2023届上海市浦东新区新高考高一数学下学期期末调研试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知函数
A
．
B
．
C
．
D
．< br>，则

的最小正周期为，最大值为

的最小正周期为，最大值为

的最小正周期为，最大值为

的最小正周期为，最大值为

2
．已知
z
是
z的共轭复数，若复数
z?
A
．
(2,1)
B
．
(2,?1)

1?2i
?2
，则
z
在复平面内对应的点是（

）

2?i
C
．
(?2,1)
D
．
(?2,?1)

3
．函数
f(x)?sin2x?2 3cos
2
x?3
，
g(x)?mcos(2x?
?
6)?2m?3 (m?0)
，若对任意
x
1
?[0,]
，存在< br>x
2
?[0,]
，使得
g(x
1
)?f(x
2
)
成立，则实数
m
的取值范围是（

）

44
2
4
4
2
A
．
(1,)
B
．
(,1]
C
．
[,1]
D
．
[1,]

3
3
3
3
4
．如 果
3
个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这
3
个数为一组勾股 数，从
1,2,3,4,5
中任
取
3
个不同的数，则这
3< br>个数构成一组勾股数的概率为（

）

A
．
?
?
3

10
2
B
．
1

5
C
．
1

10
D
．
1

20
5
．函数
f
?
x
?
?sinx?co sx?
A
．
?
3?
?
?
?
?
x? 0,
?
?
的最大值为
( )
?
?
4
?
?
2
?
?
C
．
3

4
B
．
?
1

4
1

4
D
．
1

2
6
．《张丘建算经》中女子 织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第
2
天开始，每天比前
一天多 织相同量的布，已知第一天织
5
尺布，一月（按
30
天计）共织
39 0
尺布，则从第
2
天起每天比前
一天多织（

）尺布
.
A
．
16

31
B
．
16

29
C
．
1

2
D
．
8

15
7
．

过点
P(
－
2,4)< br>作圆
O
：
(x
－
2)
2
＋
(y－
1)
2
＝
25
的切线
l
，直线
m< br>：
ax
－
3y
＝
0
与直线
l
平行， 则直
线
l
与
m
间的距离为
(

)
A
．
4 B
．
2 C
．
D
．

8
．在四边形
ABCD
中，
ADBC,ADAB,BCD45
，
?BAD?90?
，将
?ABD
沿
BD
折起，使

平面
ABD?
平面
BCD
，构成三棱锥
A?BCD，如图，则在三棱锥
A?BCD
中，下列结论正确的是（

）

A
．平面
ABD?
平面
ABC

B
．平面
ADC?
平面
BDC

C
．平面
ABC?
平面
BDC

D
．平面
ADC?
平面
ABC

2
9．已知等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
? 2
，且有
a
4
a
6
?4a
7
，则
a
3
?
( )
A
．
1
B
．
2
C
．
1

4
D
．
1

2
10
．下列函数中同时具有 性质：
①
最小正周期是
?
，
②
图象关于点
?
?
为减函数的是（

）

A
．
y?sin
?
?
??
?
?
5
?
?
,0
?
对称，
③
在
?
?,
?
上
?
1 2
?
?
63
?
?
x
?
?
?
?

26
??
B
．
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
?

6
?
?
? ?
y?cos2x?
C
．
??

3
??
?
??
y?cos2x?
D
．
??

6
??
11
．已知在
ABC
中，
sinA?sinB?
?
cosA?cosB
?
?sinC
，则
ABC
的形状是

A
．锐角三角形

C
．等腰三角形

B
．钝角三角形

D
．直角三角形

12
．如图所示，在直角梯形
BCEF
中，
∠CBF=∠BCE=90°
，
A
，
D
分别是
BF
，
CE
上的点，
AD ∥BC
，且
AB=DE=2BC=2AF
（如图
1
），将四边形ADEF
沿
AD
折起，连结
BE
、
BF
、CE
（如图
2
）．在折起的过程中，下
列说法中正确的个数（ ）


①AC∥
平面
BEF
；

②B、
C
、
E
、
F
四点可能共面；

③< br>若
EF⊥CF
，则平面
ADEF⊥
平面
ABCD
；< br>
④
平面
BCE
与平面
BEF
可能垂直

A
．
0

B
．
1 C
．
2 D
．
3

二、填空题：本题共4小题
13
．用数学归纳法证明不等式
“
11119
???...??
（
n? 1
且
n?N
*
）
”
的过程中，第一步：
n?1n? 2n?33n10
当
n?2
时，不等式左边应等于
__________。

14
．如图，在直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
ABCD
，
AB?AA
1
?2
，
AD?CD?BC?1
，
M,N
分别为< br>CC
1
,DD
1
的中点，平面
ABM?
平面
A
1
B
1
C
1
D
1
?l
.
给出以下几个说法：

①
A
1
B
1
l
；

②
直 线
AN
与
l
的夹角为
45?
；

③
l
与平面
BB
1
C
1
C
所成的角为
60 ?
；

④
平面
ADD
1
A
1
内存 在直线与
l
平行
.

其中正确命题的序号是
__________.
15
．直线
16
．已知向量
的倾斜角为
________.
，，则向量与夹角的余弦值为
__________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．如图，在几何体< br>P
﹣
ABCD
中，平面
ABCD⊥
平面
PAB ，四边形
ABCD
为矩形，
△PAB
为正三角形，若
AB
＝
2
，
AD
＝
1
，
E
，
F
分别为
AC
，
BP
中点．


（
1
）求证：
EF∥
平面
PCD
；
（
2
）求直线
DP
与平面
ABCD
所成角的正弦值．< br>
18
．已知向量
a?(1,?2)
，
b?(3,4)
.

（
1
若
3a?ba?kb
，求 实数
k
的值：

（
2
）若
a?ma?b
，求实数
m
的值
.
2
19
．（
6
分）已知函数
f(x)?sinx?(2co sx?sinx)?cosx

????
??
（
1
）求函数
f(x)
的最小正周期；

（
2
）若
?
4
?
?
?
?
2
，且
f(
?
)??< br>52
，求
cos2
?
的值
.
13
20．（
6
分）已知函数
f
?
x
?
?cosx?3 sinx?sin
?
（
1
）求函数
f
?
x
?
的最小正周期和单调增区间；

（
2
）求函数
f
?
x
?
在区间
?
??
?
?
?
1< br>?x
?
?
.
?
2
?
2
?
7
?
5
?
?
,
?
上的最小值以及取得该最小值时< br>x
的值
.
?
126
?
22
21
． （
6
分）已知圆
C:x?y?Dx?Ey?2?0
关于直线
x?y? 0
对称，半径为
2
，且圆心
C
在第一象
限．

（
Ⅰ
）求圆
C
的方程；

（
Ⅱ
） 若直线
l:3x?4y?m?0(m?0)
与圆
C
相交于不同两点
M
、
N
，且
MN?CM?CN
，求实数
m
的值．
22
．（
8
分）为了解学生的学习情况，某学校在一次考试中随机抽取 了
20
名学生的成绩，分成
[50
，
60)
，
[6 0
，
70)
，
[70
，
80)
，
[80< br>，
90)
，
[90
，
100]
五组，绘制了如图所示 频率分布直方图
.
求：


(Ⅰ)
图中
m
的值；

(II)
估计全年级本次考试的平均分；

(III)
若从样本中随 机抽取分数在
[80
，
100]
的学生两名，求所抽取两人至少有一人分数不 低于
90
分的概率
.

参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
B
【解析】

【分析】

首先利用 余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦
型函数的性质得到相关的量， 从而得到正确选项
.
【详解】

根据题意有，

所以函数的最小正周期为，

且最大值为，故选
B.
【点睛】

该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得 到函数的性质，在解题的过程
中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果
.
2
．
A
【解析】


由
z?
?
1?2i
?
(2?i)
?2?
?5i
?2?2?i
1?2i
?2?
，得
z?2?i
，所以
z
在复平面内对应的 点为
2?i5
?
2?i
?
(2?i)
(2,1)
， 故选
A.
3
．
D
【解析】


（f x）?sin2x?23cos
2
x?3?sin2x?（32cos
2
x? 1）
13
?
，

?sin2x?3cos2x?（2sin2x?c os2x）?2sin（2x?）
223
?（fx）?1，?（fx）?[1，，2]

当
x?
?
0,
?
时，
2x??[，]，
m in
?2sin
3366
?
4
?
gx）?mcos（2x?
对于
（
?
?
?
??
5
?
5
?
?
6
）?2m?（3m＞0），

2x?
??
?
?
m
3
?[?，]，mcos（2x ?）?[，m]，
?（gx）?[?m?3，3?m]，

66
3
62
2
?
3
?
?m?3?1
?
?
???
?
x?0,x?0,
∵
对任意
1
?

，解得实数
m
的，存在
2
?
，使得
g
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
成立，
?< br>?
2
??
?
4
??
4
?
?
?
3?m?2
取值范围是
?
1,
?
．

3
故选
D
．

【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解 题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问
题的关键，

4
．
C
【解析】

【详解】

试题分析 ：从
1,2,3,4,5
中任取
3
个不同的数共有
10
种不 同的取法，其中的勾股数只有
3,4,5
，故
3
个数
构成一组勾股数 的取法只有
1
种，故所求概率为
考点：古典概型

5
．
D
【解析】

【分析】

函数可以 化为
f
?
x
?
??cosx?cosx?
2
?4
?
??
1
，故选
C.
10
1
?< br>?
?
，设
t?cos
?
，由
x?
?
0,
?
，则
t?cos
?
?[0,1]
，即转化为
4
?
2
?
求二次函数
y??t?t?
【详解】

2
1
在
[0,1]
上的最大值
.
4
31
??cos
2
x?cosx?

44
由
f
?
x
?
?sinx?cosx?
2
设
t?cosx
，由
x?
?
0,
2
?
?
?
，则
t?cosx?[0,1]
.
?
?
2
?即求二次函数
y??t?t?
2
1
在
[0,1]
上的最 大值

4
2
1
?
1
?
1
y??t ?t???
?
t?
?
?

4
?
2
?
2
所以当
t?
故选：
D
1
?
1
，即
x?
时，函数
f(x)
取得最 大值
.
32
2

【点睛】

本题考查
cosx
的二次型函数的最值，属于中档题
.
6
．
B
【解析】

由题可知每天织的布的多少构成等差数 列
,
其中第一天为首项
a
1
?5
,
一月按
30
天计可得
S
30
?390
,
从第
2
天 起每天比前一天多织的即为公差
.
又
S
30
?30?5?
7
．
A
【解析】

设
因此，因此直线
l
与
m
间的距离为

，选
A.
16
30?29
?d?390
,
解得
d?
.
故本题选
B.
2
29
8
．
D
【解析】

【分析】

折叠过程中，仍有
CD?BD
，根据平面
ABD?
平面
BCD
可证得
CD?
平面
ABD
，从而得到正确的选项
.
【详解】


在直角梯 形
ABCD
中，因为
?ABD
为等腰直角三角形，故
?ABD??A DB?45?
，

所以
?DBC?45?
，故
CD?BD
，

折起后 仍然满足
CD?BD
.
因为平面
ABD?
平面
BCD
，
CD?
平面
BCD
，

平面
ABD?
平面
BCD?BD
，

所以
CD?
平面
ABD
，因
AB
又因为
AB?AD
，< br>AD
因
AB
平面
ABD
，所以
CD?AB
.
CD?D
，所以
AB?
平面
ADC
，

平面
ABC
，所以平面
ADC?
平面
ABC
.
【点睛】

面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意 面中两条直线是相交的．由面
面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线
.
9
．
A
【解析】

< br>22
2
a
4
a
6
?4a
7
2
,a
5
?4a
7
，
a
5
?2a
7
，所以
q?
1
,a
3
?a
1
q
2
?1.
选
A
2
10
．
C
【解析】

【分析】

根据周期公式排除
A
选项；根据正弦函数的单调性，排除
B
选项；将
x??
选项；根据周期公式，将
x??
【详解】

对于
A
项，
5
?
代入函数解析式，排除
D
12
5
?
代入函数解析式，余弦函数的单调性判断
C
选项 正确
.
12
T?
2
?
?4
?
1
，故
A
错误；

2
对于
B
项，
x?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?< br>??
?
,
?

，
2x??
?
?,< br>?
，函数
y?sinx
在
?
?,
?
上单调递 增，则函数
6
?
22
??
63
?
?
22< br>?
?
?
?
??
?
?
y?sin
?< br>2x?
?
在
?
?,
?
上单调递增，故
B错误；

6
?
?
63
?
?
T?
对于
C
项，
5
?
?
5
??
??
?
?
?
5
?
?
2
?
?
?
?cos
?
?
?
?0
，
,0
?
?
?
；当
x??
时，
y?cos
?
?
则其图象关于点
?
?
2
12
632
12
??
????对称；当
x?
?
?
?
?
??
?
,?

，
2x??
?
0,
?
?
，函数< br>y?cosx
在区间
?
0,
?
?
上单调递减，则函数
3
?
63
?
?
?
?
??
?
?
y?cos
?
2x?
?
在区间
?
?,
?
单调递减，故
C
正确；

3
??
63
? ?
对于
D
项，当
x??
故选：
C
【点睛】

本题主要考查了求正余弦函数的周期，单调性以及对称性的应用，属于中档题
.
11
．
D
【解析】

【分析】

利用正 弦定理可将已知中的等号两边的
“
边
”
转化为它所对角的正弦，再利用余弦定 理化简即得该三角形的
形状．

【详解】

根据正弦定理，原式可变形为：

5
?
?
5
??< br>?
?
?
?cos(?
?
)??1
，故
D错误；

时，
y?cos
?
?
12
?
66
?
c
?
cosA?cosB
?
?a?b

?
b
2
?c
2
?a< br>2
a
2
?c
2
?b
2
?
?
所以
c
??
?a?b

2bc2ac
??
整理得< br>a
2
?b
2
?c
2

?

?C?90?
．

故选
D
．

【点睛】

本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力
.
12
．
C
【解析】

【分析】

根据折叠前后线段、角的变化情况，由线面平行、面面垂直的判定定理和性 质定理对各命题进行判断，即
可得出答案．

【详解】

对
①
，在图
②
中，连接
AC,BD
交于点
O
，取BE
中点，连接
MO
，易证
AOMF
为平行四边形，即
ACFM
，
所以
AC
平面
BEF
，故
①
正 确；


对
②
，如果
B
、
C
、< br>E
、
F
四点共面，则由
BC
平面
ADEF
， 可得
BCEF
，又
ADBC
，所以
ADEF
，这样
四边形
ADEF
为平行四边形，与已知矛盾，故
②
不正确；

对
③
，在梯形
ADEF
中，由平面几何知识易得
EF
?< br>FD
，又
EF
?
CF
，
∴EF
?
平 面
CDF
，

即有
CD
?
EF
，
∴CD
?
平面
ADEF
，则平面
ADEF
?
平面< br>ABCD
，故
③
正确；

EG
，
BCEG< br>四点共面．对
④
，在图
②
中，延长
AF
至
G
，使得
AF=FG
，连接
BG
，易得平面
BCE
?
平面
ABF
，过
F
作
FN
?
BG
于
N
，则
FN
?
平面
BCE
，若平面
BC E
?
平面
BEF
，

则过
F
作直线与平面
BCE
垂直，其垂足在
BE
上，矛盾，故
④
错误．

故选：
C
．

【点睛】

本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的应用 ，意在考查学生的直观想象能
力和逻辑推理能力，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题
13
．
19

20
【解析】

【分析】

用数学归纳法证明不等式
11119
???...??
（
n?1
且
n?N
*
），第一步，即
n?2
时，
n?1n?2n?33n10
分母从
3
到
6
，列出式子，得到答案
.
【详解】

用数学归纳法证明不等式
第一步，
n?2
时，

左边式子中每项的分母从
3
开始增大至
6
，

所以 应是
11119
???...??
（
n?1
且
n?N
*
），

n?1n?2n?33n10
111119
????
.
2?12?22?32?420
即为答案
.
【点睛】

本题考查数学归纳法的基本步骤，属于简单题
.
14
．
①③.
【解析】

【分析】

利用线面平行的性质定理可判断
①< br>；利用平行线的性质可得直线
AN
与
l
的夹角等于直线
AN< br>与
AB
所成
的角，在
?ABN
中即可判断
②
；
l
与平面
BB
1
C
1
C
所成的角即为< br>AB
与平面
BB
1
C
1
C
所成的角可判断< br>③
；
根据直线与平面的位置关系可判断
④
；

【详解】

对于
①
，由
ABCD
，平面
A BM?
平面
A
1
B
1
C
1
D
1< br>?l
，则
AB
l
，

< br>又
A
1
B
1

AB
，所以
A
1
B
1
l
，故
①
正确；

对于
②
，连接
BN,BD
，由
AB
l
，

即直线
AN
与
l
的夹角等于直线
AN
与
AB
所成 的角，


在
?ABN
中，
AN?
故
②
不正确；
< br>2,AB?2,BN?2
，显然直线
AN
与
l
的夹角不为45?
，

对于
③
，
l
与平面
BB< br>1
C
1
C
所成的角即为
AB
与平面
BB1
C
1
C
所成的角，

根据三棱柱为直棱柱可知
?ABC
为
AB
与平面
BB
1
C
1
C< br>所成的角，

在梯形
ABCD
中，
ABCD
，
AB?2
，
AD?CD?BC?1
，

可解得
AB
与平面
BB
1
C
1
C
所成的角为
60
， 故
③
正确；

对于
④
，由于
l
与平面ADD
1
A
1
相交，故平面
ADD
1
A
1
内不存在与
l
平行的直线
.
故答案为：
①③
【点睛】

本题是一道立体几何题目，考查了线面平行的性质定理，求线面角以及直线 与平面之间的位置关系，属于
中档题
.
15
．

【解析】

【分析】

将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可
.
【详解】

因为
所以
，

，设直线的倾斜角为，

则，，故答案为
.
【点睛】

本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题
.
16
．

【解析】

【分析】

先求出
【详解】

由题得
所以向量与夹角的余弦值为
.

，再求，最后代入向量的夹角公式即得解
.
故答案为

【点睛】

(1)
本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的 掌握水平和分析推理计算能力
.(2)
求两个向
量的夹角一般有两种方法
,
方法一：
,
方法二：设
=,=
，为向量与
的夹角，则
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．
(1)
见证明；
(2)
【解析】

【分析】

( 1)
根据
EF
是
△BDP
的中位线可知
EF∥DP
，即可利用线线平行得出线面平行；
(2)
取
AB
中点
O,
连接
PO
，
DO
，可证明
∠PDO
为
DP
与平面
ABCD
所成角，在
Rt△DOP
中求解即可
.
【详解】

(1)
因为
E
为
AC
中点，所 以
DB
与
AC
交于点
E
．

因为
E
，
F
分别为
AC
，
BP
中点，所以
EF
是
△BDP
的中位线，

所以
EF∥DP
．又DP?
平面
PCD
，
EF?
平面
PCD
，所以
EF∥
平面
PCD
．

15

5

(2)
取
AB
中点
O,
连接
PO
，
DO

∵△PAB
为正三角形，
∴PO⊥AB
，

又
∵
平面
ABCD⊥
平面
PAB
∴PO⊥
平面
ABCD,∴DP
在平面
ABCD
内的射影为
DO
，

∠PDO
为
DP
与平面
ABCD
所成角，
OP?3,DP?5

在
Rt△DOP
中，
sin∠PDO=
OP315
,
??
DP5
5
15

5
∴
直线
D P
与平面
ABCD
所成角的正弦值为
【点睛】

本题主要考查了线面平行的证明，线面角的求法，属于中档题
.
18
．（< br>1
）
k??
；（
2
）
m??1

【解析】

【分析】

（
1
）首先求出
3 a?b
，
a?kb
的坐标，再利用向量共线定理即可得出．

（2
）
ma?b?
?
m?3,?2m?4
?
，根据
a?ma?b
，得到
ama?b?0
即可得出．

【详解】

解：（
1
）因为
a?(1,?2)
，< br>b?(3,4)
.
?3a?b?
?
0,?10
?
，
a?kb?
?
1?3k,?2?4k
?
，

13
????
?
3a?b
?

?
a?kb
?
，
??10?
?
1?3k
?
?0?
?
? 2?4k
?
?0
，

解得
k??
．
（
2
）因为
ma?b?
?
m?3,?2m?4
?
，

1
3
a?ma?b
，

?ama?b?0

?m?3?2(?2m?4)?0
，

??
??

?5m??5
，解得
m??1
．

【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19
．
(1)
最小正周期是
?
(2)
?
【解析】

【分析】

（
1
）运用辅助 角公式化简得
f(x)?
（
2
）先计算
cos(2
?
?
【详解】

（
1
）因为
f(x)?sinx?(2co sx?sinx)?cosx
，

所以
f(x)?sin2x?sinx?c osx?sin2x?cos2x?
所以函数
f(x)
的最小正周期是
?.
（
2
）因为
f
?
?
?
??
22
2
172

26
2sin(2x?)
；
< br>4
?
?
4
)
的值为
?
12
??，构造
2
?
?(2
?
?)?
，求出
cos2< br>?
的值
.
44
13
2sin(2x?)
，

4
?
2
?
5
?
52

，所以2sin(2
?
?)???
sin(2
?
?)??
，< br>
13413
413
3
??
5
?
?2
?
??
，

42444
?
12
所以
co s(2
?
?)??
，则

413
因为
?
?
?
?
?
，所以
cos2
?
?cos(2
?
?
??
2
?
2
?)?cos(2
?
?)? ?sin(2
?
?)?
444242

12252172
? ??????
13213226
?
【点睛】

??
利用角的 配凑法，即
2
?
?(2
?
?)?
进行角的整体代入求值，考 查整体思想的运用
.
44
20
．（
1
）最小正周期为?
，单调递增区间为
?
k
?
?
取最小值
0.
【解析】

【分析】

?
?
?
3
,k
?
?
?
?
6
?
2
?
k?Z
x?
??
2
；（）当
?
3
时，函数
y?f
?
x
?
（
1
）利用三角恒等变换思想化简函数
y?f
?
x
?
的解析式为
f
?
x
??sin
?
2x?
周期公式可求得函数
y?f
?
x?
的最小正周期，解不等式
2k??
?
?
?
?
?
?1
，利用正弦型函数的
6
?
???
?2x??2k??
?
k?Z
?
可求得函数
262

y?f
?
x
?
的单调递增区间；

（
2< br>）由
x?
?
?
?
7
?
5
?
?
,
?
计算出
2x?
的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得 该函数的最小值及
6
?
126
?
其对应的
x
值.
【详解】

（
1
）
1
f
?
x
?
?cosx?3sinxcosx?3sinx?cosx?cos
2
x?

2
??
?
31131
?
??
sin 2x?
?
1?cos2x
?
??sin2x?cos2x?1?sin
?
2x?
?
?1
，

222226
??
2
?
?
?
；

2
所以，函数
y?f
?
x
?
的最小正周期为
T?< br>令
2k??
?????
?2x??2k??
?
k?Z
?
，得
k???x?k??
?
k?Z
?
，

26236
?
?
所以函数
y?f
?
x
?
的单调增区间为
?
k
?
?
（
2
）当
?3
,k
?
?
?
?
?
k?Z
?
；

?
6
?
754
??
11
?
?
?x?
?
时，
?2x??
，

126366
2
?
?
3
?
所以，当
2x??
时，即当
x?
时，
sin2x
取得最小值
?1
，

6
62
3
所以，函数
y?f
?
x
?
在区间
?
【点睛】

本题考查正弦型函数的最小正周期和单调区间、最值的求解，解答的关键 就是利用三角恒等变换思想化简
函数解析式，考查计算能力，属于中等题
.
2221
．（
Ⅰ
）
(x?1)?(y?1)?4
；（
Ⅱ）
52?1
.
2
?
?
7
?
5
?
?
,
?
上的最小值为
0
，此时
x?
.
3
?
126
?
【解析】

【分析】
D
2
?E
2
+8
（
Ⅰ
）由题得
D?E
和（
Ⅱ
）取
MN
的中点
P
，则
?4
，解方程即得圆的方程；
4
|CM?CN|?2|CP|
，化简得
【详解】

（
Ⅰ
）由
C:x?y?Dx?Ey?2?0
，得圆
C
的圆心为
C(?
圆
C
关于直线
x?y?0
对称 ，
?D=E
①
．

22
D?E+8
圆
C< br>的半径为
2
，
?
?4
②
4
22
|m?1|
=2
，即得
m
的值
.
5
DE
,?)
，

22

又圆心
C
在第一象限，
?D?0
，
E?0
，由①②
解得，
D?E??2
，

2222
?(x?1)?(y?1)?4
．

故圆
C
的方程为
x?y?2x?2y?2?0，
（
Ⅱ
）取
MN
的 中点
P
，则
|CM?CN|?2|CP|
，

?|MN|= 2|CP|?2|MP|=2|CP|?|MP|
2
=|CP|
2
?4?|C P|
2
=|CP|
2
，

?|CP|
2
=2?|CP|=2
，即
【点睛】

本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系和向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平和分析推理能力
.
22
．
(I)0.045; (II)75;(III)0.7
【解析】

【分析】

(Ⅰ)
根据频率之和为
1
，结合题中数据，即可求出结果；

(II)
每组的中间值乘以该组频率，再求和，即可得出结果；

(III)
用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求的概率
.
【详解】

(Ⅰ)
由题意可得：
m?
|m?1|
= 2
，又
m?0
，解得
m=52?1
．

5
1
?(0.005?0.01?0.015?0.025)?0.045

10
(Ⅱ)
各组的频率分别为
0.05
，
0.25
，
0.45
，
0.15
，
0.1
，所以可估计全年级的平均 分为
0.05?55?0.25?65?0.45?75?0.15?85?0.1?95?75
；

(Ⅲ)
分数落在
[80
，
90)
的人数有
3
人，设为
a
，
b
，
c
，落在
[ 90
，
100
的人数有
2
人，设为
A
、
B
，则从中随
机抽取两名的结果有
{ab}
，
(ac}
，{a4}
，
(aB}
，
{bc}
，
(bA}
，
(bB)
，
{cA}
，
{cB)
，
{AB}
共
10
种，其中至少有一
人不低于
90
分的有
7
种，故概率为
0.7.
【点睛】

本题主要考查由频率分布直方图求参数， 以及求均值的问题，同时考查古典概型的问题，熟记古典概型的
概率公式，以及均值的求法即可，属于常 考题型
.

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．如图所示，在边长为
2
的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机 撒一粒豆子，它
3
落在阴影区域的概率是，则该阴影区域的面积是（

）

8

A
．
3 B
．
3

2
C
．
2
D
．
3

4
2
．在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，异面直线
AC
与
BC
1
所成的角为（

）

A
．
30° B
．
45° C
．
60° D
．
90°
3
．一个体积为
123
的正三棱柱（底面为正 三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则
该三棱柱的侧视图的面积为（

）


A
．
63

4
．在
B
．
3 C
．
83
D
．
12
，，，则（

）

中，角，，所对的边分别为，，，若
A
．
B
．
2 C
．
3 D
．

5
．某三棱柱的底面是边长为
2< br>的正三角形，高为
6
，则该三棱柱的体积为

A
．
23
B
．
43
C
．
63
D
．
83

6
．如图所示，墙 上挂有边长为
a
的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半
径为
a
的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样 ，则它击
2
中阴影部分的概率是

（

）

A
．
1?
?

8
B
．
?

4
C
．
1?
?

4
D
．与
a
的值有关联

7
．已知数列< br>?
a
n
?
满足
a
1
?2,a
n?2
?a
1
a
n
(n?N*)
，则（

）

A
．
a
3
＞a
5
B
．
a
3
?a
5
C
．
a
2
?a
4
D
．
a
2
?a
4

2
4a
3?a
7
?4a
11
?0
，
8
．
各项不为零的等差数列
a
n
?
中，数列
b
n
?
是等比数列，且
b
7
?a
7
，则
b
6b
8
?
（

）
??
A
．
4 B
．
8 C
．
16 D
．
64
9
．已知一扇形的周长为
1 5cm
，圆心角为
3rad
，则该扇形的面积为
( )
A
．
9cm
2
B
．
10.5cm
2
C
．
13.5cm
2
D
．
17.5cm
2

10
．已知等差数列
{a< br>n
},
若
a
2
=10,a
5
=1,
则
{a
n
}
的前
7
项和为

A
．
112 B
．
51 C
．
28 D
．
18
11
．在
?ABC
中，设角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，若
a?2
，
b?3
，
C?120?
，则其面积 等
于（

）

A
．
3

2
B
．
3

2
C
．
33

2
D
．
33

12
．某个算法程序框图如图所示， 如果最后输出的
S
的值是
25
，那么图中空白处应填的是（

）


A
．
i?4?
B
．
i?5?
C
．
i?6?
D
．
i?7?

二、填空题：本题共4小题
13
．已知无 穷等比数列
?
a
n
?
的所有项的和为
3
，则首项< br>a
1
的取值范围为
_____________.

14
．已知当
x?
?
时，函数
f (x)?(a?1)sin
xxx
cos?(a?1)cos
2
?a
2
?2
（
a?R
且
a?1
）取得最大
222
值，则
tan
?
??2
时，
a
的值为
_____ _____
．

15
．在直角坐标系
xOy
中，直线
l
1
:y?kx?1
与直线
l
2
都经过点
(3, 2)
，若
l
1
?l
2
，则直线
l
2
的一般方程
是
_____.
16
．给出下列四个命题：

①
正切函数
y?tanx

在定义域内是增函数；

②
若函数
f(x)?3cos(2x?
③
函数
f(x)?
?
6
)
，则对任意的实数
x
都有
f(
5
?
5
?
?x)?f(?x)
；

1212
cosx?sinx
的最小正周期是
?
；

cosx?sinx
④
y?cos(?x)
与
y?cosx
的图象 相同
.
以上四个命题中正确的有
_________
（填写所有正确命题的序号）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列
?
a
n
?
前
n
项和为
S
n
，
a
1
??2
，且满足
S
n
?
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）若
b
n
?l og
3
?
?a
n
?1
?
，设数列
?
1
．
a
n?1
?n?1
（
n?N*
）
2
?
1
?
3
n
T
前项和为，求证： ．
T?
?
n
n
bb
4
?
nn?2
?
18
．在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，已知向量
a?
?
?1,2
?
，又点
A
?
8,0
?
，
B< br>?
n,t
?
，
C
?
ksin
?
,t
?
，
?
?R
.
（
1
）若
AB? a
，且
AB?5OA
，求向量
OB
；

（
2
）若向量
AC
与向量
a
共线，常数
k?0
，求< br>f
?
?
?
?tsin
?
的值域
.
19
．（
6
分）如图所示，在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
ABC
与
△A
1
B
1
C
1
都为正三角形，且
AA
1
?
平面
A BC
，
F，F
1
分别是
AC，A
1
C
1< br>的中点
.

求证：（
1
）平面
AB
1F
1
∥
平面
C
1
BF
；

（
2
）平面
AB
1
F
1
?
平面
ACC
1
A
1
.
20
． （
6
分）己知向量
a?
?
m,cos2x
?
，b?
?
sin2x,n
?
，设函数
f(x)?a?b
， 且
y?f(x)
的图象过点
?
2
?
(,3)
和点< br>(,?2)
.
123
??
（
1
）当
??x ?
时，求函数
y?f(x)
的最大值和最小值及相应的
x
的值；
63
（
2
）将函数
y?f(x)
的图象向右平移?
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的
4
倍，
4纵坐标不变，得到函数
y?g(x)
的图象，若
g(x)?m
在
?
0,2
?
?
有两个不同的解，求实数
m
的取值范围
.
21
．（
6
分）如图，为了测量河对岸
A
、
B
两点的距离，观察者找到一个点
C
，从
C
点可以观察到点
A
、
B
；找到一个点
D
，从
D
点可以观察到点A
、
C
；找到一个点
E
，从
E
点可以观察到点
B
、
C
．并测量
得到以下数据，
?DCA?105
，
?ADC?30
，
?BCE?90
，
?ACB??CEB?60< br>，
DC?2002
米，
CE?1003
米．求
A
、< br>B
两点的距离．


22
．（
8
分）已知< br>sin
?
?2cos
?
?0
.
（
1
）求
tan2
?
；

（
2< br>）求
3sin
?
?cos
?
的值
.
sin
?
?3cos
?



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
B

【解析】

【分析】

利用几何概型的意义进行模拟试验，即估算不规则图形面积的大小．

【详解】

正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，
P?
S
阴影
3
?
，

S
正方形
8
又
S
正方形
?4
，
?S
阴影
?
3
.
2
故选：
B
．

【点睛】

本题考查几何 概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求
解时注意豆子 落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系
.
2
．
C
【解析】

【分析】

首先由
AD
1
BC
1
,
可得
?D
1
AC
是异面直线
AC和
BC
1
所成角，再由
?ACD
1
为正三角形即可求解
.
【详解】

连接
AD
1
,CD
1
．


因为
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
为 正方体，所以
AD
1
BC
1
,
，

则?D
1
AC
是异面直线
AC
和
BC
1
所成角．又
AD
1
?CD
1
?AC
,
o
可得
?ACD
1
为等边三角形，则
?D
1
AC?60
，所以异面直线
AC
与
BC
1
所成角为
60
，< br>
故选：
C
【点睛】

本题考查异面直线所成的角，利用平 行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，
属于中档题
.
3
．
A
【解析】

【分析】

根据侧视图的宽为
23

求出正三角形的边长为
4
，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。

【详解】

侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为
4
，

又
123=
1
?4?23h?h?3

2
?
侧视图的面积为：
S?23?3?63

【点睛】

理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。

4
．
A
【解析】

【分析】

利用正弦定理，可直接求出的值
.
【详解】

在中，由正弦定理得，所以，

故选：
A.
【点睛】

本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。

5
．
C
【解析】

【分析】

V?S?h
计算结果
.
【详解】

因为底面是边长为2
的正三角形，所以底面的面积为
13
?2?2??3
，则该三棱柱的体 积为
22
3?6?63
．

【点睛】

本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型
.
6
．
C
【解析】

a
a
2
?
?
()
2
试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为
2
?1?
?
．

a
2
4
考点：几何概型，圆的面积公式．

7
．
B
【解析】

【分析】

分别令< br>n?1,2,3
，求得不等式，由此证得
a
3
?a
5
成立
.
【详解】

当
n?1
时，
a
3< br>?a
1
?a
1
,a
3
?4
，当
n? 2
时，
a
4
?a
1
?a
2
,a
4
?2a
2
，当
n?3
时，
a
5
?a
1
?a
3
?2a
3
，所
以
a
5
?a
3
?2a
3
?a
3
?a
3
?4?0< br>，所以
a
5
?a
3
，故选
B.
【点睛】

本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题
.
8
．
D
【解析】

【分析】

根据等差数列性质可求得
a
7
，再利用等比数列性质求得结果
.
【详解】

由等差数列性质可得：
4a
3
?a
7< br>?4a
11
?4
?
a
3
?a
11
?
?a
7
?8a
7
?a
7
?0

222
又
?
a
n
?
各项不为零

?a
7
?8
，即
b
7
?8

2< br>由等比数列性质可得：
b
6
b
8
?b
7
?6 4

本题正确选项：
D

【点睛】

本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题
.
9
．
C
【解析】

【分析】

根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的 周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形
的面积公式即可求解．

【详解】

设扇形的弧长为
l
，半径为
r
，扇形的 圆心角的弧度数是
?
.
则由题意可得：
2r?l?15,l?
?
r?3r
.

可得：
2r?3r?15
，解得：
r?3
，
l?9
.
可得：
S
扇形
=
故选：
C
【点睛】

本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．

10
．
C
【解析】

【分析】

根据等 差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根
据等差 数列的前
n
项和可得解
.
【详解】

11
lr??9?3?13.5cm
2

22
?
a
2
?a
1
?d?10
?
a
1
?13由等差数列的通项公式结合题意有
:
?
，解得：
?
，

a?a?4d?1
d??3
1
?
?
5
则数列
?
a
n
?
的前
7
项和为
:
S
7
?7a
1
?
故选：
C.
【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前
n
项公式，属于基础题
.
11
．
C
【解析】

【分析】

直接利用三角形的面积的公式求出结果．

【详解】

解：
?ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边边长分别为a
，
b
，
c
，

若
a?2
，
b?3
，
C?120?
，
< br>11333
则
S
?ABC
?ab?sin120???2?3?
，

?
2222
7?6
d?7?13?21?(?3)?28
，

2
故选：
C
．

【点睛】

本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于基础题．

12
．
B
【解析】

【分析】

分别依次写出每次循环所得答案，再与输出结果比较，得到答案
.

【详解】

由程序框图可知，第一次循环后，
a? 1
，
s?1
，
i?2
；第二次循环后，
a?3
，< br>s?4
，
i?3
；第三次
循环后，
a?5
，
s?9
，
i?4
；第四次循环后，
a?7
，
s?16
，
i?5
；第五次循环后，
a?9
，
s?25
，
此时
s?25
，则图中空白处应填的是
i?5?

【点睛】

本题主要考查循环结构由输出结果计算判断条件，难度不大
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
?
0,3
?
【解析】

【分析】

设等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
，根据题意得出
?1?q?0
或
0?q?1
，根据无穷等 比数列的和得出
a
1
与
q
所
满足的关系式，由此可求出实数
a
1
的取值范围
.
【详解】

设等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
，根据题意得出
?1?q? 0
或
0?q?1
，

由于无穷等比数列
?
a
n
?
的所有项的和为
3
，则
?
3,6
?

a
1
?3
，
?a
1
?3
?
1?q
?
.
1?q
当
?1?q?0
时，则
1?1?q? 2
，此时，
3?a
1
?6
；

当
0?q? 1
时，则
0?1?q?1
，此时，
0?a
1
?3
.
因此，首项
a
1
的取值范围是
?
0,3
?
故答案为：
?
0,3
?
【点睛】

本题考查利用无穷等比数 列的和求首项的取值范围，解题的关键就是结合题意得出首项和公比的关系式，
利用不等式的性质或函数 的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题
.
14
．
3
【解析】

【分析】

先将函数
y?f
?
x
?
的解析式利用降幂公式化为
f
?
x
?
?
?
3,6
?
.
?
3,6
?
.
a?1a?1
sinx?cosx?

22
2a
2
?a?5
a
2
?12a
2
?a?5
，再利用辅助角公式化为
f
?
x
?
?
，其中

sin
?< br>x?
?
?
?
2
22
tan
?
?a?1
，由题意可知
?
与
?
的关系，结合诱导公式以及
tan
?
??2
求出
a
的值．

a?1

【详解】

xxx
f
?
x
?
?
?
a?1
?
sincos?
?
a?1
?
cos
2
?a
2
?2

222
a?11?cosxa?1a?12a
2
?a?5
2

?

sinx?
?
a?1
?
??a?5?sinx ?cosx?
22222
22
a?1
a?1
??
a?1?
2a
2
?a?5
?
tan
?
??0
，

?
?
，其中
?
?
??
sin
?
x?
?
?
?
a?1
2
?
2
??
2
?
当
x?
?
时，函数
y?f?
x
?
取得最大值，则
?
?
?
?
?< br>2
?2k
?
?
k?Z
?
，
?
??
?
?
?
2
?2k
?
，

?
??
sin
?
?
??2k
?
?
sin?
2
??
??
cos
?
??
1
??< br>a?1
??2?
所以，
tan
?
?
，
?
cos
?
sin
?
tan
?
a?1
??
cos
?
?
??2k
?
?
2
??解得
a?3
，故答案为
3
．

【点睛】
本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为y?Asin
?
?
x?
?
?
?b
的形式，本题 中用到了
?
与
?
之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，
属于中等题．

15
．
x?y?5?0

【解析】

【分析】

点
(3,2)
代入
l
1
的方程求出
k
，再由
l
1
?l
2求出直线
l
2
的斜率，即可写出直线
l
2
的点斜式方程
.
【详解】

将点
?
3,2
?
代入直线
l
1
:y?kx?1
得，
2?3k?1
，解得
k? 1
，

又
l
1
?l
2
，
k
l
2
??1
，于是
l
2
的方程为
y?2??1?
?
x?3
?
，整理得
x?y?5?0
.
故答案为：
x?y?5?0

【点睛】

本题考查直线的方程，属于基础题
.
16
．
②③④
【解析】

【分析】

①
利用反例证明命题错误；
②
先判断
x?
5
?
为其中一条对称轴；
③
f(x)
通过恒等变换化成
12

f(x)?tan(x? )
；
④
对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系均一样
.
4
【详解】

对
①
，当
x
1
?0 ,x
2
?
的定义，故
①
错；

对
②
，当
x?
?
3
?
，显然
x
1
?x
2
，但
tanx
1
?0,tanx
2
??1
，所 以
tanx
1
?tanx
2
，不符合增函数
4
5< br>?
5
??
5
?
5
?
5
?
? )??3
，
?x)
，时，
f()?3cos(
所以
x?为
f(x)
的一条对称轴，当
x
1
取
(
121 2
126612
x
2
取
(
5
?
5
?
?x)
时，显然两个数
x
1
,x
2
关于直线x?
对称，所以
f(x
1
)?f(x
2
)
，即
12
12
f(
5
?
5
?
?x)?f(?x )
成立，故
②
对；

1212
2sin(x?)
c osx?sinx
4
?tan(x?
?
)
，
T?
?
，故
③
对；

?
对
③
，
f(x) ?
?
cosx?sinx4
2cos(x?)
4
对
④
，因为
y?cos(?x)?cosx
，
y?cosx
?
?
?
?
cosx,x?0,
?cosx
，两个函数的定义域都是
R< br>，解
cos(?x),x?0,
?
析式均为
f(x)?cosx
，所以函数图象相同，故
④
对
.
综上所述，故填：
②③④.
【点睛】

本题对三角函数的定义域、值域、单调性、对称性、周期性等知识进行综合 考查，求解过程中要注意数形
结合思想的应用
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
n
17．（Ⅰ）
a
n
??3?1
（Ⅱ）详见解析
【解析】【试题分析】（
1
）借助递推关系式，运用等比数列的定义分析求解；（
2< br>）依据题设条件运用列项
相消求和法进行求解：

（Ⅰ）
a
1
??2
，由
S
n
?
11
，得
S
n ?1
?a
n
?n
（
n?2
），
a
n?1
?n?1
（
n?N*
）
22
两式相减得
3a
n
?a
n?1
?2
．
由
3a
n
?a< br>n?1
?2
，得
3
?
a
n
?1
?< br>?a
n?1
?1
,又
a
1
?1??3?0
，
所以
?
a
n
?1
?
是以
?3
为首 项，3为公比的等比数列
a
n
?1?
?
?3
?
?3
n
故
a
n
??3?1
．
n?1
??3
n
，
（Ⅱ）
b
n
?log
3
?
?a
n
?1
?
?log
3
3 ?n
，
n

111
?
11
?
??
?
?
?
，
b
n
b
n?2
n
?
n?2
?
2< br>?
nn?2
?
T
n
?
1
?
1111 11111
?
1
?
111
?

1????????????1???
????

2
?
32 435n?1n?1nn?2
?
2
?
2n?1n?2
?
?< br>32n?33
??
．
42
?
n?1
??
n ?2
?
4
18
．（
1
）
?
24,8
?
或
?
?8,?8
?
；（
2
）当
k?4
时
f
?
?
?
的值域为
?
?
?2k ?16,
?
32
?
.
k
?
?
0?k?4
时
f
?
?
?
的值域为
?
?2k?16,? 2k?16
?
.
【解析】

分析：（
1
）由已知 表示出向量
AB
，再根据
AB?a
，且
AB?5OA
，建立 方程组求出
n,t
，即可求得
向量
OB
；


（
2
）由已知表示出向量
AC
，结合向量
AC
与向 量
a
共线，常数
k?0
，建立
t
的表达式，代入
4
?
32
f
?
?
?
?tsin
?

??2k
?
sin
?
?
??
?
，对
k
分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可
k
?
k
?
求出
f
2
?
?
?
值域
.
详解 ：（
1
）
AB?
?
n?8,t
?
，
∵AB?a
，且
AB?5OA
，

∴
?
?
n?8
?
?2t?0
，
?
n?8
?
2
? t
2
?85
，

解得
t??8
，
t?8< br>时，
n?24
；
t??8
时，
n??8
.
∴
向量
OB?
?
24,8
?
或
OB?
?< br>?8,?8
?
.
（
2
）
AC?
?
ksin
?
?8,t
?
，
∵
向量
AC
与向 量
a
共线，常数
k?0
，

∴
t??2ksin
?
?16
，

4
?< br>32
?
∴
f
?
?
?
?tsin
?< br>??2ksin
?
?16sin
?

??2k
?
sin
?
?
?
?
.
k
?
k
?
2
2
①
当
0?
4432
?1
即
k?4
时，当
sin
?
?
时，
f
?
?
?
?tsin
?
取得最大值，

kk
k
?
?
32
?
.
k
??
sin
?
??1
时，
f
?
?
??tsin
?
取得最小值
?2k?16
，此时函数
f
?
?
?
的值域为
?
?2k?16,
②
当
4< br>?1
即
0?k?4
时，当
sin
?
?1
时，
f
?
?
?
?tsin
?
取得最大值
?2k ?16
，

k
sin
?
??1
时，
f?
?
?
?tsin
?
取得最小值
?2k?16
，此时函数
f
?
?
?
的值域为
?
?2k?16,? 2k?16
?
.

综上所述，当
k?4
时
f
?
?
?
的值域为
?
?
?2k ?16,
?
32
?
.
k
?
?
0?k?4
时
f
?
?
?
的值域为
?
?2k?16,? 2k?16
?
.
点睛：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直和共线的定理、模的计 算、三角函数的值域等问题，考查了
分类讨论方法、推理与计算能力
.
19
．
(1)
见解析
.(2)
见解析
.
【解析】

【分析】

（
1
）由
F,F< br>1
分别是
AC,A
1
C
1
的中点，证得
B< br>1
F
1
∥BF,AF
1
∥C
1
F
， 由线面平行的判定定理，可得
B
1
F
1

平面
C1
BF
，
AF
1

平面
C
1
B F
，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面
AB
1
F
1
∥
平面
C
1
BF
.
（
2
）利用线面垂直 的判定定理，可得
B
1
F
1
?
平面
ACC
1
A
1
，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面
AB
1
F
1
?
平面
ACC
1
A
1
.
【详解】

（
1
）在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，

因为
F,F
1
分 别是
AC,A
1
C
1
的中点，所以
B
1
F
1
∥BF,AF
1
∥C
1
F
，

根据线面平行的判定定理，可得
B
1
F
1

平面
C< br>1
BF
，
AF
1

平面
C
1
BF

又
B
1
F
1
AF
1
?F< br>1
,C
1
FBF?F
，

∴
平面
A B
1
F
1
∥
平面
C
1
BF
. < br>（
2
）在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AA
1
?
平面
A
1
B
1
C
1
，所以
B
1
F
1
?AA
1< br>，

又
B
1
F
1
?AC
11
，
A
1
C
1
AA
1
?A
1
，所 以
B
1
F
1
?
平面
ACC
1
A< br>1
，

而
B
1
F
1
?
平面
AB
1
F
1
，所以平面
AB
1
F
1
?
平面
ACC
1
A
1
.
【点睛】

本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义 、判定、几何特征是解答的关
键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：
(1)
证明线面、面面平行，需转化为证明
线线平行；
(2)
证明线面垂直， 需转化为证明线线垂直；
(3)
证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．

2 0
．（
1
）最大值为
2
，此时
x?
【解析】

【分析】

?
6
；最小值为－
1
，此时
x??
?
6
.
（
2
）
3?m?2

（
1
）根据向量数量积坐标公式，列出函数f(x)?a?b?msin2x?ncos2x
，再根据函数图像过定点，
求解函数解析 式，当
?
?
??
?x?
时，解出
2x?
的范围，根 据三角函数性质，可求最值；

63
6
（
2
）根据三角函数 平移伸缩变换，写出
y?g(x)
解析式，画出
y?g(x)
在
?< br>0,2
?
?
上的图象，根据图像
即可求解参数取值范围
.
【详解】

解：（
1
）由题意知
f(x)?a?b?msi n2x?ncos2x
.
??
?
3?msin?ncos
?
?
?
?
?
?
2
?
?
66
,?2
?
，得到
?
根据
y?f(x)
的图象过点
?
,3
?
和
?
，

?
12
?
?< br>3
?
?
?2?msin
4
?
?ncos
4< br>?
?
33
?
解得
m?3
，
n?1
.
?
??
f(x)?a?b?3sin2x?cos2x?2sin
?
2x?
?

6
??
当
?
?
?
?? ??5?
?
?x?
时，
??2x??
，
?1?2sin?
2x?
?
?2
，

6
?
63666
?
f(x)
最大值为
2
，此时
x?
?
6< br>，

f(x)
最小值为－
1
，此时
x??
?
6
.
（
2
）将函数
y?f(x)
的图象向右平移一个单位
得
y?2sin
?
2
?
x?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
??
??2sin2x????
，

4
?
6
?
3
??
?
?
x
?
?
?
?

23
??再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的
4
倍，纵坐标不变，得
g(x)?2 sin
?
令
t?
x
?
?
?
2
?< br>?
3
?
，
t?
?
?,
?
，如图当< br>?sint?1
时，

33
23
??
2
g( x)?m
在
?
0,2
?
?
有两个不同的解

∴
?
x
?
?
3
?
2sin
?
?
?
?
2
，即
3?m?2
.
?
23
?

【点睛】

本题考查（
1
）三角函数最值问题（
2
）三角函数的平移伸缩变换， 考查计算能力，考查转化与化归思想，
考查数形结合思想，属于中等题型
.
21
．
AB?1007
米

【解析】

【分析】

在
?ACD
中，求出
?DAC
，利用正 弦定理求出
AC
，然后在
Rt?BCE
中利用锐角三角函数定义求出
BC
，
最后在
?ABC
中，利用余弦定理求出
AB
.
【详解】

由题意可知，在
?ACD
中，
?DAC?45
，

由正弦定理得
DC?sin?ADC
ACDC
?
?200
米，

，所以
AC?
sin?ADCsin?DAC
sin?DAC
在
Rt?BCE
中，
BC?1003?3?300
米，

在
?ABC
中，由余弦定理得

1
AB
2
?AC
2
?BC
2
?2AC?BC?cos60?200
2
?300
2
?2?200?300??70000
，

2
所以，
AB?1007
米
.
【点睛】

本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型
选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题
.
22
．（
1
）
?
【解析】

【分析】

（
1
）根据三角函数的基本关系式，可得
tan
?
?2
，再结合正切的倍角公式，即可求解；

（
2
）由（
1
）知
tan
?
?2
，结合三角函数的基本关系式 ，即可求解，得到答案
.
【详解】

（
1
）由
s in
?
?2cos
?
?0
，根据三角函数的基本关系式，可得
tan
?
?2
，

所以
tan2
?
?< br>4
（
2
）
?7

3
2tan
?
4
??
.
1?tan
2< br>?
3
（
2
）由（
1
）知
tan
?< br>?2
，又由
【点睛】

3sin
?
?cos
?
3tan
?
?1
???7
.
sin
?
?3cos
?
tan
?
?3
本题主要考查了三角函数的基本关系式和 正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关
系式和三角恒等变换的公式，准确运算是 解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题
.