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【2019最新】精选高中数学第一章常用逻辑用语1

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 21:10
tags:高中数学视频

初中升高中数学衔接课-高中数学选修每一章重难点

2020年9月17日发(作者:杜顺德)


题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来, 研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识 点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在 此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。

【2019最新】精选高中数学第一章常用逻辑用语1



1.4.1 全称量词

1.4.2 存在量词

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

学习目标:1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存
在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特
称命题真假性的判定.( 重点,难点)3.能正确地对含有一个量词的命
题进行否定.(重点,易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1.全称量词与全称命题

(1)短语“所有的 ”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,
并用符号“?”表示.

(2)含有全称 量词的命题叫做全称命题,通常将含有变量x的语
句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x 的取值范围用M表示,那
么全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为
? x∈M,p(x).

2.存在量词与特称命题

(1)短语“存在一个”“ 至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量
词,并用符号“?”表示.

(2)含有存在量 词的命题,叫做特称命题,特称命题“存在M中
的元素x0,使p(x0)成立”,可用符号简记为“? x0∈M,p(x0)”.

思考:(1)“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是 特称命
题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.


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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来 ,研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知 识点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。 在此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。

(2)“不等式(m+ 1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成
立”是特称命题还是全称命题?请改写成 相应命题的形式.

[提示] (1)是特称命题,可改写为“存在x0∈R,使ax+2x0
+1=0”

(2)是 全称命题,可改写成:“?x∈R,(m+1)x2-(m-1)x+3(m
-1)<0”.

3.含有一个量词的命题的否定

一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:

全称命题p:?x∈ M,p(x),它的否定p:?x0∈M,p(x0);
特称命题p:?x0∈M,p(x0),它的否 定p:?x∈M,p(x).
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

[基础自测]

1.思考辨析

(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题.
( )

(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题.
( )

(3)命题:?x∈R,x2-3x+3>0的否定是?x?R,x2-3x+3≤0.
( )

[答案] (1)√ (2)× (3)×

2.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,
则“p”形式的命题是( )



A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根

B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根

C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根


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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出 来,研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的 知识点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法 。在此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。

D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根

[答案] C

3.下列四个命题中的真命题为( ) 【导学号:97792031】

A.?x0∈Z,1<4x0<3

B.?x0∈Z,5x0+1=0

C.?x∈R,x2-1=0

D.?x∈R,x2+x+2>0

D [当x∈R时,x2+x+2=+>0,故选D.]

[合 作 探 究·攻 重 难]


全称命题和特称命题的概念及真假判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真
假.

(1)?x∈N,2x+1是奇数;

(2)存在一个x0∈R,使=0;

(3)能被5整除的整数末位数是0;

(4)有一个角α,使sin α>1

[解] (1)是全称命题,因为?x∈N,2x+1都是奇数,所以该命
题是真命题.

(2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使=0成立,所以该命题是
假命题.

(3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该
命题是假命题.

(4)是特称命题,因为?α∈R,sin α∈[-1,1],所以该命题
是假命题.

[规律方法] 1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法


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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这些题主 要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以翻 看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程中,如 果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。

(1)分析命题中是否含有量词;

(2)分析量词是全称量词还是存在量词;

(3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断.

2.全称命题与特称命题真假的判断方法

(1)要判定全称命题“?x∈M,p(x )”是真命题,需要对集合M
中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,
使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.

(2)要判定特称命题“? x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合
M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在 集合M中,使p(x)
成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.

[跟踪训练]

1.(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )

A.锐角三角形的内角是锐角或钝角

B.至少有一个实数x,使x2≤0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使>2

B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题 ;B中x=0
时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,
所以C 是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.]

(2)下列命题中,真命题是( )

【导学号:97792032】

A.?x∈,sin x+cos x≥2

B.?x∈(3,+∞),x2>2x+1

C.?x∈R,x2+x=-1

D.?x∈,tan x>sin x


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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这些题 主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以 翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程中, 如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。

B [(1)对于选项A,

sin x+cos x=sin≤,∴此命题不成立;

对于选项B,x2-2x- 1=(x-1)2-2,当x>3时,(x-1)2-2>0,
∴此命题成立;

对于 选项C,x2+x+1=+>0,∴x2+x=-1对任意实数x都不
成立,∴此命题不成立;

对于选项D,当x∈时,tan x<0,sin x>0,命题显然不成立.故
选B.]


含有一个量词的命题的否定
(1)命题“?x∈R,x2≠x”的否定是( )

A.?x?R,x2≠x

B.?x∈R,x2=x

C.?x?R,x2≠x

D.?x∈R,x2=x

(2)写出下列命题的否定,并判断其真假:

①p:?x∈R,x2-x+≥0;

②p:所有的正方形都是菱形;

③p:至少有一个实数x0,使x+1=0.

[思路探究] 先判定命题是全称命题还是特称命题,再针对不同
的形式加以否定.

(1)[解析] 原命题的否定为?x∈R,x2=x,故选D.

[答案] D

(2)[解] ①綈p:?x0∈R,x-x0+<0,假命题.

因为?x∈R,x2-x+=≥0恒成立.

②p:至少存在一个正方形不是菱形,假命题.

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< p>
题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研 究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点 后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此 过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。

③p:?x∈R,x3+1≠0,假命题.
因为x=-1时,x3+1=0.


[规律方法] 对全称命题和特称命题进行

否定的步骤与方法

(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.

(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换
为恰当的全称量词.

(3)否定结论:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为
“不是”“没有”“不存在” “不成立”等.

提醒:无量词的全称命题要先补回量词再否定.

[跟踪训练]

2.(1)命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( )

A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1

B.?x?(0,+∞),ln x=x-1

C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1

D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1

A [特称命题的否定是全称命题,故原命题的否定是?x∈(0,
+∞),ln x≠x-1.]

(2)写出下列命题的否定,并判断其真假.

①p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;

②q: 存在一个实数x0,使得x+x0+1≤0;

③r:等圆的面积相等,周长相等;

④s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.

[解] ①这一命题可以表 述为p:“对所有的实数m,方程x2+
x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m,使得 x2+x

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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始 ,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入 手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察 哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本 知识。

-m=0没有实数根”.

注意到当Δ=1+4m<0时,即m<- 时,一元二次方程没有实
数根,所以p是真命题.

②这一命题的否定形式是q:“对 所有的实数x,都有x2+x+1
>0”,利用配方法可以证得q是真命题.

③这一 命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面积不相等或
周长不相等”,由平面几何知识知r是假命题.

④这一命题的否定形式是s:“存在α∈R,sin2α+
cos2α≠1”,由于 命题s是真命题,所以是假命题.

由全称(特称)命题的真假确定参数的范围

[探究问题]

1.若含参数的命题p是假命题,如何求参数的取值范围?

提示:先求p,再求参数的取值范围.

2.全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对
应关系?

提示:全称命题与恒成立问题对应,特称命题与存在性问题对应.

(1)若命题p “?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数
a的取值范围是________.

(2)已知命题p:?x∈R,9x-3x-a=0,若命题p是真命题,求
实数a的取值范围 .

【导学号:97792033】

[思路探究] (1)先求p,再求参数的取值范围.
(2)令3x=t,看作一元二次方程有解问题.

[解析] (1) p:?x∈R,2x2-3ax+9≥0为真命题.
则Δ=9a2-72≤ 0,解得-2≤a≤2

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2

题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这些题 主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以 翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程中, 如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。

[答案] [-2,2]

(2)设3x=t,由于x∈R,则t∈(0,+∞),

则9x-3x-a=0?a=(3x)2-3x?a=t2-t,t∈(0,+∞),

设f(t)=t2-t,t∈(0,+∞),

则f(t)=-,

当t=时,f(t)min=-,

则函数f(t)的值域是,

所以实数a的取值范围是.

母题探究:1.(变条件)若将本例题(2)条件“?x ∈R”,改为
“?x∈[0,1]”,其他不变,试求实数a的取值范围.

[解] 设3x=t,x∈[0,1],∴t∈[1,3].

a=t2-t,

∵t2-t=2-,∴a=t2-t在t∈[1,3]上单调递增.

∴t2-t∈.

即a的取值范围是.

2.(变条件)将本例题(2)换为“?x∈,tan x≤m是真命题”,
试求m的最小值.

[解] 由已知可得m≥tan x恒成立.设f(x)=tan x,显然该
函数为增函数,故f(x)的最大值为f=tan =1,由不等式恒成立可
得m≥1,即实数m的最小值为1.

[规律方法] 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型

(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题 ,全称命题为真时,
意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利
用代入 体现集合中相应元素的具体性质中求解;也可以根据函数等数
学知识来解决.


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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这 些知识点对应的考题提取出来,研究这些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的 点有哪些。归纳完经常错的知识点后,可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归 纳一下这些题型的解题方法。在此过程中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。
< br>(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不
存在”“是否存在”等语句表述 .解答这类问题,一般要先对结论作
出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理
证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定
了假设.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1.下列命题中是全称命题,且为假命题的是( )

A.存在x0∈R,sin x0+cos x0=2

B.偶函数图象关于y轴对称

C.?m∈R,x2+mx+1=0无解

D.?x∈N,x3>x2

D [A,C中命题是特称命题,故排除.B为省略量词 的全称命题,
且为真命题.D为全称命题.当x=0或1时,x3=x2,故D中命题
是假命题 .]

2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )

A.所有不能被2整除的数都是偶数

B.所有能被2整除的数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的数是偶数

D.存在一个能被2整除的数不是偶数

D [全称命题的否定为相应的特称命题,即将“所有”变为“存
在”,并且将结论进行否定.]

3.命题p:?x0∈R,x+2x0+5<0是________(填“全称命题”
或“特称 命题”),它是________命题(填“真”或“假”),它的否
定为綈p:________.

【导学号:97792034】


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题型归纳最好先从平时经常出错的知识点开始,找出它们,并将这些知识点对应的考题提取出来,研究这 些题主要从哪些角度进行考察,这类知识点的题怎样入手解题,容易出错的点有哪些。归纳完经常错的知识点后, 可以翻看一下近几年的高考真题,看看大题一般是考察哪些类型的题目,归纳一下这些题型的解题方法。在此过程 中,如果对某个知识很模糊,立即回归课本,翻看课本知识。

特称命题 假 ?x∈R,x2+2x+5≥0 [命题p:?x0∈R,x
+2x0+5<0是特称命题.因为x2+ 2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,
所以命题p为假命题.

命题p的否定为:?x∈R,x2+2x+5≥0.]

4.命题“?x∈R,>0”的否定是________.

?x0∈R,≤0 [“?x∈R,>0”的否定是“?x0∈R,<0或=0”
即?x0∈R,≤0]

5.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假;

(1)对某些实数x,有2x+1>0;

(2)?x∈{3,5,7},3x+1是偶函数;

(3)?x0∈Q,x=3

[解] (1)命题中含有存在量词“某些”,因此是特称命题,真
命题.

(2)命题中含有全称量词的符号“?”,因此是全称命题.

把3,5,7分别代入 3x+1,得10,16,22,都是偶数,因此,该命
题是真命题.

(3)命题中含有存在量词的符号“?”,因此是特称命题.

由于使x2=3成立的 实数只有±,且它们都不是有理数,因此,
没有一个有理数的平方等于3,所以该命题是假命题.


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