2019-2020学年山西省吕梁市新高考高一数学下学期期末经典试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l:x?y?0
的倾斜角为（< br>
）

A
．
0?

2
．已知
tan
?
?
A
．
B
．
45?
C
．
90?
D
．
135?

3

5
1
，则
cos2
?
?
（

）

2
2
B
．

5
C
．
3

5
D
．
?
2

5
3
．设
S
n
为等比数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
8a
2
?a
5
?0
，则
A
．
-1 1
4
．一组数
x
1
,x
2
,x
3
,
B
．
-8 C
．
5
S
5
?
（

）

S
2
D
．
11
,x
n
平均数是
x
，方差是
s
2
，则另一组数
3x
1
?2,3x< br>2
?2
，
3x
3
?2,
A
．
3x, s
2

,3x
n
?2
的平均数和方差分别是（

）

B
．
3x?2,3s
2

D
．
3x?2,3s
2
?26s?2

x
C
．
3x?2,s
2

5
．在集合xx?6
且
x?N
?
中任取一个元素，所取元素
x
恰好 满足方程
?
?1
?
?1
的概率是（

）

A
．
?
3

7
B
．
4

7
C
．
1

2
D
．
2

5
6
．已知
?
为锐角，角
?
的终边过点
1,3,sin
?
?
?
?
?
?
??
2
，则
cos
?
?
（ ）

2
D
．
A
．
1

2
B
．
6?2

4
C
．
6?2

4
6?2

4< br>7
．已知等比数列
{a
n
}
中，
a
3
?a
13
＝
20
，
a
6
＝
4
， 则
a
10
的值是（ ）

A
．
16 B
．
14 C
．
6 D
．
5
8
．已知等 差数列
{a
n
},
若
a
2
=10,a
5< br>=1,
则
{a
n
}
的前
7
项和为

A
．
112 B
．
51 C
．
28 D
．
18
9
．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（

）

A
．
1?2
?

2
?
B
．
1?4
?

4
?
C
．
1?2
?
?
D
．
1?4
?

2
?
10
．将函数
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
3
??
的图象向右平移
?
个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标6
伸长为原来的
2
倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（

）

A
．
y?sin
?
x?
?
?
2
?
3
?
?

?
B
．
y ?sin
?
4x?
?
?
2
?
3
?
?

?

C
．
y?sin
?
x?
?
?
?
?
2
?
?
D< br>．
y?sin
?
4x?
?
?
?
?
?

2
?
11
．已知数列
1
，
x
，
y
，
9
是等差数列，数列
1
，
a
，
b
，
c
，
9
是等比数列，则
b
?
（）< br>
x?y
A
．
9

10
B
．
3

10
C
．
?
3

10
D
．
?
3

10
12
．已知
x,y
都是正数
,
且
A
．
6

C
．
3?22

21
??1
，则
x?y
的最小值等于

xy
B
．
42

D
．
4?22

二、填空题：本题共4小题
13
．函数
f(x)?
1
的定 义域记作集合
D
，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别
lnx
标有点数
1
，
2
，
???
，
6
） ，记骰子向上的点数为
t
，则事件
“
t?D
”
的概率为________.
14
．已知
?
a
n
?
是 以
?15
为首项，
2
为公差的等差数列，
S
n
是其 前
n
项和，则数列
?
S
n
?
的最小项为第
___
项

15
．如图，四棱锥
P?ABCD
中，所有棱长 均为
2
，
O
是底面正方形
ABCD
中心，
E
为
PC
中点，则直
线
OE
与直线
PD
所成角的余 弦值为
____________.

16
．等比数列
?
a
n
?
前
n
项和为
S
n
，若
S< br>S
6
?4
，则
9
?
______.
S
3
S
6
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
?
（
1
）求 证：数列
?
a
n
?
的通项公式；

（
2< br>）设
b
n
?
n
?
n?1
?
，
n?N
*
.
2
1
，
T
n
?b
1
?b
2
?????b
n
，求
T
n
. < br>a
n
a
n?1
?
?
2
18
．已知向 量
a?
?
?3sin
x
?
,1
?
，
b?(2,3sinx?3)
，函数
f
?
x
?
?a?b< br>．

2
?

（
1
）若
f
?
x
?
?3
，求
x
的取值集合；< br>
（
2
）当
0?x?
?
2
时，不等式
f(x)?3msin2x
恒成立，求
m
的取值范围．

19．（
6
分）数列
?
a
n
?
中，
a1
?1
，
a
n?1
?
（
1
）求
c
的值；

（
2
）求证：
①
a
n
?a
n?1
；
②
a
n
?2
；

1
2
1
a
n
?a
n
?c
（
c?1
为常数，
n?
1
，
2
，
3
，
…< br>），且
a
3
?a
2
?
.
8
2111
40
a
n?1
的大小，并加以证明
.
（
3
）比较
++…+
与
a
1
a
2
a
n
39
20
．（
6
分）已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
??7
，
S
3
? ?15
．

（
1
）求数列
?
a
n
?
的通项公式；

（
2
）求数列
?
a
n< br>?
的前
n
项和
S
n
．

21
．（
6
分）在
△
ABC
中，角
A
、
B< br>、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
， 且
cosA?
（
1
）求
sin
2
1
.
3
B?C
?cos2A
的值；

2
3
，求
bc
的最大值；

（
2
）若
a?
（
3
）若
a?17
，
b?3
，< br>D
为
BC
的中点，求线段
AD
的长度
.
b
n
?
a
n
a
n?1
?2a
n
?a
n?1
?0
(n?2,n?N)
，
a
1
?1
，
22
．（
8
分）已知数列
?
a
n
?< br>满足：数列
?
b
n
?
满足：
（
n?N*）．

na
n
1?a
n
?
1
?
?1
（
1
）证明：数列
??
是等比数列；

a< br>?
n
?
（
2
）求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
，并比较
S
n
与
2
的大小
.



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
B
【解析】

【分析】

设直线
l:x?y?0
的倾斜角为
?
，< br>?
?[0?
，
180?)
，可得
tan
?
? 1
，解得
?
．

【详解】

设直线
l:x ?y?0
的倾斜角为
?
，
?
?[0?
，
180?)
．

?tan
?
?1
，解得
?
?45?
．

故选：
B
．

【点睛】

本题考查直线的倾斜角与 斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

2
．
A
【解析】

分析：利用余弦的二倍角公式可得cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
，进而利用同角三角基本关系，使其除以
cos
2
?
?sin
2< br>?
?1
，转化成正切，然后把
tan
?
的值代入即可．

cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
.
详解：由题意得
cos2
?
?cos
?< br>?sin
?
??
222
cos
?
?sin
?
1?tan
?
22
∵
tan
?
?
1

2
1
4
?
3

∴
cos2
?
?
1
5
1?
4
1?
故选
A.
点 睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角
函 数中的平方关系，完成了弦切的互化．

3
．
A
【解析】

设数列
{a
n
}
的公比为
q.
由
8a2
+a
5
=0,
得
a
1
q(8+q
3
)=0.
又
∵a
1
q≠0,∴q=-2.
S
5
1?q5
1?
?
?2
?
5
∴
===-11.
故选
A.
S
2
1?q
2
1?4
4
．
B
【解析】

【分析】

直接利用公式：
x
i
平均值方差为
x,s
2
，则
ax?b
的平均值和方差为：
ax?b,a
2
s
2
得到答案
.
【详解】

x
1
,x
2
,x
3< br>,,x
n
平均数是
x
，方差是
s
2

3x
1
?2,3x
2
?2
，
3x
3
?2 ,
方差为：
(3)
2
s
2
?3s
2

故答案选
B
【点睛】

,3x
n
?2
的平均数为：
3x?2

本题考查了 平均数和方差的计算：
x
1
,x
2
,x
3
,,x< br>n
平均数是
x
，方差是
s
2
，则
ax?b< br>的平均值和方差为：
ax?b,a
2
s
2
.
5
．
B
【解析】

【分析】

写出集合 中的元素，分别判断是否满足
?
?1
?
?1
即可得解
.
【详解】

集合
xx?6
且
x?N
?
的元 素
0
，
1
,
2
，
3
，
4
，
5
，
6
.
基本事件总数为
7
，满足方程
?
?1
?
?1
的基本事
x
x
?
件数为4
.
故所求概率
P?
故选：
B.
【点睛】

4
.
7
本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题
.
6
．
B
【解析】

【分析】

由题意利 用任意角的三角函数的定义求得
sin
?
和
cos
?
，再利 用同角三角函数的基本关系求得
cos(
?
?
?
)
的值，再 利用两角差的余弦公式求得
cos
?
?cos[(
?
?
?< br>)?
?
]
的值．

【详解】

角
?
的终边过点
1,3
，

??
?sin
?
?
2
3
1?3
2
?
311
,c os
?
??
，

2
22
2
1?3
2
2

?sin(
?
?
?
)?sin
?
sin(
?
?
?< br>)?
又
?
为锐角，

?
?
?
?
?
?
2

?cos(
?
?
?
)?0

由
sin(
?
?
?
)?
2
，可得

2
2
2
?cos
?
?cos[(
?
??
)?
?
]?cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?

co s(
?
?
?
)??1?sin
2
(
?
?< br>?
)??
??
21236?2
????
22224
故 选
B
．

【点睛】

本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角差的余弦，是基础题．

7
．
D
【解析】

【分析】

用等比数列的性质求解．

【详解】

∵
{
an
}
是等比数列，
∴
a
3
a
13
?a
6
a
10
?20
，
∴
a
10
?
故选
D
．

【点睛】

本题考查等比数列的性质，灵活运用等比数列的性质可以很快速地求解等比数列的问题．
在等比数列
{a
n
}
中，正整数
m,n,l,k
满足< br>m?n?k?l
，则
a
m
a
n
?a
k
a
l
，特别地若
m?n?2k
，则
20
?5
．< br>
4
a
m
a
n
?a
k
2
．

8
．
C
【解析】

【分析】

根据等差 数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根
据等差数 列的前
n
项和可得解
.
【详解】

?
a
2
?a
1
?d?10
?
a
1
?13
由等差 数列的通项公式结合题意有
:
?
，解得：
?
，

a?a?4d?1
d??3
1
?
?
5
则数列
?a
n
?
的前
7
项和为
:
S
7
?7a
1
?
7?6
d?7?13?21?(?3)?28
，

2

故选：
C.
【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前
n
项公式，属于基础题
.
9
．
A
【解析】

解：设圆柱底面积半径为
r< br>，则高为
2πr
，全面积：侧面积
=[
（
2πr
）< br>2
+2πr
2
]
：（
2πr
）
2

这个圆柱全面积与侧面积的比为
10
．
A
【解析】

【分析】

由题意利用函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象变换法则，即可得出结论。

【详解】

1?2
?
,
故选
A
2
?
?
?< br>??
?
2
?
?
?
?
y?sin2(x?)? ?sin(2x?)
y?sin2x?
将函数
??
的图象向右平移
6
个的单位长度，可得
??
63
?
3
3
?
?
?
的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的
2
倍（纵坐 标不变），则所得到的图象的
函数解析式为
y?sin(x?
【点睛】
本题主要考查函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象变 换法则，注意
?
对
?
的影响。

11
．
B
【解析】

【分析】

根据等差数列和等比数列性质可分别求得x?y?10
，
b?3
，代入即可得到结果
.
【详解】

由
1,x,y,9
成等差数列得：
x?y?1?9?10

由
1,a,b,c,9
成等比数列得：
b
2
?1?9?9
， 又
b
与
1,9
同号

?b?3

2
?
)
，故选
A
．

3
?
b3
?

x?y10
本题正确选项：
B

【点睛】

本题考 查等差数列、等比数列性质的应用，易错点是忽略等比数列奇数项符号相同的特点，从而造成增根
.
12
．
C
【解析】

【分析】

【详解】

?
x?y
?
?
5

6
?
21?
2yx2yx
?
?
???3?2??3?22?3
,
故选
C.
xyxyxy
??
二、填空题：本题共4小题
13
．
【解析】

要使函数
f
?
x
?
?
1
有意义，则
lnx?0
且
x?0
，即x?0
且
x?1
，即
D?(0,1)?(1,??)
，随机地投
lnx
掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为
t
，则
t ?
?
1,2,3,4,5,6
?
，则事件
“
t?D
”
的概率为
5
P?
.
6
14
．
8

【解析】

【分析】

先求
S
n
，利用二次函数性质求最值即可

【详解】

由题
S
n
??15n?
当
n? 8
时
S
n
最小

故答案为
8
【点睛】

本题考查等差数列的求和公式，考查二次函数求最值，是基础题

15
．
n
?
n?1
?
?2?n
2
?16n

2
1
.
2
【解析】

【分析】

以
O
为原点，
OA
为
x
轴，
OB
为
y
轴，
OP
为
z
轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出直线
OE
与
直线
PD
所成角的余弦 值．

【详解】

解：四棱锥
P?ABCD
中，所有棱长均 为
2
，
O
是底面正方形
ABCD
中心，
E
为
PC
中点，

?AC?BD
，
PO?
平面
ABCD
，

?
以
O
为原点，
OA
为
x
轴，
OB
为
y
轴，
OP
为
z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则
O
?
0,0, 0
?
?
22
?
E?,0,
?
，
C?2,0 ,0
，
P0,0,2
，
?
?
2
?
，

D0,?2,0
，

2
??
??
??
??
?
22
?
?,0,
∴
OE?
??
?< br>2
?
，

PD?0,?2,?2
，

2??
??
设直线
OE
与直线
PD
所成角为
?< br>，

则
cos
?
?
|OEPD|11
??
，

|OE||PD|
1?4
2
?
直线
OE
与直线PD
所成角的余弦值为
故答案为：
【点睛】

1
．

2
1
．

2
本题主要考查 异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
属于中档题．

16
．
13

4
【解析】

【分析】

根据等比数列的性质得到
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
成等比，从而列出关系式 ，又
S
6
?4
，接着用
S
6
表示
S
3
，
S
3
S
9
代入到关系式中，可求出的值
.
S
6
【详解】

因为等比数列
?
a
n?
的前
n
项和为
S
n
，则
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
成等 比，且
S
n
?0
，

1
S?S
66
S
6
?S
3
S
9
?S
6
S
9< br>13
S
6
S
9
?S
6
1
4
?4
??
.
?
所以，又因为，即
S
3
?S
6
，所以，整理得
S
11
S
3
S
6
?S
3
S
6
4
3
4
S
6
S
6
?S
6
44
13
故答案为：
.
4
【点睛】

本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题 。解决本题的关键是根据等比数列的性质

得到
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n成等比
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（
1
）
a
n
?n
；（
2
）
T
n
?
【解析】

【分析】

n
．

n?1
n?1
?
S
1
,< br>（
1
）利用
a
n
?
?
即可求出答案；

S?S,n?2
n?1
?
n
（
2
）利用裂项相 消法即可求出答案．

【详解】

解：（
1
）
∵< br>S
n
?
n
?
n?1
?
，

2
当
n?1
时，
a
1
?S
1
?1
，

当
n?2
时，
a
n
?S
n
? S
n?1
?
∴
a
n
?n
，
n?N
*
；

（
2
）
∵
b
n
?
n
?
n?1
?
n
?
n?1
?
?n
，

?
22
1
1
11
?
??
，
a
n
a
n?1
n
?
n?1
?
nn?1
∴
T
n
?
?
1?
【点睛】

?< br>?
1
??
11
??
11
?
1
?1n
?
1
?????
...??
?1??
．

???????
2
??
23
??
34
?
n n?1
n?1n?1
??
本题主要考查数列已知
S
n
求a
n
，考查裂项相消法求和，属于中档题．

18
．（
1
）
{x|x?2k
?
或
x?2k
?
?
【 解析】

【分析】

?
2
,k?Z}
；（
2
）
(??,2]
.
?
?
?
?
2
?
?
（
1
） 由题化简得
f(x)?a?b
=6sin
?
x?
?
．再解方 程
sin
?
x?
?
?
即得解；（
2
）由题 得
4
?
4
?
2
?
?
m?
sinx ?cosx
?
?
?
在
?
0,
?
上恒成立， 再求不等式右边函数的最小值即得解
.
sin2x
?
2
?
【详解】

??
2x
解：（
1
）因为
a?
?
?3sin,1
?< br>，
b?(2,3sinx?3)
，

2
??
?
??
2
x
所以
f(x)?a?b??23sin?3sinx?3
?3(sinx?cosx)?6sin
?
x?
?
．

4
?
2
?

?
?
2
?
因为
f
?
x
?
?3
，所以
sin
?
x?
?
?
．

42
??
解得
x?2k
?
(k?Z)
或
x?2k
?
?
?
2
(k?Z)
．

故
x
的取值集合为
{x|x?2k
?
或x?2k
?
?
?
2
,k?Z}
．

（
2
）由（
1
）可知
f(x)?3( sinx?cosx)
，所以
sinx?cosx?msin2x
在
?
0,
?
?
?
?
?
上恒成立．

2
?
因为
0?x?
?
2
，所以
sin2x?0
，所 以
m?
sinx?cosx
?
?
?
在
?
0 ,
?
上恒成立
.
sin2x
?
2
?
?< br>??
设
t?sinx?cosx?2sin
?
x?
?
?(1,2]
，则
sin2x?2sinxcosx?t
2
?1
．< br>
4
??
所以
m?
t1
?
t
2?1
t?
1
．

t
1
?2
12
因为
1?t?2
，所以
0?t??
，所以
1
．

t?
t2
t
故
m
的取值范围为
(??,2]
．

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换和解三角方程，考查三角函数最 值的求法和恒成立问题，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题
.
19
．
(1)
c?2
；
(2) ①
见证明；
②
见证明；
(3)
【解析】

【分析】

（
1
）将
n?2,n?3
代入
a
n?1
?
111
40
a
，证明见解析

?
++…+
a
1
a
2
a
n
39
n ?1
1
2
1
a
n
?a
n
?c
，结 合
a
3
?a
2
?
可求出
c
的值；（
2
）
8
2
a
n?1
?a
n
?
a
n
?2?
1
2
1
a
n
?2a
n< br>?2?(a
n
?2)
2
?0
可知
a
n?1< br>?a
n
?0
，
22
1
?()
n?1
a
n?1
a
n?2
2
a
1
(a
1
?2)?0
，即可证明结
111
a
n?1
(a
n?1
?2)?()
2
a
n?1
a
n?2
(a
n?2< br>?2)?()
3
a
n?1
a
n?2
a
n?3
(a
n?3
?2)?
222
论；（
3
）由题意可得
a
n?1
?2?
n
111
1
?
a
n
(a
n
?2)
，从而可得到
?
，求和可得
aa? 2a?2
2
nnn?1
n
1111
?(?)??1
，然后作 差
??
a
k?1
?22?a
n?1
k?1
a
k
k?1
a
k
?2
2
140140
40a
n
(5a
n?1
?3)(8a
n?1
?13)
?1
?41a
n?1
?39
?a??1?a
??
，通过讨论可比较?
n?1n?1
392?a
n?1
39
39?(2?a
n?1
)39?(2?a
n?1
)
k?1
a
k
n< br>二者大小
.

【详解】

12
11
2
111
a
1
?a
1
?c?c ?
，
a
3
?a
2
?a
2
?c?(c?)< br>2
?
.
222222
111
2
111
而< br>a
3
?a
2
?
，得
(c?)??(c?)?
，即
c
2
?3c?2?0
，

822228
（1
）由题意：
a
2
?
解得
c?2
或
c ?1
，

因为
c?1
，所以
c?2
满足题意
.
（
2
）因为
a
n?1
?a
n
?
所以
a
n?1
?a
n
.
则
a
n?1
?a
n< br>?a
n?1
?
a
n
?2?
1
2
1< br>a
n
?2a
n
?2?(a
n
?2)
2
?0
，

22
?a
1
?1?0
.
1< br>?()
n?1
a
n?1
a
n?2
2
a
1
(a
1
?2)
，

111
a
n?1< br>(a
n?1
?2)?()
2
a
n?1
a
n? 2
(a
n?2
?2)?()
3
a
n?1
a
n?2
a
n?3
(a
n?3
?2)?
222
因为< br>a
1
?2?0
，
a
n
?0
，所以
a
n
?2?0
，

所以
a
n
?2
.
（
3
）由
a
n?1
?
1
2
1a
n
?a
n
?2
，可得
a
n?1
?2 ?a
n
(a
n
?2)
，

22
1211111
?????
.
从而，所以
a
n?1
?2a
n
?(a
n
?2)a
n
?2a
n
a
n
a
n
?2a
n?1
?2
n
111111
?(?)????1
，

a?1
因为
1，所以
??
aa?2a?2a?2a?22?a
k?1
k
k?1
kk?11n?1n?1
n
所以
140140
?a??1?a
n?1

?
n?1
392?a
n?1
39
k?1
a
k
n
2
40a
n
(5a
n?1
?3)(8a
n?1
?13)
?1
?41a
n?1
?39< br>??
.
39?(2?a
n?1
)39?(2?a
n?1)
a
2
?
5a
n?1
?3
3
133
?0
,
，
a
3
?
，
?a
n?1
?2
，
39?(2?a
n?1
)
8
2
2
140
?a
2
；

a
1
39
1140
??a
3
；

a
1
a
2
39
当
n=1
时，
8a
2
?13?0
,
故
当
n=2
时，
8a
3< br>?13?0
，
当
n≥3
时，
a
n?1
?a< br>3
?
n
13
，则
8a
n?1
?13?0，
8
(5a
n?1
?3)(8a
n?1
?13)
140
?0?
?a?
?
n?1
39?(2?a)
a39< br>k?1
k
n?1
【点睛】

140
?a
n?1
.
?
a39
k?1
k
n

本题主要考查了数列的递推关系式和数列的求和，考查了不等式的证明，考查了学生的逻辑推理能力与计
算能力，属于难题
.
20
．（
1
）
a
n
?2n?9
（
2
）
S
n
?n(n?8)

【解析】

【分析】

（
1
）先设等差数列的公差 为
d
，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式；

（
2
）根据前
n
项和公式，即可求出结果
.
【详解】

（
1
）依题意，设等差数列
?
a
n
?
的公差为
d
，

因为
S
3
?3a
2
??15
，所以
a
2
??5
，又
a
1
??7
，

所以公差
d?2
，
所以
a
n
?a
1
?(n?1)d?
?7?2(n?1) ?2n?9
．

（
2
）由（
1
）知
a1
??7
，
d?2
，

所以
S
n
?na
1
?
【点睛】

本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前
n
项和公式即可，属于基础题型
.
21
．（
1
）
?
【解析】

【分析】

n(n?1)n(n?1)
d??7n??2?n(n?8)

22
1
9
33
.
；

（
2
）；

（
3
）
4
9
2
B?C1?cosA
?cos2A??2cos
2
A?1
，代入即 可求解
.
22
9
（
2
）在
?ABC
中， 由余弦定理，结合基本不等式，求得
bc?
，即可得到答案
.
4
（
1
）由三角恒等变换的公式，化简
sin
2
（
3
） 设
AD?m
，在
?ABC
中，由余弦定理，求得
c?4
，分 别在
?ACD
和
?ABD
中，利用余弦定理，
列出方程，即可求解< br>.
【详解】

（
1
）由题意，在
?ABC
中，
B?C???A
，则
cos(B?C)?cos(
?
?A)?? cosA

又由
sin
B?C1?cos(B?C)1?cosA
? cos2A??2cos
2
A?1??2cos
2
A?1

222
1111111
?2cos
2
A?cosA??2?()
2< br>?????
.
2232329
2
（
2
）在
?ABC
中，由余弦定理可得
a
2
?b
2
?c
2< br>?2bccosA
，

2249
bc?2bc?bc?bc
，可得
bc?
，当且仅当
b?c
等号成立 ，

3334
9
所以
bc
的最大值为
.
4
即
3?b?c?
22
（
3
）设
AD?m
，如图所示，

在
?ABC
中，由余弦定理可得
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
，

即
17?9?c?2?3c?
2
1
，即
c
2
?2c?8?0< br>，解得
c?4
，

3
在
?ACD
中，由余弦 定理
,
可得
AC
2
?m
2
?CD
2
?2m?CD?cos?ADC
，
……①
在
?ABD
中，由余弦 定理
,
可得
AB
2
?m
2
?BD
2
?2m?BD?cos?ADB
，
……②
因为
?ADC??ADB??
，所以
cos?ADC??cos?ADB
，

由
① +②
，可得
AC
2
?AB
2
?2m
2
?C D
2
?BD
2
，即
3
2
?4
2
? 2m
2
?(
17
2
17
2
)?()
，
22
解得
m?
33
33
.
，即
AD?
2
2

【点睛】

本题主要考 查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中
的综合应用 ，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，
着重考查 了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．

22
．（
1
）见证明；（
2
）见解析

【解析】

【分析】

11
n
?1?2(?1)< br>，进而得到结果；
(1)
将原式变形为（
2
）根据第一问得到
b
n
?
n
，错位相减得到结果
.
a
n
a
n?1
2
【详解】

（
1
）由条件得
a
n
a
n?1
?2a
n
?a< br>n?1
?0?a
n?1
?2a
n
?a
n
a< br>n?1
，易知
a
n
?0
，两边同除以
?
得< br>6
11111
?1?2(?1)
，又
?1?2
，
< br>?2??1
?
a
n
a
n?1
a
n
a
n?1
a
1

故数列
?
?
1
?
?1
?
是等比数列，其公比为
2
.
?
a
n
?
1?a
n
a
n
1
1< br>n
n
n
?
??2??
?1?2
b?
?
(n?N)
（
2
）由（
1
）知，则

n
a
n
1?a
n
2
n
a
n
2
nS
n
?
1111
?2?
2
?3?
3
? ?n?
n
……①
2222
1111n
S
n
?1?
2
?2?
3
??(n?1)?
n
?
n?1
……②
22222
1
S
2
n
1
2
12
2
1
2
3
1
2
n
n
2n1
两式相减得
?S
n
?1?
11
??
22< br>2
?
1n
?

2
n?1
2
n
1
n
n2nn?2
2
?
n
?2?
n
?< br>n
?2?
n
?2
.
即
S
n
?1
2222
1?
2
1?
【点睛】

这个题目考 查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知
S
n
和
a
n
的关系，求
a
n
表达式，一般是写出
S< br>n?1
做差得通项，但是这种方法需要检验
n=1
时通项公式是否适用；
数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知等差数列：
1
，
a
1
，
a
2,9
；等比数列：－
9
，
b
1
，
b
2< br>，
b
3
，－
1.
则
b
2
(a
2
－
a
1
)
的值为
(

)
A
．
8
C
．
±8
B
．－
8
D
．

2
．已知向量
a?
?
cos
?
,sin
?
?
，
b?1,2
，若
a
与
b
的夹角为
A
．
2 B
．
7
C
．
2

??
?
，则
a?b?
（

）

6
D
．
1
3
．设
a?2< br>0.5
，
b?log
0.5
0.6
，
c?tanA
．
a?b?c

C
．
b?c?a

4
?
，则（

）

5
B
．
c?b?a

D
．
c?a?b

4
．已知弧度数为
2
的 圆心角所对的弦长也是
2
，则这个圆心角所对的弧长是（

）

A
．
2 B
．
2

sin1
C
．
2sin1
D
．
sin2

5
．一条直线经过点
A(2,?3)
，并且它的倾斜角等于直线
x? 3y?0
倾斜角的
2
倍，则这条直线的方
程是
(



)
A
．
23x?3y?73?0

C
．
x?y?3?0

B
．
3x?y?33?0

D
．
x?3y?33?0

6
．在
△ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若
acosA=bcosB
，则
△ABC
的形状为（

）

A
．等腰三角形

B
．直角三角形

C
．等腰三角形或直角三角形

D
．等腰直角三角形

7
．平面向量
a?(n,1)
与
b?(4,n)
共线且方向相同，则
n
的值为（

）

A
．
0
B
．
?2
C
．
2
D
．
?2

8
．下列函数中，是 偶函数且在区间
?
0,1
?
上是增函数的是（

）

A
．
y?x

C
．
y?
B
．
y?3?x

D
．
y??x
2
?4

1

x< br>9
．平面直角坐标系
xOy
中，角
?
的顶点在原点，始边在< br>x
轴非负半轴，终边与单位圆交于点
A
?
,
?
34< br>?
?
，
?
55
?

将其终边绕
O
点逆时针旋转
3
?
后与单位园交于点
B，则
B
的横坐标为（

）

4
72

10
C
．
A
．
?
42

5
B
．
?
72

10
D
．
?
2

10
10
．不等 式
A
．
{x|
3x?1
?1
的解集是

2?x
3
?x?2}

4
3
D
．
{x|x?}

4
B
．
{x|
，
AB?DC
，那么四边形
ABCD
的形状是（
）

C
．菱形
D
．直角梯形

3
?x?2}

4
3
4
C
．
{x |x?2
或
x?}

11
．在四边形
ABCD
中，如果
A
．矩形
B
．正方形

12
．在
?ABC
中，
a,b,c< br>分别为角
A,B,C
的对边，若
a
2
?c
2
?3b
，且
sinB?8cosAsinC
,
则边
b
=( )
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6

二、填空题：本题共4小题 < br>13
．若各项均为正数的等比数列
?
a
n
?
，
a
1
?1,a
11
?1024
，则它的前
n
项和 为
______.
14
．已知数列
?
a
n
?n?N
?
*
?
，其前
n
项和为
S
n< br>，若
a
n
?cos
2n
?
，则在
S
1
，
S
2
，
…
，
S
100
中，满 足
5
S
m
?0
?
1?m?100,m?N
*
?
的
m
的个数为
______.
15
．过点
( 2
，－
3)
且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为
________ _________
．

16
．函数
y?2sinxcosx?1< br>?
x?R
?
的值域是
______
．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．在区间
( 0,1)
内随机取两个数
m,n
，则关于
x
的一元二次方程
x
2
?nx?m?0
有实数根的概率
为
__________
．

18
．（
1
）设
1
＜
x
＜
3
，求函数
y
＝
x
（
3
﹣
2x< br>）的最大值；

2
（
2
）解关于
x
的不等式
x
2
-
（
a+1
）
x+a
＜
1< br>．

19
．（
6
分）记
S
n
为等差 数列
{a
n
}
的前
n
项和，已知
a
3??6
，
S
7
??28
.
（
1
）求
{a
n
}
的通项公式；

（
2
）求
S
n
，并求
S
n
的最小值.
20
．（
6
分）如图，在三棱柱
ABC?A
1B
1
C
1
中，
?ABC
为正三角形，
D
为
A
1
B
1
的中点，
AB?AA
1
?2
，
?
CA
1
?6
，
?BAA
1
? 60
．

（
1
）证 明：
CA
1

平
BDC
1
；

（< br>2
）证明：平面
ABC?
平面
ABB
1
A
1
．

21
．（
6
分）如图，平行四边形
ABCD< br>中，
E
是
CD
的中点，
AE
交
BD
于点
M
.
设
AB?a
，
AD?b
.
< br>(1)
分别用
a
，
b
表示向量
AE
，
DM
；

(2)
若
a?2b?4
，
?BAD?< br>?
3
，求
AE?DM
.
22
．（
8
分）已知函数
f
?
x
?
?sin
?
?
x ?
?
?
?
?
?0,
?
?
?
??
?
?
的部分图象如图所示
.
2
?

（
1
）求函数
f
?
x
?
的解析式，并求出
f
?
x
?
的单调递增区间；

（
2
）若
f
?
x
0
?
?
3
??
,x
0
?[,]

，求
cos2x
0
的值

542



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
B

【解析】

a
2
－
a
1
＝
d
＝，

又＝
b
1
b
3
＝
(
－
9)×(
－
1)
＝
9
，

因为
b
2
与－9
，－
1
同号，所以
b
2
＝－
3.
所以
b
2
(a
2
－
a
1
)
＝－< br>8.
本题选择
B
选项
.
2
．
B
【解析】

【分析】

先计算
a
与
b的模，再根据向量数量积的性质
a?b?(a?b)
2
即可计算求值
.
【详解】

因为
a?
?
cos
?
,sin
?
?
，
b?1,2
，

所以
|a|?1
，
|b|?3
.
又
a?b?(a ?b)?a?2a?b?b?|a|?2|a||b|cos
2
2
22
22
??
?
?|b|
2

6
?1?23?
3
?3?7
，

2
所以
a?b?7
，故选
B.
【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题
.
3
．
B
【解析】

【分析】

由指数函 数的性质得
a?1
，由对数函数的性质得
b?
?
0,1
?< br>，根据正切函数的性质得
c?0
，即可求解，得
到答案．

【详解】

由指数函数的性质，可得
a?2
0.5
?1，由对数函数的性质可得
b?log
0.5
0.6?
?
0,1< br>?
，

根据正切函数的性质，可得
c?tan
【点睛】

4
?
?0
，所以
c?b?a
，故选
B.
5

本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较 大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的
性质，以及正切函数的性质得到
a,b,c< br>的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，
属于基础题．

4
．
B
【解析】

【分析】

先由已知条件求出扇形的半径为
【详解】

解：设扇形的半径为
R
，

1
，再结合弧长公式求解即可
.
sin1
1
，

sin1
2
由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是
2R?
，
sin1
由弧度数为
2
的圆心角所对的弦长也是
2
， 可得
R?
故选：
B.
【点睛】

本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题
.
5
．
B
【解析】

【分析】

先求出直 线
x?3y?0
的倾斜角，进而得出所求直线的倾斜角和斜率，再根据点斜式写直线的方程.
【详解】

已知直线
x?3y?0
的斜率为
3，则倾斜角为
30
，

3
故所求直线的倾斜角为
60?
，斜率为
3
，

由直线的点斜式得
y?(?3)?
即
3x?y?33?0
。

故选
B.
【点睛】

本题考查直线的性质与方程，属于基础题
.
6
．
C
【解析】

【分析】

利用正弦定理由
acosA=bco sB,
可得
sinAcosA=sinBcosB
，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC
的形状．


3(x?2)
，

【详解】

在
△ABC
中，
∵acosA=bcosB
，

∴
由正弦定理得：
sinAcosA=sinBcosB
，

即
11
sin2A=sin2B
，

22
∴2A=2B
或
2A+2B =π
，

∴A=B
或
A+B=
，

∴△ABC
的形状为等腰三角形或直角三角形．

故选
C
．

考点：三角形的形状判断．

7
．
C
【解析】

【分析】

利用向量共线的坐标运算求解
n
，验证得答案．

【详解】

向量
a?(n,1)
与
b?(4,n)
共线，
?n
2
?4?0
，解得
n
当
n?2
时，
a?(2,1)
，
b?(4,2)?2a
，

2
．

?
a
与
b
共线且方向相同．

当
n??2
时，
a?(?2,1)
，
b?(4,?2)??2a
，

?
a
与
b
共线且方向相反，舍去．

故选
C
．

【点睛】

本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题．

8
．
A
【解析】

【分析】

逐一分析选项，得到答案
.
【详解】

A.
y?x
是偶函数
,
并且在区间?
0,1
?
时增函数，满足条件；

B.
y?3?x< br>不是偶函数
,
并且在
R
上是减函数，不满足条件；

C.
y?
1
是奇函数
,
并且在区间
?
0,1
?
上时减函数，不满足条件；

x

D .
y??x
2
?4
是偶函数，在区间
?
0,1
?< br>上是减函数，不满足条件；

故选
A.
【点睛】

本题考查了函数的基本性质，属于基础题型
.
9
．
B
【解析】

【分析】

343
cos
?
? ,sin
?
?
，
B
的横坐标为
cos(
?
?
?
)
，计算得到答案
.
554
【详解】
有题意知：
cos
?
?
34
,sin
?
?
55
33372

?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??
44410
B
的横坐标为：
cos(
?
?
故答案选
B
【点睛】

本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力
.
10
．
B
【解析】

试题分析：
∵
，< br>∴
(4x?3)(x?2)?0
4x?3
3x?1
?0?{
? 1?0
，即，
∴
不等式的解集为
x?2
x?2
x?2
?
3
?
?
x|?x?2
?
．

?
4
?
考点：分式不等式转化为一元二次不等式．

11
．
C
【解析】

试题分析：因为，所以
AC ?BD
，即四边形
ABCD
的对角线互相垂直，排除选项
AD
；又因
为
AB?DC
，所以四边形
ABCD
对边平行且相等，即四边形ABCD
为平行四边形，但不能确定邻边垂
直，所以只能确定为菱形．

考点：
1
．向量相等的定义；
2
．向量的垂直；

12
．
B
【解析】

【分析】

由
sinB?8cosAsinC
利用正弦定理化简，再利 用余弦定理表示出
cosA
，整理化简得
a
2
?
3
22
b+c
，与
4
a
2
?c
2
?3b，联立即可求出
b
的值．

【详解】

由
si nB
＝
8cosAsinC
，利用正弦定理化简得：
b
＝
8 c?cosA
，

b
2
?c
2
?a
2b
2
?c
2
?a
2
将
cosA
?代入得：
b
＝
8c?
，

2bc
2bc
整理得：
a
2
?
3
22
3
b+c
，即< br>a
2
﹣
c
2
?
b
2
，
< br>44
∵a
2
﹣
c
2
＝
3b
，

∴
3
2
b
＝
3b
，

4解得：
b
＝
1
或
b
＝
0
（舍去），< br>
则
b
＝
1
．

故选
B
【点睛】

此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理
,
准确计算是 解本题的关键，是中档题

二、填空题：本题共4小题
13
．
2
n
?1

【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出它的前
n
项和
.
【详解】

设各项均为正数的等比数列
?
a
n
?< br>的公比为
q
，由
a
1
?1,a
11
?102 4
，得

a
11
?a
1
?q
10
?1024
，且
q?0
，

解得
q2
，

?
它的前
n
项和为
S?
n
故答案：
2n
?1
.
【点睛】

1?
?
1?2
n
?
1?2
?2
n
?1
.

本题考查等 比数列的前
n
项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14
．
1
【解析】

【分析】

运用周期公式，求得
T?5
，运用诱导公式及三角恒等变换 ，化简可得
S
5
?0
，即可得到满足条件的
m
的
值 ．

【详解】

解：
a
n
?cos
可得周 期
T?
2n
?
，

5
2
?
?5
2
?
，

5
S
5
?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?cos
?cos
2
??
???
? cos
?
?
?
?
?cos
?
?
55
???
2
?
4
?
6
?
8
?
10
?
?cos?cos?cos?cos

55555
?
?< br>2
?
??
?
?
?cos
?
2
??
?
?cos2
?

5
?
5
??2
???
2
?
?cos?cos?cos?1

555 5
3
??
??
??2
?
cos?cos
?
?1

55
??
?cos
?
?
2
????
2
??
?
?
??2
?
cos
?< br>?
?
?cos
?
?
?
?
?1
5555
?
?
??
?
?
2
??
2??
2
??
2
??
??
??2
?
co scos?sinsin?coscos?sinsin
?
?1

55555 555
??
?1?4cos
2
??
cos

55< br>?4cos
?1?
2
???
(2sincos)
555
2sin
?

5
?4sin
?1?
2
?
2
?
cos
55
2sin
?2sin
?

5
4
?
5
?1?1?0?1?
，

4?
2sin
5
则满足
S
m
?0(1m100,m?N< br>*
)
的
m
的个数为

100?5?20
．

故答案为：
1
．

【点睛】

本题考查三角函数的周期性及应用，考查三角函数的化简和求值，以及运算能力，属于中档题．

15
．
y??
【解析】

分析：分类讨论截距为
0
和截距不为零两种情况求解直线方程即可
.
3
x或y?x?5

2

详解： 当截距为
0
时
,
直线的方程为
y??
当截距不为
0
时
,
设直线的方程为
3
x
，满足题意；

2
xy
??1
,
a?a
把点
?
2,?3
?
代入直线方程可得
a?5
，此时直线方程为
y?x?5
.
故答案为
y??
3
x或y?x?5
.
2
点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：

一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；

二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；

三是在用截距式时，应先判断截距是否为
0
，若不确定，则需分类讨论
.
16
．
?
?2,0
?

【解析】

【分析】

将函数化为
y?Asin(
?
x?
?
)?B

的形式，再计算值域。

【详解】

因为
y?2sinxc osx?1=sin2x?1
?
x?R
?

所以
y?[?2,0]

【点睛】

本题考查三角函数的值域，属于基础题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．
1

8
【解析】

试题分析：解： 在平面直角坐标系中，以
x
轴和
y
轴分别表示
m，n
的值，

1)
中任意取的两个数，所以点
(m，n)
与右图中正方形内的点 一一对应，即正方形内的所因为
m
、
n
是
(0，
有点构成全 部试验结果的区域．设事件
A
表示方程
x
2
?nx?m?0
有实根，

n?4m?0
??
??
则事件
A?
?< br>(m，n)|{n?m?1
?
，

?
0?n?1
?
??
所对应的区域为图中的阴影部分，

且阴影部分的面积为
1
．故由几何概型公式得

8
S
阴影
1
1
P(A)??
，即关于
x
的一元二次方程
x
2
?nx?m?0
有实根的概率为．

S
正方形
8
8
考点：本题主要考查几何概型概率的计算．

点评：几何概型概率的计算，关键是明确基本事件空间及发生事件的几何度量，有面积、体积、角度数、
线段长度等．本题涉及到了线性规划问题中平面区域．

18
．（
1
）
y
max
?
【解析】

【分析】

（
1
）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值．

（
2
）不等式即（
x
﹣
1
）（
x
﹣
a）＜
1
，分类讨论求得它的解集．

【详解】

9
（
2
）见解析

8
399
3
3
??
（
1
）设
1
＜
x
＜
，
∵
函数
y
＝
x
（
3
﹣
2x
）< br>??
2
?
x?
?
，故当
x
?
时，函 数取得最大值为．

288
4
4
??
（
2
）关于
x
的不等式
x
2
﹣（
a+1
）
x+ a
＜
1
，即（
x
﹣
1
）（
x
﹣< br>a
）＜
1
．

当
a
＝
1
时，不等式即

（
x
﹣
1
）
2
＜
1
，不等式无解；

当
a
＞
1
时，不等式的解集为
{x|1
＜
x
＜
a}
；

当
a
＜
1
时，不等式的解集为
{x|a
＜
x
＜
1}
．

综上可得，当
a
＝
1
时，不等式的解集为
?
，当
a
＞
1< br>时，不等式的解集为
{x|1
＜
x
＜
a}
，当
a
＜
1
时，不等式
的解集为
{x|a
＜
x
＜
1}
．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，求 二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，
属于基础题．

22
19
．（
1
）
a
n
?2n?12
； （
2
）
S
n
?n?11n?(n?5.5)?
2
1 21
，
?30
.
4
【解析】

【分析】

（
1
）先求出公差
d
和首项
a
1
，可得通 项公式；

（
2
）由（
1
）可得前
n
项和
S
n
，由二次函数性质可得最小值（只要注意
n
取正整数）．

【详解】

（
1
）设{a
n
}
的公差为
d
，

由题意得
a
1
?2d??6
，
7(a
1
?3d)??28
，< br>
解得
a
1
??10
，
d?2
.
所以
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?2n?12.
（
2
）由（
1
）得
S
n
?
因为
n?N
*

所以当
n?5
或
n?6
时，
S
n
取得最小值，最小值为
-30.
【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前
n
项和公式，方法叫基本量法．

20
．（
1
）证明见解析；（
2
）证明见解析
.
【解析】

【分析】

（
1
）连结
CB< br>1
交
BC
1
于
E
，连结
DE
，先证 明
DECA
1
，再证明
CA
1

平
BDC< br>1
；（
2
）取
AB
的中点
为
O
，连 结
OC
，
OA
1
，
BA
1
，先证明
OC?
平面
ABB
1
A
1
，再证明平面
ABC?
平面
ABB
1
A
1
．

【详解】

证明：（
1
）连结
CB
1
交
BC
1
于
E
，连结
DE
，

由于棱柱的侧面是平行四边形，故< br>E
为
BC
1
的中点，

又
D
为A
1
B
1
的中点，故
DE
是
?CA
1
B
1
的中位线，所以
DECA
1
，

又
DE?
平面
BDC
1
，
C
A
1
?
平面
BDC
1
，所以
CA
1

平面
BDC
1
．

n(?10?2n?12)121
?n
2< br>?11n?(n?5.5)
2
?

24

（
2
）取
AB
的中点为
O
，连结
OC
，
OA
1
，
BA
1
，在
?ABC
中，
OC?AB
，

?
由
AB?AA
1
?2
，
?BAA
1
?60
知
?ABA
1
为正三角形，故
O A
，

1
?3
222
3
，
CA
1
?6
，故
OC?OA
1
?CA
1
，所以
O C?OA
1
，

又
OC?
又
AB
OA
1
?O
，所以
OC?
平面
ABB
1
A
1
，

又
OC?
平面
ABC
，所以平面
ABC?
平面
ABB
1
A
1< br>．

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础
题
.
21
．（
1
）
AE?
【解析】

【分析】

（
1
）由平面的加法可得
AE
，又根据 三角形相似得到
DM?
式
.
2
?
1
?
1
2
1
（
2
）由平面向量数量积运算得
AE?DM
?
?
a?a?b?b
?
，然后再将条件代入可得答案
.
3< br>?
22
?
1
a?b
a?b
，
DM?

（
2
）
2
2
3
1
DB
，再 根据向量的减法可得
DM
的不等
3
【详解】

（
1
）
AE?AD?DE?AD?
由
△DEM
∽
11
A B?a?b
.
22
BAM
,
又
AB?2DE

1
DB

3
所以
MB?2DM
,
即DM?
11a?b

DM?DB?AB?AD?
333
??（
2
）由
a?2b?4
，
?BAD?
?
3
?
1
?
a?b
?
1
?
1
a
2
?
1
a?b?b
2
?
AE?DM?
?< br>a?b
?
?
??

322
??
23
??
1
?
111
?
?
?
?16??4?2??4
?
?2

3
?
222
?
【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．

22
． （
1
）
f
?
x
?
?sin
?
2x ?
【解析】

【分析】

?
?
?
?
6
?
?
；递增区间为
?
?
?
?
?
?
3?43
?k
?
,?k
?
?
?
k?Z
?
；

（
2
）
36
10
??T2
???
???
，从而求得
T?
?
，进而求得
?
?2
，再代入点的坐标
2362
???

可得
?
值，从而求得解析式；解不等式
??2k
?
?2x???2k
?< br>?
k?Z
?
，可得函数的单调增区间；
262
（
1< br>）由图可知其函数的周期满足

（
2
）由题 意可得
f
?
x
0
?
?sin
?
2x
0
?
?
?
?
?
?
?
2
?
7
?
?
3
?
??
?
?
x?,2x??< br>?
,
?
，利用平方，结合，得到
00
?
??
6
?
5
426
???
36
?
关系，求得
c os
?
2x
0
?
【详解】

?
?
?
?
4
??
，之后利用差角余弦公式求得结果
.
?
6
?
5
（
1
）设函数
f
?
x
?
的周期为
T
，


2
?
T2
???
?
?
，

???
∴
由图可知，
T?
?
，即
?
2362
∵< br>?
?0
，
∴
?
?2
，
∴
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?
?
，

??
?
?
?
?
?
?
,1
?
，有
sin
?
?
?
?
?1
，得
?
?
??2k
?
，
k?Z
，

32
?3
?
?
6
?
上式中代入
?
即
?
??
?
6
?2k
?
，
k?Z
，

，
∴
?
?
又
∵
?
?
令
?
?
2
?
?
π
?
，
∴
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?
，

6
?
6
?
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
，解得
?
?
3
?k
?
?x?
?
6
?k
?
?
k?Z
?
，

即
f
?< br>x
?
的递增区间为
?
?
?
?
?
?< br>?k
?
,?k
?
?
?
k?Z
?
；< br>
6
?
3
?
（
2
）
f?
x
0
?
?sin
?
2x
0
?
?
?
?
?
3
?
，

?
6
?
5
又
x
0
?
?
?
?
2
?
7
?
?
?
?
4
?
?
???
,
?
，
∴
2x
0
??
?
,
?
，
∴
cos
?
2x
0
?
???
；

6
?
5
6
?
36
?
?
?
42
?
?
?
?
?
∴
cos2x
0
?cos
?
?
2x
0
?
?< br>?
?
?

?
?
6
?
6
?< br>?
?
?
??
?
?
??
?cos
?< br>2x
0
?
?
cos?sin
?
2x
0
?
?
sin

6
?
66
?
6
??

43313?43
．

??????
525210
【点睛】

该题考查的是有关三角函数的 问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，求正弦型函数的单调区
间，同角三角函数关系式，利 用整体角思维，结合差角正弦公式求三角函数值，属于简单题目
.