2019-2020学年四川省乐山市新高考高一数学下学期期末学业质量监测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
a ?log
1
3
,1
．设
2
1
?
1
?
b?
??
,
c?2
3
,
则（

）

?
3
?
0.2
A
．
a?b?c
B
．
c?b?a
C
．
c?a?b
D
．
b?a?c

2
2
．已知函数
f
?< br>x
?
?3sin2x?2cosx?1
，将
f
?
x< br>?
的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
1
，纵
2
坐标保持 不变；再把所得图象向上平移
1
个单位长度，得到函数
y?g
?
x< br>?
的图象，若
g
?
x
1
?
?g
?< br>x
2
?
?9
，
则
x
1
?x
2
的值可能为（

）

A
．
5
?

4
B
．
3?

4
C
．
?

2
D
．
?

3
3
．正方体
ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
中，异面直线
AA
1
与
BC
所 成角的大小为（

）

A
．
30

4
．如果直线
A
．相交

B
．
45?

直线
n
，且
B
．
C
．
60?

平面，那么
n
与的位置关系是
C
．

D
．
90?


D
．或

5
．某几何体三视图如图所示，则该几何体中的棱与面相互平行的有（

）


A
．
2
对
B
．
3
对
C
．
4
对
D
．
5
对

6
．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出
400
人参加笔试，再按笔试成绩择优选出
100
人参加面试．现
随 机抽取了
24
名笔试者的成绩，统计结果如下表所示．

分数段

人数

[60
，
65)
2
[65
，
70)
3
[70
，
75)
4
[75
，
80)
9
[80
，
85)
5
[85
，
90]
1
据此估计允许参加面试的分数线大约是
(

)
A
．
90
C
．
80
B
．
85
D
．
75
7
．已知向量
a?
?
2,0< br>?
,b?1,a?b??1
，则
a
与
b
的夹角为（< br>
）

A
．
?

6
B
．
?

4
C
．
π

3
D
．
2π

3
?
y?x
?
8
．设变量
x,y
、满足约 束条件
?
x?y?2
，则目标函数
z?2x?y
的最大值为（

）

?
y?3x?6
?
A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
9
9
．某班有男 生
30
人，女生
20
人，按分层抽样方法从班级中选出
5
人 负责校园开放日的接待工作．现从
这
5
人中随机选取
2
人，至少有< br>1
名男生的概率是（

）

A
．
1

10
B
．
3

10
C
．
7

10
D
．
9

10
10
．若圆
A
．
21
22
与圆C
2
:x?y?6x?8y?m?0
外切，则
m?
（

）

B
．
19 C
．
9 D
．
-11
?
11
．设
S
n
为数列?
a
n
?
的前
n
项和，
a
n
?S
n
?4n?N
A
．
3

12
．若数列
A
．
a
n
?()
B
．
??
，则< br>S
4
的值为（

）

D
．不确定

7

2
C
．
15

4
n
的前
n
项的和
S
n
?3?2
，那么这个数列的通项公式为
( )
3
2
n?1
B
．
a
n
?3?()
D
．
a
n
?{
1
2
n?1

C
．
a
n
?3n?2

二、填空题：本题共4小题
1,n?1

2?3
n?1
,n?2
13
．在等比 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，< br>a
2
?4
，则
S
4
?
________.
14
．
cosC=c·cosB
，在
△ABC
中，
a
、
b
、
c
分别为角
A
、
B
、< br>C
的对边，若
b·
且
cosA
＝
15
．若< br>cos
?
2

，则
cosB
的值为
____ _
．
3
?
?
??
3
?
?
?
?
?
?m
，则
cos
?
?
?
?
?
______
（用
m
表示）
.
?
4
? ?
4
?
16
．在平面直角坐标系
xOy
中，若直线
x?ay?2a?2
与直线
x?y?1?0
平行，则实数
a
的值为< br>______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
P
,
B
,
C
坐标分别为
?
0,1
?
，
?
2,0
?
，
点，直线
EP
与
x
轴负半轴交于点
A
， 直线
BP
与
AC
交于点
D
．

?
0,2
?
，
E
为线段
BC
上一

（
1
）当
E
点坐标为
?
?
13
?
,
?
时，求直线
OD
的方程 ；

2
?
2
?
（
2
）求
?BOE
与
?ABE
面积之和
S
的最小值
.
18
．设
a
为实数，函数
f
?
x
?
?
?
x?1
?
x?a,x?R
，

（
1
）若
a?1
，求不等式
f
?
x
?
?2
的解集；

（
2
）是否存在实数
a
，使得函数
f
?
x
?
在区间
?
a–1,a?1
?
上既有最大值又有最小值？若 存在，求出实数
a
的取值范围；若不存在，请说明理由；

（
3）写出函数
y?f
?
x
?
?a
在
R
上 的零点个数（不必写出过程）．

19
．（
6
分）某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了
50
名学生的成绩（满分
100
分，且抽取的学生
成绩都在
?
5 0,100
?
内），按成绩分为
?
50,60
?
，
?
60,70
?
，
?
70,80
?
，
?< br>80,90
?
，
?
90,100
?
五组，得到如图< br>所示的频率分布直方图
.

（
1
）用分层抽样的方法从月考 成绩在
?
80,100
?
内的学生中抽取
6
人，求分别抽取 月考成绩在
?
80,90
?
和
?
90,100
?< br>内的学生多少人；

（
2
）在（
1
）的前提下，从 这
6
名学生中随机抽取
2
名学生进行调查，求月考成绩在
?
90,100
?
内至少有
1
名学生被抽到的概率
.
220
．（
6
分）已知函数
f(x)?x?x?m
.
（
1
）当
m??2
时，解不等式
f(x)?0
；

（
2
）若
m?0
，

f(x)?0
的解集为
(a,b)
，求
14
?
的最 小値
.
ab
满足
21
．（
6
分）给定常数
c?0
，定义函数
f(x)?2x?c?4?x?c
，数列
a
1< br>,a
2
,a
3
,
a
n?1
?f(a
n
),n?N
*
.
（
1
）若
a
1
??c?2
，求
a
2
及
a
3
；

*
（
2
）求证：对任意
n?N,a
n?1
?a
n
?c
，；

（
3
）是否存在
a
1
，使得
a
1
,a
2
,a
n
,
成等差数列？ 若存在，求出所有这样的
a
1
，若不存在，说明理由
.
22
．（
8
分）从高三学生中抽出
50
名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所 示的频率分布直方图
.
利用频
率分布直方图求：


（
1
）这
50
名学生成绩的众数与中位数；

（< br>2
）这
50
名学生的平均成绩
.
（答案精确到
0.1
）




参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
B
【解析】

【分析】

根据与特殊点的比较可得因为
【详解】

解
:
因为
a?log
1
3?0
,
2
0?b?1
,
c?1,
从而得到
c?b?a
,
得出答案
.
a?log
1
3?log
1
1?0
,
22

?
1
??
1
?< br>0?b?
??
?
??
?1
,
?
3
??
3
?
c?2?2?1
,
所以
c?b?a
.
故选
:B
【点睛】

本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题
,
要熟记一些特殊点
,< br>如
1
3
1
3
0.20
log
a
a? 1
,
log
a
1?0
,
a
0
?1
.
2
．
C
【解析】

【分析】

利用 二倍角公式与辅助角公式将函数
y?f
?
x
?
的解析式化简，然后利 用图象变换规律得出函数
y?g
?
x
?
的解析式为
g
?
x
?
?2sin
?
4x?
?
?
??
可得函数
y?g
?
x
?
的值域为
?
?1,3
?
，结合条件
g
?
x
1
?
?g< br>?
x
2
?
?9
，
?
?1
，
6
?
可得出
g
?
x
1
?
、
g?
x
2
?
均为函数
y?g
?
x
?的最大值，于是得出
x
1
?x
2
为函数
y?g
?
x
?
最小正周期的整
数倍，由此可得出正确选项
.
【详解】

函数
f
?
x
?
?3sin2x ?2cosx?1?3sin2x?cos2x?2sin
?
2x?
2
??
?
?
?
，

6
?
将函数
y ?f
?
x
?
的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
?
?< br>1
?
倍，得
y?2sin
?
4x?
?
的图象 ；

6
?
2
?
再把所得图象向上平移
1
个 单位，得函数
y?g
?
x
?
?2sin
?
4x?< br>域为
?
?1,3
?
.
?
?
?
?< br>?
?1
的图象，易知函数
y?g
?
x
?
的值
6
?
若
g
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
?9
，则
g
?
x
1?
?3
且
g
?
x
2
?
?3
， 均为函数
y?g
?
x
?
的最大值，

由
4 x?
?
6
?
?
2
?2k
?
?
k? Z
?
，解得
x?
?
6
?
k
?
?< br>k?Z
?
；

2
其中
x
1
、
x
2
是三角函数
y?g
?
x
?
最高点的横坐标，

?x
1
?x
2
的值为函数
y?g
?x
?
的最小正周期
T
的整数倍，且
T?
【点睛】

2
??
?
．故选
C
．

42
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定
g
?
x
1
?
、

g
?< br>x
2
?
均为函数
y?g
?
x
?
的最 大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题
.
3
．
D
【解析】

【分析】

利用异面直线
AA
1
与
BC
所成角的的定义，平移直线
BC
，即可得答案．

【详解】

在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，易得
?A
1
AD?90?
．

ADBC

?
异面直线
AA
1
与
BC
垂直，即所成的角为
90?
.
故选：
D
．

【点睛】

本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题
.
4
．
D
【解析】

【分析】

利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可
.
【详解】

直线直线
,
且平面，

，

当不在平面内时，平面内存在直线
符合线面平行的判定定理可得
当在平面内时，也符合 条件，

与的位置关系是
【点睛】

或，故选
D .
平面，

本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理 掌握的熟练程度，属于基础
题
.
5
．
C
【解析】

【分析】

本道题结合三视图，还原直观图，结合直线与平面判定，即可。

【详解】

结合三视图，还原直观图，得到


A B
平行平面
OCD,DC
平行平面
OBA
，
BC
平 行平面
ODA
，
DA
平行平面
OBC
，故有
4对。故选
C
。

【点睛】

本道题考查了三视图还原直观图，难度中等。

6
．
C
【解析】

【分析】

根据题意可从样本中数据的频率考虑，即按成 绩择优选择频率为
围后再求出对应的分数．

【详解】

由题意得， 参加面试的频率为
100
?0.25
的，根据题意得到所选的范
400
100
?0.25
，

400
5?1
?0.25
，

24
结合表中的数据 可得，样本中
[80
，
90]
的频率为
由样本估计总体知，分数线大 约为
80
分．

故选
C
．

【点睛】


本题考查统计图表的应用，解题的关键是理解题意，同时还要正 确掌握统计中的常用公式，属于基础题．
7
．
D
【解析】

【分析】

先求出
a
的模长，然后由
cosa,b?
【详解】

a?b
ab
可求出答案
.

由题意，
a?2
，
cosa,b?
故选
D.
【点睛】

a?b1
??
，所以
a
与
b< br>的夹角为
2π
.
2
ab
3
本题考查了两个向量的夹 角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题
.
8
．
D
【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方 程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解
的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论
.
【详解】

?
y?x
?
画出满足约束条件?
x?y?2
的可行域，如图，

?
y?3x?6
?

画出可行域
?ABC
，
A(2,0)
，
B(1,1)
，
C(3,3)
，

平移直线
z?2x?y
，

由图可知，直线
z?2x?y
经过
C(3,3)
时

目标函数
z?2x?y
有最大值，

z?2x?y
的最大值为
9.
故选
D.
【点睛】

本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.
求目标函数最值的一般步骤是
“
一

画、二移、三求
”
：（
1
）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（
2
）找到目标函数对应的最优解对应
点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过 或最后通过的顶点就是最优解）；（
3
）将最优解坐标代
入目标函数求出最值
.
9
．
D
【解析】

【分析】

【详解】

由题意，男生
30
人，女生
20
人，按 照分层抽样方法从中抽取
5
人，则男生为
5?
30
?3
人， 女生为
50
5?
20
?2
，

50
从这< br>5
人中随机选取
2
人，共有
10
种，全是女生的只有
1
种，

所以至少有
1
名女生的概率为
P?1?
10
．
C
【解析】

试题分析：因为
x
2
?y
2
? 6x?8y?m?0?
?
x?3
?
?
?
y?4
?< br>?25?m
,
所以
25?m?0?m?25
且圆
22
19
?
，故选
D.
1010
C
2
的圆心为
?
3,4
?
,
半径为
25?m
,
根据圆与圆外切 的判定
(
圆心距离等于半径和
)
可得

?
3?0< br>?
?
?
4?0
?
11
．
C
【解析】

【分析】

22
?1?25?m
?m?9
,
故选
C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断

令
n?1
，由
a1
?S
1
求出
a
1
的值，再令
n?2
时，由
a
n
?S
n
?4
得出
a
n?1?S
n?1
?4
，两式相减可推出数列
?
a
n
?
是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出
S
4
的值
.
【详解】

当
n?1
时，
a
1
?S
1
?2a
1
?4
，得
a
1
?2；

a
n
1
?
.
当
n?2
时，由
a
n
?S
n
?4
得出
a
n?1?S
n?1
?4
，两式相减得
2a
n
?a
n? 1
?0
，可得
a
n?1
2
1
??
2
?
1?
4
?
1
115
2
?
所以，数列< br>?
a
n
?
是以
2
为首项，以为公比的等比数列，因此 ，
S
4
?
?
?4??
.
1
2
44
1?
2

故选：
C.
【点睛】

本题考查利用前
n
项和求 数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及
a
n
与
S
n
时，可利用
?
S
1
,n?1
a?
公式
n
?
求解出
a
n
，也可以转化为
S
n
来求解 ，考查推理能力与计算能力，属于中等题
.
?
S
n
?S
n ?1
,n?2
12
．
D
【解析】

S
1
,n?1
{

试题分析：根据前
n
项 和与其通项公式的关系式，
a
n
=
S
n
?S
n?1
,n?2
当
n≥2
时，
a
n
=S
n
-S
n-1
=
（
3
n
-2
）
-
（
3
n-1
-2
）
=2?3
n-1
．
< br>1,n?11,n?1
当
n=1
时，
a
1
=1
，不满足上式；所以
a
n
=
{
，故答案为
a
n< br>=
{
，选
D.
2?3
n?1
,n?22?3
n?1
,n?2
考点：本题主要考查数列的求和公式，解题时要根据实际情况注意公式的灵活 运用，属于中档题

点评：解决该试题的关键是借助公式
a
n
=
{
公式的值．

二、填空题：本题共4小题
13
．
30

【解析】

【分析】
根据等比数列中
a
1
?2
，
a
2
?4
，得到公比
q
，再写出
a
3
和
a
4
，从而 得到
S
4
.
【详解】

因为
?
a
n
?
为等比数列，
a
1
?2
，
a
2?4
，

所以
q?
S
1
,n?1
S< br>n
?S
n?1
,n?2
，将前
n
项和与其通项公式联 系起来得到其通项
a
2
?2
，

a
1
所以
a
3
?a
2
q?8
，
a
4
?a< br>3
q?16
，

所以
S
4
?a
1< br>?a
2
?a
3
?a
4
?30
.
故答案为：
30
.
【点睛】

本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于简单题
.
14
．
6

6

【解析】

【分析】

利用余弦定理表示出
cosB
与
cosC
，代入已知等式中，整理得到
c?b
，再利用余弦定理表示出< br>cosA
，
将
c?b
及
cosA
的值代入用
b
表示出
a
，将表示出的
a
与
c
代入
co sB
中计算，即可求出值．

【详解】

a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2由题意，由余弦定理得
cosB?
，

,cosC?
2ac2a b
a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c< br>2
?b
2
代入
bcosC?ccosB
，得，整理得
c?b
，

?
2a2a
b
2
?c
2
?a
2
2b
2
?a
2
2
所以
cosA? ??
，即
6b
2
?3a
2
?4b
2
，
2
2bc2b3
2
2
b?b
2
?b
2
a?c?b6
3
6
cosB???
整理得
2b?3a，即
a?
，

b
，则
2ac6
26
2
3
b
3
222
故答案为
【点睛】

6
．

6
本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与 解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有
角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式 子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用
正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两 个定理都有可能用到．

15
．
?m

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式化简求解即可．

【详解】

?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?< br>?
?
?
?
?
?
?
??cos
??
?
?
??m
，

cos
解：
??
?
?
?m
，则
cos
?
?
4
??
4
?
?
?
4
?
?
?
4?
故答案为：
?m
．

【点睛】

本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于基础题．

16
．
1
【解析】

【分析】

由
a?1?0
，解得
a
，经过验证即可得出．

【详解】

由
a?1?0
，解得
a?1
．

经过验证可得：
a?1
满足直线
x?ay?2a?2
与直线
x?y?1?0
平行，

则实数
a?1
．

故答案为：
1
．

【点睛】

本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．（
1）
y??3x
；（
2
）
3?2
.
【解析】

【分析】

（
1
）求出
PE< br>的直线方程后可得
A
的坐标，再求出
PB
的直线方程和
AC< br>的直线方程后可得
D
的坐标，
从而得到直线
OD
的直线方程< br>.
（
2
）直线
BC
的方程为
x?y?2?0
，设
E
?
a,2?a
?
，求出
PE
的直线方程后 可得
A
的坐标，从而可用
a
表示
S
，换元后利用基本不等式 可求
S
的最小值
.
【详解】

（
1
）当
E
?
?
13
?
,
?
时，直线
PE
的方程为
y?x?1
，

2
?
2
?
所以
A
?
?1,0
?
，直线
AC
的方程为
y?2x?2
①
，又直线
BP
的方程为
y??
1
x?1
②
，

2
?
26
?
D
①②
联立方程组得
?
?,
?
，所以直线
OD
的方程为< br>y??3x
.
?
55
?
(2)
直线
BC
的方程为
x?y?2?0
，设
E
?
a,2?a
?< br>，

直线
PE
的方程为
y?
1?a
?
a
?
,0
?
.
x?1
，所以
A
?a
?
a?1
?
因为
A
在
x
轴负半轴上 ，所以
0?a?1
，

S?S
?ABE
?S
?OE B
?
1
?
a
?
1
?
4?3a
??
2?a
?
2??2?a?2?a
??
=
，
0?a?1
.
??
2
?
a?1
?21?a
1
?
1
?
3
3t??4?3?2
（当 且仅当），

t?
??
2
?
t
?
3
令
t?1?a
，则
0?t?1
，
S?
而当
t?< br>33
时，
a?1??
?
0,1
?
，

33

故
S
的最小值为
3?2
.
【点睛】

直 线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于
x
的轴的直线没有 点斜式、
斜截式和截距式，垂直于
y
轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选 择合适的方程的形式
.
直线
方程中的最值问题，注意可选择合适的变量（如斜率、倾斜 角、动点的横坐标或纵坐标等）构建目标函数，
再利用基本不等式或函数的单调性等求目标函数的最值< br>.
a
18
．（
1
）
?
?
3,??
（
2
）不存在这样的实数
,
理由见解析（
3
）见解 析

【解析】

【分析】

（
1
）代入< br>a
的值
,
通过讨论
a
的范围
,
求出不等式的 解集即可；


（
2
）通过讨论
a
的范围
,
求出函数的单调区间
,
再求出函数的最值
,
得到关于
a< br>的不等式组
,
解出并判断即可；
（
3
）通过讨论
a< br>的范围
,
判断函数的零点个数即可

【详解】

?
?
x
2
?1,x?1
,
（
1
）当
a?1
时
,
f
?
x
?
?
?< br>x?1
?
x?1?
?
2
?
1?x,x?1
则 当
x?1
时
,
x
2
?1?2
,
解得
x?
当
x?1
时
,
1?x
2
?2
,解集为
?
,
综上
,
f
?
x
?
?2
的解集为
?
?
3,??

3
或
x??3
,
故
x?3
；

?
?
?
?
x?1
??
a?x
?
,x?a,
显然
,
f
?
?1
?
?0
,
（
2
）
f
?
x
?
?
?
x?1< br>?
x?a?
?
x?1x?a,x?a
????
?
?< br>①
当
a??1
时
,
则
f
?
x
?
在
?
??,
?
?
a?1
??
a?1< br>?
,a
?
上单调递减
,
在
?
a,??
?
上单调递增
, ,
上单调递增在
??
2
??
2
?
因为函数
f
?
x
?
在
?
a?1 ,a?1
?
上既有最大值又有最小值
,
所以
f
?
x
?
max
?f
?
?
a?1
?
?
,
f
?
x
?
min
?f
?
a
?< br>?0
,
?
2
?
a?1
?
?1?a?1?< br>?
?
?
0?a?1
2
?
0?a?1
?
,
即
?
2
,
解得
?
,
则
?< br>a?1
a?2a?7?0
??
?
?
?
a?1?22或 a?1?22
?
f
?
a?1
?
?f
??
?
?
2
?
?
故不存在这样的实数
a
；
②
当
a??1
时
,
则
f
?
x
?
在
?
??,a
?
上单调递增
,
在
?a,
?
?
a?1
??
a?1
?
,??
,
上单调递减在
?
上单调递增
,
?
2
2
?
??
?

因为函数
f
?
x
?
在
?
a?1,a?1
?
上既有最大值又有最小值
,
故
f
?
x
?max
?f
?
a
?
?0
,
f
?
x
?
min
?f
?
?
a?1
?
?
,
2
??
?
a?1
?a?1??1
?
?
?
?3?a??2
2
?
?3?a??2
?
,
即< br>?
2
,
解得
?
,
则
?
a?1?
?
a?6a?1?0
?
?
a??3?22或a??3?22< br>?
f
?
a?1
?
?f
?
??
??
2
?
?
故不存在这样的实数
a
；

2
?
?x?1,x??1
??
?
fx?
③
当
a??1
时
,
则
??
?
为
R
上的递增函 数
,
2
?
?
?
x?1
?
,x??1故函数
f
?
x
?
在
?
a?1,a?1
?
上不存在最大值和最小值
,
综上
,
不存在这样的实数
a

（
3
）当< br>a?22?3
或
a?0
时
,
函数
y?f
?< br>x
?
?a
的零点个数为
1
；

当
a ?22?3
或
a?0
时
,
函数
y?f
?
x
?
?a
的零点个数为
2
；

当
22?3? a?0
时
,
函数
y?f
?
x
?
?a
的零点个数为
3
【点睛】

本题考查分段函数的应用
,
考查利用函数的单调性求最值
,
考查函数的零点个数
,
着重考查分类讨论思想

19
．（
1
）
?
80,90
?
有
4
人，
?
90,100
?
有
2
人；（< br>2
）
【解析】

【分析】

（
1
） 由频率分布直方图，求出成绩在
?
80,90
?
和
?
90, 100
?
内的频率的比值，再按比例抽取即可；

（
2
）由 古典概型的概率的求法，先求出从这
6
名学生中随机抽取
2
名学生的所有不同 取法，再求出被抽
到的学生至少有
1
名月考成绩在
?
90,100< br>?
内的不同取法，再求解即可
.
【详解】

解：（
1
）因为
?
0.008?a?0.024?0.044?0.008
?
?10?1
，所以
a?0.016
，

则月考成绩在
?< br>80,90
?
内的学生有
50?0.016?10?8
人；

月考成绩在
?
90,100
?
内的学生有
50?0.008 ?10?4
人，

则成绩在
?
80,90
?
和?
90,100
?
内的频率的比值为
2:1
，
故用分层抽样的方法从月考成绩在
?
80,90
?
内的学生中抽取
4
人，

3

5

从 月考成绩在
?
90,100
?
内的学生中抽取
2
人
.
（
2
）由（
1
）可知，被抽取的
6
人中有4
人的月考成绩在
?
80,90
?
内，分别记为
a，
b
，
c
，
d
；有
2
人
的月 考成绩在
?
90,100
?
内，分别记为
A
，
B< br>.
则从这
6
名学生中随机抽取
2
名学生的情况为
?
a,b
?
，
?
a,c
?
，
?
a, d
?
，
?
a,A
?
，
?
a,B
?
，
?
b,c
?
，
?
b,d
?
，< br>?
b,A
?
，
?
b,B
?
，
?c,d
?
，
?
c,A
?
，
?
c,B< br>?
，
?
d,A
?
，
?
d,B
?，
?
A,B
?
，共
15
种；

被抽到 的学生至少有
1
名月考成绩在
?
90,100
?
内的情况为
?
a,A
?
，
?
b,A
?
，
?< br>b,B
?
，
?
c,A
?
，
?
a,B
?
，
?
c,B
?
，
?
d,A
?< br>，
?
d,B
?
，
?
A,B
?
，共< br>9
种
.
故月考成绩
?
90,100
?
内至 少有
1
名学生被抽到的概率为
P?
【点睛】

本题考查了分层抽样，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题
.
20
． （
1
）
xx?2
或
x??1
?
；（
2）最小值为
9
.
【解析】

【分析】

（< br>1
）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（
2
）由题
f(x)?0
的根即为
a
，
b
，根据韦达定理可判断
a
，
93
?
.
155
?
b
同为正，且
a?b?1< br>，从而利用基本不等式的常数代换求出
【详解】

14
?
的最小值
.
ab
fx）?0
，即为
x
2
?x?2?0
，

（
1
）当
m?- 2
时，不等式
（
可得
?
x?2
??
x?1
?
?0
，

即不等式
f
?
x
?
? 0
的解集为
xx?2
或
x??1
?
.
（
2
）由题
f(x)?0
的根即为
a
，
b
，故
a?b?1
，
ab?m?0
，故
a
，
b
同为正，

?
4ab
?
14
?
14
??
? (a?b)?5??
?
?5?24?9
，

??
则
???
ba
?
ab
?
ab
??
当且仅当
a ?
【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的知识，考查逻辑推理能力 和计算能力，属中档题
.
21
．见解析

【解析】


114
2
，
b?
等号成立，所以
?
的最 小值为
9
.
3
3ab

（
1）因为
c?0
，
a
1
??(c?2)
，故
a< br>2
?f(a
1
)?2a
1
?c?4?a
1
? c?2
，

a
3
?f(a
1
)?2a
2< br>?c?4?a
2
?c?c?10

（
2
）要证明原命 题，只需证明
f(x)?x?c
对任意
x?R
都成立，

f(x)?x?c?2x?c?4?x?c?x?c

即只需证明
2x?c?4?x?c+x?c

若
x?c?0
，显然有
2x?c?4?x?c+x?c=0
成立；

若
x?c?0
，则
2x?c?4?x?c+x?c?x?c?4?x?c
显然成立

综上，
f(x)?x?c
恒成立，即对任意的
n?N
*
，
a
n?1
?a
n
?c

（
3
）由（
2
）知，若
?
a
n
?
为等差数列，则公差
d?c ?0
，故
n
无限增大时，总有
a
n
?0

此时，
a
n?1
?f(a
n
)?2(a
n
?c?4 )?(a
n
?c)?a
n
?c?8

即
d?c?8

故
a
2
?f(a
1
)?2a
1
?c?4?a
1
?c?a
1
?c?8
，

即
2a
1
?c?4?a
1
?c?a
1
?c?8
，

当
a
1
?c?0
时，等式成 立，且
n?2
时，
a
n
?0
，此时
?
a< br>n
?
为等差数列，满足题意；

若
a
1
?c ?0
，则
a
1
?c?4?4?a
1
??c?8
，< br>
此时，
a
2
?0,a
3
?c?8,,a
n
?(n?2)(c?8)
也满足题意；

综上，满足题意的
a
1
的取值范围是
[?c,??)?
?
?c?8
?
．

【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．

22
．（
1
）众数为
75
分，中位数为
76.7
分；（
2
）
76.2
分

【解析】

【分析】

（< br>1
）由众数的概念及频率分布直方图可求得众数，根据中位数的概念可求得中位数；

.
（
2
）由平均数的概念和频率直方图可求得平均数
.
【详解】

（
1
）由众数的概念及频率分布直方图可知，这
50
名学生成绩的众数为
75
分
.
因为数学竞赛成绩在
?
40,70
?
的频率为
?
0.004?0.006?0.020?
?10?0.3
，数学竞赛成绩在
?
70,80
?
的 频
率为
0.030?10?0.3
.

所以中位数为
70?
0.5?0.3
?10?76.7
.
0.3
（
2
）这
50
名学生的平均成绩为

45?
?
0.004?10
?
?55?
?
0.006?1 0
?
?65?
?
0.020?10
?
?75?(0.030 ?10)?85?
?
0.024?10
?
?95?
?
0.0 16?10
?
?76.2
.
【点睛】

本题考查根据频率直方图求得数字特征，关键在于理解各数字特征的含义，属于基础题
.

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．在
?ABC
中，
AB?3
，
C?
A
．< br>3

C
．
3

2
．已知
0?
?
?
?
3
，
O
为
?ABC
的外接圆的圆 心，则
CO?
（

）

B
．
23

D
．
6

ππ
5
sin
?
?
?
π
?
?
4
?< br>?
?
，且
sin
?
?cos
?
?
， ，则
sin
?
?
?
?
?
?
（

）

??
45
42
??
5
B
．< br>?
A
．
10

10
10

10
C
．
310

10
D
．
?
310

10
a
2< br>b
2
?2
3
．已知
a,b
是正实数
,
且
a?b?2
,
则的最小值为
( )
?
a?2b
A
．
10

3
B
．
3?22

2
C
．
22
D
．
2?1

4
．已知定义在
R

上的偶函数

f
?< br>x
?
满足：当
x?[0,??)
时，
f(x)?2018x
，若
?1
??
2
??
0.3
a?f(ln3 e),b?f
?
0.2
?
,c?f
?
?
?
?
?
，则
a,b,c
的大小关系是（

）

?
?
3
?
?
??
A
．
b < a ? c
B
．
c < b ? a
C
．
b < c ? a
D
．
c < a ? b

5
．设
x?R
，则
“
2?x?0
”
是
“
x?1?1
”
的（

）

A
．充要条件

C
．必要而不充分条件

B
．充分而不必要条件

D
．既不充分也不必要条件

6
．设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,a
2
+ a
4
=6,
则
S
5
等于
( )
A
．
10 B
．
12 C
．
15 D
．
30
7
．某班现有
60
名学生，随机编号为
0
，
1
，
2
，
…
，
59.
依编号 顺序平均分成
10
组，组号依次为
1
，
2
，
3，
…
，
10.
现用系统抽样的方法抽取一个容量为
10
的样本，若在第
1
组中随机抽取的号码为
5
，则在第
7
组中 随
机抽取的号码为（

）

A
．
41 B
．
42 C
．
43 D
．
44
x?1
?
?
2,x?1,
8
．若函数
f
?
x
?< br>?
?
则
fx?1,x?1,
?
?
?
?
?
2019
?
f
??
?
（

）

2
??
C
．
2
D
．
?
A
．
1

2
B
．
2

2
2

2
9
．下列关于四棱柱的说法：

①
四条侧棱互相平行且相等；

②
两对相对的侧面互相平行；

③
侧棱必与底面垂直；

④
侧面垂直于底面
.
其中正确结论的个数为（

）

A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
10
．已知等差数列
?
a
n
?< br>的公差为
2
，且
a
3
是
a
1
与a
7
的等比中项，则
a
n
等于
( )
A
．
2n?2
B
．
2n?4
C
．
2n1
D
．
2n?3

11
．四边 形
ABCD
，
AB
CD
，
AB?BC
，
2 AB?AD?CD?23
，则
?ABC
的外接圆与
?ACD
的内切圆 的公共弦长（

）

A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
2
12
．中国数学家刘微在《九章算术注》中提出
“
割圆
”
之说：
“
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不
可割，则与圆周合体，而无所失矣
.”
意思是
“
圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆
的周长，它的面积的极限是圆的面积
”.
如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形 的边界及其
内部的概率为（

）


A
．
33

4
?
B
．
3
?
C
．
33

2
?
D
．
33
?

二、填空题：本题共4小题
13
．已知等比数列
?
a
n< br>?
的前
n
项和为
S
n
，
S
S
4
?4
，则
8
的值是
__________.
S
2
S
4
14
．在数列
{a
n
}
中，若< br>a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?2< br>（
n?N
*
），则
a
2016
?
_____ ___
15
．如图所示，分别以
A,B,C
为圆心，在
ABC内作半径为
2
的三个扇形，在
ABC
内任取一点
P
，< br>如果点
P
落在这三个扇形内的概率为
1
，那么图中阴影部分的面积是< br>____________.
3

16
．已知圆
Ω
过点
A
（
5
，
1
）

，
B
（
5
，
3
），
C
（﹣
1
，
1< br>），则圆
Ω
的圆心到直线
l
：
x
﹣
2y+1
＝
0
的距离为
_____
．
三、解答题：解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。

17
．在
△ABC
中，
D
为
BC
边上一点，

BD?5DC
，设
AB?a
，
AC?b
.
（1
）试
a
、
b
用表示
BD
；

（
2
）若
|a|?1
，
|b|?2
，且
a
与
b
的夹角为
60°
，求
AC?BD
及
|3a? b|
的值
.
18
．已知圆
O
以原点为圆心且与直线
y??x?22
相切．

（
1
）求圆
O
的方程；

（
2
） 若直线
l:y?
3
x?2
与圆
O
交于
A
、
B
两点，过
A
、
B
两点分别作直线
l
的垂 线交
x
轴于
C
、
D
3
两点，求线段
CD< br>的长．

19
．（
6
分）设平面向量
a?(3sin x,cosx?)
，
b?(cosx,?1)
，函数
f(x)?a?b
．

（
Ⅰ
）求时，函数
f(x)
的单调递增区间；

2
1
2
（
Ⅱ
）若锐角
?
满足
f()?
?
2
1
?
，求
cos(2
?
?)
的值．

36
?
?
20
．（
6
分）已知函数f
?
x
?
?sin
?
2
?
x?
离为
?
?
2
?
?4sin
?
x?2
?< br>?
?0
?
，其图象与
x
轴相邻的两个交点的距
6?
?
.
2
（
1
）求函数
f
?
x
?
的解析式；

（
2
）若将
f
?x
?
的图象向左平移
m
?
m?0
?
个长度单位 得到函数
g
?
x
?
的图象恰好经过点
?
?
?
?
?
,0
?
，求当
3
??
?
?
7
?
?
m
取得最小值时，
g
?
x
?
在
?
?,
上的单调区间
.
?
612
?
?
21
．（
6
分）已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
?S
3
?20
，
S
5
?50
.
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；

（
2
）请确定
3998
是否是数列
{a
n
}
中的项？

22
．（
8
分）已知函数
f(x)? log
a
(5?x)?log
a
(5?x)(a?0，a?1)
的图 象过点
?
3,2
?
.
（
1
）求
a
的值；

（
2
）判断
f
?
x
?
的奇偶性并证明
.

参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
A
【解析】

【分析】

利用正弦定理可求出
?ABC
的外接圆半径
CO
.
【详解】

由正弦定理可得
2CO?
AB3
??23
，因此，
CO?3
，故选
A.
sinC
3
2
【点睛】

本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考查计算能力，属于基础题
.
2
．
C
【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得
.
【详解】

解：因为
sin
?
?cos
?
?
5
，
5
?
22
?
5
?2
?
sin
?
??cos
?
??
?
??
5

22
??
?
?
5
?

?2sin
?
?
?
?
?
45
??
π
?
10< br>?
．

?sin
?
?
?
?
?
4
?
10
?
因为
ππ
ππ
?
?
?
，
?0?
?
??

42
44
所以
cos
?
?
?
?
?
π
?
π
?< br>310
2
?
．

?1?sin
?
?
???
?
4
?
4
?
10
?
因为
0 ?
?
?
π
?
4π
?
3
π
??，
sin
?
?
?
?
?
，所以
cos< br>?
?
?
?
?
．

4
?
5< br>4
?
5
4
?
?
?
?
π
??
π
?
?
sin
?
?
?
?sin
?
??
?
?
所以
??
???
?

?
?
44
????
??

π
?
π
?
π
??
π
????
?sin< br>?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?
?
?

4
?
4
?
4
??
4
????
?
1033104310
．

????
10510510
故选：
C

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题
.
3
．
B
【解析】

【分析】

设
a?2?t(t?2)
，则
b?t?4
，逐步等价变形，直到可以用基本不等式求最 值，即可得到本题答案
.
【详解】

由
a?b?2
，得< br>(a?2)?b?4
，设
a?2?t(t?2)
，则
b?t?4
，所以

a
2
b
2
?2(t?2)
2
2
???b?

a?2btb
4242
?t?b???4??

tbtb
?
1
?
42
?
1
?
4b 2t
?
(b?t)
?
?
?
?
?
??6?

4b
?
tb
?
4
?
t
?
?
13?22
.
(42?6)?
42
故选：
B
【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，化简变形是关键，考查计算能力，属于中等题
.
4
．
C
【解析】

【分析】

?
?
2
?
?1
?
?
3
?
根据函数的奇偶性 将
c?f
?
?
?
?
?
等价变形为
c?f< br>??
，再根据函数在
x?[0,??)
上单调性判断函
?
?< br>3
?
?
?
2
?
??
数值的大小关系，从而得 出正确选项
.
【详解】

解因为函数
f
?
x
?
为偶函数，

?
?
2
?
?1
?
?3
?
故
c?f
?
?
?
?
?
? f
??
，

?
?
3
?
?
?
2
?
??
因为
0?0.2
0.3
?0.2
0?1
，

ln(3e)?ln3?lne?ln3?1?2
，

所以
ln(3e)?
3
?0.2
0.3
，

2
因为函数
f
?
x
?
在
x?[0,??)
上单调增，

故
b < c ? a
，

故选
C.
【点睛】

本题考查了函数单调性与奇偶性的运用，解题的关键是要能根据奇偶性将函数值进行转化
.
5
．
C
【解析】

【分析】

首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项
.
【详解】

由
2?x?0
解得
x?2
.
由
x?1?1
得
?1?x?1?1,0?x?2
.
所以
“
2?x?0
”< br>是
“
x?1?1
”
的必要而不
充分条件

故选：
C
【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题
.
6
．
C
【解析】

因为等差数列
{a
n
}
中
,a
2
+a
4
=6,
故
a< br>1
+a
5
=6,
所以
S
5
=
7．
A
【解析】

【分析】

由系统抽样．先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码．

【详解】

由题知分组间隔为以
故选：
A.
==15.
故选
C.
60
?6
，又第
1
组中抽取的号码为
5
，所以第
7
组中抽取的号码为
6?6?5?41
.
10

【点睛】

本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础．

8
．
B
【解析】

【分析】

首先根据题意得到
f(
【详解】

201911
)?f()
，再计算
f()
即可
.
222
f(
1
2
)?f()?f()?
……
?f()
，

2
222
11
?1?
12
2
.
f()?2?2
2
?
22
故选：
B
【点睛】

本题主要考查分段函数值的求法，同时考查了指数幂的运算，属于简单题
.
9
．
A
【解析】

【分析】

根据棱柱的概念和四棱锥的基本特征，逐项进行判定，即可求解，得到答案
.
【详解】

由题意，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都
互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，

侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，

由四棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等，
①
正确；

②
两对相对的侧面互相平行，不正确，如下图：


左右侧面不平行
.
本题题目说的是
“
四棱柱
”
不 一定是
“
直四棱柱
”
，所以，
③④
不正确，

故选
A.
【点睛】

本题主 要考查了四棱柱的概念及其应用，其中解答中熟记棱柱的概念以及四棱锥的基本特征是解答的关
键，着重 考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
.
10
．
A
【解析】

【分析】

2
直接利用等差数列公式和等比中项 公式
a
3
?a
1
a
7
得到答案
.
【详解】

a
3
是
a
1
与
a7
的等比中项，故
a
3
2
?a
1
a
7

2
即
(a
1
?2d)?a
1
(a1
?6d)

解得：
a
1
?4

a
n
?a
1
?(n?1)d?2n?2

故选：
A
【点睛】

本题考查了等差数列和等比中项，属于常考题型
.
11
．
C
【解析】

【分析】

以
C
为坐标原点，以
CB,CD
为
x
轴，
y
轴建立平面直角坐标系，求出
?A BC
的外接圆与
?ACD
的内切
圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线 方程，求出弦心距，进而可得公共弦长
.
【详解】

解：以
C为坐标原点，以
CB,CD
为
x
轴，
y
轴建立平面直角 坐标系，


过
A
作
AF?CD
交
CD< br>于点
F
，则
DF?3,AD?23
，故
?FDA?60
，

则
?ACD
为等边三角形，

故
B(0,3)A(3,3)D(23,0)
，

?ABC
的外接圆方程为
(x?
3
2
3
)?(y?)
2
?3
，
①
22

?ACD
的内切圆 方程为
(x?3)
2
?(y?1)
2
?1
，
②
①-②
得两圆的公共弦所在直线方程为
:
3x?y?3?0
, ?ABC
的外接圆圆心到公共弦的距离为
3?
33
??3
22< br>3?1
?
3
，

2
公共弦长为
23?
故答案为：
C.
【点睛】

9
?3
，

4
本题考查两圆公共弦长的求解，关键是要求出 两圆的公共弦所在直线方程，将两圆方程作差即可得到，是
中档题
.
12
．
C
【解析】

【分析】

设出圆 的半径
,
表示出圆的面积和圆内接正六边形的面积
,
即可由几何概型概率计算 公式得解
.
【详解】

设圆的半径为
r

2
则圆的面积为
S
圆
?
?
r

圆内接正六边形的面积为
S
六
=6?
3
2
r
< br>4
由几何概型概率可知
,
在圆内任取一点
,
则此点取自其内接 正六边形的边界及其内部的概率为
p?
S
六
S
圆
6?
?
3
2
r
33

4
?
2
?
?
r
2
故选
:C
【点睛】

本题考查了圆的面积及圆内接正六边形的面积求法
,
几何 概型概率的计算公式
,
属于基础题
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
1
【解析】

【分析】

S4
S
8
1?q
8
22
?4
可得
q?3
，通过化简可得
?
q
根据等比数列前
n
项和公式，由，代入 的值即可得结果
.
4
S
2
S
4
1?q

【详解】

∵
S
4
?4
，
∴
S
4
?4S
2
，显然
q?1
，

S
2
∴
4
a
1
?
1?q
2< br>?
1?q
?
a
1
?
1?q
4
?1?q
，
∴
1?q?4
，

2
a
1< br>1?q
8
2
??
?
S
8
1?q
8< br>1?q
4
??1?q?10
，故答案为
1
．

∴
q?3
，
∴
?
4
S
4
a1
1?q
4
1?q
?
1?q
【点睛】

本题主要考查等比数列的前
n
项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题 ．

14
．
4031

【解析】

【分析】

由题意，得到数列
{a
n
}
表示首项为
1
，公差为
2
的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解
.
【详解】

由题意，数列
{a
n
}
中，满足
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?2
（
n?N
*
），即
a
n?1
?a
n
?2
（
n?N
*
），

所以数列
{a
n
}
表示首项为
1
，公差为
2
的等差数列，

所以
a
2016
?a
1
?2015d?1?2015?2?4031.
故答案为：
4031

【点睛】

本题主要考查了 等差数列的定义和通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，合理利用数列的通
项公式求解是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
.
15
．
4
?

【解析】

【分析】

先求出三块扇形的面积
,
再由概率计算公式求出
?ABC
的面积
,
进而求出阴影部分的面积
.
【详解】

∵
A?B?C?180
?
,
∴
三块扇形的面积为
:
?
?2?
设
ABC
的面积为
S
,
2
1
?2
?
,
2

< br>∵
在
ABC
内任取一点
P
,
点
P
落 在这三个扇形内的概率为
1
,
3
?
2
?
1
??S?6
?
,
S 3
∴
图中阴影部分的面积为
:
6
?
?2
?
?4
?
,
故答案为
:
4
?
.
【点睛】

本题主要考查几何概型的应用
,
属于几何概型中的面积问 题
,
难度不大
.
16
．
5

5
【解析】

【分析】

求得线段
AB
和 线段
BC
的垂直平分线，求这两条垂直平分线的交点即求得圆的圆心，在求的圆心到直线
l
的距离
.
【详解】

∵A
（
5
，< br>1
），
B
（
5
，
3
），
C
（﹣
1
，
1
），

∴AB
的中点坐标为（
5
，
2
），则
AB
的垂直平分线方程为
y
＝
2
；

BC
的中点坐标为（
2
，
2
），
k
BC
?
3?11
?
，

5?
?
?1
?
3
则
BC
的垂直平分线方程为
y
﹣
2
＝﹣
3
（
x
﹣
2
），即
3x+ y
﹣
8
＝
1
．

联立
?
?
y?2
?
x?2
，得
?
．

3x?y?8?0< br>y?2
?
?
∴
圆
Ω
的圆心为
Ω
（< br>2
，
2
），

则圆
Ω
的圆心到直线
l
：
x
﹣
2y+1
＝
1
的距离为
d
?
5

5
2?4?1
5
?
5
．

5
故答案为：
【点睛】

本小题主要考查根据圆上
3
点的坐标求圆心坐标，考查点到直线的距离公式，属于基础题
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．（
1
）
BD?
55
b?a

66
（
2
）
AC?BD?
【解析】

【分析】

5
，
|3a?b|?7

2

（
1
）用
BC
表示
BD
，再用
AB
，
AC
表示
BC
即可；

（
2
）由向量数量积运算及模的运算即可得解
.
【详解】

解：（
1
）因为
BD?5DC
，所以
BD?
又AB?a
，
AC?b
，

所以
BD?
5
BC
，

6
555
(AC?AB)?b?a
；

666
（< br>2
）
|a|?1
，
|b|?2
，且
a
与b
的夹角为
60°
，

所以
a?b?1?2?
1
?1
，

2
55
2
55
则
AC?BD?b?(b?a)?(b?a?b)?(4?1)?，

6662
|3a?b|
2
?9a?6a?b?b?9?6? 4?7
，

故
|3a?b|?
【点睛】

本题考查了向量的减法运算，重点考查了向量数量积运算及模的运算，属基础题
.
2 2
18
．（
1
）
x?y?4
；（
2
）22
7
.
4
3
.
3
【解析】

【分析】

（
1
）计算原点到直线
y??x?22
的距离，作为圆
O
的半径，从而可得出圆
O
的方程；

（< br>2
）计算出圆心到直线
l
的距离，利用勾股定理可计算出
AB
，过
C
点作
CE?BD
，垂足为
E
，求出
直线l
的倾斜角为
30
，再利用锐角三角函数的定义可求出
CD
.
【详解】

（
1
）把直线
y??x?22
化为一般 式，即
x?y?22?0
，

O
?
0,0
?
到直线
x?y?22?0
的距离为
d?
?
圆
O
的 方程为
x
2
?y
2
?4
；

（
2
）直线
y?
22
2
?2
，
?
圆
O
的半径为
r2
，

3
x?2
的一般方程为
x?3y?23?0
，

3

23
点
O
到直线
x ?3y?23?0
的距离为
1??3
2
2
??
2
? 3
，

圆
O
的半径为
2
，则
AB?22< br>2
?
??
3?2
，

过
C
点作CE?BD
，垂足为
E
，
?CE?AB?2
．

又
y?
3
x?2
的倾斜角为
30
，
??ECD? 30
，

3
CE
cos30
?
2244
C E??2??3
．

333
3
4
3
．

3
?CD?
因此，线段
CD
的长为

【点睛】

本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，涉及了 锐角三角函数的定义的应用，
考查计算能力，属于中等题
.
19
．（
Ⅰ
）
【解析】

【分析】
（
Ⅰ
）利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形 式，利用正弦
函数的单调增区间，求得
x?
?
0，
?
时函数
f
（
x
）的单调递增区间；

；（
Ⅱ
）
?
4
2
.
9
?
?
?
?
2
?
?
?
?
???
?< br>?
?
1
（
Ⅱ
）若锐角
α
满足
f??
?
，可得
cos
?
?
?
?
的值， 然后求
cos
?
2
?
?
?
的值．

6
?
6
?
?
2
?
3
??
【详解 】

解：（
Ⅰ
）
f
?
x
?
?a?b

131
?
??
?3sinx?cosx??cos
2
x?s in2x?cos2x?sin
?
2x?
?
．

2226
??

由
x?
?
0，
?
得
2x?
?
?
?
?
2
?
?
?
?
5
?
?
?
?
?，
?
，

6
?
66
?
其中单调递增区间为
2 x?
?
?
??
?
?
?
?，
?
，< br>
6
?
62
?
可得
x?
?
0，?
，

?
?
?
?
3
?
∴x?
?
0
，
?
时
f
（
x
）的 单调递增区间为
?
0，
?
．

?
?
??
2
?
?
?
?
?
3
?
（Ⅱ
）
f
?
?
?
1
?
?
??< br>?sin
?
?
???
?
，

6
?< br>3
?
2
??
?
?
∵α
为锐角，
∴< br>cos
?
?
?
?
?
?
?
2
2
?
?1?sin
?
?2
．

???
?< br>6
?
6
?
3
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
???
cos
?
2?
?
?
?cos
?
2
?
?
?
?
?
?
??sin2
?
?
?
?

6
?
6
?
2
?
6
???
?
?< br>?
?
?
?
4
??
??2sin
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
??2
．

669
????
【点睛】

本题考查向量的数量积以及三 角函数的化简求值，考查了二倍角公式的应用，考查转化思想以及计算能力，
属于中档题．
< br>20
．（
1
）
f
?
x
?
?3sin
?
2x?
【解析】

【分析】

（
1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与
x
轴相 邻的两个
交点的距离为
?
?
?
?
3
?
单调 增区间为
?
?
?
（
2
）
?
?
?< br>5
?
7
?
?
?
?
5
?
?< br>?
?
,?
?
，
?
,
?
；
.
单调减区间为
?
?,
?
1212
6121212
?
??
?
??
?
，得出周期，利用周期公式得出
?
? 1
，即可得出该函数的解析式；

2
?
?
?
??
?
gx?3sin2x?2m?
gx
（
2
）根据平移 变换得出
??
??
，再由函数
??
的图象经过点
?
?,0
?
，结合正
3
??
?
3
?
弦函数的 性质得出
m
的最小值，进而得出
g
?
x
?
?
2
?
?
3sin
?
2x?
3
?
?
?
，利用整体法结合正弦函数的单调性
?
得出该函数在
?
?
【详解】

?
?
7
?
?
,
上的单调区间
.
?
612
?
?

解：（
1
）
f
?
x
?
?sin
?
2
?< br>x?
?
?
?
?
2
?
?4sin
?< br>x?2

6
?
?
311?cos2
?
xsin2
?
x?cos2
?
x?4??2

222
33
sin2
?
x?cos2
?
x

22
?
?
??
?3sin
?
2
?
x?
?

3
??
由已知函数
f
?
x
?
的周期
T?
?
，
2
?
?
?
，
?
?1

2
?
∴
f
?
x
?
?
3sin
?
2
x?
?
?
?
?
?
.
3
?
（
2
）将
f
?x
?
的图象向左平移
m
?
m?0
?
个长度单位 得到
g
?
x
?
的图象

∴
g
?< br>x
?
?
3sin
?
2
x?
2
m?< br>?
?
?
?
?
，

3
?
∵< br>函数
g
?
x
?
的图象经过点
?
?
?
?
?
,0
?

3
??
∴
?
?
?
??
?
?
?
?
3sin
?
2
?
?
?
?
?
2
m?
?
?
0
，即
sin
?
2m?
?
?0

3?
3
?
?
?
?
3
?
∴
2m??k
?
，
k?Z

3
k
?
∴m?
?
?
，
k?Z

26
∵
m?0< br>，
∴
当
k?0
，
m
取最小值，此时最小值为
此时，
g
?
x
?
?
令
?
?
6
?
2
?
?
3sin
?
2x?
3?
?
?
.
?
7
?
?
2
?
11
?
?

，则
?2x?
612336
?
2
??
3
?
2
?
11
?
??
5
?
7
?
?
或
?2x???x?
当
?2x?
，即当
??x??或时，函数
g
?
x
?
单调
3322366121212
?
?x?
递增

当
?
2
?2x?
2
?
3
?
?
5
?
??x?
，即
?
时，函数
g
?
x
?
单调递减
.
3212 12
∴
g
?
x
?
在
?
?
【点睛】

?
?
?
5
?
7
?
?
?
?
5
?
?
?
?
7
?
?
?
?
,
?,?,
.
上的单调增区间为
?
，
?
；单调减区间为
?
?,
?
?
?
?
?612
?
?
612
?
?
1212
?
?
1212
?

本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题
.
21
．（
1
）
a
n
?4n?2
（
2）第
1000
项

【解析】

【分析】
（
1
）由题意有
?
?
a
1
?
?
3a
1
?3d
?
?20
?
5a
1
?10 d?50
，解方程组即得数列
{a
n
}
的通项公式；（
2< br>）假设
3998
是数列
{a
n
}
中
的项，有
4n?2?3998
，得
n?1000
，即可判断得解
.
【详解】

解：（
1
）设数列
{a
n
}< br>的公差为
d
，

由题意有
?
?
a
1
?
?
3a
1
?3d
?
?20
?
5 a
1
?10d?50
，解得
?
?
a
1
?2
，

d?4
?
则数列
{a
n
}
的 通项公式为
a
n
?2?4(n?1)?4n?2
.
（
2< br>）假设
3998
是数列
{a
n
}
中的项，有
4n?2?3998
，得
n?1000
，

故
3998是数列
{a
n
}
中的第
1000
项
.
【点睛】

本题主要考查等差数列基本量的计算，考查某一项是否是等差数列中的项的 判定，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平，属于基础题
.
22
．（< br>1
）
a?2
，（
2
）奇函数，证明见解析

【解析】

【分析】

（
1
）将
x?3< br>代入解析式
f(3)?log
a
8?log
a
2?loga
4?2
，解方程即可
.
【详解】

（
1< br>）由题知：
f(3)?log
a
8?log
a
2?loga
4?2
，解得
a?2
.
（
2
）
f (x)?log
a
(5?x)?log
a
(5?x)?log
a5?x
.
5?x
?
5?x?0
??5?x?5
，定义 域为：
(?5,5)
.
?
?
5?x?0
5?x
，

5?x
5?x 5?x5?x5?x
f(?x)?f(x)?log
a
?log
a
? log
a
(?)?log
a
1?0
.
5?x5?x5?x 5?x
f(?x)?log
a
所以
f(?x)??f(x)
，

所以
f(x)
为奇函数
.

【点睛】

本题第一问考查对数的运算，第二问考查函数奇偶的判断，属于中档题
.