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高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 21:12
tags:高中数学视频

2019高中数学竞赛-高中数学等比数列求和

2020年9月17日发(作者:唐佩弦)


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排列组合问题的解题策略
关键词: 排列组合,解题策略

一、相临问题——捆绑法


例1.7名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法?

解:两个元素排 在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的
顺序,所以共有 种。

评注:一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决,共有 种排法。


二、不相临问题——选空插入法


例2. 7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法?

解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法,所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为: 种 .

评注:若 个人站成一排,其中 个人不相邻,可用“插空”法解决,共有 种排法。


三、复杂问题——总体排除法


在直接法考虑比较 难,或分类不清或多种时,可考虑用“排除法”,解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的
限 制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶 点的三角形共有多少个.

解:从7个点中取3个点的取法有 种,但其中正六边形的对角线 所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形,有3条,
所以满足条件的三角形共有 -3=32个.


四、特殊元素——优先考虑法


对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安排。

例4. (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法
种.
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解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,有 种,而其余学生
的排法有 种,所以共有 =72种不同的排法.

例5.(20 00年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排
在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有 种.

解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有 种排法,而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置,有
种排法,所以不同的出场安排共有 =252种.


五、多元问题——分类讨论法


对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。

例6.(2003 年北京春招)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个
节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(A )

A.42 B.30
C.20 D.12

解:增加的两个新节目, 可分为相临与不相临两种情况:1.不相临:共有A62种;2.相临:共有A22A61种。故不同
插 法的种数为:A62 +A22A61=42 ,故选A。

例7.(2003年全国高考试题)如图, 一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区 不得使用同一颜
色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?(以数字作答)

解:区域1与其他四个区域相邻,而其他每个区域都与三个区域相邻,因此,可以涂三种或四种颜色. 用三种颜色着
色有 =24种方法, 用四种颜色着色有 =48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.


六、混合问题——先选后排法


对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略.

例8 .(2002年北京高考)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配
方案共有( )

A. 种 B. 种

C. 种 D. 种
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解:本试题属于均分组问题。 则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有: 种,
故选A。

例9.(2003年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分 别种在不同土质的三块土地
上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有( )
A.24种 B.18种 C.12种 D.6种
解:先选后排,分步实施. 由题意,不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31·A22,故不同的种植方法共有
A31·C32·A22=12,故应选C.


七.相同元素分配——档板分隔法


例10.把10 本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求
不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考这些方法是否适合更一般的情况?

本题考查组合问题。

解:先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书;再对余下 的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相
当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两 个相同“I”(一般可视为“隔板”)共有 种插法,即有15种分法。

总之,排列、组合 应用题的解题思路可总结为:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类为加,分步为乘。

具体说,解排列组合的应用题,通常有以下途径:

(1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素。

(2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置。

(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不合要求的排列组合数。

排列组合问题的解题方略

湖北省安陆市第二高级中学 张征洪

排列组合知识,广泛应用于实际,掌握好排列组合知识,能帮助我们在生产生活中,解决许多实际应用问题。同 时排
列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归 纳和总结,以期
充分掌握排列组合知识。

首先,谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:

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1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成 某件事时采取的方式而定,可以分类来完成这件事时用“分
类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用 “分步计数原理”;那么,怎样确定是分类,还是分步骤?“分类”表现为其中
任何一类均可独立完成所 给的事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调完成
一件事情 的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分
步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么 方法
不影响后面的步骤采用的方法。

2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。

3)复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化,从而寻求解题途径 ,由于结果的正确性
难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4) 按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法,要注意“至少、至多 ”
等限制词的意义。

5)处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合) ,后排列,按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”,
始终是处理排列、组合问题的基本原理 和方法,通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独
立,达到分类标准明确,分 步层次清楚,不重不漏。

6)在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念, 能熟练地对问题进行分类,牢记排列数与组合数公式
与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序 排列,无序组合;正难
则反,间接排除等。

其次,我们在抓住问题的本质特征和规 律,灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时,还要注意讲究一些解题策
略和方法技巧,使一些看似 复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一.特殊元素(位置)的“优 先安排法”:对于特殊元素(位置)的排列组合问题,一般先考虑特殊,再考虑其他。

例1、 用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )。

A. 24个 B.30个 C.40个 D.60个

[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故 0就是其中的“特殊”元素,应该优先安排,
按0排在末尾和0不排在末尾分两类:1)0排末尾时,有 A42个,2)0不排在末尾时,则有C21 A31A31个,由分
数计数原理,共有偶数A42 + C21 A31A31=30个,选B。

二.总体淘汰法:对于含否定的问题,还可以从总 体中把不合要求的除去。如例1中,也可用此法解答:五个数字组成
三位数的全排列有A53个,排好后 发现0不能排首位,而且数字3,5也不能排末位,这两种排法要排除,故有A53--3A42+
C21A31=30个偶数。

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三.合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题,按元素的 性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到
分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

四.相邻问题用捆绑法:在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻的元素“捆绑” 起来,看作一“大”
元素与其余元素排列,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法.

例2、有8本不同的书;其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本.若将这些书排成一 列放在书架上,让数学
书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有( )种.(结果用数值表示)

解:把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大 书,与其它3本书一起看作5
个元素,共有A55种排法;又3本数学书有A33种排法,2本外语书有 A22种排法;根据分步计数原理共有排法A55
A33 A22=1440(种).

注:运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.

五.不相邻问题用“插空法”:不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开.解决此 类问题可以先将
其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置,故称插空法.

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,2 与4相邻,5与6相邻,而7与
8不相邻。这样的八位数共有( )个.(用数字作答)

解:由于要求1与2相邻,2与4相邻,可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素,这个大 元素的内部中
间只能排2,两边排1和4,因此大元素内部共有A22种排法,再把5与6也捆绑成一个 大元素,其内部也有A22种
排法,与数字3共计三个元素,先将这三个元素排好,共有A33种排法, 再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端
共四个位置中任选两个,把要求不相邻的数字7和8插入即可 ,共有A42种插法,所以符合条件的八位数共有A22 A22
A33 A42=288(种).

注:运用“插空法”解决不相邻问题时,要注意欲插入的位置是否包含两端位置.

六.顺序固定用“除法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他 元素一同进行全排列,然后
用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例4、6个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?

分析:不考虑附加条件,排队方法有A66种,而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。 故符合条件的排
法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)

例5、4个 男生和3个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法。

解:先在7个位置中任取4个给男生,有A74 种排法,余下的3个位置给女生,只有一种排法,故有A74 种排法。(也
可以是A77 ÷A33种)

七.分排问题用“直排法”:把几个元素排成若干排的问题,可采用统一排成一排的排法来处理。
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例6、7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种?
分析:7个人可以在前两排随意就坐,再无其它条件,故两排可看作一排来处理,不同的坐法共有A77种。

八.逐个试验法:题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律。

例7.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的方格中,每方格填1个,方格标号与所填数字 均不相同的填法种数
有( )

A.6 B.9 C.11 D.23

解:第一方格内可填2或3或4,如第一填2,则第二方格可填1或3或4,若第二方格内填1,则后两 方格只有一种
方法;若第二方格填3或4,后两方格也只有一种填法。一共有9种填法,故选B

九、构造模型 “隔板法”

对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问题。

例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?

分析:建立隔板模型:将1 2个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板,把球分成
4堆,每一种 分法所得4堆球的各堆球的数目,对应为a、b、c、d的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有
C113 .

又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。

十.正难则反——排除法

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若直接解答 多需进行复杂讨论,可以考虑“总体去杂”,即将总体中不符合条件
的排列或组合删除掉,从而计算出符 合条件的排列组合数的方法.

例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至 少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )
种.

A.140种 B.80种 C.70种 D.35种
< br>解:在被取出的3台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意,因此符合题意的抽取方法有
C93-C43-C53=70(种),故选C.

注:这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题.

十一.逐步探索法:对于情况复杂,不易发现其规律的问题需要认真分析,探索出其规律
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< br>例10、从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法种数有 多少种。

解:两个数相加中以较小的数为被加数,1+100>100,1为被加数时有1 种,2为被加数有2种,…,49为被加数的
有49种,50为被加数的有50种,但51为被加数有4 9种,52为被加数有48种,…,99为被捕加数的只有1种,
故不同的取法有(1+2+3+…+5 0)+(49+48+…+1)=2500种

十二.一一对应法:

例 11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场失败要退出比赛)最后产生一名冠军,要比赛几场?

解:要产生一名冠军,要淘汰冠军以外的所有选手,即要淘汰99名选手,要淘汰一名就要进 行一场,故比赛99场。

应该指出的是,以上介绍的各种方法是解决一般排列组合问题常用 方法,并非绝对的。数学是一门非常
灵活的课程,同一问题有时会有多种解法,这时,要认真思考和分析 ,灵活选择最佳方法.还有像多元
问题“分类法”、环排问题“线排法”、“等概率法”等在此不赘述了 。





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