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2023届邢台市新高考高一数学下学期期末考试试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 21:22
tags:高中数学视频

2018吉林省延边州高中数学会考答案-高中数学必修五解答题及答案

2020年9月17日发(作者:韩其为)



一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.在平面直角坐标系
A
1
?xy
中,直线
xy
?? 1

x

y
轴分别交于点
A
2

A
3
,记以点
A
i
(i?1,2,3)

34圆心,半径为
r
的圆与三角形
A
1
A
2
A3
的边的交点个数为
M.
对于下列说法:


i?1< br>时,若
M?3
,则
r?
12



i?2
时,若
0?r?4
,则
M?2



i?3
时,
M
不可能等于
3

④M
的值可以为< br>0

5
B

2 C

3 D

4
1

2

3

4

5.
其中正确的个数为(



A

1
2
.已知函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
,其中
a,b,c
为整数,若
f(x)
(0,1]
上有两个不相等的零点,

b
的最大值为
( )
A

?3
B

?4
C

?5
D

?6

3
.在
A BC
中,内角
A

B

C
所对的边分别是
a

b

c
,若
c
2
?(a?b)
2
?6

C?
面积是( )

A

3
B

?
3
,则
ABC

93

2
C

33

2
D

33

?
?
x?1,x?2
4
.已知函数
f(x)?
?
,则
f(1)?f(9)?




?
?
f(x?3),x?2
A

?1
B

?2
C

6
D

7
< br>5
.函数
y?sinx?cosx?sinx?cosx
的最大值为(



A

7

2
B

?
7

2
C

1
?2

2
D

1
?2

2
,记数列
{b
n
}
的前
n
项为
T
n

,则2
6
.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和 为
S
n
?n?n?1
,令
b
n
?a
ncos
?
n?1
?
?
2
T
2019
?





A

2020
B

2019
C

2018
D

2017

7
.在
?ABC
中,若
s in2A?sin2C
,则
?ABC
的形状是(



A
.等边三角形

C
.直角三角形

B
.等腰三角形

D
.等腰三角形或直角三角形

8
.已知向量
a
=(3

4)

b
=(2

1)
,则向量
a

b
夹角的余弦值为
( )
A

25

5
B

?
5

5
C

25

25
D

115

25
9
.某校从高一年 级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成
6
组:
[40,50), [50,60), [60,70),
[70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生
600
名,据此



估计,该模块测试成绩不少于
60
分的学生人数为(




A

588 B

480 C

450 D

120
10
.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形 ,且侧棱垂直于底面)高为
4
,体积为
16

则这个球的表面积是(



A

16
?
B

20
?
C

24
?
D

32
?

11
.已知函数
f (x)

Asin(ωx

φ)(A

0

ω

0

0<
?

?
)
的图象如下,则点
P(
?
,
?
)
的坐标是
( )
2

A

(
C

(
1
?

)
3
6
?
?

)
6
3
B

(
D

(
1
?

)
3
3
??

)
33
12
.从
1

2

3



9
这个
9
个数中任取
5
个不同的数,则这
5
个数的中位数是
5的概率等于(



A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题
13
.若
sin
?
?
1
?
?
?
,则
cos
?
?
?
?< br>?
_________.
3
?
2
?
14
. 已知向量
a?
?
3,k
?

b?
?
2,4
?
,若
ab
,则
k?
______
;若
a ?b
,则
k?
______.
15
.若直线
l:y?x? m
上存在满足以下条件的点
P
:
过点
P
作圆
O:x
2
?y
2
?1
的两条切线
(
切点分别为
A ,B
),
四边形
PAOB
的面积等于
3
,则实数
m
的取值范围是
_______
16
.已知三棱锥
S?ABC
(如图所示),
SA?
平面
ABC

AB?6

BC?8

AC?SA?10
,则此三
棱锥的外接球的表面积为
__ ____





三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.已知直线
l

x+3y

2

1


(< br>1
)求与
l
垂直,且过点(
1

1
)直线方 程;


2
)求圆心为(
4

1
),且与 直线
l
相切的圆的方程.

A
1
B
1
C< br>1
中,侧棱
AA
1
?
底面
ABC

AB?BC

D

AC
的中点,
18
.如图所示, 在三棱柱
ABC-
AA
1
=AB=2,BC=3
.

1
)求证:
AB
1

平面
BC
1D



2
)求
AB
1

B D
所成角的余弦值.

19
.(
6
分)如图
1,在
Rt?PDC
中,
?D?90?

A

B

E
分别是
PD

PC

CD
中 点,
PD?4

CD?22
.
现将
?PAB
沿AB
折起,如图
2
所示,使二面角
PABC

120?

F

PC
的中点
.


1
)求证:面
PCD?

PBC

< br>(
2
)求直线
PB
与平面
PCD
所成的角的正弦值< br>.
2
20
.(
6
分)已知函数
g(x)?x?2a x?1
,且函数
y?g(x?1)
是偶函数,设
f(x)?
g(x)

x
(1)

f(x)
的解析式;

(2 )
若不等式
f(lnx)?mlnx
≥0
在区间
(1
e
2
]
上恒成立,求实数
m
的取值范围;



x
(3)
若方程
f(2?1)?k?
2< br>?2?0
有三个不同的实数根,求实数
k
的取值范围.

x< br>2?1
3,cos
?
x

b?
?
sin?
x,?1
?
.
函数
f
?
x
?
?a?b
的图象关于直线
x??
21
.(
6
分)已知向量
a?

?
?
?
1,3
?
.
??
?
6
对称,

1
)求函数
f
?
x
?
的表达式:


2
)求函数
f
?
x
?
在区间
?
?
?
??
?
,
?
上的值域
.
126
??
22
.(
8
分) 如图,在四棱锥
P

ABCD
中,底面
ABCD
为平行四边 形,且
∠BAP

∠CDP

90°


1
)证明:平面
PAB⊥
平面
PAD



2
)若
PA

PD

AB
=< br>2
AD
,且四棱锥的侧面积为
6+2
3
,求四校锥
P

ABCD
的体积.

2



参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1

B
【解析】

【分析】

作出直线
xy
??1
,可得
A
1
(0,0)

A< br>2
(3,0)

A
3
(0,4)
,分别考虑圆心和半 径
r
的变化,结合图形,即
34
可得到所求结论.

【详解】




作出直线
xy< br>??1
,可得
A
1
(0,0)

A
2
(3,0)

A
3
(0,4)


34


i?1
时,若
M?3
,当圆
x
2
?y
2
?r
2
与直线相切,可得
r?
当圆经过点
(3, 0)
,即
r?3



r?
12


5
12

r?3
,故

错误;

5


i?2
时,若
0?r?4
,圆
(x?3)< br>2
?y
2
?r
2
,当圆经过
O
时,
r?3
,交点个数为
2


r?4
时,交点个数为
1
,则
M?2
,故

正确;



i?3
时,圆
x
2
?(y?4)
2
?r
2
,随着
r
的变化可得交点个数为
1

2

0

M
不可能等于
3
,故

正确;


M
的值可以为
0

1

2
,< br>3

4
,不可以为
5
,故

错误
.
故选:
B.
【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用,考查直线和圆的位置关系,考查分析能力和计算能力
.
2

A
【解析】

【分析】

利用一元 二次方程根的分布的充要条件得到关于
a,b,c
的不等式,再由
a,b,c
为整数,可得当
ac
取最小时,
b
取最大,从而求得答案
.
【详解】


f(x)

(0,1]
上有两个不相等的零点,

?
b
2
?4ac?0,
?
b??2ac,
?
?< br>?2a?b??2ac,
?
b
?
?
?1,
?
0??
?
?2a?b?0,
?
?

?

2 a
?
?
1?c?a,
?
c?0,a?0,
?
c?0 ,a?0,
?
a?b?c?0,
?
?
?
a?b?c?0,< br>?
?
?
a?b?c?0,



?2a?b??2ac



ac
取最小时,
b
取最大,


两个零点的乘积小于
1


0?
c
?
1
?
0
?c?a


a

a,b,c
为整数,令
c?1,a?2
时,
b
max
??3
,满足
a?b?c?0
.
故选:
A.
【点睛】

本题考查一元二次函数的零点,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考 查逻辑推理能力和运算求解能
力,求解时注意
a,b,c
为整数的应用
.
3

C
【解析】

【分析】

根据题意 ,利用余弦定理可得
ab
,再利用三角形面积计算公式即可得出答案.

【详解】


c
2
=(
a

b< br>)
2
+6
,可得
c
2

a
2
+b
2

2ab+6


由余弦定理:
c
2

a
2
+b
2

2abcosC
=< br>a
2
+b
2

ab


所以:a
2
+b
2

2ab+6

a
2+b
2

ab


所以
ab

6



S
△ABC
?
1
33
absinC
?


2
2
故选:
C


【点睛】

本 题考查余弦定理、三角形面积计算公式,关键是利用余弦定理求出
ab
的值
.
4

A
【解析】

【分析】

由题意结 合函数的解析式分别求得
f
?
1
?
,f
?
9
?
的值,然后求解两者之差即可
.
【详解】

由题意可得:f
?
1
?
?f
?
4
?
?4?1?3< br>,
f
?
9
?
?9?1?4



f(1)?f(9)?3?4??1
.
故选:
A.
【点睛】

求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入 该段的解析式求值,当出现
f(f(a))



的形式时,应从内到外依次求值.

5

D
【解析】

【分析】

t
2
?1

sinx?cosx?t
,根据正弦型函数的性质可得
t?2sin(x?)
,那么
sinxcosx?
,可将问题
4
2
转化为二次函数在定区间上的最 值问题.

【详解】

由题意,令
sinx?cosx?t
,可得
t?
?
2sin(x?)

t?[?2,2]

4
?
t
2
?1

sinxcosx?


2

原函数的值域与函数
y?
1
2
11
t?t??(t?1)
2
?1
的值域相同.

222
1
?2


2

函数图象的对称轴为
t??1


?t?2

y
取得最大值为
故选:
D


【点睛】

本题考查三角函数中的恒等变换、函数的值域,考查函数与方程思想、转化 与化归思想,考查逻辑推理能
力和运算求解能力,求解时注意换元法的使用,将问题转化为二次函数的值 域问题
.
6

B
【解析】

【分析】

由数列
{a
n
}
的前
n
项和求通项,再由数列的周 期性及等比数列的前
n
项和求解.

【详解】

2
因为
S
n
?n?n?1



n?1
时,得
a
1
?1




n?2
,且
n?N*

时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?n
2
?n?1?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?1?2n?2

a
1
?1
不满足上式,
2
1
?
?1,n=
1,n=1
?
?


a
n
?
?
, 所以
b
n
?
?


n?1
?
?< br>?
2n?2,n?2,n?N*
,n?2,n?N*?
?
?
?
2n?2
?
cos
2
?

n?2,n?N* 时,
b
n
?
?
2n?2
?
cos
?< br>n
?
?
n
??
?
?
?
??
?
2n?2
?
sin


222
??




n
是偶数时,
n
?
n
?
n
?0
,所以
b
n
??
?
2n?2?
sin?0


为整数,则
sin
2
22< br>故对于任意正整数
k
,均有:

b
4k?2
?b4k?1
?b
4k
?b
4k?1

?0?
?
8k?4
?
sin
?
4k?1
?
?
?0? 8ksin
?
4k?1
?
?
22

?
?< br>?
???
?0?
?
8k?4
?
sin
?2k
?
?
?
?0?8ksin
?
2k
?
?
?

2
?
2
???
?
?
?< br>?
?0?
?
8k?4
?
sin
?
?
?
?0?8ksin

2
?
2
?
?0+
?
8k?4
?
?0?8k??4,k?N*

因为
2019?4?504?3


所以
T
201 9
=b
1
?
?
b
2
?b
3
?b< br>4
?b
5
?
?
?
b
6
?b
7
?b
8
?b
9
?
?...

?
?
b
2014
?b
2015
?b
2016
?b2017
?
?b
2018
?b
2019

? ?1?
?
?4
?
?504?b
2018
?b
201 9
?b
2018
?b
2019
?2017

因为
2018
为偶数,所以
b
2018
?0



b
2019
??
?
2?2019?2
?
sin
2019
?
3
?
?
??4036sin
?< br>1008
?
+
22
?
3
?
?
??4 036sin=4036


?
2
?
所以
T
2019
?4036?2017?2019
.
故选:
B


【点睛】

本题考查数列的函数概念 与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和,解题的关键是当
n?2,n?N* 时,
b
n
??
?
2n?2
?
sin
难 题.

7

D
【解析】

【分析】
< br>n
?
,和
b
4k?2
?b
4k?1
?b4k
?b
4k?1
??4,k?N*
的推导,本题属于
2
sin2A?sin2C?sin2A?sin(
?
?2C)
,两种情况对应求解< br>.
【详解】

sin2A?sin2C?sin2A?sin(
?
?2C)

所以
A?C

A?C?
?
2



故答案选
D
【点睛】

本题考查了诱导公式,漏解是容易发生的错误
.
8

A
【解析】

【分析】

由向量的夹角公式计算.

【详解】

22
由已知
a?3?4?5

b?5< br>,
a?b?3?2?4?1?10



cos?a,b??
故选
A


【点睛】

a?b
ab
?
1025
?


5
5?5
本题考查平面向量的数量积,掌握数量积公式是解题基础.

9

B
【解析】

试题分析:根据频率分布直方图,得; 该模块测试成绩不少于
60
分的频率是
1-

0.005+0.01 5

×10=0.8


对应的学生人数是
600×0.8 =480
考点:频率分布直方图

10

C
【解析】

【分析】

根据正四棱柱的底面是正方形
,高为
4,
体积为
16,
求得底面正方形的边长
,
再求出 其对角线长
,
然后根据正四
棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径
,< br>再根据球的表面积公式可求得
.
【详解】

依题意正四棱柱的体对角线
BD
1
是其外接球的直径
,
BD
1
的中点
O
是球心
,
如图
:




依题意设
AB?BC?
x
,
则正四棱柱的体积为
:
4x
2
?16
,
解得x?2
,
所以外接球的直径
2R?
所以外接球的半径
R?
故选
C.
【点睛】

本题考查了球与正四棱柱的组合体
,
球的表面积公式,
正四棱柱的体积公式
,
属中档题
.
11

C
【解析】

【分析】

由函数
f

x
)的部分图象求得
A

T

ω

φ
的值即可.

【详解】

由函数
f

x
)=
Asin

ωx+φ
)的部分图象知,

A

2

T



4

1
)=
6


∴ω
?
x2
?x
2
?4
2
?4?4?16?24?26
, 6
,
则这个球的表面积是
4
?
R
2
?24?
.
2
??
?


T3

x

1
时,
y

2


?
?
?
φ
??
2kπ

k∈Z


3
2
?
∴φ
??
2kπ

k∈Z

6
??

0

φ
?

∴φ
?


26
?
?


P

,).

36



故选
C


【点睛】

已知函数
y?Asin(
?
x?
?)?B(A?0,
?
?0)
的图象求解析式

y
max
?y
min
y?y
min
.
,B?
max
22
2
?
.
(2)
由函数 的周期
T

?
,T?
?
(1)
A?
(3)
利用

五点法

中相对应的特殊点求
?
.
12

C
【解析】


设事件试题分析:
种,事件
故应选
.
2

3


9

9
个数中
5
个数的中位数 是
5”
,为


1
,则基本事件总数为
,所以由古 典概型的计算公式知,,所包含的基本事件的总数为:
考点:
1.
古典概型;

二、填空题:本题共4小题
13

1

3
【解析】

【分析】

利用诱导公式求解即可

【详解】

1
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
sin
?
?


3
?
2
?
故答案为:
【点睛】

本题考查诱导公式,是基础题

14

6
?
【解析】

【分析】

由向量平行与垂直的性质,列出式子计算即可
.
【详解】

ab
,可得
3?4?2k?0
,解得
k?6



a?b
,则
a?b?3?2?4k?0
,解得
k??
1

3
3

2
3
.
2



故答案为:
6

?
【点睛】

3
.
2
本题考查平面向量平行、垂直的性质,考查平面向量的坐标运算,考 查学生的计算能力,属于基础题
.
?
15

?
?
?25,25
?

【解析】

【分析】

通过画出图形,可计算出圆心到直线的最短距 离,建立不等式即可得到
m
的取值范围
.
【详解】

作出 图形,由题意可知
PA?OA

PB?OB
,此时,四边形
PAOB
即为
2S
?PAO
,

S
?PAO
?13
|PA||OA|?
,故
|PA|?3
,勾股定理可知
|P O|?10
,而要是得存在点
P
满足该条件,只
22

O< br>到直线的距离不大于
10
即可,即
d?
|m|
?10
,所以
|m|?25
,故
m
的取值范围是
2
?
?2 5,25
?
.
??

【点睛】

本题主要考查直 线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,意在考查学生的转化能力,计算能力,分析能
力,难度中等< br>.
16

200
?

【解析】

【分析】

由于图形特殊,可将图形补成长方体,从而求长方体的外接球表面积即为所求
.



【详解】

AB?6

BC?8

AC?10

AB?BC

SA?
平面
ABC< br>,将三棱锥补形为如图的长方体,则长方体
的对角线
SC?SA
2
?A B
2
?BC
2
?102?2R
,则
S

? 200
?


【点睛】

本题主要考查外接球的相关计算, 将图形补成长方体是解决本题的关键,意在考查学生的划归能力及空间
想象能力
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17

(1) 3x

y

2

1

(2)

x

4

2
+

y

1

2
?
【解析】

【分析】


1
)根据两直线垂直的性质,设出所求直线的方程,将点
?
1,1
?
坐标代入,由此求得所求直线方程
.

2
)利用圆心到直线的距离求得圆的半径,由此求得圆的方程
.
【详解】


1
)根据题意,设要求直线的方程为
3x
y

m

1


又由要求直线经过 点(
1

1
),则有
3

1

m

1
,解可得
m

2


即要求 直线的方程为
3x

y

2

1



2
)根据题意,设要求圆的半径为
r


若 直线
l
与圆相切,则有
r

d
?
5

2
4?3?2
1?9
?
10


2
则要求圆的方程为(
x

4

2
+
y

1

2
?
【点睛】

5


2
本小题主要考查两条直线垂直的知识,考查直线和圆的位置关系,属于基础题
. < br>18
.(
1
)证明见解析;(
2

【解析】

【分析】


1
)连接
B
1
C
, 设
B
1
C

BC
1
相交于点
O
, 连接
OD.
证明
OD

?AB
1
C
的中 位线,得
ODAB
1
,即可

26
.
13



证明;(
2
)由(
1
)可知 ,
?ODB

AB
1

BD
所成的角或其补角,在
?OBD
中,利用余弦定理求解即可

【详解】

(1)< br>证明:如图,连接
B
1
C
,设
B
1
C

BC
1
相交于点
O
,连接
OD.

四边形
BCC
1
B
1
是平行四边形.



O

B
1
C
的中点.

∵D

AC
的中点,

∴OD

?AB
1
C
的中位线,

?ODAB
1

OD?
平面
BC
1
D

AB
1
?
平面
BC
1
D

?AB
1

平面
BC
1
D
.


2
)由(
1
)可知,
?ODB
AB
1

BD
所成的角或其补角


Rt? ABC
中,
D

AC
的中点,则
BD?
AC13< br>
?
22
同理可得,
OB?
13

2
OD
2
?BD
2
?OB
2
26


?OBD
中,
cos?ODB??
2OD?BD13
?A B
1

BD
所成角的余弦值为
26
.
13
【点睛】

本题考查线面平行的判定,异面直线所成的角,考查空间想象能力与计算能力是基础题

19
.(
1
)见解析(
2

【解析】

【分析】


1
)证明
BF?

PCD< br>得到面
PCD?

PBC
.

2
)先判断
?BPC
为直线
PB
与平面
PCD
所成的角,再计算其正弦 值
.
6

6



【详解】


1
)证明:法一:由已知得:
AB?PA
AB?AD

PA?AD?A


AB?

PAD
.

AB∥CD


CD?

PAD
. < br>∵
PD?

PAD


CD?PD
,又
EF

CD?BE

BE
PD


CD?EF


EB?E


CD?

BEF
.
BF?

BEF


CD?BF
.
又< br>∵
PB?BC

F

PC
中点,

PC?BF


PC

BF?

PBC



PBC?

PCD
.
法二:同法一得
CD?

PAD
.


BE
CD?C


BF?

PCD
.
A D

AD?

PAD

BE?

PAD< br>,

BE

PAD
.
EF?E

BE?

BEF

EF?

BEF
.
同 理
EF

PAD

BE


PAD

BEF
.

CD?

BEF

BF ?

BEF


CD?BF
.

PB?BC

F

PC
中点,

PC?BF< br>,

PC

BF?

PBC

∴< br>面
PBC?

PCD
.

2
)由(
1
)知
BF?

PCD


PF
为直线
PB
在平面
PCD
上的射影
.

?BPC
为直线
PB
与平面
PCD
所成的角,


AB? PA

AB?AD


二面角
P
CD?C


BF?

PCD
.
ABC
的平面角是
?PAD
.
1
PD?3
.
2
BE
2
?EF
2
?1
.

P A?AD?2


PD?23


EF?


BF?

PCD


BF?EF
.

Rt?BFE
中,
BF?

Rt?PDC
中,
PC ?PD
2
?CD
2
?26
.
BF6
.
?
PB6


Rt?PFB
中,
sin?BPC?
【点睛】

本题考查了面面垂直,线面夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力
.
20

(1)
f(x)?x?
【解析】

【分析】


1

g(x)
对称轴为
x? a

g(x?1)
对称轴为
x?0
,再根据图像平移关系求解;(< br>2
)分离参数
m
,转
化为求函数的最值;(
3
)令< br>2?1
为整体,转化为二次函数根的分布问题求解
.
x
1
1
?2,x?0

(2)
?
??,0
?

(3)
(?,1)
.
x
2



【详解】

(1) 函数
g(x)?x
2
?2ax?1
的对称轴为
x?a


因为
g(x)
向左平移
1
个单位得到
g(x?1 )
,且
y?g(x?1)
是偶函数,

所以
a?1



所以
f(x)?
g(x)1
?x??2,x?0
.
xx
(2)
f(lnx)?mlnx?0


lnx?
1
?2?mlnx?0

lnx
2

x?1,e
?
?

,所以
lnx?
?
0,2
,则

?
?m?
1
?
lnx
?
2
2
?
1
?
??1?
?
?1
?

lnx
?
lnx< br>?
2
2
?
1
?
因为
?
?1
?
?0
,所以实数
m
的取值范围是
?
??,0
?< br>.
?
lnx
?
x
(3)
方程
f(2?1)?k?
2
?2?0


x
2?1
2
x
?1?
12
?2?k??2?0

xx
2?12?1
2
化简得
2
x
?1?42
x?1?1?2k?0

x

r?2?1
,则
r
2
?4r?1?2k?0

x
f(2?1)?k?
若方程
2
?2?0
有三个不同的实数根,

x
2?1
则方程
r
2
?4r?1?2k?0
必须有两个不相等的实数根
r
1
,r
2




0?r
1
?1,r
2
?1

0?r
1
?1,r
2
?1
,< br>

h(r)?r
2
?4r?1?2k


0?r
1
?1,r
2
?1
时,则
?
?
h( 0)?1?2k?0
1
,即
??k?1



2< br>?
h(1)??2?2k?0

r
2
?1
时,
k?1


h(r)?r
2
?4r?3

r1
?3
,舍去,

综上,实数
k
的取值范围是
(?
【点睛】

本题考查求函数解析式,函数不等式恒成立及函数零点问题
.
函数不等式恒成立通常采用参数分离法;函
1
,1)
.
2



数零点问题要结合函数与方程的关系求解
.
21
.(
1

f
?
x
?
?2sin
?
2x?
【解析】

【分析】


1
)转化条件得< br>f
?
x
?
?2sin
?
?
x?
即可 得解;


2
)根据自变量的范围可得
?
【详解】


1
)由题意
f
?
x
?
?a?b?
?
?
?
?
?3,1
?

2

?
?

??

6
?
?
?
?
?
6
?
?
,由对称轴可得
?
?
6
?
?
?
6
?k
?
?
?
2
?
k?Z
?
,再结合
?
?
?
1,3
?
?
3
?2x?
?
6
?
?
6
,利用整体法即可得解
.
?
??
3sin
?
x?cos
?
x?2si n
?
?
x?
?


6
??
函数< br>f
?
x
?
的图象关于直线
x??
?
?
???
?
sin?
?
??1
.
?
对称,
?
?
6
?
66
?
?
?
?
6?
?
?
6
?k
?
?
?
2
?< br>k?Z
?

?
??6k?4
?
k?Z
?.
7
6
5
6


?
?
?< br>1,3
?

?
1??6k?4?3
,得
??k??< br>,由
k?Z

k??1
,故
?
?2
. ?
?
则函数
f
?
x
?
的表达式为
f< br>?
x
?
?2sin
?
2x?

2

?
?
?

6
?
.
?
?
12
?x?
?
6

?
?
?
3
?2 x?
?
6
?
?
6
?
?
3
?
?
1
?
?sin
?
2x?
?
?

?
?3?f
?
x
?
?1


26
?
2
?
?
??
?
,
?
上的值域为
?
?3,1
?
.
??
?
126
?
则函 数
f
?
x
?
在区间
?
?
【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算、函数
y?Asin
?
ωx?φ
?
表达式和值域的确定,考查了整体意识,属
于基础题
.
8
22
.(
1
)见解析;(
2


3
【解析】

【分析】


1
)只需证明
AB?
平面
PAD
,,即可得平面平面
PAB?
平面
PAD





2
)设
AB?PA?PD?x
,则
AD?2x
,由四棱锥
P?ABCD
的 侧面积,取得
x?2
,在平面
PAD
2
x?2
,
即 可求四棱锥
P?ABCD
的体
2
内作
PE?AD
,垂足为< br>E
.可得
PE?
平面
ABCD

PE?
积.

【详解】


1
)由已知
?BAP??CDP? 90?
,得
AB?AP

CD?PD


由于ABCD
,故
AB?PD
,从而
AB?
平面
PAD


AB
平面
PAB
,所以平面
PAB?< br>平面
PAD
.


2
)设
AB?PA?P D?x
,则
AD?2x
,所以
PA
2
?PD
2?AD
2


从而
?PAB

?PCD
也为等腰直角三角形,
?PBC
为正三角形,

于是四棱锥
P?A BCD
的侧面积
S?3?
1
2
3
x?(2x)
2< br>?6?23
,解得
x?2


24
在平面
P AD
内作
PE?AD
,垂足为
E


由(
1
)知,
AB?
平面
PAD
,故
AB?PE

可得
PE?
平面
ABCD

PE?
2
x?2


2
故四棱锥
P?ABCD
的体积
V< br>P?ABCD
?
【点睛】

118
AB?AD?PE??2?22?2?


333
本 题考查了面面垂直的判定与证明,以及四棱锥的体积的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑
推 理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,
着 重考查了推理与论证能力,属于基础题.





一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.下列函数中
,
在区间
(0,??)
上为增函数的是

A

y?x?1
B

y?(x?1)
2

D

y?log
0.5
(x?1)
C

y?2
?x

2
.记
S
n
为 等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和.若
a4
?a
5
?24

S
6
?60
,则等 差数列
?
a
n
?
的公差为(



A

1 B

2 C

4 D

8
3
.如图,在正方体
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
,点
P
在线段
BC1
上运动,则下列判断正确的是(





平面
PB
1
D?
平面
ACD
1


A
1
P
平面
ACD
1

异面直线
A
1
P

AD
1
所成角的取值范围是
?
0,
?

3
?
?
π
?
?

三棱锥
D
1
?APC
的体积不变

A

①② B

①②④ C

③④ D

①④
4
.在
?ABC
中,
?B?30

AB?23

AC?2
,则
?ABC
的面积是(



A

3
B

23
C

3

23
D

23

43

?
,则
△ABC

6
5

△ABC
中,三个内角
A

B

C
所对应的边分别为
a

b

c
,若
c

3

b

1

∠B< br>=
形状为(



A
.等腰直角三角形

C
.等边三角形

B
.直角三角形

D
.等腰三角形或直角三角形

6
.有一个容量为
200< br>的样本,样本数据分组为
[50,70)

[70,90)

[90,110)

[110,130)

[130,150)
,< br>其频率分布直方图如图所示
.
根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间
[90,110)
内的频数为







A

48 B

60 C

64 D

72
7
.在
?ABC
中 ,内角
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
.已知
a?5

b?7

c?8
,则
A?C?

A

90
?
B

120
?
C

135
?
D

150
?

8
.设
?

?

?
为平面,为
m

n

l
直线,则下列判断正确的是(



A
.若
?
?
?

?
B
.若
?
?
?l

m?l
,则
m?
?

?
?m

?
?
?

?
?
?,则
m?
?

C
.若
?
?
?

?
?
?

m?
?
,则
m?
?< br>
D
.若
n?
?

n?
?

m?
?
,则
m?
?

?
3x?y?5
?
9
.设实数
x,y
满足约束条件
?
x?4y??7
,则
z?x?4y
的最大值为(



?
x?2
?
A

?2
B

9 C

11 D

41

4
10
.某产品的广告费用
x
(
单位:万元
)
与销售额
y
(
单位:万元
)
的统计数据如下表:


?
?a< br>?

9.4
,据此模型预报广告费用为
6
万元时销售为
( )
?
?bx
?
中的
b
根据上表可得回归方程
y
A

63.6
万元

C

67.7
万元

B

65.5
万元

D

72.0
万元

,log
4
a
n
?
在函数
f
?
x
?
?x?3
的图像上 ,则
log
2
?
a
3
a
5
a
7< br>?
?



11
.已知正项数列
?
a
n
?
,若点
?
n
A

12 B

13 C

14 D

16
12
. 已知
S
n
.
为等比数列
{a
n
}
的前n
项和,若
a
2
?2

a
5
?16< br>,则
S
6
?
( )
A

31 B

32 C

63 D

64
二、填空题:本题共4小题
13
.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏, 它用九个圆环相连成串,以解开为胜
.
据明代杨慎



《丹铅总录》记载:

两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一
”.在某种玩法中,用
a
n
表示解
?
2a
n?1
? 1,n为偶数

n
?
n?9,n?N
?
个圆环所需的移动最 少次数,
?
a
n
?
满足
a
1
?1
,且
a
n
?
?
,则解下
2a?2,n为奇数
?n?1
*
4
个环所需的最少移动次数为
_____.
14.在等腰
ABC
中,
D
为底边
BC
的中点,
E

AD
的中点,直线
BE
与边
AC
交于点
F
,若
AD?BC?4
,则
AB·CF?
___________< br>.

15
.当函数
y?2cos
?
?3sin
?
取得最大值时,
tan
?
=__________


16
.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,
11
??1
,则
a
10
?
___ _______.
1?a
n?1
1?a
n
三、解答题:解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.如图,
AB
为圆
O
的直径,点
E

F
在圆
O
上,
AB
直, 已知
AB?2

EF?1
.
EF
,矩形
ABCD
和圆
O
所在的平面互相垂


1
)求证:平面
DAF?
平面
CBF



2
)当
AD?2
时,求多面体
EFABCD
的体 积
.
18
.某校准备从高一年级的两个男生
A,B
和三个女生a,b,c
中选择
2
个人去参加一项比赛
.

1)若从这
5
个学生中任选
2
个人,求这
2
个人都是女生 的概率;


2
)若从男生和女生中各选
1
个人,求这2
个人包括
A
,但不包括
a
的概率
.
19< br>.(
6
分)设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2

a
2
?6

a
n?2< br>?2a
n?1
?a
n
?2

n?N
?
.s

1
)证明:数列
?
a
n?1
?a
n
?
是等差数列,并求数列
?
a
n?1
?a
n< br>?
的通项;


2
)求数列
?
a
n
?
的通项,并求数列
?

3
)若
b
n?n?
?
?1
?
2
n
?
1
?
?
的前
n
项和
T
n


?
an
?
?
a
n
n
,且
?
b
n< br>?
是单调递增数列,求实数
?
的取值范围
.
20
. (
6
分)某企业生产的某种产品,生产总成本
f(x)
(元)与产量
x
(吨)(
0?x?80
)函数关系为
?
x
3
?5 0x
2
?ax,0?x?30
f(x)?
?
2
,且函数f(x)

[0,80]
上的连续函数

?
x?250 x?3600,30?x?80

1
)求
a
的值;




2
)当产量为多少吨时,平均生产成本最低?

21
.(
6
分)已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)
?
A?0,
?
?0,|
?
|?
?
?
?
?
2
?
?
在一个周期内的图像经过点
?
??
?
,4
?

12
??
?
?
5
?
?
,?4
?
,且
f(x)
的图像有一条对称轴 为
x?
.

?
12
?
12
?

1
)求
f(x)
的解析式及最小正周期;


2
)求
f(x)
的单调递增区间
.
22
.(
8
分)已知
?ABC
的三个内角
A

B,且满足
2bcosA?acosC?ccosA
.
C
的对边分别为< br>a

b

c


1
)求角
A
的大小;


2
)若
b?3

c?4

BD?2DC
,求
AD
的长




参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1

A
【解析】

试题分析:对
A
,函 数

B


C


D

故选
A.
考点:函数的单调性,容易题
.
2

B
【解析】

【分析】

利用等差数列的前
n
项和公 式、通项公式列出方程组,能求出等差数列
{a
n
}
的公差.

【详解】


S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和,




在上为增函数,符合要求;

上为减函数,不符合题意;

上的减函数,不符合题意;

上为减函数,不符合题意
.
a
4
?a
5
?24< br>,
S
6
?60



?
a
1
?3d?a
1
?4d?24
?

?


6?5
6a
1
?d?60
?
2< br>?
解得
d=2,a
1
=5



等差数列
?
a
n
?
的公差为
2.
故选:
B.
【点睛】

本题考查等差数列的公差,此类问题根据题 意设公差和首项为
d

a
1
,列出方程组解出即可,属于基础题.
3

B
【解析】

【分析】


连接
DB
1
,容易证明
DB
1

ACD
1
,从而可以证明面面垂直;


连接
A1
B

A
1
C
1
容易证明平面
BA< br>1
C
1


ACD
1
,从而由线面平行的定 义可得;


分析出
A
1
P

AD
1
所成角的范围,从而可以判断真假;


V
A?D
1< br>PC
=
V
A?CD
1
P

C
到面< br> AD
1
P
的距离不变,且三角形
AD
1
P
的面积不变;

【详解】

对于

,连接
DB1
,根据正方体的性质,有
DB
1


ACD
1

DB
1
?
平面
PB
1
D
, 从而可以证明平面
PB
1
D⊥


ACD
1
,正确.


连接
A
1
B

A
1
C
1
容易证明平面
BA
1
C
1


ACD
1
,从而由线面平行的定义可得
A
1
P∥
平面
ACD
1
,正确.


P
与线段
BC
1
的两端点重合时,
A
1P

AD
1
所成角取最小值

P
与线段
BC
1
的中点重合时,
A
1
P

AD
1
所成角取最大值

A
1
P

AD
1
所成角的范围是
?

?
,错误;

32

V
A?D
1
PC
=
V
A?CD
1
P
C
到面
AD
1
P
的距离不变,且三角形
AD
1
P
的面积不变.


三棱锥
A

D
1
PC
的体积不变,正确;

正确的命题为
①②④


故选
B


?


3
?


2
?
??
?
??




【点睛】

本题考查空间点、线、面的位置关系,空间想象能力,中档题.

4

C
【解析】

【分析】

先根据正 弦定理求出角
C
,从而求出角
A
,再根据三角形的面积公式
S?【详解】

解:由
c?AB?23

b?AC?2
,< br>?B?30?


1
bc
23?
?
根据正弦 定理得:
sinC?
csinB
?
2
?
3


sinBsinC
b22
1
bcsinA
进行求解即可.

2
?C
为三角形的内角,

??C?60?

120?


??A?90?

30


?ABC
中,由
c?23

b?2

?A?90?

30


?ABC
面积
S?
故选
C.
【点睛】

本题主要考查了正弦定理,三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的
关键,属于中档题.

5

D
【解析】

试题分析:在
?ABC
中,由正弦定理可得
1
bcsinA?23

3


2
csinB
sinC??
b
3 ?sin
1
?
?
3
C?
,因为,所以
0?C??
6
?
3
2

2
?
?
?,所以
A?
或,所以
?ABC
的形状一定为等腰三角形或直角三角形,故 选
D


32
6
考点:正弦定理.

6

B



【解析】

【分析】


(0.0050?0.0075?0.0100?0.0125 ?a)?20?1
,求出
a
,计算出数据落在区间
[90,110)
内的频率,
即可求解
.
【详解】


(0.0050?0.0075?0.0100?0.0125?a)?20?1
,
解得
a?0.015



所以数据落在区间
[9 0,110)
内的频率为
0.015?20?0.3


所以数据落 在区间
[90,110)
内的频数
200?0.3?60


故选
B.
【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图,频率、频数,属于中档题
.
7

B
【解析】

【分析】

由已知三 边,利用余弦定理可得
cosB?
可求
A?C
的值.

【详解】


?ABC
中,
1
,结合
b? c

B
为锐角,可得
B
,利用三角形内角和定理即
2
a?5

b?7

c?8


a
2?c
2
?b
2
25?64?491
?
由余弦定理可得:
cosB???


2ac2?5?82
b?c
,故
B
为锐角,可得
B?60?


?A?C?180??60??120?
,故选
B


【点睛】

本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用.

8

D
【解析】

【分析】

根据线面、面面有关的定理,对四个选项逐一分析,由此得出正确选项
.
【详解】

A
选项不正确,因为根据面面垂直的性质定理,需要加上:
m
在平面
?
内或者平行于
?
,这个条件,才



m
?
或者
m?
?
.D
能 判定
m?
?
.B
选项不正确,因为
m
可能平行于
?
.C
选项不正确,因为当
?
?
?
时,
选项正确,根 据垂直于同一条直线的两个平面平行,得到
?

?
,直线
m?
?
,则可得到
m?
?
.
综上所
述,本小题选
D.
【点睛】

本小题主要考查空间线面、面面位置关系有关命题真假性的判断,属于基础题
.
9

C
【解析】

【分析】

由约束条 件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目
标函数得 答案.

【详解】

作出约束条件表示的可行域如图,


化目标函数
z?x?4y

y??
xz
?


44
?
x?2
?
9
?
A
联立
?
,解得
?
2,
?


?
4
?< br>?
x?4y??7
由图可知,当直线
z?x?4y
过点
?2,
?
时,
z
取得最大值
11


故选:
C.
【点睛】

本题主要考查线性规划中,利用可行域求目 标函数的最值,属于简单题
.
求目标函数最值的一般步骤是


画、 二移、三求

:(
1
)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(
2
)找到目标函数对应的最优解对应
点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后 通过的顶点就是最优解);(
3
)将最优解坐标代
入目标函数求出最值
.
10

B
【解析】

?
?
9
?
4
?



【详解】

试题分析:
x?
4?2?3?549?26?39?54
?3.5,y??42
,回归直线必过点
44
解得,所以回归方程为
,即
.当时
.将
?
?a
?
?bx
?
可得< br>其代入
y
,所以预报广告费用为
6
万元时销售额为
65.5< br>万元

考点:回归方程

11

A
【解析】

【分析】

由已知点在函数图象上求出通项公式,得a
3
a
5
a
7
,由对数的定义计算.

【详解】

n?3
由题意
log
4
a
n< br>?n?3

a
n
?4


024612
a
3
a
5
a
7
?4?4?4?4?2


12

log
2
(a
3
a
5
a
7
)?log
2
2?12


故选:
A.
【点睛】

本题考查数列的通项公式,考查对数的运算.属于基础题.

12

C
【解析】

【分析】

首先根 据题意求出
a
1

q
的值,再计算
S
6
即 可
.
【详解】

?
a
2
?a
1
q?2
?
a
1
?1
有题知:
?
,解得
?< br>,

4
a?aq?16
q?2
1
?
?
5
1?2
6
S
6
??2
6
?1?63
.
1?2
故选:
C
【点睛】

本题主要考查等比数列的性质以及前
n
项和的求法,属于简单题
.
二、填空题:本题共4小题
13

7
【解析】



【分析】

利用
?
a
n
?
的通项公式,依次求出
a
2,
a
3
,从而得到
a
4
,即可得到答案。

【详解】

由于
a
n
表示解下
nn?9,n?N
?
*
?
个圆环所需 的移动最少次数,
?
a
?
满足
a
n
1
?1
,且
?
2a?1,n为偶数
a
n
?
?
n? 1

?
2a
n?1
?2,n为奇数
所以
a
2
?2a
1
?1?2?1?1?1

a
3
?2a< br>2
?2?2?1?2?4



a
4
?2a
3
?1?2?4?1?7
,所以解下
4
个环所需的最少移动次数为< br>7
故答案为
7.
【点睛】

本题考查数列的递推公式,属于基础题。

14

?8


【解析】

【分析】

题中已知等腰
ABC
中,
D
为底边BC
的中点
AD?BC?4
,不妨于
BC

x
轴,垂直平分线为
y
轴建
立直角坐标系,这样,我们能求出
ABCDE
点坐标,根据直线
BE

AC
求出交点
F
,求向量的数量 积即

.
【详解】


如上图,建立直角坐标系,我们可 以得出
A(0,4),B(?2,0),C(2,0),E(0,2)

直线
BE:y?x?2

AC:y??2x?4
联立方程求出
F(,)
,
28
33
28
?AB?(?2,?4),CF?(,)
,

ABCF??8

33
填写
?8

【点睛】

本题中因为已知底边及高的长度,所有我们建立直角坐标系,求出相应点坐 标,而作为
F
点的坐标我们可



以通过直线交点求出,把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观
.
15

?
3

2
【解析】

【分析】

利用辅助角
?
将函数利用两角差的正弦公式进行化简,求 得函数取得最大值时的
?

?
的关系,从而求得
sin
?< br>,
cos
?
,可得结果
.
【详解】

2< br>3
?
2
?
sin
?
?
y?2cosα?3s inα?13cos
?
?sin
?
?13sin
?
?
?
因为函数,
??
,其中
??
13
1313
??
cos
?
?
3
?
?
?
,,当
?
?
?
?
时,函数
y?2cosα?3sinα
取得最大值, 此时
?
?
?
13
22
?
?

si n
?
?sin?
3

2
3
故答案为
?

2

tan
?
??
【点睛】

?
2
??cos
?
??
3
?
2
cos
??cos?
?
??sin
?
?
,,

2
1313
本题考查了两角差的正弦公式的逆用,着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质,属于中 档题
.
16

?
17

19
【解析】

【分析】

?
1
?
1
数列
??
为以

为首项,
1
为公差的等差数列。

2
?
1?a
n
?
【详解】

因为
a
1
?1,
所以
11
?

1?a
1
2

11
??1

1?a
n?1
1?a
n
所以数列
?
?
1
?
1< br>?
为以

为首项,
1
为公差的等差数列。

2
?
1?a
n
?
11
=n?

所以
1?a
n
2



所以
111917
=10?=?a
10
=?

1?a
10
2219
故填
?
17

19
【点睛】

本题考查等差数列,属于基础题。

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17

(1)
证明见解析;
(2)
【解析】

【分析】


1
)由题可得
AF?CB

AF?BF
,从而可得AF?
平面
CBF
,由此证明平面
DAF?
平面
CBF



2
)过
F

FH
53

6?AB

AB

H
,所以
FH
为四棱锥
F?ABCD
的高,多面体
EFABCD
的体积
?V
F?ABCD
?V
C?BEF
,利用体积公式即可得到答案.

【详解】


1
)证明:

平面
ABCD?
平面
AB EF


矩形
ABCD

CB?AB
,平面
ABCD
平面
ABEF?AB



CB?
平面
ABEF


AF?
平面
ABEF

∴< br>AF?CB




AB
为圆
O
的 直径,

AF?BF
,又
BF?BC?B


AF ?
平面
CBF



AF?
平面
ADF< br>,平面
DAF?
平面
CBF



2
)过
F

FH?AB

AB

H


由面面垂直性质可得
FH?
平面
ABCD
,即FH
为四棱锥
F?ABCD
的高,


OEF
是边长为
1
的等边三角形,可得
FH?
3


2< br>又正方形
ABCD
的面积为
4


V
F?A BCD
?
1323
.
?4??
323
1133
.
V
C?BEF
???1??2?
3226



所以
V
EFABCD
?
【点睛】

23353
.
??
366
本题主要考查面面垂直的证明,以及求多 面体的体积,要求熟练掌握相应判定定理以及椎体、柱体的体积
公式,属于中档题.

18
.(
1

1
3



2

.
10
3
【解析】

【分析】


1
)写出从
5
个学生中任选
2
个人的所有等可能基本事件,计算事件
2
个人都是女生所含的基本事件个
数 ;


2
)写出从男生和女生中各选
1
个人的所有等可能基 本事件,计算事件
2
个人包括
A
,但不包括
a
所含
的基本事件个数
.
【详解】


1
)由题意知,从
5
个学生中任选
2
个人,其所有等可能基本事件有:

?
A,B
?

?
A,a
?

?
A,b
?

?
A,c
?

?
B,a
?

?
B,b
?

?
B,c
?

?
a,b
?

?
a,c
?

?
b, c
?
,共
10

,

2
个人都是女生的 事件所包含的基本事件有
?
a,b
?

?
a,c
?

?
b,c
?
,共
3

,
则所求事件的概率为
P?
3
.
10

2
)从男生和女生中各选
1
个人,其所有可能的结果组成的基本事件有
?
A,a
?

?
A,b
?

?
A,c
?< br>,
?
B,a
?

?
B,b
?
?
B,c
?
,共
6

,
包括
A,但不包括
a
的事件所包含的基本事件有
?
A,b
?

?
A,c
?
,共
2

,
则所求事件的概率为
P?
【点睛】

本题的两问均考查利用古典概型 的概率计算公式,求事件发生的概率,求解过程中要求列出所有等可能结
果,并指出事件所包含的基本事 件个数,最后代入公式计算概率
.
19
.(
1
)证明见解析,a
n?1
?a
n
?2
?
n?1
?
;(
2

a
n
?n
?
n?1
?
T
n
?

3

?
?,
【解析】

【分析】


1
)利用等差数列的定义可证明出数列
?
a
n?1
?a
n
?
是等差数列,并确定该数列的首项和公差 ,即可得出数
21
?
.
63
n


n?1
?
35
?
?
.
57
??




?
a
n?1
?a
n
?
的通项;


2
)利用累加法求出数列
?
a
n
?
的通 项,然后利用裂项法求出数列
?
n
?
1
?
?
的前< br>n
项和
T
n


?
a
n
?

3
)求出
b
n
?n
2
?
??1
?
?
?
?
n?1
?
,然后分
n< br>为正奇数和正偶数两种情况分类讨论,结合
b
n?1
?b
n
可 得
出实数
?
的取值范围
.
【详解】


1

a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?2< br>,等式两边同时减去
a
n?1

a
n?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
?2


?< br>?
a
n?2
?a
n?1
?
?
?
a< br>n?1
?a
n
?
?2
,且
a
2
?a
1
?4


所以,数列
?
a
n?1
?a
n
?
是以
4
为首项,以
2
为公差的等差数列 ,

因此,
a
n?1
?a
n
?4?2
?< br>n?1
?
?2
?
n?1
?


(< br>2

a
n?1
?a
n
?2
?
n?1
?


?
?
a
n
?a
n?1?
?2?4?6?
2?2n
?
n
?
?2n?
2
?a
n
?a
1
?
?
a
2
?a1
?
?
?
a
3
?a
2
?
?< br>?n
?
n?1
?

?
1111
???


a
n
n
?
n?1
?
nn?1
11111111n
?T
n
?1?????????1??

< br>22334nn?1n?1n?1
n
?
a
n
n
2?n
2
?
?
?1
?
?
?
?
n ?1
?
.

3

b
n
?n?
?
?1
?
n

n
为正奇数时,
b
n
?n?
?
?
n?1
?

b
n?1
?
?
n?1
?
?
?
?
n?2
?


2
2

b
n?1
?b
n
,得
?< br>n?1
?
?
?
?
n?2
?
?n
2< br>?
?
?
n?1
?
,可得
?
??
由于 数列
?
2
2n?12
??1


2n?32n?3
23
?
2
?
?1
?
为单调递减数列,
?< br>?
??1??


55
?
2n?3
?
2
2

n
为正偶数时,
b
n
?n?
?< br>?
n?1
?

b
n?1
?
?
n?1
?
?
?
?
n?2
?



b
n?1
?b
n
,得
?
n?1
?
??
?
n?2
?
?n
2
?
?
?
n?1
?
,可得
?
?
由于数列
?
1?
2< br>2n?12
?1?


2n?32n?3
?
?
2
?
25
?
?
?1??
.
为单调递增数列,< br>?
2n?3
?
77
?
35
?
?
.
?
57
?
因此,实数
?
的取值范围是
?
? ,
【点睛】

本题考查利用等差数列的定义证明等差数列,同时也考查了累加法求通项 、裂项求和法以及利用数列的单



调性求参数,充分利用单调性的定义来求解,考查运算求解能力,属于中等题
.
20

(1)
a?1000

(2)
当产量
x?60
吨,平均生产成本最低
.
【解析】

【分析】


1
)根据函数连续性的定义,可得在分段处两边的函数 值相等,可得
a
的值;(
2
)求出平均成本的表达
式,结合二次函数 和基本不等式,可得平均生产成本的最小值点.

【详解】

322

1
)设
g
1
(x)?x?50x?ax,x?[0,30]

g
2
(x)?x?250x?3600,x?(30,80]

由函数
f(x)

[0,80]
上的连续函数
.

g
1
(30)?g
2
(30)
,代入得
a?10 00


2
)设平均生产成本为
G(x)

?
x
2
?50x?1000,x?[0,30]
f(x)
?G(x)??
?
3600


x
?250,x?(30 ,80]
?
x?
x
?

x?[0,30]
中,G(x)?x?50x?1000
,函数连续且在
[0,25]
单调递减,
[25,30]
单调递增

2
即当
x?[0,30]
,< br>G(x)

?G(25)?375



x?(30 ,80]

G(x)?x?
3600
36003600
?250,由
x??2x??120
,当且仅当
x?60
取等号,即
x< br>xx

x?(30,80]

G(x)

?G(60 )?120?250?370


综上所述,当产量
x?60
吨,平均生产成本最低
.
【点睛】

本题考查的知识点是分段函数的应用,二次函数的图象和性质,基本不等式 求最值,属于中档题
.
21
.(
1

f(x)?4sin
?
3x?
【解析】

【分析】


1)由函数的图象经过点
?
?
?
?
?
4
?
?

?
?
2k
??
2k
?
?
2
?
,?(k?Z)
.
;(
2

?
??< br>?
3
43123
??
?
?
?
?
,4
?

f

x
)的图象有一条对称轴为直线
x?

12
12
??
可得最大值
A
,且能得周期 并求得
ω
,由五点法作图求出
?
的值,可得函数的解析式.


2
)利用正弦函数的单调性求得
f

x
)的单调递增区 间.

【详解】



?

fx

ω

0

?


1)函数(=
Asin

ωx+


A

0


f

x
)的图象有一条对称轴为直线
x?
故最大值
A

4
,且
?
2
)在一个周期内 的图象经过点
?
?
?
?
?
?
5
?
?4
?

,4
?

?

?
?12
?
?
12
?
12


T5
???
???
,
212123
2
?


3
2
?
∴ω
?

1


T

T?
所以
f(x)?4sin(3x?
?
)
.
因为
f(x)
的图象经过点
?
所以
?
?
?
?
?
?
??
,4
?
,所以
4?4sin< br>?
3??
?
?


?
12
?
?
12
?
?
?2k?

k?Z
.
4< br>?
?
因为
|
?
|?
,所以
?
?

24
所以
f(x)?4sin
?
3x?
?
?
?
?
?
.
4
?

2
)因为
f(x)?4sin
?
3x?
所以
?
?
?< br>?
?
4
?
?
,所以
?
?
2
?2k
?
?3x?
?
4
?
?
2
?2k?

k?Z


?
4
?
2k
??
2k
?
?x??

k?Z


312 3
?
?
2k
??
2k
?
?
?,?(k?Z )
.
?
43123
??

f(x)
的单调递增区 间为
?
?
【点睛】

?
)的性质求解析式,通常由函数的最 大值求出
A
,由周期求出
ω
,由本题主要考查由函数
y
=< br>Asin

ωx+

五点法作图求出
?
的值,考查了正弦型函数的单调性问题,属于基础题.

22
.(
1

A?
【解析】

【分析】


1
)利用正弦定理化简已知可得:
2sinB cosA?sinAcosC?sinCcosA
,结合两角和的正弦公式及诱
导公式可得:< br>2cosA?1
,问题得解
.

2
)利用
BD?2 DC
可得:
AD?

.
【详解】


?
3
;(
2

AD?
219
.
3
12
AB?AC
,两边平方并结合已知及平面向量数量积的定义即可得
33



解:(
1
)因为
2bcosA?acosC?ccosA


所以由正弦定理可得

2sinBcosA?sinAcosC?sinCcosA
,

2sinBcosA?sin(A?C)?sinB
,
因为
s inB?0
,
所以
2cosA?1

cosA?
1


2
A?(0,
?
)
,

A?
?
3
.

2
)由已知得
AD?
12
AB?AC


33

22
144
所以
AD?AB?ABAC+AC

999< br>2
?
164
?
476
??4?3cos??9?
,
99399
219
.
3
所以
AD?
【点睛】

本题主要考查了正弦定理的应用及 两角和的正弦公式,还考查了利用平面向量的数量积解决长度问题,考
查转化能力及计算能力,属于中档 题.





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