高中数学俏皮-2015夏季高中数学会考
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
(x
2
?3x?2)
5
的展开式中含
x
3
的项的系数为(
)
A
.
-1560
B
.
-600 C
.
600 D
.
1560
2<
br>.已知
{a
n
}
是等差数列,且
a
2
+
a
5
+ a
8
+
a
11
=48
,则
a
6
+ a
7
= (
)
A
.
12 B
.
16 C
.
20
D
.
24
3
.设平面向量
a?(1,2)
,
b?
(?2,y)
,若
a?b
,则
a?b
等于(
)
A
.
5
B
.
6
C
.
2
D
.
10
4
.若某程序框图如图所示
,
则该程序运行后输出的值是(
)
A
.
3 B
.
4
C
.
5 D
.
6
5
.实数数列
1,a,4,b<
br>2
为等比数列,则
a?
(
)
A
.
-2 B
.
2 C
.
?2
D
.
?22
6
.若
|
a
|
=
2cos
15°
,
|
b
|
=
4sin 15°
,
a
,b
的夹角为
30°
,则
a
?
b
等于
(<
br>
)
A
.
3
2
B
.
3
C
.
2
3
D
.
1
2
7
.如图所示,在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E
,
F
分别是
AB
,
AD
的中点,则异面直线
B1
C
与
EF
所成的角
的大小为
(
)
A
.
30° B
.
45°
C
.
60° D
.
90°
8
.已知
a,b?R<
br>,若关于
x
的不等式
x
2
?ax?b?0
的解集为<
br>?
1,3
?
,则
a?b?
(
)
A
.
?7
B
.
?1
C
.
1 D
.
7
?
9
.已知奇函数
...
f(x)?2sin(
?
x?
?)(
?
?0,0?
?
?2
?
)
满足
f
?
4
?x
?
?f
?
4
?x
?,则的取值不可
..
????
能是(
)
.
A
.
2 B
.
4 C
.
6
D
.
10
?
?
??
?
?
10
.
若直线
l
与平面
?
相交,则(
)
A
.平面
?
内存在无数条直线与直线
l
异面
B
.平面
?
内存在唯一的一条直线与直线
l
平行
C
.平面
?
内存在唯一的一条直线与直线
l
垂直
D
.平面
?
内的直线与直线
l
都相交
1
1
.在
?ABC
中,
AB?3
,
AC?1
,
B?30
,
S
?ABC
?
A
.
60
或<
br>120
B
.
30
C
.
60
3
,则
C?
(
)
2
D
.
45
12
.已知向量
|a|?|
b|?1
,
a
与
b
的夹角为
60?
,则
|
a?2b|?
(
)
A
.
3
B
.
2 C
.
3
D
.
1
二、填空题:本题共4小题
13
.设向量
a?(sinx,3),b?(?
1,cosx)
,若
a?b
,
x?
?
0,
?
?
?
?
?
,则
x?
.
2
?
n
14
.数列
?
a
n
?
满足
a
1
?4
,
a
n?1
?a
n
?2
,
n?N
*
,则数列
?
a
n
?
的
通项公式
a
n
?
______.
15
.在区间
[
-1,2]
上随机取一个数
x,
则
x∈[0,1]
的概率为
.
16
.已知
l
,
m
是平面
?
外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m
;
②m∥
?;
③l⊥
?
.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作
为结论,写出一个正确的命题:
__________
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.已知圆
M
:
x
2
?y
2
?1
.
(
Ⅰ
)求过点
(?1,?2)
的圆
M
的切线方程;
(
Ⅱ
)设圆
M
与
x
轴相交于
A
,
B
两点,点
P
为圆
M
上异于
A
,
B的任意一点,直线
PA
,
PB
分别与
直线
x?3
交于
C
,
D
两点.
(
ⅰ
)当点
P
的坐标为
(0,1)
时,求以
CD
为直径的圆的圆心坐标及半径
C
2
;
(
ⅱ
)当点
P
在圆M
上运动时,以
CD
为直径的圆
C
2
被
x轴截得的弦长是否为定值?请说明理由.
18
.已知函数
f(x)?2
sin(
?
x)
,其中常数
?
?0
;
(
1
)令
?
?1
,判定函数
F(x)?f(x)?f(x?<
br>?
2
)
的奇偶性,并说明理由;
(
2
)令
?
?2
,将函数
y?f(x)
图
像向右平移
?
个单位,再向上平移
1
个单位,得到函数
y?g(x)
的图
6
像,对任意
a?R
,求
y?g(x)
在区间
[a,a?10
?
]
上零点个数的所有可能值;
19.(
6
分)如图,在
△ABC
中,
cosC
=
﹣
1
.
3
,角
B
的平分线
BD
交
AC
于点
D
,设
∠CBD
=
θ
,其中<
br>tanθ
=
2
5
(
1
)求
sinA
的值;
(
2
)若
CA?CB?21
,求
AB
的长.
20
.(
6
分)已知函数
f
?
x
?
?3sin2x?cos
2x?1
.
(
1
)求
y?f
?
x
?在区间
?
0,
?
?
上的单调递增区间;
(<
br>2
)求
y?f
?
x
?
在
?
?
?
5
?
?
,
?
的值域
.
1212??
21
.(
6
分)在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,
a
n?1
?a
n
?2a
n?1
a
n
?0
,数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
S
n
,且
b
n
?
(
1
)证明:数列
?
a
n
.
2n?1
?
1
?
?
是等差数列.
?
a
n
?
(
2
)若
2t?3?S
n<
br>?t
对
n?N
*
恒成立,求
t
的取值范围.
22
.(
8
分)已知函数
y?f(x)?sin
?
2x?
?
?
?
?
2
?
?2
?
co
sx?1
?
.
6
?
(
1
)求函数
y?f
(x)
的值域和单调减区间;
(
2
)已知
A,B,C为
?ABC
的三个内角,且
cosB?
1C1
,
f()
?
,求
sinA
的值
.
322
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
A
【解析】
x
3
的项可以由
x,?3x,2,2,2
或
?3x,?3x,?3x
,2,2
的乘积得到,所以含
x
3
的项的系数为
113
C<
br>5
C
4
?
?3
?
?2
3
?C
5
?
?3
?
?2
2
??480?1080??1560<
br>,故选
A.
3
2
2
.
D
【解析】
由等差数列的性质可得
a
2
?a
5?a
8
?a
11
?2
?
a
6
?a7
?
?48
,则
a
6
?a
7
?24<
br>,故选
D.
3
.
D
【解析】
分析:由
向量垂直的条件,求解
y?1
,再由向量的模的公式和向量的数量积的运算,即可求解结果.
详解:由题意,平面向量
a?(1,2),b?(?2,y)
,且
a
?b
,
所以
a?b?1?(?2)?2y?0
,所以
y?
1
,即
b?(?2,1)
,
又由
a?b
2
?a
2
?2a?b?b
2
?5?2?0?5?10
,所以
a?b?10
,故选
D.
点睛:本题主要考查了向量的数量积的运算和向量模的求解
,其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公
式和向量模的计算公式是解答的关键,着重考查了推理与运
算能力,属于基础题
.
4
.
C
【解析】
【分析】
根据程序框图依次计算得到答案
.
【详解】
根据程序框图依次计算得到
n?12,i?1
n?6,i?2
n?3,i?3
n?4,i?4
n?2,i?5
结束
故答案为
C
【点睛】
本题考查了程序框图,意在考查学生对于程序框图的理解能力和计算能力
.
5
.
B
【解析】
【分析】
由等比数列的性质计算,注意项与项之间的关系即可.
【详解】
由题意
a
2
?1?4?4
,
a
??2
,又
a
与
b
2
同号,
∴
a?2.
故选
B
.
【点睛】
本题考查等比数列的性质,解题时要注意等比数列中奇数项同号,偶数项同号.
6
.
B
【解析】
分析:先根据向量数量积定义化简,再根据二倍角公式求值
.
详解:因为
a
?b?2cos15
0
?4sin15
0
?cos30
0
?
4sin30
0
cos30
0
?2sin60
0
?3
,
所以选
B.
点睛:平面向量数量积的类型及求法
(1)
求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式
a?b?|a|?|b|cos
?
;二是坐标公式
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
;
三是利用数量积的几何意义
.
(2)
求较复杂的平
面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简
.
7
.
C
【解析】
连接
BD,B
1D
1
,D
1
C
,由三角形中位线定理及平行四边形性质可得EF||B
1
D
1
,所以
?D
1
B
1
C
是
B
1
C
与
EF
所成角,由
正方体的性质可知
?D
1
B
1
C
是等边三角形,所以
?D
1
B
1
C?60
,
B
1
C
与
EF
所成角是
60
,
故选
C.
8
.
B
【解析】
【分析】
由韦达定理列方程求出
a
,
b
即可得解.
【详解】
由已知及韦达定理可得,
?a?1?3
,
b?1?3
,
即
a??4
,
b?3
,
所以
a?b??1
.
故选:
B
.
【点睛】
本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等,属于一般基础题.
9
.
B
【解析】
【分析】
由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值
.
【详解】
由
f
?
x
?
是奇函数得
?
?
?
,
又因为
f
?
所以
?
?
?
??
?
?
?x
?
?f
??x
?
得
f
?
x
?
关于
x?
对称,
4
?
4
??
4
?
?
2<
br>?k
?
,k?Z
,
?
4
?
??
?
解得
?
??2?4k,k?Z,
所以当
k?1
时,得
A
答案;
当
k?2
时,得
C
答案
;当
k?3
时,得
D
答案;
故选
B.
【点睛】
本题考查三角函数的奇偶性和对称性,属于基础题
.
10
.
A
【解析】
【分析】
根据空间中直线与平面的位置关系,逐项进行判定,即可求解
.
【详解】
由题意,直线
l
与平面
?
相交,
对于
A
中,平面内与
l
无交点的直线都与直线
l
异面,所以有无数条,正确
;
对于
B
中,平面内的直线与
l
要么相交,要么异面,不
可能平行,所以,错误;
对于
C
中,平面
?
内有无数条平
行直线与直线
l
垂直,所以,错误;
对于
D
中,由
A
知,
D
错误
.
故选
A.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面的位置关系的应用
,其中解答中熟记直线与平面的位置关系,合理判定是解答
的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能
力,属于基础题
.
11
.
C
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得
A
,进而可得解
.
【详解】
在
?ABC
中,
AB?3
,
AC?1
,
B?3
0
,
S
?ABC
?
13
,可得
sinA?1,所以
A?90
,
ABACsinA?
22
所以
C?180?A?B??60
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积公式,属于基础题
.
12
.
C
【解析】
【分析】
由向量的模公式以及数量积公式,即可得到本题答案
.
【详解】
因为向量
|a|?|b|?1
,
a
与
b
的夹角为
6
0?
,
所以
|a?2b|?(a?2b)
2
?
故选:
C
【点睛】
本题主要考查平面向量的模的公式以及数量积公式
.
二、填空题:本题共4小题
13
.
a?4ab?4b
2
?
|a|
2
?4|a||b|cos60
?
?4|b|
2
?3
.
2
?
3
【解析】
【分析】
利用向量垂直数量积为零列等式可得
tanx?
【详解】
因为a?(sinx,3),b?(?1,cosx)
,且
a?b
,
所以
a?b??sinx?3cosx?0
,
可得
tanx?
3
,从而可得结果
.
3
,
?
?
?
x?
又因为
?0,
?
,
?
2
?
所以
x?
??
,故答案为
.
33
【点睛】
利用向量的位置关系求
参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(
1
)两向量平行,利用
x
1y
2
?x
2
y
1
?0
解答;(
2)两向量垂直,利用
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
解答
.
14
.
2
n
?2
【解析】
【分析】
n
由题意得出
a
n?1
?a
n
?2
,利用累加法可求出
a
n
.
【详解】
n
n
数列
?
a
n
?
满足
a
1
?4
,
a
n?1
?a
n
?2
,
n
?N
*
,
?a
n?1
?a
n
?2
,
因此,
a
n
?a
1
?
?
a
2
?a
1
?
?
?
a
3
?a
2
?
?
故答案为:
2
n
?2
.
【点睛】
?
?
a
n
?a
n?1
?
?4?2?2?<
br>2
?2
n?1
?4?
2
?
1?2
n?1?
1?2
?2
n
?2
.
本题考查利用累加法求数列的
通项,解题时要注意累加法对数列递推公式的要求,考查计算能力,属于中
等题
.
15
.
1
3
【解析】
【分析】
直接利用长度型几何概型求解即可
.
【详解】
因为区间总长度为
2?
?
?1
?
?3
,
符合条件的区间长度为
1?0?1
,
所以,由几何概型概率公式可得,
在区间
[-1,2]
上随机取一
个数
x,
则
x∈[0,1]
的概率为
故答案为:
【点睛】<
br>
解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与长度有关的几何概型问
题关鍵是
计算问题的总长度以及事件的长度
.
16
.如果
l⊥α<
br>,
m∥α
,则
l⊥m
或如果
l⊥α
,
l⊥m
,则
m∥α.
【解析】
【分析】
1
,
3
1
.
3
将所给论断,分别作为条件、结论加以分析
.
【详解】
将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:
(
1
)如果
l⊥α
,
m∥α
,则
l⊥m.
正确;
(
2
)如果
l⊥α
,
l⊥m,则
m∥α.
正确;
(
3
)如果
l⊥m,
m∥α
,则
l⊥α.
不正确,有可能
l
与
α
斜交、
l∥α.
【点睛】
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.(
Ⅰ)
x?1?0
或
3x?4y?5?0
;(
Ⅱ
)(
ⅰ
)圆心为
(3,1)
,半径
r?3
;(
ⅱ
)见
解析
【解析】
【分析】
(
Ⅰ
)先判断
(?1,?2)
在圆
M
外,
所以圆
M
过点
(?1,?2)
的切线有两条.再由斜率是否存在分别
讨
论.(
Ⅱ
)(
ⅰ
)设直线
PA
和
PB<
br>把其与直线
x?3
交于
C
,
D
两点表示出来,写出圆
的方程化简即可.(
ⅱ
)
先求出以
CD
为直径的圆
C
2
被
x
轴截得的弦长,在设出
PA
和
PB
的直线
方程,分别求出与直线
x?3
的交
点,求出圆心,再根据勾股定理易求解.
【详解】
(
Ⅰ
)因为点
(?1,?2)
在圆
M
外,
所以圆
M
过点
(?1,?2)
的切线有两条.
当直线的斜率不存在时,直线方程为
x??1
,满足条件.
当直线的斜率存在时,可设为
y?2?k(x?1)
,即
kx?y?k?2?0.
由圆心到切线的距离
d?
k?2
k
2
?1
?1
,解得
k?
.
此时切线方程为
3x?4y?5?0
.
3
4
综上,圆
M
的切线方程为
x?1?0
或
3x?4y?5?0
.
(
Ⅱ
)因为圆
M
与
x
轴相交于
A
,
B
两点,所以
A(?1,0)
,
B(1,0)
.
(
ⅰ
)当点
P
坐标为
(0,1)
时
,直线
PA
的斜率为
k
PA
?1
,直线
PA
的方程为
y?x?1
.
直线
PA
与直线
x?3
的交点坐标为
C(3,4)
,
同理直线
PB
的斜率为
k
PB
??
1
,直线
PB
的方程为
y??x?1
.
直线<
br>PB
与直线
x?3
的交点坐标为
D(3,?2)
.
所以以
CD
为直径的圆的圆心为
(3,1)
,半径
r?3<
br>.
(
ⅱ
)以
CD
为直径的圆
C
2
被
x
轴截得的弦长为定值
42
.
22
设点
P
?
x
0
,y
0
?
,
?y
0
?0
?
则
x
0
?y
0
?
1
.
直线
PA
的斜率为k
PA
?
y
0
y
0
(x?1)
.
,直线
PA
的方程为
y?
x
0
?1
x
0
?1
4y
0
)
.
x
0?1
直线
PA
与直线
x?3
的交点坐标为
C(3,同理直线
PB
的斜率为
k
FB
?
y
0
y
0
(x?1)
.
,直线
PB
的方程为
y?
x
0
?1
x
0
?1
2y
0
)
.
x
0
?1
直线
PB
与直线
x
?3
的交点坐标为
D(3,
所以圆的圆心
N(3,
y
0(3x
0
?1)
y
0
(x
0
?3)
)
r?
,半径为.
2
x
0
2
?1
x
0
?1
y
0
(x
0
?3)
2
y
0
(3x
0
?1)
2
8y
0
2
(
1?x
0
2
)
|?()
?2
方法一:圆被
x
轴截得的弦长为
2|
22
x
0
2
?1x
0
2
?1
(x
0
?1)
8(1?x
0
2
)(1?x
0
2
)
?2
?42
.
(x
0
2
?1)
2
所以以
CD
为直径的圆
C
2
被
x
轴截得的弦长为定值
42
.
<
br>2
方法二:圆的方程为
(x?3)?(y?
y
0
(3x
0
?1)
2
y
0
(x
0
?3)
2
)?()
.
22
x
0
?1x
0
?1<
br>y
0
(x
0
?3)
2
y
0
(3x<
br>0
?1)
2
8y
0
2
(1?x
0
2
)8(1?x
0
2
)(1?x
0
2
)
)?
(y?)
??
令
y?0
,解得
(x?3)?(
?8
.
2222
x
0
2
?1x
0
2
?1
(x
0
?1)(x
0
?1)
2
所以
x?3?22
.
所以圆与
x
轴的交点坐标分别为
(3?2
2,0)
,
(3?22,0)
.
所以以
CD
为直
径的圆
C
2
被
x
轴截得的弦长为定值
42
.
【点睛】
此题考查解析几何中关于圆的题目,一般做法是设而不求,将需要的信
息表示出来再化简求值,属于一般
性题目.
18
.(
1
)
非奇非偶,理由见解析;(
2
)
21
或
20
个
.
【解析】
【分析】
(
1
)先利用辅助角公式化
简
F
?
x
?
,再利用
F(0)?0
和
F<
br>?
?
?
?
??
?
?
?F
???可判断
F(x)
为非奇非偶函数
.
?
4
??
4
?
(
2
)求出
g
?
x
?
的解析
式后结合函数的图像、周期及给定区间的特点可判断在给定的范围上的零点的个数
.
【详解】
(
1
)
F
(x)?2sinx?2sin(x?
?
)?22sin(x?)
,
24
?
则
F(0)?2?0
,故
F(x)
不是奇函数,<
br>
又
F
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?0,F?22
F??F
,
???
????
,故
F(x)
不是偶函数
.
?<
br>4
??
4
?
?
4
??
4
?
综上,
F(x)
为非奇非偶函数
.
(
2
)
f(x
)?2sin(2x),g(x)?2sin(2x?
?
3
)?1,T?
?<
br>,
g
?
x
?
的图象如图所示:
令
g(x)?0
,则
sin(2x?
则
2x?
?
1
)??
,
32
?
3
?2k
?
?
7
?
??
或
2x??2k
?
?
,
k?Z
,
636
也就是
x?k
?
?
?<
br>2
?
或者
x?k
?
?
,
k?Z
,<
br>
12
3
所以
g
?
x
?
在形如?
m,m?
?
?
的区间上恰有两个不同零点
.
把区间
[a,a?10
?
]
分成
10
个小区间,它们分别为:
?
?
a?
?
i?1
?
?
,a?i<
br>?
?
,
i?1,2,9
及
?
a?9
?
,a?10
?
?
,
根据函数的图像可知:
前
9
个区间的长度恰为一个周期且左闭右开,故每个区间恰有两个不同的零点,
最后一个区间的长度恰为一个周期且为闭区间,故该区间上可能有两个不同的零点或
3
个不同
的零点
.
故在区间
[a,a?10
?
]
上
g?
x
?
可有
21
个或者
20
个零点
.
【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、正弦型函数在给定范围上的零点个数,注意
说明一个函数不是奇函数或不
是偶函数,可通过反例来说明,而零点个数的判断则需综合考虑给定区间的
长度、开闭情况及函数的周期
.
19
.(
1
)
【解析】
【分析】
72
(
2
)
AB?42
10
(
1
)根据二倍角公式及同角基本关系式,求出
cos∠ABC
,进而可求出
s
inA
;
(
2
)根据正弦定理求出
AC
,
BC
的关系,利用向量的数量积公式求出
AC
,可得
BC
,正弦定理可得答案.
【详解】
(
1
)由
∠CBD=
θ
,且
tanθ
?2?
1
,所以
θ∈
(
0
,
?
),
2
cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
2
所以cos∠ABC
?
,
??
222
cos
?<
br>?sin
?
1?tan
?
2
则
sin∠ABC
?
由
cosC
?
2
,
2
34
,得:
sinC
?
,
55
72
.
10
sinA
=
sin[π
﹣(
∠ABC+∠C
)
]
=
sin
(
∠A
BC+∠C
)
?
BCACAB
??
4
,
(
2
)由正弦定理,得
722
5
102
7
AC;
5
7
3
又
CA
?
CB
?
AC
2
?
?
21
,
5
5即
BC
?
∴AC
=
5
,
∴AB
?
42
AC
=
4
2
.
5
【点睛】
本题考查了二倍角公式、同角基本关系式和正弦定理的灵活运用和计算能力,是中档题.
,
?
?
. (2)
?
1,3
?
20
.
(1)
?
0,
?
和
?
?
3
?
?
6
?
【解析】
【分析】
?
π
?
?
5
?
?
?
??
fx
?2sin2x?
(
1
)利用辅助角公式可将函数化简为
??
??<
br>?1
;令
6
??
2k
?
?
?
2?2x?
?
6
?2k
?
?
?
2
?k?Z
?
可求出
f
?
x
?
的单调递增区间,截
取在
?
0,
?
?
上的部分即可得到所
求的单调递增区间;(
2
)利用
x
的范围
可求得
2x?
范围,进而得到函数的值域
.
【详解】
(
1
)
f
?
x
?
?3sin2x?cos2x?1?
2sin
?
2x?
令
2k
?
?
?
6
的范围,对应正弦函数的图象可求得
sin
?
2x?
?
?
?
?
?
的
6
?
?
?
?
?
?
?1
6
?
?
2
?2x?
?
6
?2k
?
?
?
?
?
2
?
k?Z<
br>?
,解得:
k
?
?
?
6
?x?k
?
?
?
3
?
k?Z
?
令
k?0<
br>,可知
f
?
x
?
在
?
0,
?
上单调递增
3
π
?
?
令
k?1
,可知
f
?
x
?
在
?
?
5
?
?
,
?
?
上单调递增
6
??
?
π
?
?
5
?
?
?y?f
?
x
?在
?
0,
?
?
上的单调递增区间为:
?
0,<
br>?
和
?
,
?
?
?
3
?<
br>?
6
?
(
2
)当
x?
?
?
?
2
?
?
?
??
?
5
?
??,
?
时,
2x??
?
0,?sin2x?
??
?
?
0,1
?
?
1212636<
br>??????
?
??
?2sin
?
2x?
?
?1?
?
1,3
?
6
??
即
y?f?
x
?
在
?
【点睛】
本题考查正弦型函数单
调区间和值域的求解问题;解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式,将
?
?
5
?
?
,
?
的值域为:
?
1,3
?
?
1212
?
?
x?
?
整体对应正弦函数的单调区
间或整体所处的范围,从而结合正弦函数的知识可求得结果
.
21
.(
1<
br>)见解析(
2
)
?
,
?
23
【解析】
【分析】
(
1
)根据已
知可变形为
?
15
?
??
11
??
常数;(
2
)首先求数列
?
b
n
?
的通项公式,然后利用裂项相消
法求
a
n?1
a
n
S
n
?
1
?<
br>1
?
*
1?
??
,若满足
2t?3?S
n<
br>?t
对
n?N
恒成立,需满足
2t?3?
?
S
n
?
min
,
t?
?
S
n
?
m
ax
,求
t
2
?
2n?1
?
的取值范围
.
【详解】
(
1
)证明:因为
a
n?1
?
a
n
?2a
n?1
a
n
?0
,
所以
a
n?1
?a
n
??2a<
br>n?1
a
n
,,
则
11
??2
.
a
n?1
a
n
1
又
a
1
1
,
故数列
?
?
1
?
?
是以
1
为首项,
2
为公差的等
差数列.
a
?
n
?
1
?2n?1
,则<
br>a
n
?
1
.
(
2
)由(
1
)可知
a
n
2n?1
因为
b
n
?
11
?
11
?
a
n
?
?
?
,所
以
b
n
?
?
,
2n?12n?122n?12n
?1
????
?
2n?1
?
1?
?
1
??
11
??
11
?
?
1?
?
?
?<
br>?
?
?
?
?
?
?
2
?
?<
br>?
3
??
35
??
57
?
1
??1
?
1
??
1
?
?
??1?
??
??
.
2n?12n?122n?1
??
?
??
所以
S
n
?
11
?S
1
?S
n
?
.
32
115
1
所以
2t?3?
,且
t?
,解得
?t?
.
2
323易知
S
n
单调递增,则
故
t
的取值范围为
?<
br>,
?
.
23
【点睛】
本题考查了证明等
差数列的方法,以及裂项相消法求和,本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问
题,涉及最值时,
需先判断函数的单调性,可以根据函数特征直接判断单调性或是根据
a
n?1
?an
的正负判
断单调性,然后求最值
.
22
.(
1)
f(x)?[?3?1,3?1]
,
?
【解析】
【分析】
(
1
)将函数化简
f(x)?
?
15
?
??
7
?
?
?
?
22?3
?k
?
,?k
?
?
,k?Z
;
.
(<
br>2
)
sinA?
1212
??
6
?
??3sin
?
2x?
?
?1
,利用三角函数的取值范围的单调性得
到答案
.
3
??
(
2
)通过函数计算
sinB?
【详解】
(
1
)
∵
f(x)?
?
22
,
C?
,再计算
sinA?sin(B?C)
代入数据得到答
案
.
3
3
?
??
33
?
??
s
in2x?cos2x?1?3sin
?
2x?
?
?1
且
s
in
?
2x?
?
?[?1,1]
3
??
223
??
∴
故所求值域为
f(x)?[?3?1,3?1]
由
?<
br>2
?2k
?
?2x?
?
3
?
3
?<
br>?2k
?
,k?Z
得:
2
所求减区间:
?
7
?
?
?
?
?k
?
,?k
??
,k?Z
;
12
?
12
?
(2
)
∵
A,B,C
是
?ABC
的三个内角,
c
osB?
1
22
,
∴
sinB?1?cos
2<
br>B?
3
3
∴
又
f
?
1
?
C
??
C
?
?
?
?
3
?
?3sin
2???1?
,即
sinC??
???
??
23
?
2
?
2
??
3
?
2
?
又
∵
C?
∴
C?
?
?
?
4
?
?<
br>?
,
3
?
33
,
?
?
,
?
?
3
故
sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cos
BsinC?
2211322?3
,
????
32326
故
sinA?
【点睛】
22?3
.
6
本题考查了三角函数的最值,单调性,角度的大小,意在考查
学生对于三角函数公式性质的灵活运用
.
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.在
ABC
中,
AB?5
,
BC?53
,
A?
?
3
,点
P
是
ABC
内(包括边界)的一动点
,且
AP?
A
.
6
32
AB?
?
AC<
br>(
?
?R
),则
AP
的最大值为(
)
55
B
.
37
C
.
35
D
.
6
2
.
(2016<
br>高考新课标
III
,理
3)
已知向量
BA?(,
A<
br>.
30
3
.在数列中,
B
.
45
,(
1
2
31
3
)
,
BC?(,),
则
?
ABC=
2
22
D
.
120
),则
C
.
60
,
A
.
B
.
C
.
2 D
.
6
4
.若
|
a
|
=
2cos
15°
,
|
b
|
=
4sin 15°
,
a
,b
的夹角为
30°
,则
a
?
b
等于
(<
br>
)
A
.
3
2
B
.
3
C
.
2
3
D
.
1
2
5
.若点
A
?
a,0
?
,B
?
0,2
?
,C
?
1,3
?
共线
,
则
a
的值为(
)
A
.
?2
B
.
?1
C
.
0
D
.
1
x?y?1
6
.设
x,y
满足约束条件
{y?x
,
则
z?3x?y
的最大值为
(
)
y??2
A
.
7 B
.
6 C
.
5
D
.
3
7
.
△
ABC
中,已知
a?x<
br>,
b?2
,
B?60
,如果
△
ABC
有两组
解,则
x
的取值范围(
)
A
.
x?2
B
.
x?2
C
.
2?x?
4
3
3
D
.
2?x?
4
3
3
a?c
的值为
( )
b
a,b,c
分别是角
A,B,C
的对边
,
若
bsinA?3acosB?0
,<
br>且
b
2
?ac
,
8
.在
?ABC
中
,则
A
.
2 B
.
2
C
.
2
2
D
.
4
9
.盒中装有除颜色以外,形状大小完全相同的
3
个红球、
2
个白球、
1
个黑球,从中任取
2个球,则互斥
而不对立的两个事件是(
)
A
.至少有一个白球;至少有一个红球
C
.恰有一个白球:一个白球一个黑球
B
.至少有一个白球;红、黑球各一个
D
.至少有一个白球;都是白球
10
.若
a
、<
br>b
、
c>0
且
a(a
+
b
+
c)<
br>+
bc
=
4
-
2
3
,则
2a
+
b
+
c
的最小值为
(
)
A
.
3
-
1
B
.
3
+
1
C
.
2
3
+
2
D
.
2
3
-
2
11
.当
x>0
时,不等式
x
2
?mx?9>0
恒成立,则实数
m
的取值范
围是( )
6)
A
.
(-?,6]
B
.
(-?,
C
.
[6,+?)
D
.
(6,+?)
?
x?y?2?0
?
12.已知实数
x
,
y
满足约束条件
?
x?y?1?0,那么目标函数
z?2x?y
的最大值是(
)
?
x?3
?
A
.
0 B
.
1
C
.
7
2
D
.
10
二、填空题:本题共4小题
13
.公比为
2
的等比数列
?
a
n
?
的各项都是正数,且
a
3
?a
11
?16
,则
a
6
的值为
___________
14
.已知两点
A
?
?2,0
?
,B
?
0
,4
?
,则线段
AB
的垂直平分线的方程为
_________.
15
.已知
a?
?
1,?1
?
,
b??
d,1
?
,
a
与
b
的夹角为钝角,则
d
的取值范围是
_____;
16
.在等比数列
{a
n
}
中,
a
3
?a
7
?64
,
a<
br>5
的值为
________
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.
2019
年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款
利
息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除
.
某单位老、中、青员工分别有
72,
108,120
人,现采用
分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取
25
人
调查专项附加扣除的享受情况
.
(
Ⅰ
)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(
Ⅱ)抽取的
25
人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有
6
人,分别记为
A,B,C,D,E,F
.
享受情况如
下表,其中
“
员工<
br>
A
项目
子女教育
继续教育
大病医疗
住房贷款利息
住房租金
赡养老人
○
×
×
○
×
○
○
×
×
○
×
○
×
○
×
×
○
×
○
×
○
×
×
×
×
○
×
○
×
×
○
○
×
○
×
○
B C D E F
”
表示享受,
“×”
表示不享受
.
现从这
6
人中随机抽取
2
人接受采访
.
(
i
)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(
ii
)设
M
为事件
“
抽取的
2
人享受的专项附加扣除至少有一项相同
”
,求事件
M
发生的概率
.
18
.如图,已知
OPQ
是半径为
1,圆心角为
?
的扇形,
C
是扇形狐上的动点,点
A,B
分别在半径
OP,OQ
3
上,且
OACB
是平行四边形,记
?COP?
?
,四边形
OACB
的面积为
S
,问当
?
取何值时,
S
最大?
S
的
最大值是多少?
19
.(
6
分)已知函数
f
?
x
?
?sin
?
?
x?
?
?
?
?
?0,
?
?
?
?
?
?
?
的部分图象如图所
示
.
2
?
(
1
)求函数
f
?
x
?
的解析式,并求出
f
?
x
?
的单调递
增区间;
(
2
)若
f
?
x
0
?
?
3
??
,x
0
?[,]
,求
cos2x
0
的值
542
20
.(
6
分)数列
?
a
n
?
中,
a
1<
br>?1
,
a
n
?a
n?1
?2a
n?1
a
n
.
?
1
?
(
1
)求证:数列??
为等差数列,求数列
?
a
n
?
的通项公式;
?
a
n
?
(
2
)若数列
?
a
n
a
n?1
?
的前
n
项和为
T
n
,求证:
T
n
?
21
.(
6
分)已知a?1
且
a?R
,比较
1
.
2
1
与
1?a
的大小
.
1?a
22.(
8
分)如图,在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,平面
ACC
1
A
1
?
平面
ABB
1
A
1
,
?B
1
A
1
A
??C
1
A
1
A?60?
,
AA
1
?A<
br>1
C
1
?A
1
B
1
?2
,
Q
为棱
AC
的中点.
(
1
)证明:
AC
1
?B
1
Q
;
(
2
)求三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的高.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.
B
【解析】
【分析】
利用余弦
定理和勾股定理可证得
B?
?
2
;取
AE?
3
AB
,作
EFAC
,根据平面向量平行四边形法则可
5
知
P点轨迹为线段
EF
,由此可确定
AP
【详解】
max
?AF
,利用勾股定理可求得结果
.
AC
2
?AB
2
?BC
2
AC
2
?25?751
由余弦
定理得:
cosA???
?AC?10
2AC?AB10
AC2
?AB
2
?BC
2
?AC
2
?B?
如图,取
AE?
?
2
3
AB,作
EFAC
,交
BC
于
F
5
P
在
?ABC
内(包含边界)
?P
点轨迹为线段
EF
?
当
P
与
F
重合时,
AP
最大
EFAC
?
BEBF
?
?BF?23
ABBC
?AF?AB
2
?BF
2
?25?12?37
,即
AP
max
?37
故选:
B
【点睛】
本题考查向量模长最值的求解问题,
涉及到余弦定理解三角形的应用;解题关键是能够根据平面向量线性
运算确定动点轨迹,根据轨迹确定最值点
.
2
.
A
【解析】
1331
???
BA?BC
2222
?
3
,所以
?ABC?30?
,故选
A
.
试题分析:由题意,得
cos?ABC??
1?12
BABC
【考点】向量的
夹角公式.
|a||b|cos
?
,其中
?
是
a
与
b
的夹角,要注意夹角的定【思维拓展】(
1
)平面向量
a
与
b
的数量积为
a?b=
义和它的取值范围:
0?
?
?180
;(
2
)由向量的数量积的性质知
|a|=a?a,,
a·b=0?a?b
,因此,利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有
关的问题.
3
.
D
【解析】
【分析】
将代入递推公式可得,同理可得出和。
【详解】
,(,),,,则
.
【点睛】
本题
用将的值直接代入递推公式的方法求某一项,适用于所求项数低的题目,若求项数较高则需要求数
列通项
公式。
4
.
B
【解析】
分析:先根据向量数量积定义化简,再根据二倍角公式求值
.
详解:因为
a
?b?2cos15
0
?4sin15
0
?cos30
0
?
4sin30
0
cos30
0
?2sin60
0
?3
,
所以选
B.
点睛:平面向量数量积的类型及求法
(1)
求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式
a?b?|a|?|b|cos
?
;二是坐标公式
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
;
三是利用数量积的几何意义
.
(2)
求较复杂的平
面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简
.
5
.
A
【解析】
【分析】
通过三点共线转化为向量共线,即可得到答案
.
【详解】
由题意,可知
BC?
?
1,1
?
,又
AB?
?
?a,2
?
,点
A
?
a,
0
?
,B
?
0,2
?
,C
?
1,3
?
共线,则
BCAB
,即
?a?2
,
??
??<
br>所以
a??2
,故选
A.
【点睛】
本题主要考查三点共线的条件,难度较小
.
6
.
A
【解析】
【分析】
【详解】
考点:简单线性规划.
专题:计算题.
分析:首先作出可行域,
再作出直线
l
0
:
y=-3x
,将
l
0
平
移与可行域有公共点,直线
y=-3x+z
在
y
轴上的截
距最大时,
z
有最大值,求出此时直线
y=-3x+z
经过的可行域内的点
A<
br>的坐标,代入
z=3x+y
中即可.
解:如图,作出可行
域,作出直线
l
0
:
y=-3x
,将
l
0
平移至过点
A
(
3
,
-2
)处时,函数
z=3x+
y
有最大值
1
.
故选
A
.
点
评:本题考查线性规划问题,考查数形结合思想.解答的步骤是有两种方法:一种是:画出可行域画法,
标明函数几何意义,得出最优解.另一种方法是:由约束条件画出可行域,求出可行域各个角点的坐标,
将坐标逐一代入目标函数,验证,求出最优解.
7
.
D
【解析】
ab24343
????a?sinA,
A+C=180°-60°=120°
,
由正弦定理得
sinAsinB3
3
3
2
由题意得:
A
有两个值,且这两个值之和为
180°
,
∴
利用正弦函数的图象可得:
60°
<
A<
120°
,
若
A=9
0
,这样补角也是
90°
,一解,不合题意,
?
3
<
sinA
<
1
,
2
∵x=
4
343
sinA
,则
2
<
x
<
33
故选
D
8
.
A
【解析】
【分析】
由正弦定理,化简求得
sinB?3cosB?0
,解得
B?
解,得到答案.
【详解】
在
?ABC中,因为
bsinA?3acosB?0
,
且
b
2
?a
c
,
由正弦定理得
sinBsinA?3sinAcosB?0
,
因为
A?(0,
?
)
,则
sinA?0
,
所以
sinB?3cosB?0
,即
tanB?3
,解得
B
?
22222
?
3
,再由余弦定理,求得
4b
2
?
?
a?c
?
,即可求
2
?
3
,
222
由余弦定理得
b?a?c?2accosB?a?c?ac?(a?c)?3a
c?(a?c)?3b
,
即
4b
2
?
?
a?c
?
,解得
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应
用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系,
熟练掌握定理、合理运用是解本题的关
键.通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,
运用正弦定理求解;当涉及三边或两边
及其夹角时,运用余弦定理求解
.
9
.
B
【解析】
【分析】
根据对立事件和互斥事件的定义,对每个选项进行逐一分析即可
.
【详解】
从
6
个小球中任取
2
个小球,共有15
个基本事件,
因为存在事件:取出的两个球为
1
个白球和
1
个红球,
故至少有一个白球;至少有一个红球,这两个事件不互斥,故
A
错误;
因为存在事件:取出的两个球为
1
个白球和
1
个黑球,
故恰有一个白球:一个白球一个黑球,这两个事件不互斥,故
C
错误;
2
a?c
?2
,故选
A
.
b
因为存在事件:取出的两个球都是白球,
故至少有一个白球;都是白球,这两个事件不互斥,故
D
错误;
因
为至少有一个白球,包括:
1
个白球和
1
个红球,
1
个白球
和
1
个黑球,
2
个白球这
3
个基本事件;红、黑
球各一个只包括
1
个红球
1
个白球这
1
个基本事件,
故两个事件互斥,因还有其它基本事件未包括,故不对立
.
故
B
正确
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查互斥事件和对立事件的辨析,属基础题
.
10
.
D
【解析】
由
a(a
+
b
+
c)
+
bc
=
4
-
2
3
,
(a
+
b)
=
4
-
2
3
. 得
(a
+
c)·
∵a
、
b
、
c>0.
?
2a?b?c
?
(
当且仅当
a
+
c=
b
+
a
,即
b
=
c
时取
“
=
”)
,
∴(a
+
c)·(a
+
b)≤
??
2
??
∴2a
+
b
+
c≥2
4-23
=
2(
3
-
1)
=
2
3
-
2.
故选:
D
点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意
“
拆、拼、凑
”
等技巧,使其满足基本不等式中
“
正
”(
即条件
要求中字母为正数
)
、
“
定
”(不等式的另一边必须为定值
)
、
“
等
”(
等号取得的条
件
)
的条件才能应用,否则会
出现错误
11
.
A
【解析】
【分析】
m
<(
x
?
当
x
>
0
时,不等式
x
2
﹣
mx+9<
br>>
0
恒成立
?
而可得实数
m
的取值范围.
【详解】
当
x
>
0
时,不等式
x
2
﹣
mx+9
>
0
恒成立
?
当
x
>
0
时,不等式
m
<
x
?
当
x
>
0
时,
x
?
因此(
x
?
2
99
)
min
,利用基本不等式可求得(
x
?
)
min
=
6
,从
xx
99
m
<(
x
?<
br>)
min
,
恒成立
?
xx
9
9<
br>?
2
x??
6
(当且仅当
x
=
3
时
取
“
=
”
),
x
x
9
)
min
=
6
,
x
所以
m
<
6
,
故选
A
.
【点睛】
本题考查函数恒成立问题,分离参数
m
是关键,考查等价转化思想与基本不等式的应用,属于中
档题.
12
.
D
【解析】
【分析】
根据约束条件,画出可行域,再平移目标函数所在的直线,找到最优点,将最优点的坐标代入目标函数求
最值
.
【详解】
画出可行域(如图),
<
br>平移直线
z?2x?y
,当目标直线过点
(3,?4)
时,目标函数取
得最大值,
z
max
?2?3?
?
?4
?
?10<
br>.
故选:
D
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值问题,还考查了数形结合的思想,属于基础题
.
二、填空题:本题共4小题
13
.
2
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质与基本量法求解即可
.
【详解】
2
由题
,
因为
a
3
?
a
11
?16?a
7
?16
,
又等比数列
?
a
n
?
的各项都是正数
,
故
a
7
?4<
br>.
故
a
6
?
a
7
?2
.
2
故答案为:
2
【点睛】
本题主要考查了等比数列的等积性与各项之间的关系
.
属于基础题
.
14
.
x?2y?3?0
【解析】
【分析】
求出直线
AB
的斜率和线段
AB
的中点,利用两直线垂直时斜率之积为
?1
可得出线段
AB的垂直平分线的
斜率,然后利用点斜式可写出中垂线的方程.
【详解】
0?4
?2
,
?2?0
1
1
所以,线段
AB
的垂直平分线的斜率为
?
,其方程为
y?2??
?x?1
?
,即
x?2y?3?0
.
2
2
线段
AB
的中点坐标为
?
?1,2
?
,直线
AB
的斜率为
故答案为
x?2y?3?0
.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线方程的求解,有如下两种方法求解:
(
1
)求出中垂线的斜率和线段的中点,利用点斜式得出中垂线所在直线方程;
(
2)设动点坐标为
?
x,y
?
,利用动点到线段两端点的距离相等列式求出
动点的轨迹方程,即可作为中垂
线所在直线的方程.
15
.
?
??,?1
?
【解析】
【分析】
?
?1,1
?
a
与
b
的夹角为钝角,即数量积小于
0.
【详解】
因为
a
与
b
的夹角为钝角,
所以
a
与
b
的数量积小于
0
且不平行
.
a?b?d?1?0?d?1
且
d??1
所以
d?
?
??,?1
?
【点睛】
本题考查两向量的夹角为钝角的坐标表示,一定注意数量积小于
0
包括平角.
16
.
?8
【解析】
【分析】
2
根据等比数列的性质,可得
a
5
?a
3
?a
7
?64
,即可求解
.
?
?1,1
?
【详解】
2
由题意,根据等比数列的性质,可得
a
5?a
3
?a
7
?64
,解得
a
5
??
8
.
故答案为:
?8
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质的应用,其中解答熟记等比数列的性质,准
确计算是解答的关键,着重考
查了计算能力,属于基础题
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.(
I)
6
人,
9
人,
10
人;
(
II
)(
i
)见解析;(
ii
)
【解析】
【分析】
(
I
)根据题中所给的老、中、青员工人数,求得人数比
,利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相
等的,结合样本容量求得结果;
(<
br>II
)(
I
)根据
6
人中随机抽取
2
人,将
所有的结果一一列出;
(
ii
)根据题意,找出满足条件的基本事件,利用公式求得概率
.
【详解】
(
I
)由已知,老、中、青员工人数之比为
6:9:10
,
由于采取分层抽样的方法从中抽取
25
位员工,
因此应从老、中、
青员工中分别抽取
6
人,
9
人,
10
人
.
(
II
)(
i
)从已知的
6
人中随机抽取
2人的所有可能结果为
11
.
15
?
A,B
?
,
?
A,C
?
,
?
A,D
?
,
?
A,E
?
,
?
A,F
?
,
?<
br>B,C
?
,
?
B,D
?
,
?
B,E
?
,
?
B,F
?
,
?
C,D
?<
br>,
?
C,E
?
,
?
C,F
?
,?
D,E
?
,
?
D,F
?
,
?
E,F
?
,
共
15
种;
(
ii
)由表格知,符合题意的所有可能结果为
?
A,B
?
,
?
A,D
?
,
?
A,E
?
,
?
A,F
?
,
?
B,D
?
,
?
B,E
?
,
?
B,F
?
,
?
C,E
?
,
?
C,F
?
,
?
D,F
?
,
?
E,
F
?
,
共
11
种,
所以,事件
M
发生的概率
P(M)?
【点睛】
本
小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本
知
识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力
.
18
.当
?
?
【解析】
【分析】
设
OA?x
,
OB?y
,在
?OAC
中,由余弦定理,
基本不等式可得
xy?
求解.
11
.
15
?
6
时,
S
最大,最大值为
3
6
1
,根据三角形的面积公式即可
3
【详解】
解:设
OA?x,OB?y
,
22<
br>在
OAC
中,由余弦定理得:
x?y?xy?1
,
由基本不等式,
1?x?y?xy?3xy
,可得
xy?
∴
S?xy
sin60
?
?
22
1
,当且仅当
x?y
时取等号
,
3
?
33
x?y
?
?
,当且仅当时取
等号,此时,
xy?
6
26
3
.
6<
br>∴
当
?
?
?
6
时,
S
最大,最大值
为
【点睛】
本题主要考查余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式的综合应用,考
查了计算能力和转化思想,属于
基础题.
?
?
?
?
?
?
?
3?43
??k
?
,?k
?
?<
br>?
k?Z
?
;
fx?sin2x?
19
.
(
1
)
??
(
2
)
??
;递增区
间为
?
36
6
?
10
???
【解析】
【分析】
T2
???
???
,从而求得
T??
,进而求得
?
?2
,再代入点的坐标
2362
???
可得
?
值,从而求得解析式;解不等式
??2k
?
?2x???2k
?
?
k?Z
?
,可得函数的单调增区间;
262
(
1
)由图可知其函数的周期满足
(
2
)由题意可
得
f
?
x
0
?
?sin
?
2x
0
?
?
?
?
?
?
?
2
?
7
?
?
3
?
??
?
?
x?,2x??
?
,
?
,利用平方,结合,得到
00
?
??
6<
br>?
5
426
???
36
?
关系,求得
cos
?
2x
0
?
【详解】
?
?
?<
br>?
4
?
??
,之后利用差角余弦公式求得结果
.
6
?
5
(
1
)设函数
f
?
x
?的周期为
T
,
由图可知
2
?
T2
???
?
?
,
???
,
∴
T?
?
,即
?
2362
∵
?
?0
,
∴
?
?
2
,
∴
f
?
x
?
?sin
?
2x
?
?
?
,
??
?
?
?
?
?
?
,1
?
,有
sin
?
?
?
?
?1
,得
?
?
??2k
?
,
k?Z,
32
?
3
?
?
6
?
上式
中代入
?
即
?
??
?
6
?2k
?
,
k?Z
,
,
∴
?
?
又
∵?
?
令
?
?
2
?
?
π
?,
∴
f
?
x
?
?sin
?
2x??
,
6
?
6
?
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
,解得
?
?
3
?k
?
?x?
?
6
?k
?
?
k?Z
?
,
?
?
?
?
??k
?
,?k
?<
br>?
?
k?Z
?
;
fx
即
??
的递增区间为
?
6
?
3
?
(
2
)
f
?
x
0
?
?sin
?
2x
0
?
?
?
?
?
3
?
,
?
6
?
5
?
?
2
?
7
?
?
?
?
4
?
?
??
?
cos2x???<
br>x?,2x??,
又
0
?
,
∴
,
∴
;
0
?
0
?
6
?
5
6
?
?
?
42
?
??
36
?
?
∴<
br>cos2x
0
?cos
?
?
2x
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6
?
6
?
?
?
??
??
??
?cos
?
2x
0
?
?
cos
?sin
?
2x
0
?
?
sin
6
?
66
?
6
??
43313?43
.
??????
525210
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的
问题,涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式,求正弦型函数的单调区
间,同角三角函数关系式,利
用整体角思维,结合差角正弦公式求三角函数值,属于简单题目
.
20
.(
1
)
a
n
?
【解析】
【分析】
(1)
结合
a
n
?a
n?1<
br>?2a
n?1
a
n
,
构造数列
?
可
.(2)
运用裂项相消法
,
即可
.
【详解】
*
(
1
)由
a
1
?1
,
a
n
?a
n?1
?2a
n?1
a
n
(即
a
n?1
?
2a
n
?1
?
?a
n
)
,可得
a
n
?0n?N
,
1
;(
2
)见解析
2n?1
?
1
?
?
,
证明得到该数列为等差数列
,
结合等差通项数列计算方法<
br>,
即
?
a
n
?
??
所以
11
??2
,
a
n?1
a
n
所以数列
?
1
?
1
?
?
1
为首项,以
2
为公差的等差数列,
是以
?
a<
br>1
?
a
n
?
1
?1?2
?
n?1<
br>?
,
所以
a
n
即
a
n
?
1
.
2n?1
111
?
11
?
??
?
?
?<
br>,
2n?12n?12
?
2n?12n?1
?
(<
br>2
)
a
n
a
n?1
?
所以
T
n
?
1
?
111111
?
??????
2
?
133557
?
11
?
1
?
1
??
?
?
?
1?
?
,
2n?12n?
1
?
2
?
2n?1
?
1
?0
,
2n?1
1
所以
T
n
?
.
2
因为
【点睛】
本道题考查了等差数列通项计算方法和裂项相消法
,
难度一般
.
21
.详见解析
【解析】
【分析】
1a
2
a
2
a
2
a
2
将两式作差可得,由
?
?
1?a
?
??0
、
?0
和
?
0
可得大小关系
.
1?a1?a1?a1?a1?a
【详解】
<
br>1?
?
1?a
??
1?a
?
1?
?
1?a
1
?
?
1?a
?
??
1?a1?a1?a<
br>2
?
?
a
2
1?a
1
a
2
??1?a
当
a
?1
且
a?0
时,
?0
1?a
1?a
1
a
2
?1?a
当
a?0
时,
?0
?
1?a
1?a
1
a
2
?1?a
当
a?1
时,
?0
?
1?a
1?
a
综上所述:当
a?
?
??,0
??
0,1
?时,
11
?1?a
;当
a?0
时,
?1?a
;
当
a?
?
1,??
?
时,
1?a1?a
1
?1?a
1?a
【点睛】
本题考查作差法比较大小的问题,关键
是能够根据所得的差进行分类讨论;易错点是忽略差等于零,即两
式相等的情况
.
22
.(
1
)证明见解析(
2
)
【解析】
【分析】
215
5
(
1
)连接
AB
1
,
A
1
C
,作
P
为棱
A
A
1
的中点,连结
PQ
,
PB
1
,由平面
ACC
1
A
1
?
平面
ABB
1
A
,得到
B
1
P?
平面
AAC
11
C
,则<
br>B
1
P?AC
1
,再由
AC
1
?PQ
,即可证明
AC
1
?
平面
B
1
PQ
,从
而得证;
(
2
)根据等体积法求出点面距
.
【详解】
(
1
)证明:连接
AB
1
,<
br>A
1
C
.
∵
A
1
B
1<
br>?AA
1
,
?B
1
A
1
A?60?
,
∴
A
1
B
1
A
是等边三角形.
作
P
为棱
AA
1
的中点,连结
PQ
,
PB
1
,
∴
B
1
P?AA
1
.
∵
平面
ACC
1
A
1
?
平面
ABB<
br>1
A
,平面
ACC
1
A
1
∴
B1
P?
平面
AAC
11
C
.
∵AC
1
?
平面
AAC
11
C
,
∴B
1
P?AC
1
.
∵
AA
1
?A
1
C
1
,
∴
平行四边形
ACC
1
A
1
是菱形.
∴
AC
1
?AC
1
.
又
P,
Q
分别为
AA
1
,
AC
的中点,
∴
PQA
1
C
,
∴
AC
1
?PQ
.
又
PQ
平面
ABB
1
A
1<
br>?AA
1
,
B
1
P?
平面
ABB
1
A
1
,
PB
1
?P
,
PB1
?
平面
B
1
PQ
,
PQ?
平面B
1
PQ
.
∴
AC
1
?
平
面
B
1
PQ
.
又
B
1
Q?平面
B
1
PQ
,
∴
AC
1
?B
1
Q
.
(
2<
br>)解:连接
PC
1
,
∵
AA
1
?AC
11
?2
,
?C
1
A
1
A?60?
,<
br>
∴
AC
1
A
1
为正三角形.
∵
P
为
AA
1
的中点,
∴
PC
1
?
AA
1
,
PC
1
?
同理可得
PB
1
?
2
2
?1
2
?3
2
2
?1
2
?3
又
∵
平面ACC
1
A
1
?
平面
ABB
1
A1
,
且平面
ACC
1
A
1
平面ABB
1
A
1
?AA
1
,
PC
1?
平面
ACC
1
A
1
,
∴
PC
1
?
平面
ABB
1
A
1
.
∴
B
1
C
1
?
?
3
?
?
?
3
?
22
?6
,
S
?AA
1<
br>B
1
?
11
?AA
1
?PB
1
??
2?3?3
22
又三棱柱
ABC?A
1
B
1C
1
的高即点
A
到平面
A
1
B
1C
1
的距离
h
.
在
△A
1
B
1
C
1
中,
A
1
B
1
?A1
C
1
?2
,
B
1
C
1
?6
,则
S
又
∵
V
A?A
1
B
1C
1
?V
C
1
?AA
1
B
1
,
∴
A
1
B
1
C
1
?
6
?
115
2
.
??6?2?
?
??
??
22
?
2
?
2
11
?S
?A
1
B
1
C
1
?h??S
?AA
1<
br>B
1
?PC
1
,
33
1151
???h??3?3
323
则
h?
215
.
5
【点睛】
本题考查线面垂直,线线垂直的证明,三棱锥的体积及点到平面的距离的计算,属于中档题
.