2019-2020学年无锡市名校新高考高一数学下学期期末预测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．在
△ABC
中，
a?1
，
b?
A
．3
，
?A?30
，则
sinB
为（

）

C
．
2

2
B
．
1

2
3

3
D
．
3

2
B?
2
．在
?ABC
中，
?
3
，且
BM?2
，若
BM
为
?ABC
的角平分线，则
M
为
AC
边上的一点，
21
?

AMCM
的取值范围为（

）
< br>??
3
A
．
?
?
?
2
,3
?
?

??
C
．
?
?
??
3B
．
?
?
?
2
,3
?

??
D
．
?
?
?
1
?
,3
?

?
2
?
?
1
?
,3
?

?
2
?
3
．已知
f
?
x
?
?2s in
?
A
．
?
1,?1
?

C
．
?
1,?1,2,?2
?

?
??< br>?
x?
?
，
x?N
，则
f
?
x?
的值域为（

）

6
??
3
B
．
?
1,?1,?2
?

D
．
?
1,?2
?

4
．在等差数列{a
n
}
中，若
a
3
?a
7
?12< br>，则
a
5
?
（

）

A
．
4
B
．
6
C
．
8
D
．
10

5
．在
?A BC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且
a?2 ,2sinA?sinC
.
若
B
为钝角，
cos2C??
则
?ABC
的面积为
( )
A
．
10
B
．
15
C
．
25
D
．
5
1
，
4
6
．在
ABC
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
.
若
bcosC?ccosB?asinA
,
则角
A
的值为（

）

A
．
?

3
B
．
?

6
C
．
?

2
D
．
2
?

3
7
．在复平面内，复数
A
．第一象限

2
对应的点位于

1?i
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

8
．若圆
x
2
?y
2
?2ax?2by?1?0
的圆心在第一象限，则直线
a x?y?b?0
一定不经过（

）

A
．第一象限

x
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

?
5
?
?
?
1
?
9
．函数
f(x)?
??
?|si n2x|
在
?
0,
上零点的个数为（

）

?
4
??
?
3
?
A
．
2 B
．
3
，则
C
．
4 D
．
5
的值为（

）
10
．已知角终边上一点

A
．
B
．
C
．
D
．

11
．已知
a
，
b
，
c< br>，
d∈R
，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A
．若a
＞
b
，
c
＞
d
，则
ac
＞
bd
C
．若
a
＞
b
＞
0
，则（
a
﹣
b
）
c
＞
0
12
．函数< br>y=
2
x
sin2x
的图象可能是

B
．若
a
＞
b
，则
ac
2
?bc
2
< br>D
．若
a
＞
b
，则
a
﹣
c
＞
b
﹣
c
A
．
B
．

C
．
D
．

二、填空题：本题共4小题
13< br>．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十
一，请问尖头几盏灯？
”
意思是：一座
7
层塔共挂了< br>381
盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数
的
2
倍，则塔的 顶层灯数为
_____________
14
．已知点
P(1,?2)及其关于原点的对称点均在不等式
2x?by?1?0
表示的平面区域内，则实数
b
的取值
范围是
____
．

15
．执行如图所示的程序框图，则输出结果
S?
_____.

16
．如图，海岸线上有相距
5
海里的两座灯塔
A
，
B
，灯塔
B
位于灯塔
A
的正南方向．海上停泊着两艘轮
船 ，甲船位于灯塔
A
的北偏西
75?
，与
A
相距
32
海里的
D
处；乙船位于灯塔
B
的北偏西
60?
方向 ，与

B
相距
5
海里的
C
处，此时乙船与灯塔
A
之间的距离为

海里，两艘轮船之间的距离为

海里．


三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．手机支付也称为移动支付
(Mobile Payment)
，是指允 许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对
所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式
.
继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠
.
某
金融机构为了了解移 动支付在大众中的熟知度，对
15-65
岁的人群随机抽样调查，调查的问题是
“你会使
用移动支付吗？
”
其中，回答
“
会
”
的 共有
100
个人，把这
100
个人按照年龄分成
5
组，然后 绘制成如图所
示的频率分布表和频率分布直方图
.
组数

分组

频数

第
l
组

第
2
组

第
3
组

第
4
组

第
5
组

[15,25)

20
[25,35)

36
[35,45)

30
[45,55)

10
[55,65)

4

（
1
）求
x
；

（
2
）从第l
，
3
，
4
组中用分层抽样的方法抽取
6
人， 求第
l
，
3
，
4
组抽取的人数：

（3
）在（
2
）抽取的
6
人中再随机抽取
2
人， 求所抽取的
2
人来自同一个组的概率
.
18
．已知角
?< br>终边上一点
P(?3,y)
，且
sin
?
?
3
y
，求
tan
?
的值．

4
19
．（< br>6
分）如图，三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧面
BB
1
C
1
C
是边长为
2
的菱形，
?B
1
BC?60?
，且
AB?B
1
C< br>.

（
1
）求证：
?ABB
1
??ABC
；

（
2
）若
AB?AC
1
，当二面角
B
1< br>?AB?C
为直二面角时，求三棱锥
A?BB
1
C
的体积.
20
．（
6
分）已知等差数列
{a
n
}< br>满足
a
2
＝
0
，
a
6
＋
a
8
＝－
10.
(1)
求数列
{a
n
}
的通项公式；

( 2)
求数列
?
?
a
n
?
n?1
?
的前
n
项和．

2
??
21
．（
6
分）设
S
n
是正项等比数列
?
a
n
?
的 前
n
项和，已知
a
1
?3
，
a
5
?2S
4
?3

（
1
）求数列
?
a
n
?
的通项公式
;
（
2
）令
b
n?
?
2n?1
?
a
n
，求数列
?
b< br>n
?
的前
n
项和
T
n
.
22．（
8
分）如图，在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
D
、
P
分别是棱
AB
，
A
1
B
1
的中点，求证：


（
1
）
AC
1
∥
平面
B
1
CD
；

（
2
）平面
APC
1
平面
B
1
C D
．




参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
D
【解析】

【分析】

利用正弦定理得到答案
.
【详解】

根据正弦定理：
答案选
D
【点睛】

本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力
.
2
．
A
【解析】

【分析】

先根据正弦定理用角
A,C
表示
数性质得结果
.
【详解】

因为
B?
ab
133

即：

?
??sinB?
sinAsinB
sin30? sinB2
21
，
，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函AMCM
?
3
，
BM
为
?ABC
的角平分线， 所以
?ABM??CBM?
?
2
BMAM
??2sinA
?
?
在
?ABM
中，，因为
BM?2
，所以
AM，

sin
sinAsin?ABM
6
2sinC
BM CM1
??2sinC
??sinC
，

?
在
?C BM
中，，因为
BM?2
，所以
CM
，所以
sin
sinCsin?CBMCM
6
则
6
sinA
，

21
?
2
?
?
??2sinA?sinC?2sinA?sin?
?A
?

AMCM
?
3
?
33?
??
?sinA?cosA?3sin
?
A?
?
,
226
??
因为
0?A?
所以
?
2
??? ?
，所以
??A??
,
3662
1
?
??
3
?
??
?sin
?
A?
?
?1
，则< br>??3sin
?
A?
?
?3

，

26
??
26
??
??
3
21
?,3
?< br>?
.
选
A.
即的取值范围为
?
??
2AMCM
??
【点睛】

本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题
.
3
．
C
【解析】

【分析】

根据正弦型函数的周期性可求得最小正周期，从而可知代入
x?0 ,1,2,3,4,5
即可求得所有函数值
.
【详解】

由题意得 ，
f
?
x
?
最小正周期：
T?
2
?
?
3
?6

f
?
0
?
?2sin
5
?
?1
；

626
7
?
3
?
11
?
f
?
3
?
?2sin??1
；f
?
4
?
?2sin??2
；
f
?
5
?
?2sin??1

626
?1
；
f
?
1
?
?2sin?2
；
f
?
2
?
?2sin
??
x?N
且
T?6

?f
?
x
?
值域为：
?
2,?2,1,?1
?

本题正确选项：
C

【点睛】

本题考查正弦型函数值域问 题的求解，关键是能够确定函数的最小正周期，从而计算出一个周期内的函数
值
.
4
．
B
【解析】

【分析】

由等差数 列的性质可得
a
3
?a
7
?2a
5
，则答案易求< br>.
【详解】

在等差数列
{a
n
}
中，因 为
3?7=5?2
，所以
a
3
?a
7
?2a
5
.
所以
a
5
?
【点睛】

本题考查 等差数列性质的应用
.
在等差数列
{a
n
}
中，若
p?q?s?t
，则
a
p
?a
q
?a
s
? a
t
.
特别地，若
1
?12?6
.
故选
B .
2
p?q?2s
，则
a
p
?a
q
?2 a
s
.
5
．
B
【解析】

【分析】

先由正弦定理求出
c
的值，再由
C
角为 锐角求出
C
角的正余弦值，

利用角
C
的余弦公式求出b
的值，带入
S
?ABC
?
【详解】

因为< br>a?2
，
2sinA?sinC
，所以
c?2a?4
．

1
absinC
，及可求出面积．

2

又因为
cos2C??
1
610
，且C
为锐角，所以
cosC?
，
sinC?
．

4
44
由余弦定理得：
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
，解得
b?26
，

所以
S
?ABC
?
故选
B.
【点睛】

本题考查利用正余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于中档题．

6
．
C
【解析】

【分析】

根据正弦 定理将边化角，可得
sin
?
B?C
?
?sinA
，由sin
?
B?C
?
?sinA
可求得
sinA
，根据
A
的范围
2
1110
absinC??2?26??15．

224
求得结果
.
【详解】

由正弦定 理得：
sinBcosC?sinCcosB?sin
?
B?C
?
? sinA

2
A?B?C?
?

?sin
?
B?C
?
?sin
?
?
?A
?
?sinA

A?
?
0,
?
?

?sinA?0

?sinA?1
?A?
本题正确选项：
C

【点睛】

?
2

本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及 到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基
础题
.
7
．
D
【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【详解】

2
?
1?i
?
2
==1
﹣
i
对应的点（
1< br>，﹣
1
）位于第四象限．

在复平面内，复数
1?i
?
1?i
??
1?i
?
故选
D
．

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8
．
A

【解析】

【分析】

由圆心位置确定
a
，
b
的正负，再结合 一次函数图像即可判断出结果
.
【详解】

因为圆
x?y?2ax ?2by?1?0
的圆心坐标为
?
a,?b
?
，由圆心在第一象限可 得
a?0,b?0
，所以直线
22
ax?y?b?0
的斜率
?a?0
，
y
轴上的截距为
b?0
，所以直线不过第一象限
.
【点睛】

本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型
.
9
．
D
【解析】

【分析】

?
1
?
在同一直角坐标系下，分别作出
g(x)?
??
与
h (x)?|sin2x|
的图象，结合函数图象即可求解
.
?
3
?
【详解】

x
?
5
??
?
1
?
解：由题意知：函数
f(x)?
??
?|sin2x|
在
?
0,
上零点个数，

?
4< br>??
?
3
?
?
1
?
等价于
g(x) ?
??
与
h(x)?|sin2x|
的图象在同一直角坐标系下交点的个数，

?
3
?
作图如下：

x
x

由图可知：函数
f(x)
在
?
0,
故选：
D
【点睛】

?
5
?
?
上有
5
个零点
.
?
4
??

本题考查函数的零点的知识，考查数形结合思想，属于中档题
.
10
．
A
【解析】

角终边上一点，所以
.
.
故选
A.
11
．
D
【解析】

【分析】

根据不等式的性质判断．

【详解】

当
c?0,b?0
时，
A
不成立；当
c
故选
D．

【点睛】

本题考查不等式的性质，不等式的性质中，不等式两边乘 以同一个正数，不等式号方向不变，两边乘以同

一个负数，不等式号方向改变，这个性质容易 出现错误：一是不区分所乘数的正负，二是不区分是否为
1
．
12
．
D
【解析】

0
时，
B
不成立；当
c?0
时，
C
不成立；由不等式的性质知
D
成立．

π
分析
:
先研究函数的奇偶性，再研究函数在
(,π)
上的符号，即可判断选择
.
2
详解：令
f(x)?2sin2x
，

因 为
x?R,f(?x)?2
?x
x
所以
f(x)?2sin2x为奇函数，排除选项
A,B;
sin2(?x)??2sin2x??f(x)
，
x
x
因为
x?(,π)
时，
f(x)?0
，所以 排除选项
C
，选
D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路 ：（
1
）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，
由函数的值域，判断图象的上、下 位置；（
2
）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（
3
）由函数的奇偶< br>性，判断图象的对称性；（
4
）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

二、填空题：本题共4小题
13
．
1
【解析】


分析：设塔的顶层共有
a
1
盏灯，则数列
{a
n
}
公比为
2
的等比数列，利用等比数列前
n
项和公式能求出 结果．
详解
:
设塔的顶层共有
a
1
盏灯，则数列
{a
n
}
公比为
2
的等比数列，

π
2

∴S
7
==181
，解得
a
1
=1
．故答案为
1.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力
.
14
．
(,)

【解析】

【分析】
< br>根据题意，设
Q
与
P(1,?2)
关于原点的对称，分析可得
Q
的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得
13
22
?
2?2b? 1?0
，解可得
b
的取值范围，即可得答案．

?
?2?2b?1?0
?
【详解】

根据题意，设
Q
与
P(1,?2)
关于原点的对称，则
Q
的坐标为
(?1 ,2)
，

?
2?2b?1?0
Q
2x?by?1?0若
P
、均在不等式表示的平面区域内，则有
?
，

?2 ?2b?1?0
?
解可得：
1
13
3
?b?
，即< br>b
的取值范围为
(
，
)
；

2
22
2
1
3
故答案为
(
，
)
．

2
2
【点睛】

本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．

15
．
1
【解析】

【分析】

弄清程 序框图的算法功能是解题关键．由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算
S?
?
?1
?
?1?
?
?1
?
?2?????
?
?1
?
【详解】

122020
?2020
的值，依据数 列求和方法
——
并项求和，即可求出．

根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出

S?
?
?1?
?1?
?
?1
?
?2?????
?
?1?
122020
?2020
??1?2?3?4?????2020?
?
2?1
?
?
?
4?3
?
?????
?2020?2019
?
?1010
，

输出的
S
为
1
．

【点睛】

本 题主要考查了含有循环结构的程序框图的算法功能的理解以及数列求和的基本方法
——
并项求和 法的
应用．正确得到程序框图的算法功能，选择合适的求和方法是解题的关键．

16
．
5,
13

【解析】

【分析】

ABC
为等边三角形，所以
AC?5
算出
?DAC
，
,
再在
ADC
中根据余弦 定理易得
CD
的长．

【详解】

因为
ABC
为等边三角形，所以
AC?5
．

?DAC?180?75?60?45

在
ADC
中根据余弦定理

AD
2
?AC
2
?CD
2

cos?DA C?
2AD?AC
(32)
2
?5
2
?CD
2
cos45?
2?32?5
解得
CD?13
．

【点睛】

此题考查余弦定理的实际应用，关键点通过已知条件转换为数学模型再通过 余弦定理求解即可，属于较易
题目．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．
(1)
x?0.030

；
(2)
第
1
组
2< br>人
,
第
3
组
3
人，第
4
组
1
人；
(3)
P?
【解析】

【分析】

（
1
）直接计算
x?30?
4

15
11
??0.030
.
10010
（
2
）根据分层抽样的规律按照比例抽取
.
（
3
）设第
1
组抽取的
2
人为
A
1
，
A
2
，第
3
组抽取的
3
人为
B
1
，
B
2
，
B
3
，第
4
组抽取的
1
人为
C
，排
列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案
.
【详解】

解：（
1
）由题意可知，

x?30?
11
??0.030
，

10010
1

10
（
2
）第
1
，
3
，
4
组共有
60
人，所以抽取的比例是
则从第
1
组抽取的人数为
20?
11
?2
,
从第
3
组抽取的人数为
30??3
，从第
4
组抽取的人数为
10 10
10?
1
?1
；

10

（
3
）设第
1
组抽取的
2
人为
A
1
，
A
2
，第
3
组抽取的
3
人为
B
1
，
B
2
，
B
3，第
4
组抽取的
1
人为
C
，则
从这
6
人中随机抽取
2
人有如下种情形：

?
A
1
,A
2
?
，
?
A
1
,B
1
?< br>，
?
A
1
,B
2
?
，
?
A
1
,B
3
?
，
?
A
1
,C
?
，
?
A
2
,B
1
?
，
?A
2
,B
2
?
，
?
A
2
,B
3
?
，
?
A
2
,C
?
，
?
B
1
,B
2
?
，
?
B
1
,B
3
?
，
?
B
1
,C
?
，< br>?
B
2
,B
3
?
，
?
B
2
,C
?
，
?
B
3
,C
?
共有15
个基本事件
.
其中符合
“
抽取的
2
人来 自同一个组
”
的基本事件有
?
A
1
,A
2
?
，
?
B
1
,B
3
?
，
?
B
2
,B
3
?
共
4
个基本事
1
,B
2
?
，
?
B
件，

所以抽取的
2
人来自同一个组的概率
P?
【点睛】

本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生解决问题的能力
.
18
．见解析

【解析】

【分析】

根 据三角函数定义列方程解得
y
，再根据三角函数定义求
tan
?
的值 ．

【详解】

4
.
15
sin
??
y
3?y
2
?
3
y
，

4
(1)
当
y?0
时，
tan
?
?
y
?3
y
?0
．

3
y
，解得
y??
21
．

4
3
(2)
当
y?0
时，
sin
?
?
3?y< br>2
?
当
y?
y7
21
时，

；

tan
?
???
3
3
?3
y 7
21
时，
tan
?
?
．

?
3
3
?3
217217
时，

；当
y??
时，
tan
?
?
．

tan
?
??
3333
当
y??
综上
：
当
y?0
时，
tan
?
?0
；当
y?
【点睛 】

本题考查三角函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题
.
19
．（
1
）见解析（
2
）
【解析】

【分析】


2

2

（
1
）连结
BC
1
，交
BC
1
于点
O
，连结
OA
，推导出
B
1
C?BC
1
， 又
AB?B
1
C
，从而
B
1
C?
面
ABC
1
，
进而
B
1
C?OA
，推导出
?ABC??ABB
1
，由此能得到结论；

（
2
）由题意 ，可证得
?B
1
DC
是二面角
B
1
?AB?C的平面角，进而得
?B
1
DC?90?
，进而计算得
OA?6
，进而利用棱锥的体积公式计算即可
.
2
【详解】

（
1
）连结
BC
1
，交
BC
1
于点O
，连结
OA
，


因为侧面
BB
1
C
1
C
是菱形，所以
B
1
C?BC
1，

又因为
AB?B
1
C
，
ABBC
1
?B
，所以
B
1
C?
面
ABC
1

而
OA?
平面
ABC
1
，所以，
B
1
C?OA

因为
OC?OB
1
，所以
AC?AB
1
，

而
BC?BB
1
，所以
?ABC??ABB
1
，< br>
故
?ABB
1
??ABC
.
（
2
）因为
AB?AC
1
，
O
为
BC
1
的中 点，则
AO?BC
1
，

由（
1
）可知
B
1
C?OA
，

因为
BC
1
B
1
C?O
，所以
AO?
面< br>BCC
1
B
1
，

作
CD?AB
，连结
B
1
D
，


由（
1
）知
?ABC??ABB
1
，所以
B
1
D?AB
且
CD?B
1
D

所以
?B
1
DC
是二面角
B1
?AB?C
的平面角，依题意得
?B
1
DC?90?
，
B
1
C?2
，

所以
CD?B
1
D?2
，

22
设
OA?x
，则
AB
1
?1?x
，
AD?x
2?1
，

又由
AB?x
2
?3
，
BD ?4?2?2
，

x
2
?1?2?x
2
?3
，解得
x?
6
，

2
所以由
AB?AD?BD?
所以
V
A?BBC
?
1
【点睛】

1162
.
?OA?S
?BB
1
C
???3?< br>3322
本题考查两个角相等的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基
础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

20
．（
1
）
a
n
?2?n
；（
2
）
【解析】< br>
【分析】

【详解】

(1)
设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，

由已知条件可得
?
n
.
2
n?1
?
a
1
＋d＝0
，

?
2a
1
＋12d＝－10
1
?
a
1
＝解得
?
，

d＝?1
?
故数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
2
－
n.
(2)
设数列
?
∵
?
a
n
?
n?1?
的前
n
项和为
S
n
，

2
??
a
n
2－n1n
＝＝－
，

2
n－1
2
n－1
2
n－2
2
n－1
?
?
1
2
11
?
?
23n
?
＋?＋
1＋＋＋?＋
2n－2
?
－
?
2n－1
?

22
?
?
222
?
∴S
n
＝
?< br>2＋1＋＋
23n
＋?＋
，
①
22
2
2< br>n－1
1
123n
则
T
n
＝
＋
2< br>＋
3
＋?＋
n
，
②
2222
2
1
111n
①
－
②
得：
T
n
＝
1< br>＋
＋
2
＋?
n?1
＋
n
，

2222
2
＋＋
记
T
n
＝
1

1
n
1
1
n
?
2
∴
T
n
＝－
n
，即
T
n
＝
4< br>?
1－
n
1
2
2
2
?
1?
2
1－
n
?
.
－
?
n?1
?
2
?
?
1
?
n
?
2?
?
1－
??
?
1
?
n
?
2
??
??
? ?
1－
∴S
n
＝

－
4
?
＋?
n
n?1
2
2
??
1
1?
2
＝
4
?
1－
?
?
1
2
n
1??
1－
4
－
??
2
n
??
nn?
.
＋＝
?
n?1n?1
22
?
n?1n
21
．
(1)
a
n
?3

；
(2)
T
n
?
?
n?1
?
?3?3

【解析】

【分析】

（
1
）设正项等比数列?
a
n
?
的公比为
q
?
q?0
?，当
q?1
时，可验证出
a
1
?3
，可知
q? 1
；根据
a
5
?2S
4
?3
可构造方程求得
q
，进而根据等比数列通项公式可求得结果；（
2
）由（
1
）可得
b
n
，采用错位相减法即可
求得结果
.
【详解】

（
1
）设正项等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
?
q?0
?

当
q?1
时，
a
1
?8a
1
?3
，解得：
a
1
??
由
a
5
?2S
4
?3
得：
a
1
q
4
?
3
，不合题意

?q?1

7
1
2a
1
1?q
4
1?q
??
?3，又
a?3

54
整理得：
q?3q?q?3?0
，即
q?1
?
q?3
?
?0
，解得：
q?3

?
4
?
?a
n
?a
1
q
n?1< br>?3
n

（
2
）由（
1
）得：
b< br>n
?
?
2n?1
?
?3

n
?T< br>n
?1?3
1
?3?3
2
?5?3
3
??? ??
?
2n?3
?
?3
n?1
?
?
2n? 1
?
?3
n
…①
则
3T
n
?1?3?3 ?3?5?3?????
?
2n?3
?
?3?
?
2n?1< br>?
?3
234nn?1
…②
①
?
②
得：

?2T
n
?3?
?
2n?1
?
?3
n
?2?3
2
?3
3?????3
n
?3?
?
2n?1
?
?3
n? 1
?2?
??
3
2
1?3
n?1
1?3
? ?

?3?
?
2n?1
?
?3
n?1
?9 ?3
n?1
??6?
?
2?2n
?
?3
n?1
?T
n
?
?
n?1
?
?3
n?1< br>?3

【点睛】

本题考查等比 数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前
n
项和；关键是能够得到数列的通项公式后，< br>根据等差乘以等比的形式确定采用错位相减法求得结果，对学生的计算和求解能力有一定要求
.
22
．（
1
）见证明；（
2
）见证明

【解析】

【分析】

（
1
）设
BC1
与
B
1
C
的交点为
O
，连结
OD< br>，证明
ODAC
1
，再由线面平行的判定可得
AC
1
∥
平面
B
1
CD
；

（
2
）由
P
为线段
A
1
B
1
的中点，点
D
是
AB
的中点，证得四边形
ADB
1
P
为平行四边形，得到
AP
进一步得到
AP∥
平面
B
1
CD
．再 由
AC
1
∥
平面
B
1
CD
，结合面面平行 的判定可得平面
APC
1
DB
1
，
平面
B
1
CD
．

【详解】

证明：（
1
）设< br>BC
1
与
B
1
C
的交点为
O
，连结
OD
，

∵
四边形
BCC
1
B
1
为平行四边形，
∴
O
为
B
1
C
中点，
又
D
是
AB
的中点，
∴
OD
是三角 形
ABC
1
的中位线，则
OD
又
∵
AC
1
?
平面
B
1
CD
，
OD?
平面
B
1
CD
，

∴
AC
1
∥
平面B
1
CD
；

（
2
）
∵
P< br>为线段
A
1
B
1
的中点，点
D
是
A B
的中点，

∴
AD
∴
AP
AC
1
，

B1
P
且
AD?B
1
P
，则四边形
ADB
1
P
为平行四边形，

DB
1
，

又< br>∵
AP?
平面
B
1
CD
，
DB
1< br>?
平面
B
1
CD
，

∴
AP∥
平面
B
1
CD
．

又< br>AC
1
∥
平面
B
1
CD
，
AC1
∴
平面
APC
1
平面
B
1
CD．

AP?P
，且
AC
1
?
平面
AP C
1
，
AP?
平面
APC
1
，

【点睛】

本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知函数
f(x)?
1?cos2x
，则有

sin2x
π
对称

2
B
．
f
?
x
?
的图像关于点
?
A
．
f
?
x
?
的图像关于直线
x?
C
．
f
?
x
?
的最小正周期为
?
π
?
,0
?
对称

2
??
π

2
D
．
f
?
x
?
在区间
?
0,π
?
内单调递减

2< br>．在
?ABC
中，
B?120
0
，
AB?
A
．
1
B
．
2

2
，角
A
的平分线
AD?3
，则
BC
长为
( )
C
．
3
D
．
6

3
．数列?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
1，则数列
?
a
n
?
的前
100
项和
S
100
?
（

）．

(2n?1)?(2n?1)
C
．
A
．
200

201
B
．
200

401
100

201
D
．
100

401
4
．已知a?log
4
5
，
b?log
2
3
，
c?sin2
，则
a,b,c

的大小关系为（

）

A
．
a?b?c
B
．
c?a?b
C
．
b?c?a
D
．
c?b?a

5
．在
?ABC
中，
A C?6,BC?7,cosA?
1
，
O
是
?ABC
的内心， 若
OP?xOA?yOB
，其中
5
0?x?1,0?y?1
，动点< br>P
的轨迹所覆盖的面积为（

）

A
．
106

3
B
．
56

3
C
．
10

3
D
．
20

3
6
．已知
?AB C
的三个内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
.
若< br>2cosCsinB?sinA
，则该三角形的形状是
（

）

A
．等边三角形
B
．等腰三角形
C
．等腰三角形或直角三角形
D
．直角三角形

7
．已知 点
A
?
1,?1
?
，
B
?
?2,3
?
，

则与向量
AB
方向相同的单位向量为（

）

A
．
?
?,
?
34
?
?

55
??
B
．
?
,?
?
3
?
5
4
?
?

5
?
C
．
?
?
?
43
?
,
?

55
??
D．
?
?
43
?
,?
?

55
??
8
．已知
M
为
z
轴上一点，且点
M
到 点
A(?1,0,1)
与点
B(1,?3,2)
的距离相等，则点
M
的坐标为（

）

A
．
(3,0,0)

9
．不等式
A
．< br>{x|
B
．
(0,?2,0)
C
．
(0,0,6)
D
．
(0,0,?3)

3x?1
?1
的解集是

2?x
3
?x?2}

4
3
D
．
{x|x?}

4
B
．
{x|
3
?x?2}

4
3
4
C
．
{x|x?2
或
x?}

10< br>．函数
f(x)?3
x
?2x?3
的零点所在的区间是（

）．

A
．
(?2,?1)
B
．
(?1,0)
C
．
(0,1)
D
．
(1,2)

11
．

已知直线
y?2x?m
与圆
C
相 切于点
?
?2,?1
?
，且圆
C
的圆心在
y
轴上，则圆
C
的标准方程为（

）
A
．
( x?2)
2
?y
2
?17

C
．
x
2
?(y?2)
2
?5

B
．
x
2
?(y?2)
2
?13

D
．
(x?2)
2
?y
2
?1

12
．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为


A
．
8
B
．
12
C
．
16
D
．
24

二、填空题：本题共4小题
d(P,Q)?x
1
?x
2
?y
1
?y
2
13
．在平面直角坐标系中，定义两点
P
?
x
1
, y
1
?
,Q
?
x
2
,y
2
?之间的直角距离为：
现有以下命题：

①
若
P,Q
是< br>x
轴上的两点，则
d(P,Q)?x
1
?x
2
；
②
已知
P(2,3),Qsin
?
2
?
,c os
2
?
?
，则
d(P,Q)
为定值；

2
；

2
③
原点
O
与直线
x?y ?1?0
上任意一点
P
之间的直角距离
d(O,P)
的最小值为④
若
|PQ|
表示
P,Q
两点间的距离，那么
|PQ| ?
2
d(P,Q)
.
2
其中真命题是
__________
（写出所有真命题的序号）
.
14
．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为
163
，则该正四棱锥内切球的表 面积为
________
．

15
．若
6
是
-2
和
k
的等比中项，则
k?
______.
16．某工厂生产
A,B,C
三种不同型号的产品
,
产品数量之比依次为2:3:5
，现用分层抽样方法抽出一个容
量为
n
的样本
,样本中
A
种型号产品有
16
件
,
那么此样本的容量n
=
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．已知
?ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，函数
f?
x
?
?2sin
?
x?A
?
cosx?si nA
，
且当
x?
5
?
时，
f
?
x
?
取最大值
.
12

（
1
）若关于
x
的方程
f
?
x
?
?t，
x?
?
0,
?
?
?
?
?
有 解，求实数
t
的取值范围；

2
?
（
2
） 若
a?5
，且
sinB?sinC?
43
，求
?ABC的面积
.
5
18
．已知函数
f(x)?(a?2cos
2
x)cos(2x?
?
)
为奇函数，且
f()?0
，其 中
a?R
，
?
?(0,
?
)
.
?
4
（
1
）求
a
，
?
的值
.
（
2
）若
f()??
?
4
?
2
?
，
?
?(,
?
)
，求
sin(
?
?)
的值
.
2
3
5
n
?
n?1
?
，
n?N
*
.
2
19
．（
6
分）已知数 列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n< br>，且
S
n
?
（
1
）求证：数列
?
a
n
?
的通项公式；

（
2
）设
b
n
?
1
，
T
n
?b
1
?b
2?????b
n
，求
T
n
.
a
n
a
n?1
2n?1
20
．（
6
分）设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
?3?2
．

（
1
）求数列
?
a
n
?
的通项公式；

（
2
）令b
n
?na
n
，求数列
?
b
n
?的前
n
项和
S
n
．

21
．（
6
分）如图，以
Ox
为始边作角
?
与
?
（
0?
?
?
?
?
?
）

，它们终边分别单 位圆相交于点
P
、
Q
，
已知点
P
的坐标为
?
?,
?
34
?
?
．

55
??

（
1
）若
tan(
?
?
?
)?7
，求角
?
的值；

（
2
）若
OP
·
OQ?0
，求
sin(
?
?
?
)
．

22
．（
8
分）在
?ABC

中，内角
A,B,C

的对边分别为
a,b,c
，已知bsinAcosC?csinAcosB?acsinB
.
(1)
证明：
bc?a

；

(2)
若
c?3,cosC?
1

，求
AC

边上的高
.
6

参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
B
【解析】

【分析】

把函数
f(x)
化简后再判断．

【详解】

1? cos2x2sin
2
x
f(x)???tanx
，由正切函数的性质知，< br>A
、
C
、
D
都错误，只有
B
正确．

sin2x2sinxcosx
【点睛】

本题考查二倍角公式和正切函数的 性质．三角函数的性质问题，一般要把函数化为一个角的一个三角函数
形式，然后结合相应的三角函数得 出结论．

2
．
B
【解析】

【分析】

在
?ABD
中利用正弦定理可求
sin?BDA
，从而可求
?BDA
，再根据内角和为
180?

可得
?BAD
，从而
得到
?ABC
为等腰三角形，故可求
BC
的长
.
【详解】

32
ADAB
?
在
?ABD
中 ，由正弦定理有即
3
sin?ADB
，

?
sin?ABD sin?ADB
2
所以
sin?ADB?
所以
?BAC?
故 选
B.
?
?
?
2
，因为
0??ADB?
，故
?ADB?
，故
?BAD?
，

3412
2< br>?
6
，故
?BCA?
?
6
，
?ABC
为等腰三角形，故
BC?AB?2
.

【点睛】

在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们 沟通分散在不同三角形的几何
量．

3
．
C
【解析】

【分析】

根据通项公式，结合裂项求和法即可求得
S
100
.
【详解】

数列
?
a
n
?
的通项公式为< br>a
n
?
1
，

(2n?1)?(2n?1)
则
S
100
?a
1
?a
2
?a
3
?????a
99
?a
100

?
11111
< br>????????
1?33?55?7197?199199?201
1
?111111111
?
?
?
1?????????????
?< br>
2
?
335571
?
?
?
1
?< br>1
?
1?
??

2
?
201
?
100

201
故选：
C.
【点睛】

本题考查了裂项求和的应用，属于基础题
.
4
．
B
【解析】

【分析】

根据对数函数的单调性可知
a,b< br>都大于
1
，把
log
4
5
化成
log
2
5
后可得
a,b
的大小，从而可得
a,b,c
的大小关系
.
【详解】

因为
y?log
4
x< br>及
y?log
2
x
都是
?
0,?
?
?
上的增函数，故

log
4
5?log
4
4?1 ?sin2
，
log
2
3?log
2
2?1?sin2，

又
log
4
5?
【点睛】

1< br>log
2
5?log
2
5?log
2
3
，故
c?a?b
，选
B.
2

对数 的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性
质统 一底数
.
不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递
.
5
．
A
【解析】

【分析】

由
OP?xOA?yOB
且
0?x?1,0?y?1
，易知动点
P
的 轨迹为以
OA,OB
为邻边的平行四边形的内部
（含边界），在
ABC
中，由
AC?6,BC?7,cosA?
1
，利用余弦定理求得边
AB，再由
5
S
?ABC
?
1
1
?AB?AC?s inA
和
S
?
ABC
??
?
AB
?
AC
?
BC
?
?
r
，求得内切圆的半径
r
，从而得到
2
2
S
?AOB
，再由动点
P
的轨迹 所覆盖的面积
S
?2
S
?
AOB
得解
.
【详解】

因为
OP?xOA?yOB
且
0?x?1,0?y?1
，

根据向量加法的平行四边形运算法则，

所以动点
P
的轨迹为以OA,OB
为邻边的平行四边形的内部（含边界），

因为在
ABC中，
AC?6,BC?7,cosA?
1
，

5
所以由 余弦定理得：
BC
2
?
AB
2
?
AC
2< br>?2?
AB
?
AC
?cos
A

，

所以
49?
AB
2
?36?2?
AB
?6?
1
，

5
即
5AB
2
?12AB?65?0
，

解得：
AB?5
，

sinA?1?cos
2
A?
26

，

5
所以
S
?
ABC
?
1
?
AB
?
AC
?sin
A
?66
.
2
设
ABC
的内切圆的半径为
r

，
< br>所以
S
?
ABC
?
1
5?6?7
?
r
?66

?
2
所以
r?
26
.
3
所以
S
?
AOB
?
156
.
?
AB
?
r
?
23

< br>所以动点
P
的轨迹所覆盖的面积为：
S
?2
S
?AOB
?
故选：
A
【点睛】

106
. < br>3
本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的 思想和运
算求解的能力，属于中档题
.
6
．
B
【解析】

【分析】

利用三角形的内角关系及三角变换公式得到< br>sin
?
C?B
?
?0
，从而得到
C?B
， 此三角形的形状可判断
.
【详解】

因为
2cosCsinB?s inA?sin
?
B?C
?
，

故
2cosCsi nB?sinBcosC?cosBsinC
，整理得到
sinCcosB?cosCsinB ?0
，

所以
sin
?
C?B
?
?0，因
C?B?
?
?
?
,
?
?
，所以< br>C?B?0
即
C?B
，

故
?ABC
为等腰三角形，故选
B.
【点睛】

本题考查两角和、差的正弦，属于基础题，注意角的范围的讨论
.
7
．
A
【解析】

【分析】

由题得< br>AB?
?
?3,4
?
，设与向量
AB
方向相同的单位 向量为
a?
?
?
?3,4
?
，其中
?
?0
，利用
a?1
列方
程即可得解
.
【详解】

由题可得：
AB?
?
?3,4
?
，

设与 向量
AB
方向相同的单位向量为
a?
?
?
?3,4
?
，其中
?
?0
，

则
a?
?
? 3
?
?
?
?
4
?
?
?1
，解得：
?
?
22
11
或
?
??
（舍去）

55
?
34
?
?
55
?
所以与向量
AB
方向相同的单位向量为
a?
?
?,
?

故选
A
【点睛】

本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还 考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较

易题．

8
．
C
【解析】

【分析】

根据题意先设
M(0,0,z)
，再根据空间两点间的距 离公式，得到
MA?1?
?
1?z
?
,MB?1?9?
?< br>2?z
?
，再由点
M
到点
A(?1,0,1)
与点< br>B(1,?3,2)
的距离相等建立
方程求解
.
【详解】

设
M(0,0,z)

根据空间两点间的距离公式得

22
MA?1?
?
1?z
?
,MB?1?9?
?
2?z
?

22
因为点
M
到点
A(?1,0,1)
与点
B(1,?3,2)
的距离相等

所以
1?
?
1?z
?
?1?9?
?
2?z
?

解得
z?6

所以
M(0,0,6)

故选：
C
【点睛】

本题主要考查了空间两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题
.
9
．
B
【解析】

试题分析：
∵
，∴
22
(4x?3)(x?2)?0
4x?3
3x?1
?0?{
?1?0
，即，
∴
不等式的解集为
x?2
x?2
x ?2
?
3
?
?
x|?x?2
?
．

?
4
?
考点：分式不等式转化为一元二次不等式．

10
．
C
【解析】

【分析】

【详解】

因为原函数是增函数且连续，

f(?1)??
14
?0,f(0)??20,f(1)?20

，

3
所以根据函数零点存在定理得到零点在区间
?
0,1
?
上，

故选
C
．

11
．
C
【解析】

【分析】

先代入 点
(?2,?1)
可得
m?3
，再根据斜率关系列式可得圆心坐标，然后求出 半径，写出标准方程．

【详解】

将切点
(?2,?1)
代入切线方程可得：
?1?2?(?2)?m
，解得
m?3
，
设圆心为
(0,b)
，所以
b?11
??
，解得
b?? 2
，

0?22
所以圆
C
的半径
r?(?2?0)
2
?(?1?2)
2
?5
，

22
所以圆
C
的标准方程为
x?(y?2)?5
．

故选：
C
．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．

12
．
A
【解析】

【分析】

根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果
.
【详解】

由三视图可知，几何体为三棱锥

?
三棱锥体积为：
V?
本题正确选项：
A

【点睛】

111
Sh???5?2.4?4?8

332
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面
和高
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
①②④
【解析】

【分析】

根据新定义的直角距离，结合具体选项，进行逐一分析即可
.

【详解】

对
①
：因为
P,Q< br>是
x
轴上的两点，故
y
1
?y
2
?0
，则
d(P,Q)?x
1
?x
2
，
①
正确；
对
②
：根据定义
d(P,Q)
?2?sin
?
?3?cos
?


因为
sin
2
22< br>?
?
?
0,1
?
,cos
2
?
?< br>?
0,1
?
，故
d(P,Q)
?2?sin
2
?
?3?cos
2
?
?4
，
②
正确；

对
③
：根据定义
d(O,P)
?x?y?x?x?1?x?
?
x?1
?
?1
，

当且仅当
x
?
x?1
?
?0
时，取得最小值，故
③
错误；

对
④
：因为
PQ?
?
x
1
?x
2
?
?
?
y
1
?y
2
?
2
22
，
d(P,Q)
?x
1
?x
2
?y
1
? y
2


由不等式
2a?b
?
2
?
?
?
a?b
?
，即可得
PQ?
2
2
d(P,Q)
，故
④
正确
.
2
综上正确的有
①②④
故答案为：
①②④.
【点睛】

本题考查新定义问题，涉及同角三角函数关系，绝对值三角不等式，属综合题
.
14
．
(32?163)
?

【解析】

【分析】

根据侧面积求出正四棱锥的棱长，画出组合体的截面图，根据三角形的相似 求得四棱锥内切球的半径，于
是可得内切球的表面积．

【详解】

?
3
2
?
a
4?
设正四棱锥的棱长为，则
?
?
4
a
?
?
?163
，

??
解得
a?4
．

于是该正四棱锥内切球的大圆是如图
△PMN
的内切圆，


其中
MN?4
，
PM?PN?23
．

∴
PE?22
．

设内切圆的半径为
r
，

由
?PFO
∽
?PEN
，得< br>FOPO
r22?r
?
，即
?
，

ENPN
2
23
解得
r?
22
?6?2
，

3?1
∴
内切球的表面积为
S?4
?
r
2
?4< br>?
(6?2)
2
?(32?163)
?
．

【点睛】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形 ，明确切点和接点的位置，确
定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点 为正方体各个面的中心，正方
体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方 体的体对角线长等于球

的直
径．

15
．
-18
【解析】

【分析】

根据等比中项的性质，列出等式可求得结果
.
【详解】

由等比中 项的性质可得，
6
2
??2k
，得
k??18
.
故答案为：
-18
【点睛】

本题主要考查等比中项的性质，属于基础题
.
16
．
1
．

【解析】

【分析】

【详解】

解：
A
种型号产品所占的比例为
2 (2+3+5) =2 10
，
16÷210 =1
，

故样本容量
n=1
，

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．（
1
）
(?
【解析】

【分析】

（
1
）利用两角和差的正弦公式整理
f
?
x
?
可得：
f
?
x
?
?sin(2x? A)
，再利用已知可得：
13
3
3
. 2
；（）
, 1]
4
2
2?
5
??
?
?
3
?< br>?A?2k
?
?
（
k?Z
），结合已知可得：
A?< br>，求得：
x?(0,)
时，
??sin(2x?)?1
，
32
122
23

问题得解
.
（< br>2
）利用正弦定理可得：
sinB?sinC?
343
可得：
b?c?8
，对
a
边
(b?c)
，结合
sinB?sinC ?
105
利用余弦定理可得：
a
2
?b
2
?c2
?2bccosA
，结合已知整理得：
bc?13
，再利用三角形面积 公式计算
得解
.
【详解】

解：（
1
）
f(x)?2sin(x?A)cosx?sinA

?2sin(x?A)cosx?sin[x?(x?A)]

?2sin(x?A)cosx?sinxcos(x?A)?cosxsin(x?A)

?sinxcos(x?A)?cosxsin(x?A)

?sin(2x?A)
.
因为
f(x)
在
x?
所以
2?
5
?
处取得最大值，

12
5
??
?A?2k
?
?
，
k?Z
,
122
即
A??2k
?
?
?
3
,k?Z
.
因 为
A?(0,
?
)
，所以
A?
?
3
，
所以
f(x)?sin(2x?
?
3
)
.
因为
x?(0,
?
2
)
，所以
2x?
?
3
?(?
?
2
?
,)

33
所以
?
3
?
?sin(2x?)?1
，

23
3
因为关于
x
的方程
f(x)?t
有解，所以
t
的取值范围 为
(?,1]
．

2
（
2
）因为
a?5
，
A?
?
3
，由正弦定理
bca10
??=
，

sinBsinCsinA
3
于是
sinB?sinC?3
(b?c)
．

10
又
sinB?sinC?
43
，所以
b?c?8
.
5
由余弦定理得：
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
，

整理得：
25?b
2
?c
2
?b c
，即
25?(b?c)?3bc?64?3bc
，

所以
bc?13
，

所以
S
?ABC
?
【点睛】

本题主要考查了两角 和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正
弦定理、余弦定理的 应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．

18
．
(1)
?1
；（
2
）
【解析】

试题分析：（1
）先根据奇函数性质得
y
2
＝
cos(2x
＋
θ)
为奇函数，解得
θ
＝
4?33
.
10
2
113
bcsinA?3
.
24
?

，再根据
2
?
π
?
f< br>??
?0
解得
a
（
2
）
?
4
?
根据条件化简得
sinα
＝
π
?
4
?
，根据同角三角函数关系得
cosα
，最后根据两角和正弦公式求
sin
?< br>?
?
?
的值

3
?
5
?
试 题解析：
(1)
因为
f(x)
＝
(a
＋
2cos< br>2
x)cos(2x
＋
θ)
是奇函数，而
y
1
＝
a
＋
2cos
2
x
为偶函数，所以
y
2
＝
cos(2x
＋
θ)
为奇函数，由
θ∈(0
，
π)
，得
θ
＝
由
f
(a
＋
2co s
2
x)
，

，所以
f(x)
＝－
sin 2x·
＝
0
得－
(a
＋
1)
＝
0
，即
a
＝－
1.
＝－
sin α
＝－，
(2)
由
(1)
得
f(x)
＝－
sin 4x
，因为
f
即
sin α
＝，又
α∈
所以
sin
＝
sin αcos
，从而
cos α
＝－，

＋
cos αsin
＝
×
＋
×
＝
.
19
．（
1
）
a
n
?n
；（
2
）
T
n< br>?
【解析】

【分析】

n
．

n ?1
n?1
?
S
1
,
（
1
）利用
a
n
?
?
即可求出答案；

S?S,n?2
n?1
?
n
（
2
）利用裂项相消法即可求出答案．

【详解】

解：（
1
）
∵
S
n
?
n
?
n?1
?
，

2
当
n?1< br>时，
a
1
?S
1
?1
，

当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?
∴
a
n
?n
，
n ?N
*
；

（
2
）
∵
b
n
?
n
?
n?1
?
n
?
n?1
?
?n
，

?
22
1
1
11
?
??
，
a
n
a
n?1
n
?
n?1
?
nn?1
∴
T
n
?
?
1?
【点睛】

?< br>?
1
??
11
??
11
?
1
?1n
?
1
?????
...??
?1??
．

???????
2
??
23
??
34
?
n n?1
n?1n?1
??
本题主要考查数列已知
S
n
求a
n
，考查裂项相消法求和，属于中档题．

2n?1
S
n
?
20
．
a
n
?2
1
[(3n?1) 2
2n?1
?2]

9
【解析】

试题分析：

（
1
）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的 通项公式，求解时需结合等比数列求和
2n?12n?1
公式；（
2
）由a
n
?2
得数列
?
b
n
?
的通项公式 为
b
n
?n?2
，求和时采用错位相减法，在
S
n
的展开式
中两边同乘以
4
后，两式相减可得到
S
n

试题解析：（
1
）

由已知，当
n?1
时，
a
n?1
?[(a
n?1
?a
n
)?(a
n?a
n?1
)?
=
3(2
2n?1
?2
2n? 3
?
?(a
2
)?a
1
]?a
1

?2)?2
=
2
2(n?1)?1
，
a
n
?2< br>2n?1
．

2n?1
而
a
1
?2
，所以数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
? 2
．

2n?135
（
2
）

由
b
n
?na
n
?n?2
知
S
n
?1?2? 2?2?2?2?
2357
从而
2S
n
?1?2?2?2?3?2< br>?n?2
2n?1
…① ……7
分

?n?2
2n?1
……②
?2
2n?1
?n?2
2n?1
，

235
①
?
②
得
(1?2)S
n
?2?2?2?
即S
n
?
1
[(3n?1)2
2n?1
?2]
．

9
考点：
1
．累和法求数列通项公式；
2
．错位 相减法求和

21
．
(1)
?
?
【解析】

【分析】

(1)
由已知 利用三角函数的定义可求
tan
?
，利用两角差的正切公式即可计算得解；

(2)
由已知可得
sin
?
?
【详解】

?
4
(2)
7

25
3
，进而求出< br>cos
?
，最后利用两角和的正弦公式即可计算得解．

5

（
1
）由三角函数定义得
tan
?
??
因为
tan(
?
?
?
)?
4
，
3
tan
?
?tan
?
?7
，所以
tan
?
?1
，

1?tan
?
tan
?
因为
0?
?
?
?
，所以
?
?
?< br>4

（
2
）
OP
·
OQ?0
，< br>∴
所以
sin
?
?sin(
?
?
?
?
?
?
?
2
∴
?
?
?
?
?
2
，

3
)??cos
?
?
，

25
?
4
cos
?
?cos(
?
?)?s in
?
?

25
44337
??(?)??
555525
?
所以
sin(
?
?
?
)?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?【点睛】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正切公式，两角和的正弦公 式，考查了计算能力和转
化思想，属于基础题．

22
．（
1
）见解析（
2
）
【解析】
< br>分析：
(1)
由
bsinAcosC?csinAcosB?acsinB，结合正弦定理可得
sinA?csinB
，即
a?bc
；

（
2
）由
cosC?
35

2
1
，结合余弦定理可得
b?1
，从而可求得
AC

边上的高
.
6
详解：（
1
）证明：因为
sinB sinAcosC?sinCsinAcosB?csinAsinB
，

所以
sinBcosC?sinCcosB?csinB

，

所以
sinA?csinB

，

故
a?bc
.
(2)
解：因为
c?3,a?bc
，

10b
2
?9
.
所以
a?3b,cosC?
2< br>6b
1
10b
2
?91
又
cosC?
，所以
?
，解得
b?1
，

2
6
6b6
所以
a?c?3,b?1
，

35
?
1
?
.
所以
AC
边上的高为9?
??
?
2
?
2
?
点睛：解三角形问题，多 为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角
之间的关系，从而达到解 决问题的目的
.
其基本步骤是：


2

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向
.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化
.
第三步：求结果
.