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2020学年上海市闵行区新高考高一数学下学期期末复习检测试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 21:22
tags:高中数学视频

高中数学俏皮-2015夏季高中数学会考

2020年9月17日发(作者:闵耀中)



一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1

(x
2
?3x?2)
5
的展开式中含
x
3
的项的系数为(



A

-1560 B

-600 C

600 D

1560
2< br>.已知
{a
n
}
是等差数列,且
a
2
+ a
5
+ a
8
+ a
11
=48
,则
a
6
+ a
7
= ( )
A

12 B

16 C

20 D

24
3
.设平面向量
a?(1,2)

b? (?2,y)
,若
a?b
,则
a?b
等于(



A

5
B

6
C

2
D

10

4
.若某程序框图如图所示
,
则该程序运行后输出的值是(




A

3 B

4 C

5 D

6
5
.实数数列
1,a,4,b< br>2
为等比数列,则
a?




A

-2 B

2 C

?2
D

?22

6
.若
|
a
|

2cos 15°

|
b
|

4sin 15°

a ,b
的夹角为
30°
,则
a
?
b
等于
(< br>
)
A

3

2
B

3
C

2
3
D

1

2
7
.如图所示,在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E

F
分别是
AB

AD
的中点,则异面直线
B1
C

EF
所成的角
的大小为
(

)

A

30° B

45° C

60° D

90°
8
.已知
a,b?R< br>,若关于
x
的不等式
x
2
?ax?b?0
的解集为< br>?
1,3
?
,则
a?b?




A

?7
B

?1
C

1 D

7



?
9
.已知奇函数
...
f(x)?2sin(
?
x?
?)(
?
?0,0?
?
?2
?
)
满足
f
?
4
?x
?
?f
?
4
?x
?,则的取值不可
..
????
能是(




A

2 B

4 C

6 D

10
?
?
??
?
?
10
. 若直线
l
与平面
?
相交,则(



A
.平面
?
内存在无数条直线与直线
l
异面

B
.平面
?
内存在唯一的一条直线与直线
l
平行

C
.平面
?
内存在唯一的一条直线与直线
l
垂直

D
.平面
?
内的直线与直线
l
都相交

1 1
.在
?ABC
中,
AB?3

AC?1

B?30

S
?ABC
?
A

60
或< br>120
B

30
C

60

3
,则
C?




2
D

45

12
.已知向量
|a|?| b|?1

a

b
的夹角为
60?
,则
| a?2b|?




A

3 B

2 C

3
D

1
二、填空题:本题共4小题
13
.设向量
a?(sinx,3),b?(? 1,cosx)
,若
a?b

x?
?
0,
?
?
?
?
?
,则
x?
.
2
?
n
14
.数列
?
a
n
?
满足
a
1
?4

a
n?1
?a
n
?2

n?N
*
,则数列
?
a
n
?
的 通项公式
a
n
?
______.
15
.在区间
[ -1,2]
上随机取一个数
x,

x∈[0,1]
的概率为
.
16
.已知
l

m
是平面
?
外的两条不同直线.给出下列三个论断:

①l⊥m

②m∥
?
③l⊥
?


以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作 为结论,写出一个正确的命题:
__________


三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.已知圆
M

x
2
?y
2
?1




)求过点
(?1,?2)
的圆
M
的切线方程;



)设圆
M

x
轴相交于
A

B
两点,点
P
为圆
M
上异于
A

B的任意一点,直线
PA

PB
分别与
直线
x?3
交于
C

D
两点.



)当点
P
的坐标为
(0,1)
时,求以
CD
为直径的圆的圆心坐标及半径
C
2




)当点
P
在圆M
上运动时,以
CD
为直径的圆
C
2

x轴截得的弦长是否为定值?请说明理由.

18
.已知函数
f(x)?2 sin(
?
x)
,其中常数
?
?0



1
)令
?
?1
,判定函数
F(x)?f(x)?f(x?< br>?
2
)
的奇偶性,并说明理由;




2
)令
?
?2
,将函数
y?f(x)
图 像向右平移
?
个单位,再向上平移
1
个单位,得到函数
y?g(x)
的图
6
像,对任意
a?R
,求
y?g(x)
在区间
[a,a?10
?
]
上零点个数的所有可能值;

19.(
6
分)如图,在
△ABC
中,
cosC


1


3
,角
B
的平分线
BD

AC
于点
D
,设
∠CBD

θ
,其中< br>tanθ

2
5


1
)求
sinA
的值;


2
)若
CA?CB?21
,求
AB
的长.

20
.(
6
分)已知函数
f
?
x
?
?3sin2x?cos 2x?1
.

1
)求
y?f
?
x
?在区间
?
0,
?
?
上的单调递增区间;

(< br>2
)求
y?f
?
x
?

?
?
?
5
?
?
,
?
的值域
.
1212??
21
.(
6
分)在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1

a
n?1
?a
n
?2a
n?1
a
n
?0
,数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
S
n
,且
b
n
?

1
)证明:数列
?
a
n


2n?1
?
1
?
?
是等差数列.
?
a
n
?

2
)若
2t?3?S
n< br>?t

n?N
*
恒成立,求
t
的取值范围.

22
.(
8
分)已知函数
y?f(x)?sin
?
2x?
?
?
?
?
2
?
?2
?
co sx?1
?
.
6
?

1
)求函数
y?f (x)
的值域和单调减区间;


2
)已知
A,B,C
?ABC
的三个内角,且
cosB?
1C1

f() ?
,求
sinA
的值
.
322



参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1

A



【解析】

x
3
的项可以由
x,?3x,2,2,2

?3x,?3x,?3x ,2,2
的乘积得到,所以含
x
3
的项的系数为
113
C< br>5
C
4
?
?3
?
?2
3
?C
5
?
?3
?
?2
2
??480?1080??1560< br>,故选
A.
3
2
2

D
【解析】

由等差数列的性质可得
a
2
?a
5?a
8
?a
11
?2
?
a
6
?a7
?
?48
,则
a
6
?a
7
?24< br>,故选
D.
3

D
【解析】

分析:由 向量垂直的条件,求解
y?1
,再由向量的模的公式和向量的数量积的运算,即可求解结果.
详解:由题意,平面向量
a?(1,2),b?(?2,y)
,且
a ?b


所以
a?b?1?(?2)?2y?0
,所以
y? 1
,即
b?(?2,1)


又由
a?b
2
?a
2
?2a?b?b
2
?5?2?0?5?10
,所以
a?b?10
,故选
D.
点睛:本题主要考查了向量的数量积的运算和向量模的求解 ,其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公
式和向量模的计算公式是解答的关键,着重考查了推理与运 算能力,属于基础题
.
4

C
【解析】

【分析】

根据程序框图依次计算得到答案
.
【详解】

根据程序框图依次计算得到

n?12,i?1
n?6,i?2
n?3,i?3

n?4,i?4
n?2,i?5
结束

故答案为
C
【点睛】

本题考查了程序框图,意在考查学生对于程序框图的理解能力和计算能力
.
5

B
【解析】

【分析】



由等比数列的性质计算,注意项与项之间的关系即可.

【详解】

由题意
a
2
?1?4?4

a ??2
,又
a

b
2
同号,

a?2

故选
B


【点睛】

本题考查等比数列的性质,解题时要注意等比数列中奇数项同号,偶数项同号.

6

B
【解析】

分析:先根据向量数量积定义化简,再根据二倍角公式求值
.
详解:因为
a ?b?2cos15
0
?4sin15
0
?cos30
0
? 4sin30
0
cos30
0
?2sin60
0
?3


所以选
B.
点睛:平面向量数量积的类型及求法

(1)
求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式
a?b?|a|?|b|cos
?
;二是坐标公式
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

三是利用数量积的几何意义
.
(2)
求较复杂的平 面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简
.
7

C
【解析】

连接
BD,B
1D
1
,D
1
C
,由三角形中位线定理及平行四边形性质可得EF||B
1
D
1

,所以
?D
1
B
1
C

B
1
C

EF
所成角,由 正方体的性质可知
?D
1
B
1
C
是等边三角形,所以
?D
1
B
1
C?60

B
1
C

EF
所成角是
60
,
故选
C.
8

B
【解析】

【分析】

由韦达定理列方程求出
a

b
即可得解.

【详解】

由已知及韦达定理可得,
?a?1?3

b?1?3



a??4

b?3


所以
a?b??1


故选:
B


【点睛】

本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等,属于一般基础题.

9

B



【解析】

【分析】

由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值
.
【详解】


f
?
x
?
是奇函数得
?
?
?
,

又因为
f
?
所以
?
?
?
??
?
?
?x
?
?f
??x
?

f
?
x
?
关于
x?
对称,

4
?
4
??
4
?
?
2< br>?k
?
,k?Z


?
4
?
??
?
解得
?
??2?4k,k?Z,

所以当
k?1
时,得
A
答案;


k?2
时,得
C
答案

;当
k?3
时,得
D
答案;

故选
B.
【点睛】

本题考查三角函数的奇偶性和对称性,属于基础题
.
10

A
【解析】

【分析】

根据空间中直线与平面的位置关系,逐项进行判定,即可求解
.
【详解】

由题意,直线
l
与平面
?
相交,

对于
A
中,平面内与
l
无交点的直线都与直线
l
异面,所以有无数条,正确 ;

对于
B
中,平面内的直线与
l
要么相交,要么异面,不 可能平行,所以,错误;

对于
C
中,平面
?
内有无数条平 行直线与直线
l
垂直,所以,错误;

对于
D
中,由
A
知,
D
错误
.
故选
A.
【点睛】

本题主要考查了直线与平面的位置关系的应用 ,其中解答中熟记直线与平面的位置关系,合理判定是解答
的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能 力,属于基础题
.
11

C
【解析】

【分析】



由三角形面积公式可得
A
,进而可得解
.
【详解】

?ABC
中,
AB?3

AC?1

B?3 0
,
S
?ABC
?
13
,可得
sinA?1,所以
A?90


ABACsinA?
22
所以
C?180?A?B??60

【点睛】

本题主要考查了三角形的面积公式,属于基础题
.
12

C
【解析】

【分析】

由向量的模公式以及数量积公式,即可得到本题答案
.
【详解】

因为向量
|a|?|b|?1

a

b
的夹角为
6 0?


所以
|a?2b|?(a?2b)
2
?
故选:
C
【点睛】

本题主要考查平面向量的模的公式以及数量积公式
.
二、填空题:本题共4小题
13

a?4ab?4b
2
? |a|
2
?4|a||b|cos60
?
?4|b|
2
?3
.
2
?

3
【解析】

【分析】

利用向量垂直数量积为零列等式可得
tanx?
【详解】

因为a?(sinx,3),b?(?1,cosx)
,且
a?b


所以
a?b??sinx?3cosx?0


可得
tanx?
3
,从而可得结果
.
3


?
?
?
x?
又因为
?0,
?


?
2
?
所以
x?
??
,故答案为
.
33



【点睛】

利用向量的位置关系求 参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(
1
)两向量平行,利用
x
1y
2
?x
2
y
1
?0
解答;(
2)两向量垂直,利用
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
解答
.
14

2
n
?2

【解析】

【分析】

n
由题意得出
a
n?1
?a
n
?2
,利用累加法可求出
a
n
.
【详解】
n
n
数列
?
a
n
?
满足
a
1
?4

a
n?1
?a
n
?2

n ?N
*

?a
n?1
?a
n
?2


因此,
a
n
?a
1
?
?
a
2
?a
1
?
?
?
a
3
?a
2
?
?
故答案为:
2
n
?2
.
【点睛】

?
?
a
n
?a
n?1
?
?4?2?2?< br>2
?2
n?1
?4?
2
?
1?2
n?1?
1?2
?2
n
?2
.
本题考查利用累加法求数列的 通项,解题时要注意累加法对数列递推公式的要求,考查计算能力,属于中
等题
.
15

1

3
【解析】

【分析】

直接利用长度型几何概型求解即可
.
【详解】

因为区间总长度为
2?
?
?1
?
?3


符合条件的区间长度为
1?0?1


所以,由几何概型概率公式可得,

在区间
[-1,2]
上随机取一 个数
x,

x∈[0,1]
的概率为
故答案为:
【点睛】< br>
解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与长度有关的几何概型问 题关鍵是
计算问题的总长度以及事件的长度
.
16
.如果
l⊥α< br>,
m∥α
,则
l⊥m
或如果
l⊥α

l⊥m
,则
m∥α.
【解析】

【分析】


1


3
1
.
3



将所给论断,分别作为条件、结论加以分析
.
【详解】

将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:


1
)如果
l⊥α

m∥α
,则
l⊥m.
正确;


2
)如果
l⊥α

l⊥m,则
m∥α.
正确;


3
)如果
l⊥m
m∥α
,则
l⊥α.
不正确,有可能
l

α
斜交、
l∥α.
【点睛】

本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.(

x?1?0

3x?4y?5?0
;(

)(

)圆心为
(3,1)
,半径
r?3
;(

)见 解析

【解析】

【分析】



)先判断
(?1,?2)
在圆
M
外,

所以圆
M
过点
(?1,?2)
的切线有两条.再由斜率是否存在分别 讨
论.(

)(

)设直线
PA

PB< br>把其与直线
x?3
交于
C

D
两点表示出来,写出圆 的方程化简即可.(


先求出以
CD
为直径的圆
C
2

x
轴截得的弦长,在设出
PA

PB
的直线 方程,分别求出与直线
x?3
的交
点,求出圆心,再根据勾股定理易求解.

【详解】



)因为点
(?1,?2)
在圆
M
外,

所以圆
M
过点
(?1,?2)
的切线有两条.

当直线的斜率不存在时,直线方程为
x??1
,满足条件.

当直线的斜率存在时,可设为
y?2?k(x?1)
,即
kx?y?k?2?0


由圆心到切线的距离
d?
k?2
k
2
?1
?1
,解得
k?


此时切线方程为
3x?4y?5?0


3
4
综上,圆
M
的切线方程为
x?1?0

3x?4y?5?0




)因为圆
M

x
轴相交于
A

B
两点,所以
A(?1,0)

B(1,0)




)当点
P
坐标为
(0,1)
时 ,直线
PA
的斜率为
k
PA
?1
,直线
PA
的方程为
y?x?1


直线
PA
与直线
x?3
的交点坐标为
C(3,4)



同理直线
PB
的斜率为
k
PB
?? 1
,直线
PB
的方程为
y??x?1


直线< br>PB
与直线
x?3
的交点坐标为
D(3,?2)


所以以
CD
为直径的圆的圆心为
(3,1)
,半径
r?3< br>.



)以
CD
为直径的圆
C
2

x
轴截得的弦长为定值
42


22
设点
P
?
x
0
,y
0
?

?y
0
?0
?

x
0
?y
0
? 1




直线
PA
的斜率为k
PA
?
y
0
y
0
(x?1)

,直线
PA
的方程为
y?
x
0
?1
x
0
?1
4y
0
)


x
0?1
直线
PA
与直线
x?3
的交点坐标为
C(3,同理直线
PB
的斜率为
k
FB
?
y
0
y
0
(x?1)


,直线
PB
的方程为
y?
x
0
?1
x
0
?1
2y
0
)


x
0
?1
直线
PB
与直线
x ?3
的交点坐标为
D(3,
所以圆的圆心
N(3,
y
0(3x
0
?1)
y
0
(x
0
?3)
)
r?
,半径为.

2
x
0
2
?1
x
0
?1
y
0
(x
0
?3)
2
y
0
(3x
0
?1)
2
8y
0
2
( 1?x
0
2
)
|?()
?2

方法一:圆被
x
轴截得的弦长为
2|
22
x
0
2
?1x
0
2
?1
(x
0
?1)
8(1?x
0
2
)(1?x
0
2
)
?2
?42


(x
0
2
?1)
2
所以以
CD
为直径的圆
C
2

x
轴截得的弦长为定值
42

< br>2
方法二:圆的方程为
(x?3)?(y?
y
0
(3x
0
?1)
2
y
0
(x
0
?3)
2
)?()


22
x
0
?1x
0
?1< br>y
0
(x
0
?3)
2
y
0
(3x< br>0
?1)
2
8y
0
2
(1?x
0
2
)8(1?x
0
2
)(1?x
0
2
)
)? (y?)
??

y?0
,解得
(x?3)?(
?8


2222
x
0
2
?1x
0
2
?1
(x
0
?1)(x
0
?1)
2
所以
x?3?22


所以圆与
x
轴的交点坐标分别为
(3?2 2,0)

(3?22,0)


所以以
CD
为直 径的圆
C
2

x
轴截得的弦长为定值
42


【点睛】

此题考查解析几何中关于圆的题目,一般做法是设而不求,将需要的信 息表示出来再化简求值,属于一般
性题目.

18
.(
1
) 非奇非偶,理由见解析;(
2

21

20

.
【解析】

【分析】


1
)先利用辅助角公式化 简
F
?
x
?
,再利用
F(0)?0

F< br>?
?
?
?
??
?
?
?F
???可判断
F(x)
为非奇非偶函数
.
?
4
??
4
?

2
)求出
g
?
x
?
的解析 式后结合函数的图像、周期及给定区间的特点可判断在给定的范围上的零点的个数
.
【详解】




1

F (x)?2sinx?2sin(x?
?
)?22sin(x?)


24
?

F(0)?2?0
,故
F(x)
不是奇函数,< br>

F
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?0,F?22
F??F

???
????
,故
F(x)
不是偶函数
.
?< br>4
??
4
?
?
4
??
4
?
综上,
F(x)
为非奇非偶函数
.

2

f(x )?2sin(2x),g(x)?2sin(2x?
?
3
)?1,T?
?< br>,
g
?
x
?
的图象如图所示:



g(x)?0
,则
sin(2x?

2x?
?
1
)??


32
?
3
?2k
?
?
7
?
??

2x??2k
?
?

k?Z


636
也就是
x?k
?
?
?< br>2
?
或者
x?k
?
?

k?Z
,< br>
12
3
所以
g
?
x
?
在形如?
m,m?
?
?
的区间上恰有两个不同零点
.
把区间
[a,a?10
?
]
分成
10
个小区间,它们分别为:
?
?
a?
?
i?1
?
?
,a?i< br>?
?

i?1,2,9

?
a?9
?
,a?10
?
?


根据函数的图像可知:


9
个区间的长度恰为一个周期且左闭右开,故每个区间恰有两个不同的零点,

最后一个区间的长度恰为一个周期且为闭区间,故该区间上可能有两个不同的零点或
3
个不同 的零点
.
故在区间
[a,a?10
?
]

g?
x
?
可有
21
个或者
20
个零点
.
【点睛】

本题考查正弦型函数的奇偶性、正弦型函数在给定范围上的零点个数,注意 说明一个函数不是奇函数或不
是偶函数,可通过反例来说明,而零点个数的判断则需综合考虑给定区间的 长度、开闭情况及函数的周期
.



19
.(
1

【解析】

【分析】

72

2

AB?42

10

1
)根据二倍角公式及同角基本关系式,求出
cos∠ABC
,进而可求出
s inA




2
)根据正弦定理求出
AC

BC
的关系,利用向量的数量积公式求出
AC
,可得
BC
,正弦定理可得答案.
【详解】


1
)由
∠CBD
θ
,且
tanθ
?2?
1
,所以
θ∈

0

?
),

2
cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
2
所以cos∠ABC
?


??
222
cos
?< br>?sin
?
1?tan
?
2

sin∠ABC
?

cosC
?
2


2
34
,得:
sinC
?


55
72


10
sinA

sin[π
﹣(
∠ABC+∠C

]

sin

∠A BC+∠C

?
BCACAB
??
4



2
)由正弦定理,得
722
5
102
7
AC

5
7
3


CA
?
CB ?
AC
2
?
?
21


5
5
BC
?
∴AC

5


∴AB
?
42
AC

4
2


5
【点睛】

本题考查了二倍角公式、同角基本关系式和正弦定理的灵活运用和计算能力,是中档题.

,
?
?
. (2)
?
1,3
?
20

(1)
?
0,
?

?
?
3
?
?
6
?
【解析】

【分析】
?
π
?
?
5
?
?
?
??
fx ?2sin2x?

1
)利用辅助角公式可将函数化简为
??
??< br>?1
;令
6
??
2k
?
?
?
2?2x?
?
6
?2k
?
?
?
2
?k?Z
?
可求出
f
?
x
?
的单调递增区间,截 取在
?
0,
?
?
上的部分即可得到所



求的单调递增区间;(
2
)利用
x
的范围 可求得
2x?
范围,进而得到函数的值域
.
【详解】


1

f
?
x
?
?3sin2x?cos2x?1? 2sin
?
2x?

2k
?
?
?
6
的范围,对应正弦函数的图象可求得
sin
?
2x?
?
?
?
?
?

6
?
?
?
?
?
?
?1

6
?
?
2
?2x?
?
6
?2k
?
?
?
?
?
2
?
k?Z< br>?
,解得:
k
?
?
?
6
?x?k
?
?
?
3
?
k?Z
?


k?0< br>,可知
f
?
x
?

?
0,
?
上单调递增

3
π
?
?

k?1
,可知
f
?
x
?

?
?
5
?
?
,
?
?
上单调递增

6
??
?
π
?
?
5
?
?
?y?f
?
x
?
?
0,
?
?
上的单调递增区间为:
?
0,< br>?

?
,
?
?

?
3
?< br>?
6
?

2
)当
x?
?
?
?
2
?
?
?
??
?
5
?
??,
?
时,
2x??
?
0,?sin2x?

??
?
?
0,1
?

?
1212636< br>??????
?
??
?2sin
?
2x?
?
?1?
?
1,3
?

6
??

y?f?
x
?

?
【点睛】

本题考查正弦型函数单 调区间和值域的求解问题;解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式,将
?
?
5
?
?
,
?
的值域为:
?
1,3
?

?
1212
?
?
x?
?
整体对应正弦函数的单调区 间或整体所处的范围,从而结合正弦函数的知识可求得结果
.
21
.(
1< br>)见解析(
2

?
,
?

23
【解析】

【分析】


1
)根据已 知可变形为
?
15
?
??
11
??
常数;(
2
)首先求数列
?
b
n
?
的通项公式,然后利用裂项相消 法求
a
n?1
a
n
S
n
?
1
?< br>1
?
*
1?
??
,若满足
2t?3?S
n< br>?t

n?N
恒成立,需满足
2t?3?
?
S
n
?
min

t?
?
S
n
?
m ax

,求
t
2
?
2n?1
?
的取值范围
.
【详解】


1
)证明:因为
a
n?1
? a
n
?2a
n?1
a
n
?0




所以
a
n?1
?a
n
??2a< br>n?1
a
n
,,


11
??2


a
n?1
a
n
1

a
1
1


故数列
?
?
1
?
?
是以
1
为首项,
2
为公差的等 差数列.

a
?
n
?
1
?2n?1
,则< br>a
n
?
1



2
)由(
1
)可知
a
n
2n?1
因为
b
n
?
11
?
11
?
a
n
?
?
?
,所 以
b
n
?
?


2n?12n?122n?12n ?1
????
?
2n?1
?
1?
?
1
??
11
??
11
?
?
1?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
2
?
?< br>?
3
??
35
??
57
?
1
??1
?
1
??
1
?
?
??1?
??
??


2n?12n?122n?1
??
?
??
所以
S
n
?
11
?S
1
?S
n
?


32
115
1
所以
2t?3?
,且
t?
,解得
?t?


2
323易知
S
n
单调递增,则

t
的取值范围为
?< br>,
?


23
【点睛】

本题考查了证明等 差数列的方法,以及裂项相消法求和,本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问
题,涉及最值时, 需先判断函数的单调性,可以根据函数特征直接判断单调性或是根据
a
n?1
?an
的正负判
断单调性,然后求最值
.
22
.(
1
f(x)?[?3?1,3?1]

?
【解析】

【分析】


1
)将函数化简
f(x)?
?
15
?
??
7
?
?
?
?
22?3
?k
?
,?k
?
?
,k?Z

.
(< br>2

sinA?
1212
??
6
?
??3sin
?
2x?
?
?1
,利用三角函数的取值范围的单调性得 到答案
.
3
??

2
)通过函数计算
sinB?
【详解】


1


f(x)?
?
22

C?
,再计算
sinA?sin(B?C)
代入数据得到答 案
.
3
3
?
??
33
?
??
s in2x?cos2x?1?3sin
?
2x?
?
?1

s in
?
2x?
?
?[?1,1]

3
??
223
??




故所求值域为
f(x)?[?3?1,3?1]


?< br>2
?2k
?
?2x?
?
3
?
3
?< br>?2k
?
,k?Z
得:

2
所求减区间:
?
7
?
?
?
?
?k
?
,?k
??
,k?Z


12
?
12
?
2


A,B,C

?ABC
的三个内角,
c osB?
1
22



sinB?1?cos
2< br>B?
3
3


f
?
1
?
C
??
C
?
?
?
?
3
?
?3sin 2???1?

,即
sinC??
???
??
23
?
2
?
2
??
3
?
2
?


C?

C?
?
?
?
4
?
?< br>?
,
3
?
33
,
?
?


?
?
3

sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cos BsinC?
2211322?3
,
????
32326

sinA?
【点睛】

22?3
.
6
本题考查了三角函数的最值,单调性,角度的大小,意在考查 学生对于三角函数公式性质的灵活运用
.





一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1
.在
ABC
中,
AB?5

BC?53

A?
?
3
,点
P

ABC
内(包括边界)的一动点 ,且
AP?
A

6
32
AB?
?
AC< br>(
?
?R
),则
AP
的最大值为(



55
B

37
C

35
D

6
2

(2016< br>高考新课标
III
,理
3)
已知向量
BA?(,
A< br>.
30
3
.在数列中,
B

45
,(
1
2
31
3
)
,
BC?(,),


?
ABC=
2
22
D

120
),则

C

60

A

B

C

2 D

6
4
.若
|
a
|

2cos 15°

|
b
|

4sin 15°

a ,b
的夹角为
30°
,则
a
?
b
等于
(< br>
)
A

3

2
B

3
C

2
3
D

1

2
5
.若点
A
?
a,0
?
,B
?
0,2
?
,C
?
1,3
?
共线
,

a
的值为(



A

?2
B

?1
C

0
D

1

x?y?1
6
.设
x,y
满足约束条件
{y?x
,

z?3x?y
的最大值为





y??2
A

7 B

6 C

5 D

3
7


ABC
中,已知
a?x< br>,
b?2

B?60
,如果

ABC
有两组 解,则
x
的取值范围(



A

x?2
B

x?2
C

2?x?
4
3

3
D

2?x?
4
3

3
a?c
的值为
( )
b
a,b,c
分别是角
A,B,C
的对边
,

bsinA?3acosB?0
,< br>且
b
2
?ac

8
.在
?ABC
中 ,则
A

2 B

2
C

2

2
D

4
9
.盒中装有除颜色以外,形状大小完全相同的
3
个红球、
2
个白球、
1
个黑球,从中任取
2个球,则互斥
而不对立的两个事件是(



A
.至少有一个白球;至少有一个红球

C
.恰有一个白球:一个白球一个黑球

B
.至少有一个白球;红、黑球各一个

D
.至少有一个白球;都是白球

10
.若
a
、< br>b

c>0

a(a

b

c)< br>+
bc

4

2
3
,则
2a

b

c
的最小值为
(

)
A

3

1

B

3

1



C

2
3

2 D

2
3

2
11
.当
x>0
时,不等式
x
2
?mx?9>0
恒成立,则实数
m
的取值范 围是( )

6)
A

(-?,6]
B

(-?,
C

[6,+?)
D

(6,+?)

?
x?y?2?0
?
12.已知实数
x

y
满足约束条件
?
x?y?1?0,那么目标函数
z?2x?y
的最大值是(



?
x?3
?
A

0 B

1 C

7

2
D

10
二、填空题:本题共4小题
13
.公比为
2
的等比数列
?
a
n
?
的各项都是正数,且
a
3
?a
11
?16
,则
a
6
的值为
___________
14
.已知两点
A
?
?2,0
?
,B
?
0 ,4
?
,则线段
AB
的垂直平分线的方程为
_________.
15
.已知
a?
?
1,?1
?
,
b??
d,1
?

a

b
的夹角为钝角,则
d
的取值范围是
_____;
16
.在等比数列
{a
n
}
中,
a
3
?a
7
?64

a< br>5
的值为
________
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17

2019
年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款
利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除
.
某单位老、中、青员工分别有
72, 108,120
人,现采用
分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取
25
人 调查专项附加扣除的享受情况
.


)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?


)抽取的
25
人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有
6
人,分别记为
A,B,C,D,E,F
.
享受情况如
下表,其中

员工< br>
A
项目

子女教育

继续教育

大病医疗

住房贷款利息

住房租金

赡养老人


×
×

×


×
×

×

×

×
×

×

×

×
×
×
×

×

×
×


×

×

B C D E F

表示享受,
“×”
表示不享受
.
现从这
6
人中随机抽取
2
人接受采访
.

i
)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;




ii
)设
M
为事件

抽取的
2
人享受的专项附加扣除至少有一项相同

,求事件
M
发生的概率
.
18
.如图,已知
OPQ
是半径为
1,圆心角为
?
的扇形,
C
是扇形狐上的动点,点
A,B
分别在半径
OP,OQ
3
上,且
OACB
是平行四边形,记
?COP?
?
,四边形
OACB
的面积为
S
,问当
?
取何值时,
S
最大?
S

最大值是多少?


19
.(
6
分)已知函数
f
?
x
?
?sin
?
?
x?
?
?
?
?
?0,
?
?
?
?
?
?
?
的部分图象如图所 示
.
2
?


1
)求函数
f
?
x
?
的解析式,并求出
f
?
x
?
的单调递 增区间;


2
)若
f
?
x
0
?
?
3
??
,x
0
?[,]

,求
cos2x
0
的值

542
20
.(
6
分)数列
?
a
n
?
中,
a
1< br>?1

a
n
?a
n?1
?2a
n?1
a
n
.
?
1
?

1
)求证:数列??
为等差数列,求数列
?
a
n
?
的通项公式;

?
a
n
?

2
)若数列
?
a
n
a
n?1
?
的前
n
项和为
T
n
,求证:
T
n
?
21
.(
6
分)已知a?1

a?R
,比较
1
.
2
1

1?a
的大小
.
1?a
22.(
8
分)如图,在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,平面
ACC
1
A
1
?
平面
ABB
1
A
1

?B
1
A
1
A ??C
1
A
1
A?60?

AA
1
?A< br>1
C
1
?A
1
B
1
?2

Q
为棱
AC
的中点.




1
)证明:
AC
1
?B
1
Q


2
)求三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的高.




参考答案
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1

B
【解析】

【分析】

利用余弦 定理和勾股定理可证得
B?
?
2
;取
AE?
3
AB
,作
EFAC
,根据平面向量平行四边形法则可
5

P点轨迹为线段
EF
,由此可确定
AP
【详解】

max
?AF
,利用勾股定理可求得结果
.
AC
2
?AB
2
?BC
2
AC
2
?25?751
由余弦 定理得:
cosA???

?AC?10

2AC?AB10 AC2
?AB
2
?BC
2
?AC
2

?B?
如图,取
AE?
?
2

3
AB,作
EFAC
,交
BC

F

5

P

?ABC
内(包含边界)

?P
点轨迹为线段
EF

?

P

F
重合时,
AP
最大

EFAC

?
BEBF
?

?BF?23

ABBC
?AF?AB
2
?BF
2
?25?12?37
,即
AP
max
?37

故选:
B

【点睛】

本题考查向量模长最值的求解问题, 涉及到余弦定理解三角形的应用;解题关键是能够根据平面向量线性



运算确定动点轨迹,根据轨迹确定最值点
.
2

A
【解析】

1331
???
BA?BC
2222
?
3
,所以
?ABC?30?
,故选
A


试题分析:由题意,得
cos?ABC??
1?12
BABC
【考点】向量的 夹角公式.

|a||b|cos
?
,其中
?

a

b
的夹角,要注意夹角的定【思维拓展】(
1
)平面向量
a

b
的数量积为
a?b=
义和它的取值范围:
0?
?
?180
;(
2
)由向量的数量积的性质知
|a|=a?a,,
a·b=0?a?b
,因此,利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有 关的问题.

3

D
【解析】

【分析】

将代入递推公式可得,同理可得出和。

【详解】

,(,),,,则
.
【点睛】

本题 用将的值直接代入递推公式的方法求某一项,适用于所求项数低的题目,若求项数较高则需要求数
列通项 公式。

4

B
【解析】

分析:先根据向量数量积定义化简,再根据二倍角公式求值
.
详解:因为
a ?b?2cos15
0
?4sin15
0
?cos30
0
? 4sin30
0
cos30
0
?2sin60
0
?3


所以选
B.
点睛:平面向量数量积的类型及求法

(1)
求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式
a?b?|a|?|b|cos
?
;二是坐标公式
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

三是利用数量积的几何意义
.
(2)
求较复杂的平 面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简
.
5

A
【解析】



【分析】

通过三点共线转化为向量共线,即可得到答案
.
【详解】

由题意,可知
BC?
?
1,1
?
,又
AB?
?
?a,2
?
,点
A
?
a, 0
?
,B
?
0,2
?
,C
?
1,3
?
共线,则
BCAB
,即
?a?2

??
??< br>所以
a??2
,故选
A.
【点睛】

本题主要考查三点共线的条件,难度较小
.
6

A
【解析】

【分析】

【详解】

考点:简单线性规划.

专题:计算题.

分析:首先作出可行域, 再作出直线
l
0

y=-3x
,将
l
0
平 移与可行域有公共点,直线
y=-3x+z

y
轴上的截
距最大时,
z
有最大值,求出此时直线
y=-3x+z
经过的可行域内的点
A< br>的坐标,代入
z=3x+y
中即可.


解:如图,作出可行 域,作出直线
l
0

y=-3x
,将
l
0
平移至过点
A

3

-2
)处时,函数
z=3x+ y
有最大值
1


故选
A


点 评:本题考查线性规划问题,考查数形结合思想.解答的步骤是有两种方法:一种是:画出可行域画法,
标明函数几何意义,得出最优解.另一种方法是:由约束条件画出可行域,求出可行域各个角点的坐标,
将坐标逐一代入目标函数,验证,求出最优解.

7

D
【解析】

ab24343
????a?sinA,
A+C=180°-60°=120°


由正弦定理得
sinAsinB3 3
3
2
由题意得:
A
有两个值,且这两个值之和为
180°



利用正弦函数的图象可得:
60°

A
120°





A=9 0
,这样补角也是
90°
,一解,不合题意,
?
3


sinA

1


2
∵x=
4 343
sinA
,则
2

x


33
故选
D
8

A
【解析】

【分析】

由正弦定理,化简求得
sinB?3cosB?0
,解得
B?
解,得到答案.

【详解】


?ABC中,因为
bsinA?3acosB?0
,

b
2
?a c


由正弦定理得
sinBsinA?3sinAcosB?0


因为
A?(0,
?
)
,则
sinA?0


所以
sinB?3cosB?0
,即
tanB?3
,解得
B ?
22222
?
3
,再由余弦定理,求得
4b
2
?
?
a?c
?
,即可求
2
?
3


222
由余弦定理得
b?a?c?2accosB?a?c?ac?(a?c)?3a c?(a?c)?3b



4b
2
?
?
a?c
?
,解得
【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应 用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系,
熟练掌握定理、合理运用是解本题的关 键.通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,
运用正弦定理求解;当涉及三边或两边 及其夹角时,运用余弦定理求解
.
9

B
【解析】

【分析】

根据对立事件和互斥事件的定义,对每个选项进行逐一分析即可
.
【详解】


6
个小球中任取
2
个小球,共有15
个基本事件,

因为存在事件:取出的两个球为
1
个白球和
1
个红球,

故至少有一个白球;至少有一个红球,这两个事件不互斥,故
A
错误;

因为存在事件:取出的两个球为
1
个白球和
1
个黑球,

故恰有一个白球:一个白球一个黑球,这两个事件不互斥,故
C
错误;

2
a?c
?2
,故选
A


b



因为存在事件:取出的两个球都是白球,

故至少有一个白球;都是白球,这两个事件不互斥,故
D
错误;

因 为至少有一个白球,包括:
1
个白球和
1
个红球,
1
个白球 和
1
个黑球,

2
个白球这
3
个基本事件;红、黑 球各一个只包括
1
个红球
1
个白球这
1
个基本事件,

故两个事件互斥,因还有其它基本事件未包括,故不对立
.

B
正确
.
故选:
B.
【点睛】

本题考查互斥事件和对立事件的辨析,属基础题
.
10

D
【解析】


a(a

b

c)

bc

4

2
3


(a

b)

4

2
3
.
(a

c)·
∵a

b

c>0.
?
2a?b?c
?
(
当且仅当
a

c
b

a
,即
b

c
时取


”)


∴(a

c)·(a

b)≤
??
2
??
∴2a

b

c≥2
4-23

2(
3

1)

2
3

2.
故选:
D
点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意

拆、拼、凑

等技巧,使其满足基本不等式中


”(
即条件
要求中字母为正数
)



”(不等式的另一边必须为定值
)



”(
等号取得的条 件
)
的条件才能应用,否则会
出现错误

11

A
【解析】

【分析】

m
<(
x
?

x

0
时,不等式
x
2

mx+9< br>>
0
恒成立
?
而可得实数
m
的取值范围.

【详解】


x

0
时,不等式
x
2

mx+9

0
恒成立
?

x

0
时,不等式
m

x
?

x

0
时,
x
?
因此(
x
?
2
99

min
,利用基本不等式可求得(
x
?

min

6
,从
xx
99
m
<(
x
?< br>)
min


恒成立
?
xx
9
9< br>?
2
x??
6
(当且仅当
x

3
时 取



),

x
x
9

min

6


x
所以
m

6




故选
A


【点睛】

本题考查函数恒成立问题,分离参数
m
是关键,考查等价转化思想与基本不等式的应用,属于中 档题.

12

D
【解析】

【分析】

根据约束条件,画出可行域,再平移目标函数所在的直线,找到最优点,将最优点的坐标代入目标函数求
最值
.
【详解】

画出可行域(如图),

< br>平移直线
z?2x?y
,当目标直线过点
(3,?4)
时,目标函数取 得最大值,
z
max
?2?3?
?
?4
?
?10< br>.

故选:
D
【点睛】

本题主要考查线性规划求最值问题,还考查了数形结合的思想,属于基础题
.
二、填空题:本题共4小题
13

2
【解析】

【分析】

根据等比数列的性质与基本量法求解即可
.
【详解】

2
由题
,
因为
a
3
? a
11
?16?a
7
?16
,
又等比数列
?
a
n
?
的各项都是正数
,

a
7
?4< br>.

a
6
?
a
7
?2
.
2
故答案为:
2

【点睛】

本题主要考查了等比数列的等积性与各项之间的关系
.
属于基础题
.
14

x?2y?3?0



【解析】

【分析】

求出直线
AB
的斜率和线段
AB
的中点,利用两直线垂直时斜率之积为
?1
可得出线段
AB的垂直平分线的
斜率,然后利用点斜式可写出中垂线的方程.

【详解】

0?4
?2


?2?0
1
1
所以,线段
AB
的垂直平分线的斜率为
?
,其方程为
y?2??
?x?1
?
,即
x?2y?3?0
.
2
2
线段
AB
的中点坐标为
?
?1,2
?
,直线
AB
的斜率为
故答案为
x?2y?3?0
.
【点睛】

本题考查线段垂直平分线方程的求解,有如下两种方法求解:


1
)求出中垂线的斜率和线段的中点,利用点斜式得出中垂线所在直线方程;


2)设动点坐标为
?
x,y
?
,利用动点到线段两端点的距离相等列式求出 动点的轨迹方程,即可作为中垂
线所在直线的方程.

15

?
??,?1
?
【解析】

【分析】

?
?1,1
?

a

b
的夹角为钝角,即数量积小于
0.
【详解】

因为
a

b
的夹角为钝角,

所以
a

b
的数量积小于
0
且不平行
.
a?b?d?1?0?d?1

d??1

所以
d?
?
??,?1
?
【点睛】

本题考查两向量的夹角为钝角的坐标表示,一定注意数量积小于
0
包括平角.

16

?8

【解析】

【分析】
2
根据等比数列的性质,可得
a
5
?a
3
?a
7
?64
,即可求解
.
?
?1,1
?

【详解】

2
由题意,根据等比数列的性质,可得
a
5?a
3
?a
7
?64
,解得
a
5
?? 8
.



故答案为:
?8

【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质的应用,其中解答熟记等比数列的性质,准 确计算是解答的关键,着重考
查了计算能力,属于基础题
.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
.(
I
6
人,
9
人,
10
人;


II
)(
i
)见解析;(
ii

【解析】

【分析】


I
)根据题中所给的老、中、青员工人数,求得人数比 ,利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相
等的,结合样本容量求得结果;

(< br>II
)(
I
)根据
6
人中随机抽取
2
人,将 所有的结果一一列出;


ii
)根据题意,找出满足条件的基本事件,利用公式求得概率
.
【详解】


I
)由已知,老、中、青员工人数之比为
6:9:10


由于采取分层抽样的方法从中抽取
25
位员工,

因此应从老、中、 青员工中分别抽取
6
人,
9
人,
10

.

II
)(
i
)从已知的
6
人中随机抽取
2人的所有可能结果为

11
.
15
?
A,B
?
,
?
A,C
?
,
?
A,D
?
,
?
A,E
?
,
?
A,F
?
,
?< br>B,C
?
,
?
B,D
?
,
?
B,E
?
,
?
B,F
?
,
?
C,D
?< br>,
?
C,E
?
,
?
C,F
?
,?
D,E
?
,
?
D,F
?
,
?
E,F
?
,

15
种;


ii
)由表格知,符合题意的所有可能结果为
?
A,B
?
,
?
A,D
?
,
?
A,E
?
,
?
A,F
?
,
?
B,D
?
,
?
B,E
?
,
?
B,F
?
,
?
C,E
?
,
?
C,F
?
,
?
D,F
?
,
?
E, F
?
,

11
种,

所以,事件
M
发生的概率
P(M)?
【点睛】

本 小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本
知 识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力
.
18
.当
?
?
【解析】

【分析】

OA?x

OB?y
,在
?OAC
中,由余弦定理, 基本不等式可得
xy?
求解.


11
.
15
?
6
时,
S
最大,最大值为
3

6
1
,根据三角形的面积公式即可
3



【详解】

解:设
OA?x,OB?y


22< br>在
OAC
中,由余弦定理得:
x?y?xy?1


由基本不等式,
1?x?y?xy?3xy
,可得
xy?

S?xy sin60
?
?
22
1
,当且仅当
x?y
时取等号 ,

3
?
33
x?y
?
?
,当且仅当时取 等号,此时,

xy?
6
26
3


6< br>∴

?
?
?
6
时,
S
最大,最大值 为
【点睛】

本题主要考查余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式的综合应用,考 查了计算能力和转化思想,属于
基础题.

?
?
?
?
?
?
?
3?43
??k
?
,?k
?
?< br>?
k?Z
?

fx?sin2x?
19



1

??

2

??
;递增区 间为
?
36
6
?
10
???
【解析】

【分析】

T2
???
???
,从而求得
T??
,进而求得
?
?2
,再代入点的坐标
2362
???

可得
?
值,从而求得解析式;解不等式
??2k
?
?2x???2k
?
?
k?Z
?
,可得函数的单调增区间;
262

1
)由图可知其函数的周期满足

2
)由题意可 得
f
?
x
0
?
?sin
?
2x
0
?
?
?
?
?
?
?
2
?
7
?
?
3
?
??
?
?
x?,2x??
?
,
?
,利用平方,结合,得到
00
?
??
6< br>?
5
426
???
36
?
关系,求得
cos
?
2x
0
?
【详解】

?
?
?< br>?
4
?
??
,之后利用差角余弦公式求得结果
.
6
?
5

1
)设函数
f
?
x
?的周期为
T



由图可知
2
?
T2
???
?
?


???


T?
?
,即
?
2362




?
?0


?
? 2


f
?
x
?
?sin
?
2x ?
?
?


??
?
?
?
?
?
?
,1
?
,有
sin
?
?
?
?
?1
,得
?
?
??2k
?

k?Z

32
?
3
?
?
6
?
上式 中代入
?

?
??
?
6
?2k
?

k?Z




?
?

?
?

?
?
2
?
?
π
?

f
?
x
?
?sin
?
2x??


6
?
6
?
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
,解得
?
?
3
?k
?
?x?
?
6
?k
?
?
k?Z
?


?
?
?
?
??k
?
,?k
?< br>?
?
k?Z
?


fx

??
的递增区间为
?
6
?
3
?

2

f
?
x
0
?
?sin
?
2x
0
?
?
?
?
?
3
?


?
6
?
5
?
?
2
?
7
?
?
?
?
4
?
?
??
?
cos2x???< br>x?,2x??,

0
?






0
?
0
?
6
?
5
6
?
?
?
42
?
??
36
?
?
∴< br>cos2x
0
?cos
?
?
2x
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

6
?
6
?
?
?
??
??
??
?cos
?
2x
0
?
?
cos ?sin
?
2x
0
?
?
sin

6
?
66
?
6
??
43313?43


??????
525210
【点睛】

该题考查的是有关三角函数的 问题,涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式,求正弦型函数的单调区
间,同角三角函数关系式,利 用整体角思维,结合差角正弦公式求三角函数值,属于简单题目
.
20
.(
1

a
n
?
【解析】

【分析】

(1)
结合
a
n
?a
n?1< br>?2a
n?1
a
n
,
构造数列
?

.(2)
运用裂项相消法
,
即可
.
【详解】

*

1
)由
a
1
?1

a
n
?a
n?1
?2a
n?1
a
n

(即
a
n?1
?
2a
n
?1
?
?a
n
) ,可得
a
n
?0n?N


1
;(
2
)见解析

2n?1
?
1
?
?
,
证明得到该数列为等差数列
,
结合等差通项数列计算方法< br>,

?
a
n
?
??
所以
11
??2


a
n?1
a
n



所以数列
?
1
?
1
?
? 1
为首项,以
2
为公差的等差数列,

是以
?
a< br>1
?
a
n
?
1
?1?2
?
n?1< br>?


所以
a
n

a
n
?
1
.
2n?1
111
?
11
?
??
?
?
?< br>,

2n?12n?12
?
2n?12n?1
?
(< br>2

a
n
a
n?1
?
所以
T
n
?
1
?
111111
?
??????
2
?
133557
?
11
?
1
?
1
??
?
?
?
1?
?


2n?12n? 1
?
2
?
2n?1
?
1
?0


2n?1
1
所以
T
n
?
.
2
因为
【点睛】

本道题考查了等差数列通项计算方法和裂项相消法
,
难度一般
.
21
.详见解析

【解析】

【分析】

1a
2
a
2
a
2
a
2
将两式作差可得,由
?
?
1?a
?
??0

?0

? 0
可得大小关系
.
1?a1?a1?a1?a1?a
【详解】
< br>1?
?
1?a
??
1?a
?
1?
?
1?a
1
?
?
1?a
?
??
1?a1?a1?a< br>2
?
?
a
2

1?a
1
a
2
??1?a


a ?1

a?0
时,
?0
1?a
1?a
1
a
2
?1?a


a?0
时,
?0

?
1?a
1?a
1
a
2
?1?a


a?1
时,
?0

?
1?a
1? a
综上所述:当
a?
?
??,0
??
0,1
?时,
11
?1?a
;当
a?0
时,
?1?a
; 当
a?
?
1,??
?
时,
1?a1?a
1
?1?a

1?a
【点睛】

本题考查作差法比较大小的问题,关键 是能够根据所得的差进行分类讨论;易错点是忽略差等于零,即两
式相等的情况
.



22
.(
1
)证明见解析(
2

【解析】

【分析】

215

5

1
)连接
AB
1

A
1
C
,作
P
为棱
A A
1
的中点,连结
PQ

PB
1
,由平面
ACC
1
A
1
?
平面
ABB
1
A
,得到
B
1
P?
平面
AAC
11
C
,则< br>B
1
P?AC
1
,再由
AC
1
?PQ
,即可证明
AC
1
?
平面
B
1
PQ
,从 而得证;


2
)根据等体积法求出点面距
.
【详解】


1
)证明:连接
AB
1
,< br>A
1
C



A
1
B
1< br>?AA
1

?B
1
A
1
A?60?



A
1
B
1
A
是等边三角形.


P
为棱
AA
1
的中点,连结
PQ

PB
1


B
1
P?AA
1


平面
ACC
1
A
1
?
平面
ABB< br>1
A
,平面
ACC
1
A
1

B1
P?
平面
AAC
11
C


AC
1
?
平面
AAC
11
C

B
1
P?AC
1



AA
1
?A
1
C
1



平行四边形
ACC
1
A
1
是菱形.


AC
1
?AC
1



P
Q
分别为
AA
1

AC
的中点,


PQA
1
C


AC
1
?PQ



PQ
平面
ABB
1
A
1< br>?AA
1

B
1
P?
平面
ABB
1
A
1


PB
1
?P

PB1
?
平面
B
1
PQ

PQ?
平面B
1
PQ



AC
1
?
平 面
B
1
PQ



B
1
Q?平面
B
1
PQ


AC
1
?B
1
Q






2< br>)解:连接
PC
1


AA
1
?AC
11
?2

?C
1
A
1
A?60?
,< br>

AC
1
A
1
为正三角形.


P

AA
1
的中点,

PC
1
? AA
1

PC
1
?
同理可得
PB
1
?
2
2
?1
2
?3

2
2
?1
2
?3



平面ACC
1
A
1
?
平面
ABB
1
A1


且平面
ACC
1
A
1
平面ABB
1
A
1
?AA
1

PC
1?
平面
ACC
1
A
1



PC
1
?
平面
ABB
1
A
1



B
1
C
1
?
?
3
?
?
?
3
?
22
?6

S
?AA
1< br>B
1
?
11
?AA
1
?PB
1
?? 2?3?3

22
又三棱柱
ABC?A
1
B
1C
1
的高即点
A
到平面
A
1
B
1C
1
的距离
h



△A
1
B
1
C
1
中,
A
1
B
1
?A1
C
1
?2

B
1
C
1
?6
,则
S


V
A?A
1
B
1C
1
?V
C
1
?AA
1
B
1



A
1
B
1
C
1
?
6
?
115
2


??6?2?
?
??
??
22
?
2
?
2
11
?S
?A
1
B
1
C
1
?h??S
?AA
1< br>B
1
?PC
1


33
1151
???h??3?3

323

h?
215


5

【点睛】

本题考查线面垂直,线线垂直的证明,三棱锥的体积及点到平面的距离的计算,属于中档题
.





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