1)命题中含有存在量词“某些”,因此是特称命题,真
命题.
(2)命题中含有全称量词的符号“?”,因此是全称命题.
把3,5,7分别代入
3x+1,得10,16,22,都是偶数,因此,该命
题是真命题.
(3)命题中含有存在量词的符号“?”,因此是特称命题.
由于使x2=3成立的
实数只有±,且它们都不是有理数,因此,
没有一个有理数的平方等于3,所以该命题是假命题.
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