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数学人教B版必修1学案:2.1.2 函数的表示方法 Word版含解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 21:22
tags:高中数学视频

高中数学必修四小马老师-解析高中数学课堂导入方法

2020年9月17日发(作者:萧赜)


2.1.2 函数的表示方法


1.函数的表示方法
(1)列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.
比如,某水库的存水量Q与水库最深处的水深H的关系如下表所示:
5 10 15 20 25 30 35
水深Hm
43
25 42 85 164 275 437 650
存水量Q10m
从表中可以看出,每一深度H都对应唯一的一个存水量Q,这个表给 出了H与Q之间
的对应法则,也就是函数关系.
(2)图象法
用“图形”表示函数的方法叫做图象法.
比如,如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线,表示记忆数量(百分比)与天数之间的函数关系.
(3)解析法(公式法)
如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解 析式)来表达的,则这种表示函数的方
法叫做解析法.(也称为公式法)
比如,计划建成的京沪高速铁路总长约1 305千米,设计时速300~350千米时.建成
后,若京沪高速铁路时速按300千米时计算,火车行驶x时后,路程为y千米,则y是x
的函数,可以 用y=300x来表示,其中y=300x叫做该函数的解析式.
(4)函数的三种表示方法的优缺点比较
表示方法 优点 缺点
不需要计算就可以直接看出与自变量它只能表示自变量可以一一列出的函
列表法
的值相对应的函数值 数关系
只能近似地求出自变量的值所对应的
图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况
函数值,而且有时误差较大
一是简明、全面地概括了变 量间的关
系,从“数”的方面揭示了函数关系;不够形象、直观、具体,而且并不是所
解析法
二是可以通过解析式求出任意一个自有的函数都能用解析法表示出来
变量的值所对应的函数值
(5)用描点法作函数图象的步骤
①列表:先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x),
用表格的形式表示出来.
②描点:从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点.
③连线:用平滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
【例1-1】某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位:100 kg)如表所示:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月份t
81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123
零售量y
则零售量是否为月份的函数?为什么?
解:零售量是月份的函数.
因为对于集合{ 1,2,3,…,12}中任一个值,由表可知y都有唯一确定的值与它对应,据


函数的定义可知y是t的函数.
【例1-2】已知某人骑车的速度是10千米 时,若他骑车时间为x时,其行驶路程为y
千米,试求y关于x的函数关系,分别用解析法和图象法表示 .

解:用解析法表示为y=10x(x≥0).用图象法表示,如图所示.
2.分段函数
(1)定义:在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对 应法则,
这样的函数通常叫做分段函数.
谈重点 学习分段函数的六要点
1.分 段函数的解析式在形式上尽管会有多于一个的表达式,但它仍然表示一个函数,
不能理解成几个函数的合 并,它的连续与间断完全由对应关系来确定.
2.画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含 在内,若端点包含在内,则用
实心点“·”表示,若端点不包含在内,则用空心点“。”表示.
?
f
1
(x),x?
?
a,b
?
,
?< br>?
f
2
(x),x?
?
b,c
?
,
3.分段函数的标准形式是
f
?
x
?
?
?
写分段函 数时,注意其定义域的
?
f
3
(x),x?
?
c,d
?
,
?
?
端点应不重不漏.
4.分段函数的定义域是各段上自变 量取值的并集,这一点与函数y=x-1+1+x的
1
?
?
x
,0< x<1,
定义域的求法不相同,如函数y=
?
的定义域为{x|0<x<1}∪{x| x≥1}={x|x
?
?
x,x≥1
>0}.分段函数的值域也是各段上的函 数值组成的集合的并集.
5.分段函数的图象由几部分构成,有的可以是光滑的曲线,有的也可以是一 些孤立的
点、线段、射线、直线等.
6.求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”,即 自变量的取值属于哪一段,就用
哪一段的解析式,一定要坚持定义域优先的原则.
(2)分段函数图象的画法
f
1
?x?,x∈D
1
?
?
画分段函数y=
?
f
2
?x?,x∈D
2

?
?




?D
1
,D
2
,…两两交集
都是空集?

的图象的步骤是:
①画函数y=f
1
(x)的图象,再取其在区间D
1
上的图象,其他部分删去不要;
②画函数y=f
2
(x)的图象,再取 其在区间D
2
上的图象,其他部分删去不要;
③依次画下去;


④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
2
?
?
?x+1?,x≤0,
例如:画函数y=
?
的图象的步骤是:
?< br>-x,x>0
?
第一步,画二次函数y=(x+1)
2
的图象,再取其 在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删
去不要;
第二步,画一次函数y=-x的图象,再 取其在区间(0,+∞)上的图象,其他部分删去
不要;
第三步,这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象(如图所示).


?
x?2,x??1,
?
2
?1 【例2-1】 已知函数
f(x)=
?
x,
?
2x,x?2.
?
( 1)求
f(f(f(3)))
的值;
(2)若f(a)=3,求a的值;
(3)画出函数的图象.
分析:本题给出的是一个分段函数,函数值的取得直接依赖于自变量 x属于哪一个区间,
所以,求分段函数的函数值时,首先应确定自变量所在的取值范围,然后按相应的对 应法则
求值.要求
f(f(f(3)))
的值,需要确定
f(f(3))的取值范围,为此又需确定
f(3)

取值范围,可根据由内到外的顺序,依次求 出各函数值
f(3)

f(f(3))

f(f(f(3))).若f(a)=3,因为在各段上,函数值都有可能为3,所以应分三种情况进行
讨论.
解:(1)∵-1<
3
<2,∴
f(3)
=(
3
)
2
=3.
又∵3≥2,∴
f(f(3))
=f(3)=2×3=6.
又∵6≥2,

f(f(f(3)))
=f(6)=2×6=12.
(2)∵当a≤-1时,f(a)=a+2.
若f(a)=3,则a+2=3,
∴a=1(舍去).
∵当-1<a<2时,f(a)=a
2
.若f(a)= 3,则a
2
=3,

a=3
,或
a=?3
(舍去).
∵当a≥2时,f(a)=2a.若f(a)=3,则2a=3,

a=
3
(舍去).综上可知,
a=3
.
2
(3)函数f(x)的图象如图所示.


辨误区 处理分段函数应注意的问题

对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在 的范围利用相应的解析
式直接求值;若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,但应 注意要检
验该值是否在相应自变量的取值范围内.
【例2-2】目前,成都市B档出租车的计价标准是:路程2 km以内(含2 km)按起步价
8元收取,超过2 km后的路程按1.9元km收取,但超过10 km后的路程需加 收50%的返空
费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元km).(现实中要计等待时间且最 终付费取整数,本题
在计算时都不予考虑)
(1)将乘客搭乘一次B档出租车的费用f(x)(元)表示为行程x (0<x≤60,单位:km)的分
段函数;
(2)某乘客行程为16 km,他准备先乘一辆B档出租车行驶8 km,然后再换乘另一辆B
档出租车完成余下行程,请问:他 这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱?
解:(1)由题意得,出租车的费用f(x) (元)与行程x(0<x≤60,单位:km)的函数关系为
0?x?2,
?
8,?
f
?
x
?

?
8?1.9?(x?2),2 ?x?10,

?
8?1.9?8?2.85?(x?10),10?x?60,?
?
8,0?x?2,
?

f(x)?
?
1. 9x?4.2,2?x?10,

?
2.85x?5.3,10?x?60.
?
(2)只乘一辆车的费用为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元),换乘另一辆车的 总费用为2f(8)
=2×(1.9×8+4.2)=38.8(元),
所以该乘客换乘车比只乘一辆车完成全部行程更省钱.

3.函数解析式的求法
求函数的解析式的常用方法有:
(1)代入法:如已知f(x)=x
2
-1 ,求f(x+x
2
)时,有f(x+x
2
)=(x
2
+x)
2
-1;
(2)待定系数法:已知f(x)的函数类型,要求f(x)的解析式时, 可根据类型设其解析式,
确定其系数即可;
例如,一次函数可以设为f(x)=kx+b(k ≠0),二次函数可以设为f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)
等.
( 3)拼凑法:已知f[g(x)]的解析式,要求f(x)时,可从f[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x) ”,即
用g(x)来表示,再将解析式两边的g(x)用x代替即可;
(4)换元法:令t=g(x),再求出f(t)的解析式,然后用x代替解析式中所有的t即可; < /p>


(5)方程组法:已知f(x)与f[g(x)]满足的关系式,要求f(x)时,可用g (x)代替两边的所有
的x,得到关于f(x)及f[g(x)]的方程组.解之即可得出f(x);
(6)赋值法:给自变量赋予特殊值,观察规律,从而求出函数的解析式.
由具体的实际问题 建立函数关系求解析式,一般是通过研究自变量、函数及其他量之间
的等量关系,将函数用自变量和其他 量的关系表示出来,但不要忘记确定自变量的取值范围.
【例3】求下列函数的解析式:
(1)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x);
(2)已知f(x+1)=x
2
-3x+2,求f(x);
(3)已知2f
?
?
1
?
?
+f(x)=x(x≠0),求f(x );
x
??
(4)已知对任意实数x,y都有f(x+y)-2f(y)=x
2
+2xy-y
2
+3x-3y,求f(x).
解:(1)(待定系数法 )设所求的二次函数为f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0),
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax
2
+bx+1.
又∵f(x+1)-f(x)=2x,对任意x∈R成立,
∴a(x+1)
2
+b(x+1)+1-(ax
2
+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x.
由恒等式性质,得
?
?
2a=2,
?
a=1,
∴< br>?

?
a?b=0,
?
b=?1.
∴所求二次函数为 f(x)=x
2
-x+1.
(2)(换元法)∵令t=x+1,则x=t-1. < br>∴f(x+1)=f(t)=(t-1)
2
-3(t-1)+2=t
2
-5t+6.
∴f(x)=x
2
-5x+6.
1
?
1< br>??
1
?
1
2f(x)?f
+f(x)=x,将原式中的x替 换为,得
???
=
.于是
x
x
???
x
?
x
1
?
2f()?f(x)?x,
?
2x
?
?
1
?
x
得关于f(x)与
f
??
的方程组?
解得
f(x)=?
(x≠0).
11
x
3x3??
?
2f(x)?f()?,
?
xx
?
(3)(方程 组法)∵
2f
?
(4)∵令x=0,得f(y)-2f(y)=-y
2
-3y,
∴-f(y)=-y
2
-3y.∴f(y)=y
2
+3 y.∴f(x)=x
2
+3x.
4.函数图象的作法
图象法是表示函数的 方法之一,为了直观地了解函数的性质,常常作出函数的草图或较
为精确的图象,便于数形结合讨论问题 .画函数图象时,常以定义域、对应法则为依据,采
用列表、描点法作图.当已知解析式是一次或二次式 时,可借助一次函数或二次函数的图象
帮助作图.同时还应注意抓住函数的特征,如定义域的分界点、图 象上的特殊点(与x轴、y
轴的交点,最高点与最低点,转折点等)、图象随x变化而变化的趋势等来辅 助作图.另外,
还可利用对称、平移、伸缩、翻折等方法作图.
①函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;
②函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称;
③函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于坐标原点对称;
④函数y=|f(x)|的图象由y=f(x)的图象保留x轴上方部分,下方部分翻折到上方得到;
⑤函数y=f(|x|)的图象由y=f(x)的图象保留y轴右方部分,并作关于y轴的对称图象得< br>到;
⑥函数y=f(x+a)(a>0)的图象由y=f(x)的图象向左平移a个单位长度得到;


⑦函数y=f(x)+b(b>0)的图象由y=f(x)的图象向上平移b个单位长度得到.
【例4-1】作出下列函数的图象:
(1)y=1-x(x∈Z);(2)
y=
1
(x>1).
x

解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上(∵x∈ Z,∴y∈Z),这
些点都为整数点,如图所示为函数图象的一部分.
(2)当x=1时,y=1,所画函数图象如图.
点技巧 画函数图象的技巧
象画出来,然后再擦去或标出定义域内的部分图象.
【例4-2】求作y=|x
2
+3x-4|的图象.

画某些函数 的图象时,可以先不考虑其定义域,把使解析式本身有意义的整个函数的图
分析:函数y=|f(x)| 的图象由y=f(x)的图象保留x轴上方部分,下方部分翻折到x轴上
方得到.
解:作出二 次函数y=x
2
+3x-4的图象如图(1),将x轴下方的部分翻折到x轴上方即
得 所求函数图象如图(2).
点技巧 画二次函数图象应注意的问题
个方面.

画二次函数的图象时,要确定其开口方向、对称轴位置、顶点坐标、与坐标轴的交点几

< br>5.与分段函数有关的问题
(1)已知自变量的取值,求函数值.
已知分段函数f( x)的解析式,求f(a)时,首先要根据a所在的范围来确定函数的对应关
?
x?1,x?0 ,
?
系,再将x=a代入相应的对应法则即可,如:已知
f(x)=
?
π,x?0,
求f(-1).因为-1
?
0,x?0,
?
<0,此 时f(x)=0,所以f(-1)=0.
(2)已知函数值,求自变量的取值.
f(x)是 一个分段函数,函数值的取值直接依赖于自变量x属于哪一个区间,所以要对x
的可能取值范围逐段进行 讨论.
?
f
1
(x),x?I
1
,
即:设分段函 数
f(x)=
?
已知f(x
0
)=a,求x
0
.
f(x),x?I.
?
22
步骤如下:
①当x
0
∈I
1
时,由f
1
(x
0
)=a,求出x
0

②验证x
0
是否属于I
1
,若是则留下,反之则舍去; ③当x
0
∈I
2
时,由f
2
(x
0
) =a,求出x
0
,判断x
0
是否属于I
2
,方法同上;
④写出结论.
(3)已知f(x),解不等式f(x)>a.
在分段函数的前提下 ,求某条件下自变量的取值范围(即解不等式)的方法:先假设自变
量的值在分段函数定义域的某段上, 然后相应求出在这段定义域上自变量的取值范围,再与
这段定义域求交集即可.
?
f
1
(x),x?I
1
,
?
x?I
1
,?
x?I
2
,
即对于分段函数
f(x)=
?
f (x)>a等价于
?

?

f(x),x?I.f?x??af?x ??a.
?
22
?
1
?
2
其他分段函数仿照解决.
?
x?1,x?2,
?
2
【例5-1】已知函数
f(x)=
?
x?2x,?2?x?2,

?
2x?1,x?2.
?< br>(1)求f(-5),
f(?3)

f
?
f
?
?
?
?
的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值.
解:( 1)由-5∈(-∞,-2],
?3
∈(-2,2),
?
?
?
5
?
?
?
?
2
?
?
5
∈(-∞ ,-2],知
2
f(-5)=-5+1=-4,f(
?3
)=(
? 3
)
2
+2(
?3
)=3-
23

f?
?
5
?
5
?
=+1=
?
?
2
?
2
?
3
?
.
2

?
3
∈(-2,2),
2
?
f
?
?
?
5
?
?
f
?
??
?
=f
?
2
?
?
3
?
3< br>??
3
??
3
?
.
?=??2??=?
? ?????
2224
??????
2
(2)当a≤-2时,f(a)=a+1 ,即a+1=3,a=2>-2,不合题意,舍去;
当-2<a<2时,f(a)=a
2+2a,即a
2
+2a=3,a
2
+2a-3=0,解得a=1或a=- 3.
∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1符合题意;


当a≥2时,f(a)=2a-1,即2a-1=3,a=2,符合题意.
综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.
【例5-2】已知
f(x)=?
?
x?2,x??2,
若f(x)>2,求x的取值范围.
?
?x?2,x??2.
解:当x≥-2时,f(x)=x+2,由f(x)>2,得x+2>2,解得 x>0,故x>0;
当x<-2时,f(x)=-x-2,由f(x)>2,得-x-2>2,解得x<-4,故x<-4.
综上可得,x>0或x<-4.
点技巧 求解分段函数问题有技巧
(1)求f(f(a))的值时,应从内到外依次取值,直到求出值为止.
(2)已知函数值 ,求自变量的值时,切记要进行检验.例如【例5-1】第(2)小题易忽略
对所得值的验证而得到三个 解,解题时一定要注意自变量的范围,只有在自变量确定的范围
内才可以进行运算.
(3)已 知f(x),解不等式f(x)时,要先在每一段内求交集,最后求并集.例如【例5-2】
中,在x≥ -2时,解得x>0后,需与x≥-2求交集,得x>0;当x<-2时,解得x<-
4,与x<-2求 交集,得x<-4,然后求x>0与x<-4的并集得出最后结果.

6.函数图象的简单应用
(1)利用函数图象解方程或判断方程解的个数
求关于x 的方程f(x)=g(x)的实数解或判断其解的个数时,可以构造两个函数y=f(x)与y
=g(x ),并作出它们的图象,由图象可知原方程实数解即为两个函数图象交点的横坐标,方
程的解的个数等于 两个函数图象交点的个数.
例如:讨论关于x的方程|x
2
-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数. 可构造两个函数y=|x
2
-4x+3|及y=a,并作出它们的图象(如图所示),方程 |x
2
-4x+
3|=a的实数解就是两个函数图象交点(纵坐标相等)的横坐标x的 值,原方程解的个数就是
两个函数图象的交点个数,由图可知:
①当a∈(-∞,0)时,原方程没有实数解;
②当a=0或a∈(1,+∞)时,原方程有两个实数解;
③当a=1时,原方程有三个实数解;
④当0<a<1时,原方程有四个实数解.
(2)利用函数图象解不等式,不等式f(x)<g(x)的解集?函数y=g(x)的图象在y=f(x)图象
上方的点的横坐标的取值集合.
例如:解不等式|2x-1|>x+2时,就可用数形结合的 方法求解,即先作出y=|2x-1|及
?
?
?
1
??
.
x<-,或x>3
y=x+2的图象.由图象可知原不等式的解集为x
?
3< br>??


(3)利用函数的图象求函数的值域.
< br>1
?
?
x
,0<x<1,
例如:求函数y=
?
的值域.可以看出,所给函数解析式是分段函数,
?
?
x,x>1
1
它的图象由y=(0<x<1)和y=x(x>1)两部分组成(如图所示),观察图象可得此函数的值域x
为(1,+∞).
点技巧 利用图象巧求函数值域
利用图象法求函数值域 ,关键是准确作出函数的图象.由于分段函数在定义域的不同区
间内解析式不一样,因此画图象时要特别 注意区间端点处对应点的实虚.
(4)根据函数的图象求其解析式.
例如,下图中的图象所表示的函数的解析式为( )



【例 6-1】若x∈R,f(x)是y=3-x与y=2x这两个函数的较小者,则f(x)的最大值为
( )
2
A.2 B.1
C.-1 D.无最大值



解析:两个函数一个是二次函数,一个是一次函数,f(x)是两个函数的较 小者.可先画
出两个函数的图象,然后找出f(x)的图象再求其最大值.
在同一坐标系中画 出函数y=3-x
2
,y=2x的图象,如图所示,根据题意,坐标系中实
线部分即为 函数f(x)的图象.
所以x=1时,f(x)
max
=2.选A.
答案:A
谈重点 函数图象的作用
函数图象可以形象地反映函数的性质,通过观 察图象可以确定图象的变化趋势、对称性、
分布情况等.应用函数图象解题体现了数形结合的思想方法.
?
?
(x?1)
2
,x??1,
?
【例6-2】设 函数
f(x)=
?
2x?2,?1?x?1,
已知f(a)>1,求a的取值 范围.
?
1
?
?1,x?1,
?
x
分析:所给函 数是分段函数,其图象很容易作出,所以可以利用图象解不等式;另外,
也可以对a分三种情况:a≤- 1,-1<a<1,a≥1,通过解不等式得出a的取值范围.
解法一:(数形结合)
< br>画出f(x)的图象,如图所示,作出直线y=1,由图可见,符合f(a)>1的a的取值范围
为(-∞,-2)∪
?
?
?
1
?
,1
?
.
?
2
?
解法二:(分类讨论)
当a≤-1时,由(a+1)
2
>1,得a+1>1,或a+1<-1,解得a>0,或a<-2.又a≤
-1,所以a< -2.


当-1<a<1时,由2a+2>1,得
a>?
又-1<a< 1,所以
?
当a≥1时,由
1

2
1
<a<1;
2
11
-1>1,得0<a<,
a2
1
<a<1.
2
又a≥1,所以此时a不存在.
综上可知,a<-2,或
?
【例6-3】求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
分析:函数解析式中含有绝对值符号,直接求其值域难度较大.可根据绝对值的意义,
分情况去 掉绝对值符号,再研究其值域.
解:∵当x≤-1时,y=-(x+1)-(x-2)=-2x+1;
当-1<x<2时,y=(x+1)-(x-2)=3;
当x≥2时,y=(x+1)+(x-2)=2x-1,

?
?2x?1, x??1,
?
∴函数y=|x+1|+|x-2|可化为分段函数
y=
?3,?1?x?2,

?
2x?1,x?2.
?
它的图象如图所 示.所以函数的值域为[3,+∞).
【例6-4】已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和 抛物线的一部分组成,求函数
的解析式.

分析:图中给定的图象实际上是一个分段 函数的图象,对各段对应的函数解析式进行求
解时,一定要注意其区间的端点.
解:根据图象 ,设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(k≠0,x<1),将点(1,1),(0,2)
的坐标 代入得
?
?
k?b=1,
?
k=?1,
解得
?
?
b=2,
?
b=2.
∴左侧射线对应的函数解析式为y=- x+2(x<1);同理,x>3时,函数的解析式为y=
x-2.


3
|x-1|(0≤x≤2)
2
33
B.y=-|x-1|(0≤x≤2)
22
3
C.y=-|x-1|(0≤x≤2)
2
A.y=
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
解析:函数的图象由两 条线段组成,若直接求其解析式,则较麻烦.可采用特殊值代入
法验证选项,将原点(0,0)代入,可 排除选项A,C;再将点
?
1,
B.
答案:B
再设抛物线对应的 二次函数解析式为y=a(x-2)
2
+2(1≤x≤3,a<0),
∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,a=-1.
∴抛物线对应的函数的解析式为y=-x
2
+4x-2(1≤x≤3).
?
3
?
?
代入,又可排除D,故选
2
??
?
?x?2,x?1,
?
2
1?x?3,
综上可知,函数的解析式为
y ?
?
?x?4x?2,

?
x?2,x?3.
?
析规律 由图象求函数解析式
由图象求函 数的解析式的基本方法是充分挖掘图中所提供的图象形状以及特殊点的坐
标,如本例中点(1,1),( 0,2),(2,2),(3,1),(4,2)的信息,可利用待定系数法求解析式.



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