2018吉林省延边州高中数学会考答案-高中数学必修五解答题及答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.在平面直角坐标系
A
1
?xy
中,直线
xy
??
1
与
x
、
y
轴分别交于点
A
2
、
A
3
,记以点
A
i
(i?1,2,3)
为
34圆心,半径为
r
的圆与三角形
A
1
A
2
A3
的边的交点个数为
M.
对于下列说法:
①
当
i?1<
br>时,若
M?3
,则
r?
12
;
②
当
i?2
时,若
0?r?4
,则
M?2
;
③
当
i?3
时,
M
不可能等于
3
;
④M
的值可以为<
br>0
,
5
B
.
2 C
.
3
D
.
4
1
,
2
,
3
,
4
,
5.
其中正确的个数为(
)
A
.
1
2
.已知函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
,其中
a,b,c
为整数,若
f(x)
在(0,1]
上有两个不相等的零点,
则
b
的最大值为
(
)
A
.
?3
B
.
?4
C
.
?5
D
.
?6
3
.在
A
BC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别是
a
,
b
,
c
,若
c
2
?(a?b)
2
?6
,
C?
面积是( )
A
.
3
B
.
?
3
,则
ABC
的
93
2
C
.
33
2
D
.
33
?
?
x?1,x?2
4
.已知函数
f(x)?
?
,则
f(1)?f(9)?
(
)
?
?
f(x?3),x?2
A
.
?1
B
.
?2
C
.
6
D
.
7
<
br>5
.函数
y?sinx?cosx?sinx?cosx
的最大值为(
)
A
.
7
2
B
.
?
7
2
C
.
1
?2
2
D
.
1
?2
2
,记数列
{b
n
}
的前
n
项为
T
n
,则2
6
.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
?n?n?1
,令
b
n
?a
ncos
?
n?1
?
?
2
T
2019
?
(
)
A
.
2020
B
.
2019
C
.
2018
D
.
2017
7
.在
?ABC
中,若
s
in2A?sin2C
,则
?ABC
的形状是(
)
A
.等边三角形
C
.直角三角形
B
.等腰三角形
D
.等腰三角形或直角三角形
8
.已知向量
a
=(3
,
4)
,
b
=(2
,
1)
,则向量
a
与
b
夹角的余弦值为
(
)
A
.
25
5
B
.
?
5
5
C
.
25
25
D
.
115
25
9
.某校从高一年
级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成
6
组:
[40,50),
[50,60), [60,70),
[70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生
600
名,据此
估计,该模块测试成绩不少于
60
分的学生人数为(
)
A
.
588 B
.
480 C
.
450
D
.
120
10
.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形
,且侧棱垂直于底面)高为
4
,体积为
16
,
则这个球的表面积是(
)
A
.
16
?
B
.
20
?
C
.
24
?
D
.
32
?
11
.已知函数
f (x)
=
Asin(ωx
+
φ)(A
>
0
,
ω
>
0
,
0<
?
≤
?
)
的图象如下,则点
P(
?
,
?
)
的坐标是
( )
2
A
.
(
C
.
(
1
?
,
)
3
6
?
?
,
)
6
3
B
.
(
D
.
(
1
?
,
)
3
3
??
,
)
33
12
.从
1
,
2
,
3
,
…
,
9
这个
9
个数中任取
5
个不同的数,则这
5
个数的中位数是
5的概率等于(
)
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题
13
.若
sin
?
?
1
?
?
?
,则
cos
?
?
?
?<
br>?
_________.
3
?
2
?
14
.
已知向量
a?
?
3,k
?
,
b?
?
2,4
?
,若
ab
,则
k?
______
;若
a
?b
,则
k?
______.
15
.若直线
l:y?x?
m
上存在满足以下条件的点
P
:
过点
P
作圆
O:x
2
?y
2
?1
的两条切线
(
切点分别为
A
,B
),
四边形
PAOB
的面积等于
3
,则实数
m
的取值范围是
_______
16
.已知三棱锥
S?ABC
(如图所示),
SA?
平面
ABC
,
AB?6
,
BC?8
,
AC?SA?10
,则此三
棱锥的外接球的表面积为
__
____
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.已知直线
l
:
x+3y
﹣
2
=
1
.
(<
br>1
)求与
l
垂直,且过点(
1
,
1
)直线方
程;
(
2
)求圆心为(
4
,
1
),且与
直线
l
相切的圆的方程.
A
1
B
1
C<
br>1
中,侧棱
AA
1
?
底面
ABC
,
AB?BC
,
D
为
AC
的中点,
18
.如图所示,
在三棱柱
ABC-
AA
1
=AB=2,BC=3
.
(
1
)求证:
AB
1
平面
BC
1D
;
(
2
)求
AB
1
与
B
D
所成角的余弦值.
19
.(
6
分)如图
1,在
Rt?PDC
中,
?D?90?
,
A
,
B
,
E
分别是
PD
,
PC
,
CD
中
点,
PD?4
,
CD?22
.
现将
?PAB
沿AB
折起,如图
2
所示,使二面角
PABC
为
120?
,
F
是
PC
的中点
.
(
1
)求证:面
PCD?
面
PBC
;
<
br>(
2
)求直线
PB
与平面
PCD
所成的角的正弦值<
br>.
2
20
.(
6
分)已知函数
g(x)?x?2a
x?1
,且函数
y?g(x?1)
是偶函数,设
f(x)?
g(x)
x
(1)
求
f(x)
的解析式;
(2
)
若不等式
f(lnx)?mlnx
≥0
在区间
(1
,e
2
]
上恒成立,求实数
m
的取值范围;
x
(3)
若方程
f(2?1)?k?
2<
br>?2?0
有三个不同的实数根,求实数
k
的取值范围.
x<
br>2?1
3,cos
?
x
,
b?
?
sin?
x,?1
?
.
函数
f
?
x
?
?a?b
的图象关于直线
x??
21
.(
6
分)已知向量
a?
且
?
?
?
1,3
?
.
??
?
6
对称,
(
1
)求函数
f
?
x
?
的表达式:
(
2
)求函数
f
?
x
?
在区间
?
?
?
??
?
,
?
上的值域
.
126
??
22
.(
8
分)
如图,在四棱锥
P
﹣
ABCD
中,底面
ABCD
为平行四边
形,且
∠BAP
=
∠CDP
=
90°
(
1
)证明:平面
PAB⊥
平面
PAD
;
(
2
)若
PA
=
PD
=
AB
=<
br>2
AD
,且四棱锥的侧面积为
6+2
3
,求四校锥
P
﹣
ABCD
的体积.
2
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
B
【解析】
【分析】
作出直线
xy
??1
,可得
A
1
(0,0)
,
A<
br>2
(3,0)
,
A
3
(0,4)
,分别考虑圆心和半
径
r
的变化,结合图形,即
34
可得到所求结论.
【详解】
作出直线
xy<
br>??1
,可得
A
1
(0,0)
,
A
2
(3,0)
,
A
3
(0,4)
,
34
①
当
i?1
时,若
M?3
,当圆
x
2
?y
2
?r
2
与直线相切,可得
r?
当圆经过点
(3,
0)
,即
r?3
,
则
r?
12
;
5
12
或
r?3
,故
①
错误;
5
②
当
i?2
时,若
0?r?4
,圆
(x?3)<
br>2
?y
2
?r
2
,当圆经过
O
时,
r?3
,交点个数为
2
,
r?4
时,交点个数为
1
,则
M?2
,故
②
正确;
③
当
i?3
时,圆
x
2
?(y?4)
2
?r
2
,随着
r
的变化可得交点个数为
1
,
2
,
0,
M
不可能等于
3
,故
③
正确;
④
M
的值可以为
0
,
1
,
2
,<
br>3
,
4
,不可以为
5
,故
④
错误
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用,考查直线和圆的位置关系,考查分析能力和计算能力
.
2
.
A
【解析】
【分析】
利用一元
二次方程根的分布的充要条件得到关于
a,b,c
的不等式,再由
a,b,c
为整数,可得当
ac
取最小时,
b
取最大,从而求得答案
.
【详解】
∵
f(x)
在
(0,1]
上有两个不相等的零点,
?
b
2
?4ac?0,
?
b??2ac,
?
?<
br>?2a?b??2ac,
?
b
?
?
?1,
?
0??
?
?2a?b?0,
?
?
∴
?
2
a
?
?
1?c?a,
?
c?0,a?0,
?
c?0
,a?0,
?
a?b?c?0,
?
?
?
a?b?c?0,<
br>?
?
?
a?b?c?0,
∵?2a?b??2ac
,
∴
当
ac
取最小时,
b
取最大,
∵
两个零点的乘积小于
1
,
∴
0?
c
?
1
?
0
?c?a
,
a
∵
a,b,c
为整数,令
c?1,a?2
时,
b
max
??3
,满足
a?b?c?0
.
故选:
A.
【点睛】
本题考查一元二次函数的零点,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考
查逻辑推理能力和运算求解能
力,求解时注意
a,b,c
为整数的应用
.
3
.
C
【解析】
【分析】
根据题意
,利用余弦定理可得
ab
,再利用三角形面积计算公式即可得出答案.
【详解】
由
c
2
=(
a
﹣
b<
br>)
2
+6
,可得
c
2
=
a
2
+b
2
﹣
2ab+6
,
由余弦定理:
c
2
=
a
2
+b
2
﹣
2abcosC
=<
br>a
2
+b
2
﹣
ab
,
所以:a
2
+b
2
﹣
2ab+6
=
a
2+b
2
﹣
ab
,
所以
ab
=
6
;
则
S
△ABC
?
1
33
absinC
?
;
2
2
故选:
C
.
【点睛】
本
题考查余弦定理、三角形面积计算公式,关键是利用余弦定理求出
ab
的值
.
4
.
A
【解析】
【分析】
由题意结
合函数的解析式分别求得
f
?
1
?
,f
?
9
?
的值,然后求解两者之差即可
.
【详解】
由题意可得:f
?
1
?
?f
?
4
?
?4?1?3<
br>,
f
?
9
?
?9?1?4
,
则
f(1)?f(9)?3?4??1
.
故选:
A.
【点睛】
求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入
该段的解析式求值,当出现
f(f(a))
的形式时,应从内到外依次求值.
5
.
D
【解析】
【分析】
t
2
?1
令
sinx?cosx?t
,根据正弦型函数的性质可得
t?2sin(x?)
,那么
sinxcosx?
,可将问题
4
2
转化为二次函数在定区间上的最
值问题.
【详解】
由题意,令
sinx?cosx?t
,可得
t?
?
2sin(x?)
,
t?[?2,2]
,
4
?
t
2
?1
∴
sinxcosx?
,
2
∴
原函数的值域与函数
y?
1
2
11
t?t??(t?1)
2
?1
的值域相同.
222
1
?2
.
2
∵
函数图象的对称轴为
t??1
,
?t?2
,
y
取得最大值为
故选:
D
.
【点睛】
本题考查三角函数中的恒等变换、函数的值域,考查函数与方程思想、转化
与化归思想,考查逻辑推理能
力和运算求解能力,求解时注意换元法的使用,将问题转化为二次函数的值
域问题
.
6
.
B
【解析】
【分析】
由数列
{a
n
}
的前
n
项和求通项,再由数列的周
期性及等比数列的前
n
项和求解.
【详解】
2
因为
S
n
?n?n?1
,
当
n?1
时,得
a
1
?1
;
当
n?2
,且
n?N*
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?n
2
?n?1?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?1?2n?2
,
a
1
?1
不满足上式,
2
1
?
?1,n=
1,n=1
?
?
∴
a
n
?
?
,
所以
b
n
?
?
,
n?1
?
?<
br>?
2n?2,n?2,n?N*
,n?2,n?N*?
?
?
?
2n?2
?
cos
2
?
当
n?2,n?N* 时,
b
n
?
?
2n?2
?
cos
?<
br>n
?
?
n
??
?
?
?
??
?
2n?2
?
sin
;
222
??
当
n
是偶数时,
n
?
n
?
n
?0
,所以
b
n
??
?
2n?2?
sin?0
;
为整数,则
sin
2
22<
br>故对于任意正整数
k
,均有:
b
4k?2
?b4k?1
?b
4k
?b
4k?1
?0?
?
8k?4
?
sin
?
4k?1
?
?
?0?
8ksin
?
4k?1
?
?
22
?
?<
br>?
???
?0?
?
8k?4
?
sin
?2k
?
?
?
?0?8ksin
?
2k
?
?
?
2
?
2
???
?
?
?<
br>?
?0?
?
8k?4
?
sin
?
?
?
?0?8ksin
2
?
2
?
?0+
?
8k?4
?
?0?8k??4,k?N*
因为
2019?4?504?3
,
所以
T
201
9
=b
1
?
?
b
2
?b
3
?b<
br>4
?b
5
?
?
?
b
6
?b
7
?b
8
?b
9
?
?...
?
?
b
2014
?b
2015
?b
2016
?b2017
?
?b
2018
?b
2019
?
?1?
?
?4
?
?504?b
2018
?b
201
9
?b
2018
?b
2019
?2017
.
因为
2018
为偶数,所以
b
2018
?0
,
而
b
2019
??
?
2?2019?2
?
sin
2019
?
3
?
?
??4036sin
?<
br>1008
?
+
22
?
3
?
?
??4
036sin=4036
,
?
2
?
所以
T
2019
?4036?2017?2019
.
故选:
B
.
【点睛】
本题考查数列的函数概念
与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和,解题的关键是当
n?2,n?N* 时,
b
n
??
?
2n?2
?
sin
难
题.
7
.
D
【解析】
【分析】
<
br>n
?
,和
b
4k?2
?b
4k?1
?b4k
?b
4k?1
??4,k?N*
的推导,本题属于
2
sin2A?sin2C?sin2A?sin(
?
?2C)
,两种情况对应求解<
br>.
【详解】
sin2A?sin2C?sin2A?sin(
?
?2C)
所以
A?C
或
A?C?
?
2
故答案选
D
【点睛】
本题考查了诱导公式,漏解是容易发生的错误
.
8
.
A
【解析】
【分析】
由向量的夹角公式计算.
【详解】
22
由已知
a?3?4?5
,
b?5<
br>,
a?b?3?2?4?1?10
.
∴
cos?a,b??
故选
A
.
【点睛】
a?b
ab
?
1025
?
.
5
5?5
本题考查平面向量的数量积,掌握数量积公式是解题基础.
9
.
B
【解析】
试题分析:根据频率分布直方图,得;
该模块测试成绩不少于
60
分的频率是
1-
(
0.005+0.01
5
)
×10=0.8
,
∴
对应的学生人数是
600×0.8
=480
考点:频率分布直方图
10
.
C
【解析】
【分析】
根据正四棱柱的底面是正方形
,高为
4,
体积为
16,
求得底面正方形的边长
,
再求出
其对角线长
,
然后根据正四
棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径
,<
br>再根据球的表面积公式可求得
.
【详解】
依题意正四棱柱的体对角线
BD
1
是其外接球的直径
,
BD
1
的中点
O
是球心
,
如图
:
依题意设
AB?BC?
x
,
则正四棱柱的体积为
:
4x
2
?16
,
解得x?2
,
所以外接球的直径
2R?
所以外接球的半径
R?
故选
C.
【点睛】
本题考查了球与正四棱柱的组合体
,
球的表面积公式,
正四棱柱的体积公式
,
属中档题
.
11
.
C
【解析】
【分析】
由函数
f
(
x
)的部分图象求得
A
、
T
、
ω
和
φ
的值即可.
【详解】
由函数
f
(
x
)=
Asin
(
ωx+φ
)的部分图象知,
A
=
2
,
T
=
2×
(
4
﹣
1
)=
6
,
∴ω
?
x2
?x
2
?4
2
?4?4?16?24?26
, 6
,
则这个球的表面积是
4
?
R
2
?24?
.
2
??
?
,
T3
又
x
=
1
时,
y
=
2
,
?
?
?
φ
??
2kπ
,
k∈Z
;
3
2
?
∴φ
??
2kπ
,
k∈Z
;
6
??
又
0
<
φ
?
,
∴φ
?
,
26
?
?
∴
点
P
(
,).
36
∴
故选
C
.
【点睛】
已知函数
y?Asin(
?
x?
?)?B(A?0,
?
?0)
的图象求解析式
y
max
?y
min
y?y
min
.
,B?
max
22
2
?
.
(2)
由函数
的周期
T
求
?
,T?
?
(1)
A?
(3)
利用
“
五点法
”
中相对应的特殊点求
?
.
12
.
C
【解析】
设事件试题分析:
种,事件
故应选
.
2
,
3,
…
,
9
这
9
个数中
5
个数的中位数
是
5”
,为
“
从
1
,则基本事件总数为
,所以由古
典概型的计算公式知,,所包含的基本事件的总数为:
考点:
1.
古典概型;
二、填空题:本题共4小题
13
.
1
3
【解析】
【分析】
利用诱导公式求解即可
【详解】
1
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
sin
?
?
,
3
?
2
?
故答案为:
【点睛】
本题考查诱导公式,是基础题
14
.
6
?
【解析】
【分析】
由向量平行与垂直的性质,列出式子计算即可
.
【详解】
若ab
,可得
3?4?2k?0
,解得
k?6
;
若
a?b
,则
a?b?3?2?4k?0
,解得
k??
1
3
3
2
3
.
2
故答案为:
6
;
?
【点睛】
3
.
2
本题考查平面向量平行、垂直的性质,考查平面向量的坐标运算,考
查学生的计算能力,属于基础题
.
?
15
.
?
?
?25,25
?
【解析】
【分析】
通过画出图形,可计算出圆心到直线的最短距
离,建立不等式即可得到
m
的取值范围
.
【详解】
作出
图形,由题意可知
PA?OA
,
PB?OB
,此时,四边形
PAOB
即为
2S
?PAO
,
而
S
?PAO
?13
|PA||OA|?
,故
|PA|?3
,勾股定理可知
|P
O|?10
,而要是得存在点
P
满足该条件,只
22
需
O<
br>到直线的距离不大于
10
即可,即
d?
|m|
?10
,所以
|m|?25
,故
m
的取值范围是
2
?
?2
5,25
?
.
??
【点睛】
本题主要考查直
线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,意在考查学生的转化能力,计算能力,分析能
力,难度中等<
br>.
16
.
200
?
【解析】
【分析】
由于图形特殊,可将图形补成长方体,从而求长方体的外接球表面积即为所求
.
【详解】
AB?6
,
BC?8
,
AC?10
,
AB?BC
,
SA?
平面
ABC<
br>,将三棱锥补形为如图的长方体,则长方体
的对角线
SC?SA
2
?A
B
2
?BC
2
?102?2R
,则
S
球
?
200
?
【点睛】
本题主要考查外接球的相关计算,
将图形补成长方体是解决本题的关键,意在考查学生的划归能力及空间
想象能力
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.
(1)
3x
﹣
y
﹣
2
=
1
;
(2)
(
x
﹣
4
)
2
+
(
y
﹣
1
)
2
?
【解析】
【分析】
(
1
)根据两直线垂直的性质,设出所求直线的方程,将点
?
1,1
?
坐标代入,由此求得所求直线方程
.
(
2
)利用圆心到直线的距离求得圆的半径,由此求得圆的方程
.
【详解】
(
1
)根据题意,设要求直线的方程为
3x﹣
y
﹣
m
=
1
,
又由要求直线经过
点(
1
,
1
),则有
3
﹣
1
﹣
m
=
1
,解可得
m
=
2
;
即要求
直线的方程为
3x
﹣
y
﹣
2
=
1
;
(
2
)根据题意,设要求圆的半径为
r
,
若
直线
l
与圆相切,则有
r
=
d
?
5
.
2
4?3?2
1?9
?
10
,
2
则要求圆的方程为(
x
﹣
4
)
2
+
(y
﹣
1
)
2
?
【点睛】
5
.
2
本小题主要考查两条直线垂直的知识,考查直线和圆的位置关系,属于基础题
. <
br>18
.(
1
)证明见解析;(
2
)
【解析】
【分析】
(
1
)连接
B
1
C
,
设
B
1
C
与
BC
1
相交于点
O
,
连接
OD.
证明
OD
为
?AB
1
C
的中
位线,得
ODAB
1
,即可
26
.
13
证明;(
2
)由(
1
)可知
,
?ODB
为
AB
1
与
BD
所成的角或其补角,在
?OBD
中,利用余弦定理求解即可
【详解】
(1)<
br>证明:如图,连接
B
1
C
,设
B
1
C
与
BC
1
相交于点
O
,连接
OD.
∵
四边形
BCC
1
B
1
是平行四边形.
∴
点
O
为
B
1
C
的中点.
∵D
为
AC
的中点,
∴OD
为
?AB
1
C
的中位线,
?ODAB
1
OD?
平面
BC
1
D
,
AB
1
?
平面
BC
1
D
,
?AB
1
平面
BC
1
D
.
(
2
)由(
1
)可知,
?ODB
为AB
1
与
BD
所成的角或其补角
在
Rt?
ABC
中,
D
为
AC
的中点,则
BD?
AC13<
br>
?
22
同理可得,
OB?
13
2
OD
2
?BD
2
?OB
2
26
在
?OBD
中,
cos?ODB??
2OD?BD13
?A
B
1
与
BD
所成角的余弦值为
26
.
13
【点睛】
本题考查线面平行的判定,异面直线所成的角,考查空间想象能力与计算能力是基础题
19
.(
1
)见解析(
2
)
【解析】
【分析】
(
1
)证明
BF?
面
PCD<
br>得到面
PCD?
面
PBC
.
(
2
)先判断
?BPC
为直线
PB
与平面
PCD
所成的角,再计算其正弦
值
.
6
6
【详解】
(
1
)证明:法一:由已知得:
AB?PA且
AB?AD
,
PA?AD?A
,
∴
AB?
面
PAD
.
∵
AB∥CD
,
∴
CD?
面
PAD
. <
br>∵
PD?
面
PAD
,
∴
CD?PD
,又∵
EF
∵
CD?BE
,
BE
PD
,
∴
CD?EF
,
EB?E
,
∴
CD?
面
BEF
.
BF?
面
BEF
,
∴
CD?BF
.
又<
br>∵
PB?BC
且
F
是
PC
中点,
∴
PC?BF
,
∴
PC
∵
BF?
面
PBC
,
∴
面
PBC?
面
PCD
.
法二:同法一得
CD?
面
PAD
.
又
∵
BE
CD?C
,
∴
BF?
面
PCD
.
A
D
,
AD?
面
PAD
,
BE?
面
PAD<
br>,
∴
BE
面
PAD
.
EF?E
,
BE?
面
BEF
,
EF?
面
BEF
.
同
理
EF
面
PAD
,
BE
∴
面
PAD
面
BEF
.
∴
CD?
面
BEF
,
BF
?
面
BEF
,
∴
CD?BF
.
又
∵PB?BC
且
F
是
PC
中点,
∴
PC?BF<
br>,
∴
PC
∵
BF?
面
PBC
,
∴<
br>面
PBC?
面
PCD
.
(
2
)由(
1
)知
BF?
面
PCD
,
∴
PF
为直线
PB
在平面
PCD
上的射影
.
∴
?BPC
为直线
PB
与平面
PCD
所成的角,
∵
AB?
PA
且
AB?AD
,
∴
二面角
P
CD?C
,
∴
BF?
面
PCD
.
ABC
的平面角是
?PAD
.
1
PD?3
.
2
BE
2
?EF
2
?1
.
∵
P
A?AD?2
,
∴
PD?23
,
∴
EF?
又
∵
BF?
面
PCD
,
∴
BF?EF
.
在
Rt?BFE
中,
BF?
在
Rt?PDC
中,
PC
?PD
2
?CD
2
?26
.
BF6
.
?
PB6
∴
在
Rt?PFB
中,
sin?BPC?
【点睛】
本题考查了面面垂直,线面夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力
.
20
.
(1)
f(x)?x?
【解析】
【分析】
(
1
)
g(x)
对称轴为
x?
a
,
g(x?1)
对称轴为
x?0
,再根据图像平移关系求解;(<
br>2
)分离参数
m
,转
化为求函数的最值;(
3
)令<
br>2?1
为整体,转化为二次函数根的分布问题求解
.
x
1
1
?2,x?0
;
(2)
?
??,0
?
;
(3)
(?,1)
.
x
2
【详解】
(1) 函数
g(x)?x
2
?2ax?1
的对称轴为
x?a
,
因为
g(x)
向左平移
1
个单位得到
g(x?1
)
,且
y?g(x?1)
是偶函数,
所以
a?1
,
所以
f(x)?
g(x)1
?x??2,x?0
.
xx
(2)
f(lnx)?mlnx?0
即
lnx?
1
?2?mlnx?0
lnx
2
又
x?1,e
?
?
,所以
lnx?
?
0,2
,则
?
?m?
1
?
lnx
?
2
2
?
1
?
??1?
?
?1
?
lnx
?
lnx<
br>?
2
2
?
1
?
因为
?
?1
?
?0
,所以实数
m
的取值范围是
?
??,0
?<
br>.
?
lnx
?
x
(3)
方程
f(2?1)?k?
2
?2?0
即
x
2?1
2
x
?1?
12
?2?k??2?0
xx
2?12?1
2
化简得
2
x
?1?42
x?1?1?2k?0
x
令
r?2?1
,则
r
2
?4r?1?2k?0
x
f(2?1)?k?
若方程
2
?2?0
有三个不同的实数根,
x
2?1
则方程
r
2
?4r?1?2k?0
必须有两个不相等的实数根
r
1
,r
2
,
且
0?r
1
?1,r
2
?1
或
0?r
1
?1,r
2
?1
,<
br>
令
h(r)?r
2
?4r?1?2k
当
0?r
1
?1,r
2
?1
时,则
?
?
h(
0)?1?2k?0
1
,即
??k?1
,
2<
br>?
h(1)??2?2k?0
当
r
2
?1
时,
k?1
,
h(r)?r
2
?4r?3
,
r1
?3
,舍去,
综上,实数
k
的取值范围是
(?
【点睛】
本题考查求函数解析式,函数不等式恒成立及函数零点问题
.
函数不等式恒成立通常采用参数分离法;函
1
,1)
.
2
数零点问题要结合函数与方程的关系求解
.
21
.(
1
)
f
?
x
?
?2sin
?
2x?
【解析】
【分析】
(
1
)转化条件得<
br>f
?
x
?
?2sin
?
?
x?
即可
得解;
(
2
)根据自变量的范围可得
?
【详解】
(
1
)由题意
f
?
x
?
?a?b?
?
?
?
?
?3,1
?
(
2
)
?
?
;
??
6
?
?
?
?
?
6
?
?
,由对称轴可得
?
?
6
?
?
?
6
?k
?
?
?
2
?
k?Z
?
,再结合
?
?
?
1,3
?
?
3
?2x?
?
6
?
?
6
,利用整体法即可得解
.
?
??
3sin
?
x?cos
?
x?2si
n
?
?
x?
?
,
6
??
函数<
br>f
?
x
?
的图象关于直线
x??
?
?
???
?
sin?
?
??1
.
?
对称,
?
?
6
?
66
?
?
?
?
6?
?
?
6
?k
?
?
?
2
?<
br>k?Z
?
即
?
??6k?4
?
k?Z
?.
7
6
5
6
又
?
?
?<
br>1,3
?
,
?
1??6k?4?3
,得
??k??<
br>,由
k?Z
得
k??1
,故
?
?2
. ?
?
则函数
f
?
x
?
的表达式为
f<
br>?
x
?
?2sin
?
2x?
(
2
)
?
?
?
6
?
.
?
?
12
?x?
?
6
,
?
?
?
3
?2
x?
?
6
?
?
6
?
?
3
?
?
1
?
?sin
?
2x?
?
?
,
?
?3?f
?
x
?
?1
,
26
?
2
?
?
??
?
,
?
上的值域为
?
?3,1
?
.
??
?
126
?
则函
数
f
?
x
?
在区间
?
?
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算、函数
y?Asin
?
ωx?φ
?
表达式和值域的确定,考查了整体意识,属
于基础题
.
8
22
.(
1
)见解析;(
2
)
3
【解析】
【分析】
(
1
)只需证明
AB?
平面
PAD
,,即可得平面平面
PAB?
平面
PAD
;
(
2
)设
AB?PA?PD?x
,则
AD?2x
,由四棱锥
P?ABCD
的
侧面积,取得
x?2
,在平面
PAD
2
x?2
,
即
可求四棱锥
P?ABCD
的体
2
内作
PE?AD
,垂足为<
br>E
.可得
PE?
平面
ABCD
且
PE?
积.
【详解】
(
1
)由已知
?BAP??CDP?
90?
,得
AB?AP
,
CD?PD
,
由于ABCD
,故
AB?PD
,从而
AB?
平面
PAD,
又
AB
平面
PAB
,所以平面
PAB?<
br>平面
PAD
.
(
2
)设
AB?PA?P
D?x
,则
AD?2x
,所以
PA
2
?PD
2?AD
2
,
从而
?PAB
,
?PCD
也为等腰直角三角形,
?PBC
为正三角形,
于是四棱锥
P?A
BCD
的侧面积
S?3?
1
2
3
x?(2x)
2<
br>?6?23
,解得
x?2
,
24
在平面
P
AD
内作
PE?AD
,垂足为
E
,
由(
1
)知,
AB?
平面
PAD
,故
AB?PE
,
可得
PE?
平面
ABCD
且
PE?
2
x?2
,
2
故四棱锥
P?ABCD
的体积
V<
br>P?ABCD
?
【点睛】
118
AB?AD?PE??2?22?2?
.
333
本
题考查了面面垂直的判定与证明,以及四棱锥的体积的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑
推
理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,
着
重考查了推理与论证能力,属于基础题.
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.下列函数中
,
在区间
(0,??)
上为增函数的是
A
.
y?x?1
B
.
y?(x?1)
2
D
.
y?log
0.5
(x?1)
C
.
y?2
?x
2
.记
S
n
为
等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和.若
a4
?a
5
?24
,
S
6
?60
,则等
差数列
?
a
n
?
的公差为(
)
A
.
1 B
.
2 C
.
4
D
.
8
3
.如图,在正方体
ABCD?A
1
B<
br>1
C
1
D
1
,点
P
在线段
BC1
上运动,则下列判断正确的是(
)
①
平面
PB
1
D?
平面
ACD
1
②
A
1
P
平面
ACD
1
③异面直线
A
1
P
与
AD
1
所成角的取值范围是
?
0,
?
3
?
?
π
?
?
④
三棱锥
D
1
?APC
的体积不变
A
.
①② B
.
①②④ C
.
③④
D
.
①④
4
.在
?ABC
中,
?B?30
,
AB?23
,
AC?2
,则
?ABC
的面积是(
)
A
.
3
B
.
23
C
.
3
或
23
D
.
23
或
43
?
,则
△ABC
的
6
5
.
△ABC
中,三个内角
A
,
B
,
C
所对应的边分别为
a
,
b
,
c
,若
c
=
3
,
b
=
1
,
∠B<
br>=
形状为(
)
A
.等腰直角三角形
C
.等边三角形
B
.直角三角形
D
.等腰三角形或直角三角形
6
.有一个容量为
200<
br>的样本,样本数据分组为
[50,70)
,
[70,90)
,
[90,110)
,
[110,130)
,
[130,150)
,<
br>其频率分布直方图如图所示
.
根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间
[90,110)
内的频数为
(
)
A
.
48 B
.
60
C
.
64 D
.
72
7
.在
?ABC
中
,内角
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
.已知
a?5
,
b?7
,
c?8
,则
A?C?
A
.
90
?
B
.
120
?
C
.
135
?
D
.
150
?
8
.设
?
、
?
、
?
为平面,为
m
、
n
、
l
直线,则下列判断正确的是(
)
A
.若
?
?
?
,
?
B
.若
?
?
?l
,
m?l
,则
m?
?
?
?m
,
?
?
?
,
?
?
?,则
m?
?
C
.若
?
?
?
,
?
?
?
,
m?
?
,则
m?
?<
br>
D
.若
n?
?
,
n?
?
,
m?
?
,则
m?
?
?
3x?y?5
?
9
.设实数
x,y
满足约束条件
?
x?4y??7
,则
z?x?4y
的最大值为(
)
?
x?2
?
A
.
?2
B
.
9
C
.
11 D
.
41
4
10
.某产品的广告费用
x
(
单位:万元
)
与销售额
y
(
单位:万元
)
的统计数据如下表:
?
?a<
br>?
为
9.4
,据此模型预报广告费用为
6
万元时销售为
( )
?
?bx
?
中的
b
根据上表可得回归方程
y
A
.
63.6
万元
C
.
67.7
万元
B
.
65.5
万元
D
.
72.0
万元
,log
4
a
n
?
在函数
f
?
x
?
?x?3
的图像上
,则
log
2
?
a
3
a
5
a
7<
br>?
?
(
)
11
.已知正项数列
?
a
n
?
,若点
?
n
A
.
12
B
.
13 C
.
14 D
.
16
12
.
已知
S
n
.
为等比数列
{a
n
}
的前n
项和,若
a
2
?2
,
a
5
?16<
br>,则
S
6
?
( )
A
.
31
B
.
32 C
.
63 D
.
64
二、填空题:本题共4小题
13
.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,
它用九个圆环相连成串,以解开为胜
.
据明代杨慎
《丹铅总录》记载:
“
两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一
”.在某种玩法中,用
a
n
表示解
?
2a
n?1
?
1,n为偶数
下
n
?
n?9,n?N
?
个圆环所需的移动最
少次数,
?
a
n
?
满足
a
1
?1
,且
a
n
?
?
,则解下
2a?2,n为奇数
?n?1
*
4
个环所需的最少移动次数为
_____.
14.在等腰
ABC
中,
D
为底边
BC
的中点,
E
为
AD
的中点,直线
BE
与边
AC
交于点
F
,若
AD?BC?4
,则
AB·CF?
___________<
br>.
15
.当函数
y?2cos
?
?3sin
?
取得最大值时,
tan
?
=__________
.
16
.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,
11
??1
,则
a
10
?
___
_______.
1?a
n?1
1?a
n
三、解答题:解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.如图,
AB
为圆
O
的直径,点
E
,
F
在圆
O
上,
AB
直,
已知
AB?2
,
EF?1
.
EF
,矩形
ABCD
和圆
O
所在的平面互相垂
(
1
)求证:平面
DAF?
平面
CBF
;
(
2
)当
AD?2
时,求多面体
EFABCD
的体
积
.
18
.某校准备从高一年级的两个男生
A,B
和三个女生a,b,c
中选择
2
个人去参加一项比赛
.
(
1)若从这
5
个学生中任选
2
个人,求这
2
个人都是女生
的概率;
(
2
)若从男生和女生中各选
1
个人,求这2
个人包括
A
,但不包括
a
的概率
.
19<
br>.(
6
分)设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2
,
a
2
?6
,
a
n?2<
br>?2a
n?1
?a
n
?2
,
n?N
?
.s
(
1
)证明:数列
?
a
n?1
?a
n
?
是等差数列,并求数列
?
a
n?1
?a
n<
br>?
的通项;
(
2
)求数列
?
a
n
?
的通项,并求数列
?
(
3
)若
b
n?n?
?
?1
?
2
n
?
1
?
?
的前
n
项和
T
n
;
?
an
?
?
a
n
n
,且
?
b
n<
br>?
是单调递增数列,求实数
?
的取值范围
.
20
.
(
6
分)某企业生产的某种产品,生产总成本
f(x)
(元)与产量
x
(吨)(
0?x?80
)函数关系为
?
x
3
?5
0x
2
?ax,0?x?30
f(x)?
?
2
,且函数f(x)
是
[0,80]
上的连续函数
?
x?250
x?3600,30?x?80
(
1
)求
a
的值;
(
2
)当产量为多少吨时,平均生产成本最低?
21
.(
6
分)已知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)
?
A?0,
?
?0,|
?
|?
?
?
?
?
2
?
?
在一个周期内的图像经过点
?
??
?
,4
?
和
12
??
?
?
5
?
?
,?4
?
,且
f(x)
的图像有一条对称轴
为
x?
.
点
?
12
?
12
?
(
1
)求
f(x)
的解析式及最小正周期;
(
2
)求
f(x)
的单调递增区间
.
22
.(
8
分)已知
?ABC
的三个内角
A
,
B,且满足
2bcosA?acosC?ccosA
.
C
的对边分别为<
br>a
,
b
,
c
,
(
1
)求角
A
的大小;
(
2
)若
b?3
,
c?4
,
BD?2DC
,求
AD
的长
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
A
【解析】
试题分析:对
A
,函
数
对
B
,
对
C
,
对
D
,
故选
A.
考点:函数的单调性,容易题
.
2
.
B
【解析】
【分析】
利用等差数列的前
n
项和公
式、通项公式列出方程组,能求出等差数列
{a
n
}
的公差.
【详解】
∵
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和,
为
在
在
在上为增函数,符合要求;
上为减函数,不符合题意;
上的减函数,不符合题意;
上为减函数,不符合题意
.
a
4
?a
5
?24<
br>,
S
6
?60
,
?
a
1
?3d?a
1
?4d?24
?
∴
?
,
6?5
6a
1
?d?60
?
2<
br>?
解得
d=2,a
1
=5
,
∴
等差数列
?
a
n
?
的公差为
2.
故选:
B.
【点睛】
本题考查等差数列的公差,此类问题根据题
意设公差和首项为
d
、
a
1
,列出方程组解出即可,属于基础题.
3
.
B
【解析】
【分析】
①
连接
DB
1
,容易证明
DB
1
⊥
面ACD
1
,从而可以证明面面垂直;
②
连接
A1
B
,
A
1
C
1
容易证明平面
BA<
br>1
C
1
∥
面
ACD
1
,从而由线面平行的定
义可得;
③
分析出
A
1
P
与
AD
1
所成角的范围,从而可以判断真假;
④
V
A?D
1<
br>PC
=
V
A?CD
1
P
,
C
到面<
br> AD
1
P
的距离不变,且三角形
AD
1
P
的面积不变;
【详解】
对于
①
,连接
DB1
,根据正方体的性质,有
DB
1
⊥
面
ACD
1
,
DB
1
?
平面
PB
1
D
,
从而可以证明平面
PB
1
D⊥
平
面
ACD
1
,正确.
②
连接
A
1
B
,
A
1
C
1
容易证明平面
BA
1
C
1
∥
面
ACD
1
,从而由线面平行的定义可得
A
1
P∥
平面
ACD
1
,正确.
③当
P
与线段
BC
1
的两端点重合时,
A
1P
与
AD
1
所成角取最小值
当
P
与线段
BC
1
的中点重合时,
A
1
P
与
AD
1
所成角取最大值
故
A
1
P
与
AD
1
所成角的范围是
?
,
?
,错误;
32
④
V
A?D
1
PC
=
V
A?CD
1
P,
C
到面
AD
1
P
的距离不变,且三角形
AD
1
P
的面积不变.
∴
三棱锥
A
﹣
D
1
PC
的体积不变,正确;
正确的命题为
①②④
.
故选
B
.
?
,
3
?
,
2
?
??
?
??
【点睛】
本题考查空间点、线、面的位置关系,空间想象能力,中档题.
4
.
C
【解析】
【分析】
先根据正
弦定理求出角
C
,从而求出角
A
,再根据三角形的面积公式
S?【详解】
解:由
c?AB?23
,
b?AC?2
,<
br>?B?30?
,
1
bc
23?
?
根据正弦
定理得:
sinC?
csinB
?
2
?
3
,
sinBsinC
b22
1
bcsinA
进行求解即可.
2
?C
为三角形的内角,
??C?60?
或
120?
,
??A?90?
或
30
在
?ABC
中,由
c?23
,
b?2
,
?A?90?
或
30
则
?ABC
面积
S?
故选
C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理,三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的
关键,属于中档题.
5
.
D
【解析】
试题分析:在
?ABC
中,由正弦定理可得
1
bcsinA?23
或
3
.
2
csinB
sinC??
b
3
?sin
1
?
?
3
C?
,因为,所以
0?C??
6
?
3
2
或
2
?
?
?,所以
A?
或,所以
?ABC
的形状一定为等腰三角形或直角三角形,故
选
D
.
32
6
考点:正弦定理.
6
.
B
【解析】
【分析】
由
(0.0050?0.0075?0.0100?0.0125
?a)?20?1
,求出
a
,计算出数据落在区间
[90,110)
内的频率,
即可求解
.
【详解】
由
(0.0050?0.0075?0.0100?0.0125?a)?20?1
,
解得
a?0.015
,
所以数据落在区间
[9
0,110)
内的频率为
0.015?20?0.3
,
所以数据落
在区间
[90,110)
内的频数
200?0.3?60
,
故选
B.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图,频率、频数,属于中档题
.
7
.
B
【解析】
【分析】
由已知三
边,利用余弦定理可得
cosB?
可求
A?C
的值.
【详解】
在
?ABC
中,
1
,结合
b?
c
,
B
为锐角,可得
B
,利用三角形内角和定理即
2
a?5
,
b?7
,
c?8
,
a
2?c
2
?b
2
25?64?491
?
由余弦定理可得:
cosB???
,
2ac2?5?82
b?c
,故
B
为锐角,可得
B?60?
,
?A?C?180??60??120?
,故选
B
.
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用.
8
.
D
【解析】
【分析】
根据线面、面面有关的定理,对四个选项逐一分析,由此得出正确选项
.
【详解】
A
选项不正确,因为根据面面垂直的性质定理,需要加上:
m
在平面
?
内或者平行于
?
,这个条件,才
m
?
或者
m?
?
.D
能
判定
m?
?
.B
选项不正确,因为
m
可能平行于
?
.C
选项不正确,因为当
?
?
?
时,
选项正确,根
据垂直于同一条直线的两个平面平行,得到
?
?
,直线
m?
?
,则可得到
m?
?
.
综上所
述,本小题选
D.
【点睛】
本小题主要考查空间线面、面面位置关系有关命题真假性的判断,属于基础题
.
9
.
C
【解析】
【分析】
由约束条
件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目
标函数得
答案.
【详解】
作出约束条件表示的可行域如图,
化目标函数
z?x?4y
为
y??
xz
?
,
44
?
x?2
?
9
?
A
联立
?
,解得
?
2,
?
,
?
4
?<
br>?
x?4y??7
由图可知,当直线
z?x?4y
过点
?2,
?
时,
z
取得最大值
11
,
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查线性规划中,利用可行域求目
标函数的最值,属于简单题
.
求目标函数最值的一般步骤是
“
一
画、
二移、三求
”
:(
1
)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(
2
)找到目标函数对应的最优解对应
点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后
通过的顶点就是最优解);(
3
)将最优解坐标代
入目标函数求出最值
.
10
.
B
【解析】
?
?
9
?
4
?
【详解】
试题分析:
x?
4?2?3?549?26?39?54
?3.5,y??42
,回归直线必过点
44
解得,所以回归方程为
,即
.当时
.将
?
?a
?
?bx
?
可得<
br>其代入
y
,所以预报广告费用为
6
万元时销售额为
65.5<
br>万元
考点:回归方程
11
.
A
【解析】
【分析】
由已知点在函数图象上求出通项公式,得a
3
a
5
a
7
,由对数的定义计算.
【详解】
n?3
由题意
log
4
a
n<
br>?n?3
,
a
n
?4
,
024612∴
a
3
a
5
a
7
?4?4?4?4?2
,
12
∴
log
2
(a
3
a
5
a
7
)?log
2
2?12
.
故选:
A.
【点睛】
本题考查数列的通项公式,考查对数的运算.属于基础题.
12
.
C
【解析】
【分析】
首先根
据题意求出
a
1
和
q
的值,再计算
S
6
即
可
.
【详解】
?
a
2
?a
1
q?2
?
a
1
?1
有题知:
?
,解得
?<
br>,
4
a?aq?16
q?2
1
?
?
5
1?2
6
S
6
??2
6
?1?63
.
1?2
故选:
C
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及前
n
项和的求法,属于简单题
.
二、填空题:本题共4小题
13
.
7
【解析】
【分析】
利用
?
a
n
?
的通项公式,依次求出
a
2,
a
3
,从而得到
a
4
,即可得到答案。
【详解】
由于
a
n
表示解下
nn?9,n?N
?
*
?
个圆环所需
的移动最少次数,
?
a
?
满足
a
n
1
?1
,且
?
2a?1,n为偶数
a
n
?
?
n?
1
?
2a
n?1
?2,n为奇数
所以
a
2
?2a
1
?1?2?1?1?1
,
a
3
?2a<
br>2
?2?2?1?2?4
,
故
a
4
?2a
3
?1?2?4?1?7
,所以解下
4
个环所需的最少移动次数为<
br>7
故答案为
7.
【点睛】
本题考查数列的递推公式,属于基础题。
14
.
?8
;
【解析】
【分析】
题中已知等腰
ABC
中,
D
为底边BC
的中点
AD?BC?4
,不妨于
BC
为
x
轴,垂直平分线为
y
轴建
立直角坐标系,这样,我们能求出
ABCDE
点坐标,根据直线
BE
与
AC
求出交点
F
,求向量的数量
积即
可
.
【详解】
如上图,建立直角坐标系,我们可
以得出
A(0,4),B(?2,0),C(2,0),E(0,2)
直线
BE:y?x?2
,
AC:y??2x?4
联立方程求出
F(,)
,
28
33
28
?AB?(?2,?4),CF?(,)
,
即
ABCF??8
33
填写
?8
【点睛】
本题中因为已知底边及高的长度,所有我们建立直角坐标系,求出相应点坐
标,而作为
F
点的坐标我们可
以通过直线交点求出,把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观
.
15
.
?
3
2
【解析】
【分析】
利用辅助角
?
将函数利用两角差的正弦公式进行化简,求
得函数取得最大值时的
?
与
?
的关系,从而求得
sin
?<
br>,
cos
?
,可得结果
.
【详解】
2<
br>3
?
2
?
sin
?
?
y?2cosα?3s
inα?13cos
?
?sin
?
?13sin
?
?
?
因为函数,
??
,其中
??
13
1313
??
cos
?
?
3
?
?
?
,,当
?
?
?
?
时,函数
y?2cosα?3sinα
取得最大值,
此时
?
?
?
13
22
?
?
∴
si
n
?
?sin?
3
2
3
故答案为
?
2
∴
tan
?
??
【点睛】
?
2
??cos
?
??
3
?
2
cos
??cos?
?
??sin
?
?
,,
2
1313
本题考查了两角差的正弦公式的逆用,着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质,属于中
档题
.
16
.
?
17
19
【解析】
【分析】
?
1
?
1
数列
??
为以
为首项,
1
为公差的等差数列。
2
?
1?a
n
?
【详解】
因为
a
1
?1,
所以
11
?
1?a
1
2
又
11
??1
1?a
n?1
1?a
n
所以数列
?
?
1
?
1<
br>?
为以
为首项,
1
为公差的等差数列。
2
?
1?a
n
?
11
=n?
所以
1?a
n
2
所以
111917
=10?=?a
10
=?
1?a
10
2219
故填
?
17
19
【点睛】
本题考查等差数列,属于基础题。
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.
(1)
证明见解析;
(2)
【解析】
【分析】
(
1
)由题可得
AF?CB
,
AF?BF
,从而可得AF?
平面
CBF
,由此证明平面
DAF?
平面
CBF
;
(
2
)过
F
作
FH
53
6?AB
交
AB
于
H
,所以
FH
为四棱锥
F?ABCD
的高,多面体
EFABCD
的体积
?V
F?ABCD
?V
C?BEF
,利用体积公式即可得到答案.
【详解】
(
1
)证明:
∵
平面
ABCD?
平面
AB
EF
,
矩形
ABCD
,
CB?AB
,平面
ABCD
平面
ABEF?AB
,
∴
CB?
平面
ABEF
,
∵
AF?
平面
ABEF
,
∴<
br>AF?CB
,
又
∵
AB
为圆
O
的
直径,
∴
AF?BF
,又
BF?BC?B
,
∴
AF
?
平面
CBF
,
∵
AF?
平面
ADF<
br>,平面
DAF?
平面
CBF
;
(
2
)过
F
作
FH?AB
交
AB
于
H
,
由面面垂直性质可得
FH?
平面
ABCD
,即FH
为四棱锥
F?ABCD
的高,
由
OEF
是边长为
1
的等边三角形,可得
FH?
3
,
2<
br>又正方形
ABCD
的面积为
4
,
∴
V
F?A
BCD
?
1323
.
?4??
323
1133
.
V
C?BEF
???1??2?
3226
所以
V
EFABCD
?
【点睛】
23353
.
??
366
本题主要考查面面垂直的证明,以及求多
面体的体积,要求熟练掌握相应判定定理以及椎体、柱体的体积
公式,属于中档题.
18
.(
1
)
1
3
;
(
2
)
.
10
3
【解析】
【分析】
(
1
)写出从
5
个学生中任选
2
个人的所有等可能基本事件,计算事件
2
个人都是女生所含的基本事件个
数
;
(
2
)写出从男生和女生中各选
1
个人的所有等可能基
本事件,计算事件
2
个人包括
A
,但不包括
a
所含
的基本事件个数
.
【详解】
(
1
)由题意知,从
5
个学生中任选
2
个人,其所有等可能基本事件有:
?
A,B
?
,
?
A,a
?
,
?
A,b
?
,
?
A,c
?
,
?
B,a
?
,
?
B,b
?
,
?
B,c
?
,
?
a,b
?
,
?
a,c
?
,
?
b,
c
?
,共
10
个
,
选
2
个人都是女生的
事件所包含的基本事件有
?
a,b
?
,
?
a,c
?
,
?
b,c
?
,共
3
个
,
则所求事件的概率为
P?
3
.
10
(
2
)从男生和女生中各选
1
个人,其所有可能的结果组成的基本事件有
?
A,a
?
,
?
A,b
?
,
?
A,c
?<
br>,
?
B,a
?
,
?
B,b
?
,?
B,c
?
,共
6
个
,
包括
A,但不包括
a
的事件所包含的基本事件有
?
A,b
?
,
?
A,c
?
,共
2
个
,
则所求事件的概率为
P?
【点睛】
本题的两问均考查利用古典概型
的概率计算公式,求事件发生的概率,求解过程中要求列出所有等可能结
果,并指出事件所包含的基本事
件个数,最后代入公式计算概率
.
19
.(
1
)证明见解析,a
n?1
?a
n
?2
?
n?1
?
;(
2
)
a
n
?n
?
n?1
?
,T
n
?
(
3
)
?
?,
【解析】
【分析】
(
1
)利用等差数列的定义可证明出数列
?
a
n?1
?a
n
?
是等差数列,并确定该数列的首项和公差
,即可得出数
21
?
.
63
n
;
n?1
?
35
?
?
.
57
??
列
?
a
n?1
?a
n
?
的通项;
(
2
)利用累加法求出数列
?
a
n
?
的通
项,然后利用裂项法求出数列
?
n
?
1
?
?
的前<
br>n
项和
T
n
;
?
a
n
?
(
3
)求出
b
n
?n
2
?
??1
?
?
?
?
n?1
?
,然后分
n<
br>为正奇数和正偶数两种情况分类讨论,结合
b
n?1
?b
n
可
得
出实数
?
的取值范围
.
【详解】
(
1
)
a
n?2
?2a
n?1
?a
n
?2<
br>,等式两边同时减去
a
n?1
得
a
n?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
?2
,
?<
br>?
a
n?2
?a
n?1
?
?
?
a<
br>n?1
?a
n
?
?2
,且
a
2
?a
1
?4
,
所以,数列
?
a
n?1
?a
n
?
是以
4
为首项,以
2
为公差的等差数列
,
因此,
a
n?1
?a
n
?4?2
?<
br>n?1
?
?2
?
n?1
?
;
(<
br>2
)
a
n?1
?a
n
?2
?
n?1
?
,
?
?
a
n
?a
n?1?
?2?4?6?
2?2n
?
n
?
?2n?
2
?a
n
?a
1
?
?
a
2
?a1
?
?
?
a
3
?a
2
?
?<
br>?n
?
n?1
?
,
?
1111
???
,
a
n
n
?
n?1
?
nn?1
11111111n
?T
n
?1?????????1??
;
<
br>22334nn?1n?1n?1
n
?
a
n
n
2?n
2
?
?
?1
?
?
?
?
n
?1
?
.
(
3
)
b
n
?n?
?
?1
?
n
当
n
为正奇数时,
b
n
?n?
?
?
n?1
?
,
b
n?1
?
?
n?1
?
?
?
?
n?2
?
,
2
2
由
b
n?1
?b
n
,得
?<
br>n?1
?
?
?
?
n?2
?
?n
2<
br>?
?
?
n?1
?
,可得
?
??
由于
数列
?
2
2n?12
??1
,
2n?32n?3
23
?
2
?
?1
?
为单调递减数列,
?<
br>?
??1??
;
55
?
2n?3
?
2
2
当
n
为正偶数时,
b
n
?n?
?<
br>?
n?1
?
,
b
n?1
?
?
n?1
?
?
?
?
n?2
?
,
由
b
n?1
?b
n
,得
?
n?1
?
??
?
n?2
?
?n
2
?
?
?
n?1
?
,可得
?
?
由于数列
?
1?
2<
br>2n?12
?1?
,
2n?32n?3
?
?
2
?
25
?
?
?1??
.
为单调递增数列,<
br>?
2n?3
?
77
?
35
?
?
.
?
57
?
因此,实数
?
的取值范围是
?
?
,
【点睛】
本题考查利用等差数列的定义证明等差数列,同时也考查了累加法求通项
、裂项求和法以及利用数列的单
调性求参数,充分利用单调性的定义来求解,考查运算求解能力,属于中等题
.
20
.
(1)
a?1000
;
(2)
当产量
x?60
吨,平均生产成本最低
.
【解析】
【分析】
(
1
)根据函数连续性的定义,可得在分段处两边的函数
值相等,可得
a
的值;(
2
)求出平均成本的表达
式,结合二次函数
和基本不等式,可得平均生产成本的最小值点.
【详解】
322
(
1
)设
g
1
(x)?x?50x?ax,x?[0,30]
,
g
2
(x)?x?250x?3600,x?(30,80]
由函数
f(x)
是
[0,80]
上的连续函数
.
即
g
1
(30)?g
2
(30)
,代入得
a?10
00
(
2
)设平均生产成本为
G(x)
,
?
x
2
?50x?1000,x?[0,30]
f(x)
?G(x)??
?
3600
则
x
?250,x?(30
,80]
?
x?
x
?
当
x?[0,30]
中,G(x)?x?50x?1000
,函数连续且在
[0,25]
单调递减,
[25,30]
单调递增
2
即当
x?[0,30]
,<
br>G(x)
小
?G(25)?375
元
当
x?(30
,80]
,
G(x)?x?
3600
36003600
?250,由
x??2x??120
,当且仅当
x?60
取等号,即
x<
br>xx
当
x?(30,80]
,
G(x)
小
?G(60
)?120?250?370
元
综上所述,当产量
x?60
吨,平均生产成本最低
.
【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用,二次函数的图象和性质,基本不等式
求最值,属于中档题
.
21
.(
1
)
f(x)?4sin
?
3x?
【解析】
【分析】
(
1)由函数的图象经过点
?
?
?
?
?
4
?
?
,
?
?
2k
??
2k
?
?
2
?
,?(k?Z)
.
;(
2
)
?
??<
br>?
3
43123
??
?
?
?
?
,4
?
且
f
(
x
)的图象有一条对称轴为直线
x?,
12
12
??
可得最大值
A
,且能得周期
并求得
ω
,由五点法作图求出
?
的值,可得函数的解析式.
(
2
)利用正弦函数的单调性求得
f
(
x
)的单调递增区
间.
【详解】
?
)
fx
)
ω
>
0
,
?
<
(
1)函数(=
Asin
(
ωx+
(
A
>
0
,
且
f
(
x
)的图象有一条对称轴为直线
x?
故最大值
A
=
4
,且
?
2
)在一个周期内
的图象经过点
?
?
?
?
?
?
5
?
?4
?
,
,4
?
,
?
,
?
?12
?
?
12
?
12
,
T5
???
???
,
212123
2
?
,
3
2
?
∴ω
?
=
1
.
T
∴
T?
所以
f(x)?4sin(3x?
?
)
.
因为
f(x)
的图象经过点
?
所以
?
?
?
?
?
?
??
,4
?
,所以
4?4sin<
br>?
3??
?
?
,
?
12
?
?
12
?
?
?2k?
,
k?Z
.
4<
br>?
?
因为
|
?
|?
,所以
?
?,
24
所以
f(x)?4sin
?
3x?
?
?
?
?
?
.
4
?
(
2
)因为
f(x)?4sin
?
3x?
所以
?
?
?<
br>?
?
4
?
?
,所以
?
?
2
?2k
?
?3x?
?
4
?
?
2
?2k?
,
k?Z
,
?
4
?
2k
??
2k
?
?x??
,
k?Z
,
312
3
?
?
2k
??
2k
?
?
?,?(k?Z
)
.
?
43123
??
即
f(x)
的单调递增区
间为
?
?
【点睛】
?
)的性质求解析式,通常由函数的最
大值求出
A
,由周期求出
ω
,由本题主要考查由函数
y
=<
br>Asin
(
ωx+
五点法作图求出
?
的值,考查了正弦型函数的单调性问题,属于基础题.
22
.(
1
)
A?
【解析】
【分析】
(
1
)利用正弦定理化简已知可得:
2sinB
cosA?sinAcosC?sinCcosA
,结合两角和的正弦公式及诱
导公式可得:<
br>2cosA?1
,问题得解
.
(
2
)利用
BD?2
DC
可得:
AD?
解
.
【详解】
?
3
;(
2
)
AD?
219
.
3
12
AB?AC
,两边平方并结合已知及平面向量数量积的定义即可得
33
解:(
1
)因为
2bcosA?acosC?ccosA
,
所以由正弦定理可得
2sinBcosA?sinAcosC?sinCcosA
,
即
2sinBcosA?sin(A?C)?sinB
,
因为
s
inB?0
,
所以
2cosA?1
,
cosA?
1
,
2
A?(0,
?
)
,
故
A?
?
3
.
(
2
)由已知得
AD?
12
AB?AC
,
33
22
144
所以
AD?AB?ABAC+AC
999<
br>2
?
164
?
476
??4?3cos??9?
,
99399
219
.
3
所以
AD?
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用及
两角和的正弦公式,还考查了利用平面向量的数量积解决长度问题,考
查转化能力及计算能力,属于中档
题.