人教版高中数学必修⑤1.1.1《正弦定理》教学设计

课题：必修⑤1.1.1正弦定理
三维目标：
1、知识与技能
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的合作探索，掌握正弦定理的内容
及其证明方法；；
（2）能运用正弦定理与三角形内角和定理及相关的三角知识解斜三角形的
两类基本问题；
（3）通过简单运用，初步理解公式的结构及其功能，为下一步学习打好基
础。
2、过程与方法
⑴引领学生从已有的几何、三角知识出发,共同探究在任意三角形中，边与< br>其对角的关系，引导学生通过观察、分析、实践、交流，由特殊到一般归
纳出正弦定理，在体验由 特殊到一般的推理过程及合作探究过程的同时，
不断认识三角、向量知识的工具性作用及所带来的分类讨 论思想、转化思
想及数形结合思想；
⑵通过用向量推导三角公式，体会向量的强大威力，锻炼自己的抽象思维
能力和推理论证能力；
⑶通过公式的推导与应用，进一步体会三角知识的本质联系以及数学工具
应用的广泛性与重要性 ；
⑷培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、
严谨的思维习惯 以及解题的规范性。
3、情态与价值观
（1）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题 的运算能力；培养学生
合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、
向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（2）通过三角知识的进一步拓 展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和
广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思 维和意识，
培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。
（3）通过对三角知识的进一步 学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、
善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并 提高参与意
识和合作精神；
教学重点：
用向量法推导正弦定理及其基本应用

教学难点：
公式的探索、推导以及已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的
个数。
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：合作探究、分层推进教学法
教学过程：
一、双基回眸 科学导入：
同学们，前面我们已全面学习了三角的基本知识，通过初步运用 ，我们
也初步感受到了三角知识的强大威力和无限魅力，同学们可以回顾一下相关的
三角公式… …
在初中，我们也学习了一些基本的三角知识，比如：勾股定理——体现
了直角三角形的性质 ：边、角的关系，对于非直角三角形，有没有关于边、角
的性质呢？
今天，我们一起探讨这个问题——
二、 创设情境 合作探究：
【创设情境】
在初中，我们已学过如何解直角三角形，直角三角形中，有勾股定理来体
现边的关系，有没有更 深入的边与角的关系呢？
如图1．1-1，固定
?
ABC的边CB及
?B，使边AC绕着顶点C转动。
A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C
B

(图1．1-1)
下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在
Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义，有

a
b
c
?sin
A
，
? sin
B
，又
sin
C
?1?
,
c
c
c
A
则
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
c
b c
sin
A
?
从而在直角三角形ABC中，
ab
sin
B
?
c
sin
C
C a B
(图1．1-2)
【思考】那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
【合作探究】
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
（证法一）：如 图1．1-3，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
根据任意角三角 函数的定义，有CD=
a
sin
B
?
b
sin
A< br>,则
C
同理可得
c
从而
a
B
(图1．1-3)
【思考】是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以
考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

则
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)
A B
∴
j
?
AB
?
j
?
AC
?< br>j
?
CB

j

j ABcos
?
90
0
?A
?
?0?jCBcos
?
90
0
?C
?

ac
?
∴
csinA?asinC
，即
sin
< br>AsinC
a
sin
A
?
b
sin
B
，
sin
C
?
?
b
sin
B
?
， b a
A c
b
sin
B
c
sin
C
sin
A

bc
同理，过点C作
j?BC
，可得
sin

?
BsinC
从而
a
s in
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学 生课
后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理





【点评】
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正 比，且比例系数
为同一正数，即存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?k
sin
C
；
（2）
a
sin
A
?
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
a
sin< br>A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于< br>a
sin
A
?
b
sin
B
，
csin
C
?
b
sin
B
，
a
sin< br>A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin< br>A
；
sin
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他 角的正弦值，如
sin
A
?sin
B
。
a
b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角
形。
三、互动达标 巩固所学：
问题.1在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
【分析】可先利用三角形内角和为180
0
求出角C, 然后用正弦定理求出其

它两边即可
【解析】根据三角形内角和定理，
C?180
0
?(A?B)

?180
0
?(32 .0
0
?81.8
0
)

?66.2
0
；
asinB42.9sin81.8
0
?80.1(cm)
； 根据正弦定理 ，
b?
sinA
?
sin32.0
0
asinC42.9s in66.2
0
?74.1(cm).
根据正弦定理，
c?
sin A
?
sin32.0
0
【点评】此问题是利用正弦定理解决的第一类基本问题 ：已知三角形的任意
两角及其一边求其他边和角，对于解三角形中的复杂运算可使用计
算器。
问题.2在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?28cm，
A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，边长精确到1cm）。
【分析】知两边和一边的对角，直接利用正弦定理求另一边的对角的正弦
即可：
【解析】根据正弦定理，

bsinA28sin40
0
sinB???0.8999.

a2 0
因为
0
0
＜
B
＜
180
0
，b >a, 所以
B?64
0
，或
B?116
0
.

⑴ 当
B?64
0
时，

C?1800
?(A?B)?180
0
?(40
0
?64
0
)?76
0
，
asinC20sin76
0
c???30(cm).

sinA
sin40
0
⑵ 当
B?116
0
时，

C?180
0
?(A?B)?180
0
?(40
0
?116
0
)?24
0
，
asinC20sin24
0
c???13(cm).

sinA< br>sin40
0
【点评】此问题是利用正弦定理解决的第二类基本问题：已知两边和其中< br>一边的对角解三角形
要注意分析是由一解还是有两解，根据所给的两边的大小容易

得之。

四、思悟小结：
知识线：
（1）正弦定理；
（2）相关的三角公式和性质；
（3）向量性质的运用。
思想方法线：
（1）公式法；
（2）等价转化思想；
（3）分类讨论思想方法。
题目线：
（1）已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
b
si n
A
；
sin
B
（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角可 以求其他角的正弦值，
如
sin
A
?
a
sin
B< br>。
b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角
形。

五、针对训练 巩固提高：
（一）学案上的题目：
（二）补充：
1．已知
?
ABC中，
?
A?60
0
，
a
?
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
分析： 可通过设一参数k(k>0)使
a
?
b
?
c
?
k< br>,
sin
A
sin
B
sin
C
a
?
b
?
c
证明出
a
?
b
?
c?

sin
A
sin
B
sin
C
si n
A
?sin
B
?sin
C
解：设
a
?< br>b
?
c
?
k
(
k
>o)

sin
A
sin
B
sin
C
3
,求
则有< br>a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C

从 而
a
?
b
?
c
=
k
sin
A?
k
sin
B
?
k
sin
C
=
k

sin
A
?sin
B
?sin
C
s in
A
?sin
B
?sin
C

又
a
sin
A
?
3
a
?
b
?
c
?2?
k
，所以
sin
A
?sin
B
?sin< br>C
sin60
0
=2
评述：在
?
ABC中，等式
a
恒成立。
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?< br>a
?
b
?
c
?
k
?
k
?0
?

sin
A
?sin
B
?sin
C2．已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
: sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c< br>
（答案：1：2：3）
【作业】课本：第10页1，2