2023届上海市青浦区新高考高一数学下学期期末监测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．在同一直角坐标系中，函数
y?
11
??
,y?logx?
a
??
(a?0
且
a?1)
的图象可能是（

）

x
a2
??
A
．
B
．

C
．
D
．

2
．若x?0,y?0
，且
x?y?
1
，则
xy
的最大值为（

）

3
C
．
A
．
23

3
B
．
23

1

9
D
．
1

36
3
．在天气预报中，有< br>“
降水概率预报
”
，例如预报
“
明天降水的概率为
8 0%
”
，这是指（

）

A
．明天该地区有
80%
的地方降水，有
20%
的地方不降水

B
．明天该地区有
80%
的时间降水，其他时间不降水

C
．明天该地区降水的可能性为
80%

D
．气象台的专家 中有
80%
的人认为会降水，另外有
20%
的专家认为不降水

4
．以下给出了
4
个命题：

（
1
）两个长度相等的向量一定相等；

（
2
）相等的向量起点必相同；

（
3
）若
a?b?a?c
，且
a?0
，则
b?c
；

（< br>4
）若向量
a
的模小于
b
的模，则
a＜b
．

其中正确命题的个数共有（

）

A
．
3
个
B
．
2
个
C
．
1
个
D
．
0
个

5< br>．点
A
、
B
、
C
、
D
在同一个球的 球面上，
AB?BC?1
，
?ABC?120
.
若四面体
A BCD
的体积的
最大值为
3
，则这个球的表面积为（

）

4
B
．
4
?
C
．
A
．
500
?

81
25
?

9
D
．
100
?

9
6
．样本中 共有
5
个个体，其值分别为
a
、
0
、
1
、
2
、
3
.
若该样本的平均值为
1
，则样本的方差为 （

）

A
．
?1
B
．
0
C
．
1
D
．
2

7
．已知
S< br>n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，
a
2
+a
4
+a
6
＝
12
，则
S
7
＝（ ）

A
．
20 B
．
28 C
．
36 D
．
4
8
．已知
|a?1,b|?2
，
a
与
b
的夹角
?
=120
，则
a
在
b
方向上的投影是（

）

A
．
?
1

2
B
．
1

2
C
．
1 D
．
-1

9
．下列命题正确的是（

）

A
．若
a>b
，则
11
?

ab
B
．若
a>b
，则
a
2
?b
2

D
．若
a>b
，
c>d
，则
ac>bd
C
．若
a>b
，
c?d
，则
a?c>b?d
10
．设
a
＞
0
，
b
＞
0
， 若
3
是
3
a
和
3
b
的等比中项，则
A
．
6
11
．
sin210
=
（

）

A
．
?
B
．
42
C
．
8
14
?
的最小值为（

）

ab
D
．
9
1

2
B
．
1

2
C
．
?
3

2
D
．
3

2
12
．对数列
?< br>a
n
?
,
?
b
n
?
，若区间
a
n
,b
n
满足下列条件：

①
?
a< br>n?1
,b
n?1
?
?
?
a
n
,b
n
?
n?N
?
??
?
*
?
；②
lim
?
b
n??
n
?a
n
??0
，

则称
?
?
a
n,
b
n
?
?
为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（

）

??
n
?
1
??
2
?
A
．
a
n
?
??
,b
n
?
??
；

?
2
??
3
?
n
?
1
?
B
．
a
n
?
??
,b
n?
2

n?1
?
3
?
n?1
?
1
?
C
．
a
n
?,b
n
?1?
??

n
?
3
?
D
．
a
n
?
n
n
n
n?3n?2
,b
n
?

n?2n?1
二、填空题：本题共4小题
a
n
?a
n?1
?
13
．数列
?
a
n
?
满足
a< br>1
?1
，
1
（
n2
且
n?N
*），则数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
________.
n(n?1)
14
．
f
?
x
?
?3sinx?cosx
的值域是
______.
15．已知
?ABC
中，
A?B?3C
，且
c
?22
，则
?ABC
面积的最大值为
__________.
sinC

1?
16
．观察下列式子：
1311111
?,1????2,1???
2223423
15
??
你可归纳出的不等式 是
___________
82
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．已知 函数
f(x)?3sin(
?
x?
?
)(
?
?0, ?
?
?
?
?0)
.
?
?
?
f< br>fx
（
1
）若函数
??
的周期
T?π
，且满 足
?
?x
?
?
?
8
?
（
2
）若
?
?0
，
f
?
x
?
在
?< br>?
?
?
?
f
?
?x
?
，求
?
及
f
?
x
?
的递增区间；

?
8
?
?
??
?
,
?
上的最小值为
?3，求
?
的最小值
.
44
??
18
．某高中非 毕业班学生人数分布情况如下表，为了了解这
2000
个学生的体重情况，从中随机抽取
160
个学生并测量其体重数据，根据测量数据制作了下图所示的频率分布直方图
.


（
1
）为了使抽取的
160
个样品更具代表性 ，宜采取分层抽样，请你给出一个你认为合适的分层抽样方案，
并确定每层应抽取的样品个数；

（
2
）根据频率分布直方图，求
x
的值，并估计全体非毕业班学生中 体重在
[45,75)
内的人数；

（
3
）已知高一全体学 生的平均体重为
58.50kg
，高二全体学生的平均体重为
61.25kg
，试估计全体非毕
业班学生的平均体重
.
19
．（
6
分） 在
?ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分 别为
a
，
b
，
c
，已知
b?3
，
c?8
，角
A
为锐角，
?ABC
的面积为
63
.
（
1
）求角
A
的大小；

（
2
）求
a
的值
.

n
20
．（
6
分）（
1
）已知数列
{a< br>n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
?2?1
，求数列
{a
n
}
的通项公式；
< br>（
2
）数列
{a
n
}
满足
a
1?1
，
a
n
?n?a
n?1
（
n?2
），求数列
{a
n
}
的通项公式
.
21
．（6
分）已知函数
f
?
x
?
?3cos
2
?
x?sin
?
xcos
?
x?
3
?
?
?0
?
的最小正周期为
?
.
将函数
2
y? f
?
x
?
的图象上各点的横坐标变为原来的
4
倍，纵坐标变 为原来的
2
倍，得到函数
y?g
?
x
?
的图象.
（
1
）求
?
的值及函数
g
?
x< br>?
的解析式；

（
2
）求
g
?
x< br>?
的单调递增区间及对称中心

22
．（
8
分）设集 合
A?x|lg
?
x?1
?
?lg
?
x?2
?
?lg4
，
B?
?
x|2
??
?
?< br>1?2x
1
?
?
?
，求
AB
.
4
?



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
D
【解析】

【分析】

本题通过 讨论
a
的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确
结论
.
题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查
.
【详解】

x
当
0?a?1
时，函数
y?a
过定点
(0,1)
且单调递减，则函数
y?
1
过定点
(0 ,1)
且单调递增，函数
x
a
1
?
1
?
x
y?log
a
?
x?
?
过定点
(,0)
且 单调递减，
D
选项符合；当
a?1
时，函数
y?a
过定点< br>(0,1)
且单调递增，
2
?
2
?
则函数
y ?
1
?
1
1
?
y?logx?
(0,1)
(,0）
过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符
a
??
x
2
a
2
??
合
.
综上，选
D.
【点睛】

易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判 断失误；二是不能通过讨论
a
的不同取值范围，认识函数的单调性
.
2
．
D

【解析】

【分析】

利用基本不等式可直接求得结果
.
【详解】

1
1
?
x?y
?
x?y
?xy

（当且仅当时取等号）的最大值为
xy?
??
?
36
?2
?
36
故选：
D

【点睛】

本题考查利用基本不等式求解积的最大值的问题，属于基础题
.
3
．
C
【解析】

【分析】

预报“
明天降水的概率为
80%
”
，属于随机事件，可能下雨，也可能不下雨 ，即可得到答案
.
【详解】

由题意，天气预报中，有
“
降水概率预报
”
，例如预报
“
明天降水的概率为
80%
”< br>，

这是指明天下雨的可能性是
80%
，故选
C.
【点睛】

本题主要考查了随机事件的概念及其概率，其中正确理解随机事件的概率的 概念是解答此类问题的关键，
着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
.
4
．
D
【解析】

【分析】

利用向量的概念性质和向量的数量积对每一个命题逐一分析判断得解
.
【详解】

（
1
）两个长度相等的向量不一定相等，因为它们可能方 向不同，所以该命题是错误的；

（
2
）相等的向量起点不一定相同，只要它 们方向相同长度相等就是相等向量，所以该命题是错误的；

（
3
）若
a?b?a?c
，且
a?0
，则
b?c
是错误的，举一个反例，如
a?b,a?c
，
b,c
不一定相等，所
以该命题是错误的；

（
4
）若向量
a
的模小于
b
的模，则
a＜b
，是错误的，因为向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方
向，故该命题不正确．< br>
故选：
D
【点睛】

本题主要考查向量的概念和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
.

2

5
．
D
【解析】

【分析】

根据几何体的特征，小圆的圆心为
Q
，若四面体
ABCD
的体积取最大值，由于底面积
S
?ABC
不变，高最大
时体 积最大，可得
DQ
与面
ABC
垂直时体积最大，从而求出球的半径，即可求出 球的表面积．

【详解】

根据题意知，
A
、
B< br>、
C
三点均在球心
O
的表面上，且
AB?BC?1
，
?ABC?120
，

??ACB?30
，则
?ABC的外接圆半径为
r?
AB
?1
，

2sin?ACB

1133
，

?ABC
的面积 为
S
?ABC
??AB?BCsin120??1?1??
2224
小圆的圆心为
Q
，若四面体
ABCD
的体积取最大值，由于底面积
S
?ABC
不变，高最大时体积最大，所以，
当
DQ
与面
AB C
垂直时体积最大，最大值为
2
13
?DQ?3
，，
S
?ABC
?DQ?
34
22
设球的半径为
R
，则在直角
?AQO
中，
OA?AQ?OQ
，即
R
2
?1
2
?
?
3?R
?
，

2
5
?
5
?
100
.
解得
R?
，因此，球的表面积为
4
?
R
2
?4
?
?
??
?
?
3
9
?
3
?
故选：D.
【点睛】

本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何 时四面体
ABCD
体积取最大值，是解答
的关键．

6
．
D
【解析】

【分析】

根据样本的平均数计算出
a
的值，再利用方差公式计算出样本的方差
.
2

【详解】

由题意可知，
a ?0?1?2?3a?6
??1
，解得
a??1
，

55< br>22222
?
?1?1
?
?
?
0?1
??
?
1?1
?
?
?
2?1
?
?
?
3?1
?
因此，该样本的方差为
5
【点睛】

?2
，故选：
D.
本题考查方差与平均数的计算，灵活利用平均数与方差公 式进行求解是解本题的关键，考查运算求解能力，
属于基础题
.
7
．
B
【解析】

【分析】

由等差数列的性质计算．

【详解】

由题意
a
2
?a
4
?a
6
?3a
4
?12
，
a
4
?4
，
∴
S
7
?7a
4
?2 8
．

故选
B
．

【点睛】

本题考查等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质可以很快速地求解等差数列的问题．
在等差数列
{a
n
}
中，正整数
m,n,l,k
满足< br>m?n?k?l
，则
a
m
?a
n
?a
k?a
l
，特别地若
m?n?2k
，则
a
m
?a
n
?2a
k
；
S
2n?1
?(2n?1)a
n
．

8
．
A
【解析】

【分析】

根据向量投影公式计算即可

【详解】

a
在
b
方向上的投影是：
acos
?
?1?
?< br>?
2
?
??
2

??
?
1
?
1
故选：
A
【点睛】

本题考查向量投影的概念及计算，属于基础题

9
．
C
【解析】

【分析】

对每一个选项进行判断，选出正确的答案
.
【详解】

A.
若
a>b
，则
11
?
，取
a?1,b??1

不成立

ab
B.
若< br>a>b
，则
a
2
?b
2
，取
a?0,b?? 1

不成立

C.
若
a>b
，
c?d< br>，则
a?c>b?d
，正确

D.
若
a>b
，
c>d
，则
ac>bd
，取
a?1,b??1,c?1,d?? 2

不成立

故答案选
C
【点睛】

本题考查了不等式的性质，找出反例是解题的关键
.
10
．
D
【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：

由题意
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
3
是
3
和
3
的等比中项，即a
b
?
3
?
2
?3
a
?3
b
?3?3
a?b
?1?a?b
，
则
?
b4a
b4ab4a
?
14
??
14
?
时，即
b?2a
时取等
?
?
?1?
?
?
?
?(a+b)= 5+??5?2??9
，当且仅当
?
ab
abab
?
ab< br>??
ab
?
号．

考点：重要不等式，等比中项

11
．
A
【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：由诱导公式
sin210?sin180?30
考点：诱导公式．

12
．
C
【解析】

由题意，得
与
考点：新定义题目
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
2?
为递增数列，为递减数列，且当时，；而与

?
?
??
?
??sin30
?
1
??
，故选
A
．

2
均为递减数列，所以排除
A,B,D
，故选
C.
1

n
【解析】

【分析】

利用累加法和裂项求和得到答案
.
【详解】

a
n
?a
n?1
?
111
??

n(n?1)n?1n
a
n
?(a
n
?a
n?1
) ?(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n?2
?a
n? 3
)?...?(a
2
?a
1
)?a
1

a
n
?
1111111
????...???1?2?

n?1nn?2n?112n
1

n
当
n?1
时满足

故答案为
2?
【点睛】

本题考查了数列的累加法，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用
.
2
?
14
．
?
?2,
【解析】

【分析】

对
f
?
x
?
进行整理，得到正 弦型函数，然后得到其值域，得到答案
.
【详解】

f
?
x
?
?3sinx?cosx

?
3
?
1
?2
?
?
2
sinx?
2
c osx
?
?

??
?
??
?2sin
?< br>x?
?
，

6
??
因为
sin
?< br>x?
?
?
?
?
?
?
?
?1,1?

6
?
2
?
.
所以
f
?
x
?
的值域为
?
?2,
2
?

故答案为：
?
?2,
【点睛】

本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题
.
15
．
1?2

【解析】

【分析】

先利用正弦定理求出
c=2,
分析得到当点C
在
AB
的垂直平分线上时，
AB
边上的高最大，
?A BC
的面积最
大，利用余弦定理求出
a?
【详解】

由A?B?3C
可得
C?45?
，由正弦定理，得
故
c?22?s in45??2
，

当点
C
在
AB
的垂直平分线 上时，
AB
边上的高最大，
?ABC
的面积最大，此时
a?b
.
由余弦定理知，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?2?2a?4
，即
a?
故
?ABC
面积 的最大值为
4?22
，最后求
?ABC
面积的最大值
.
c
?22
，

sinC
??
2
4?22
，

112
absinC??(4?22)??1?2
.
222
故答案为
1?2

【点睛】

本题主要考查 正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平，属于中 档题
.
16
．
1?
11
??
23
?1n?2
?

n
22
【解析】

【分析】

观察三个已知式子的左边和右边，第
1
个不等式左边1
1
1
1
可改写成
1
；第
2
个不等式 左边的可改写成
2
，
2
2
4
2
右边的
2< br>可改写成
【详解】

1
4
1
；第
3
个不等式的左边可改写成
3
；据此可发现第
n
个不等式的规律
.
2
8
2
观察三个已知式子的左边和右边，

13
?
，

1
22
1114
第
2
个式子可改写为：
1???
2
?
，

23221115
第
3
个式子可改写为：
1????
3
?
，

2322
第
1
个式子可改写为：
1?
所以可归纳出第
n
个不等式是：
1?
故答案为：
1?
【 点睛】

本题考查归纳推理，考查学生分析、解决问题的能力，属于基础题．

11
??
23
11
??
23
1n?2
?
n
?
.
22
?
1n?2
?
.
2
n
2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．（
1
）
?
【解析】

【分析】

（
1
）由函数的性质知，
f
?
x
?
关于直线
x?
?
5
?
3
?
?
，
?
k
?
?,k
?
?
?
?
(k?Z)
；（
2
）
2.
88
4
??
?
8
对称，又函数
f
?
x
?
的周期
T?π
，两个条件两个未知数，
列两个方程，所以可以求出
?
,
?
，进而得到
f
?
x
?
的解析式，求出
f
?
x
?
的递增区间；

（
2
）求出
f
?x
?
??3
的所有解，再解不等式，即可求出
?
的最小值．
【详解】

（
1
）
∴
2
?
T?
?
,?T?
?
?
?
2
?
π
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?2
，由
f
?
?x
?
?f
?
?x
?
知，
∴
对称轴
x?

?
8
?
8
? ?
8
?
3
?
，

4
?
8
?
2
?k
?
，又
?
?
?
?
?0, ?
?
??
3
??
?f(x)?3sin
?
2x?< br>?
?
,
4
??
由
2k
?
?
?
3
?
?
5
?
?2x?
?
?2k
?
?(k?Z)
，得
k
?
??x?k
?
?(k? Z)
，

24288
?
5
??
k
?
?,k
?
?
?
?
(k?Z)
；

fx< br>函数
??
递增区间为
?
88
??
（
2
）由于
?
?0,f(x)?3sin
?
x
，
f
?
x
?
在
?
?
?
??
?
,
?
上的最小值为
?3
，

44
??
所以
?
x??
?
2
?2k
?
，即
?
x?
?
2
?2k
?
?
,?
?
4
?
?< br>?
2
?2k
?
?
?
?
，

4
所以
?
?
?
?2?8k
.k?0，
?
? 2
，所以
?
min
?2
.
?
?
?8k?2
【点睛】

本题主要考查三角函数解析式、 单调区间以及最值的求法，特别注意用代入法求单调区间时，要考虑复合
函数的单调性，以免求错．
18
．
(1)
见解析；
(2)
x?0.015

；
1350
人；
(3)
平均体重为
59.6kg
.
【解析】

【分析】

（
1
）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生， 高一女生，高二男
生，高二女生，高一男
44
人，高一女
52
人，高 二男
34
人，高二女
30
人，由此能求出结果．（
2
）体重 在

70~80
之间的学生人数的率
p
1
?0.15
，从而
x?
0.15
?0.015
，体重在[45
，
75)
内人数的频率为
0.675
，
10由此能求出估计全体非毕业班学生体重在
[45
，
75]
内的人数．（< br>3
）设高一全体学生的平均体重为：
x
1
?58.50kg
， 频率为
1200800
?60%
，高二全体学生的平均体重为
x
2< br>?61.25kg
，频率为
?40%
，由此
20002000
能估计全体非毕业班学生的平均体重．

【详解】

（
1
）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：

高一男生、高一女生、高二男生、高二女生

550650
?160?44< br>人
,
高一女：
?160?52
人

20002000
425375
?160?34
,
高二女：
?160?30
人

高二男：
20002000
高一男：
可能的方案一
:
按性别分为两层，男生与女生

男 生人数：
9751025
?160?78
人
,
女生人数：
? 160?82
人

20002000
1200800
?160?96
人
,
高二人数：
?160?64
人

20002000
可能的方案二：按年级分为两层，高一学生与高二学生

高 一人数：
（
2
）体重在
70-80
之间学生人数的频率：

P
1
=1-(0.075+0.2+0.275+0.225+0.05+0.025 )=0.15

x?
0.15
?0.015

10
体重在
[45,75)
内人数的频率为：
P
2
=0.1+0.275 +0.225+0.075=0.675

∴
估计全体非毕业班学生体重在
[ 45,75]
内的人数为：
2000?0.675?1350
人

（
3
）设高一全体学生的平均体重为
x?58.5kg
，频率为
P1
?
高二全体学生的平均体重为
x?61.25kg
，频率为
P
1
?
则估计全体非毕业班学生平均体重为
x
总


x
总
?x
1
?P
1
?x
2
?P< br>2
?58.50?60%?61.25?40%?59.6kg
答：估计全校非毕业班学 生平均体重为
59.6kg
.
【点睛】

本题考查频率分布直方图 、频率、分层抽样、平均数等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

19
．（
1
）
1200
?60%

2000
800
?40%

2000
?
；（
2
）
7.
3
【解析】

分析：（
1
）由三角形面积公式和已知条件求 得
sinA
的值，进而求得
A
；（
2
）利用余弦定理公式和 （
1
）中

求得的
A
求得
a
．

详解：（
1
）
∵
S
?ABC
?
∴
sinA?
11
bc sinA

??3?8?sinA?63
，

22
3
，

2
∵
A
为锐角，

∴
A?
?
3
；

（
2
）由余弦定理得：

a?b?c?2bccosA

?
22
9?64?2?3?8?
1
?7
.
2点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题
. 对余弦定理
b
2
?c
2
?a
2
一定要熟记两种 形式：（
1
）
a?b?c?2bccosA
；（
2
）
cosA?
，同时还要熟练掌握运用
2bc
222
两种形式的条件
.
另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30,45,60
等特殊 角的三角
函数值，以便在解题中直接应用
.
20
．（
1
）
a
n
【解析】

【分析】

（
1
）利用
a
n
?
?
ooo
2
n1
n
2
?n
.
；（
2
）
a
n
?
2
n?1
?
S
n求出数列
{a
n
}
的通项公式；

S?Sn?2
n?1
?
n
（
2
）利用累加法求数列
{a
n}
的通项公式；

【详解】

解：（
1
）
S
n
?2
n
?1
①
1
当
n?1
时，
S
1
?2?1?1
即a
1
?1

n?1
当
n?2
时，
S
n?1
?2?1
②
nn?1n?1
①
减
②
得
a
n
?2?2? 2

经检验
n?1
时，
a
n
故
a
n
（
2
）
2
n1
成立

2
n1

a
n
?n?a
n?1
（
n?2
）

?a
n
?a
n?1
?n

……
a
4
?a
3
?4

a
3
?a
2
?3

a
2
?a
1
?2

将上述式相加可得
a
n
?a
1
?2?3?4??n

a
n
?a
1
?
?
2?n
??
n? 1
?

2
a
1
?1

n
2
?n

?a
n
?
2
【点睛】

本题考查作差法求数列的通项公式以及累加法求数列的通项公式，属于基础题
.
21
．（
1
）
?
?1
，
g(x)?2sin(?
5
??
?
x
?
?
,4k
?
?
?
，
k?Z
，对称中心
)
；（
2
）单调递增区间为< br>?
4k
?
?
33
?
23
?
为
(2k
?
?
【解析】

【分析】

2
?
,0)(k?Z)
.
3
（
1
）整理
f
?
x
?
可得：
f(x)?sin(2
?
x?
?
3
)
，利用其最小正周期为
?
即可求得：
?
?1
，即可求得：
x
?
?
f(x)?sin(2x?)，再利用函数图象平移规律可得：
g(x)?2sin(?)
，问题得解
. 3
23
（
2
）令
2k
?
?
?
2
?
x
??
x
?
??2k
?
?
，
k?Z
，解不等式即可求得
g
?
x
?
的单调递增区 间；令
??k
?
，
23
232
k?Z
，解方程即可 求得
g
?
x
?
的对称中心的横坐标，问题得解
.
【详解】

解：（
1
）
f(x)?
31
?
cos2
?
x?sin2
?
x?sin(2
?
x? )
，

223
由
2
?
?
?
,得
?
?1
.
2
?
所以
f(x)?sin( 2x?
?
3
)
.

于是
y?g(x)
图象对应的解析式为
g(x)?2sin(?
x
?
)
.
23
（
2
）由
2k
?
?
?< br>2
?
x
??
??2k
?
?
,
k?Z
得

232
4k
?
?
5
??
?x ?4k
?
?
，
k?Z

33
?
?
5
??
?
,4k
?
?
?
，
k?Z
.
33
?
所以函数
g(x)
的单调递增区间为
?
4k
?
?
由
2
?
x
?
??k
?< br>，解得
x?2k
?
?(k?Z)
.
23
3
所以
g(x)
的对称中心为
(2k
?
?
【点睛】

2
?
,0)(k?Z)
.
3
本题主要考查了二倍角公式、 两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能
力，属于中档题。

22
．
A?B?
?
3,
?

【解析】

【分析】

首先求出集合
A
，
B
，再根据集合的运算求出
A
【详解】

因为
lg
?
x?1
?
?lg
?
x?2
?
?lg4
的 解为
x?3
（
x??2
舍去）
,
所以
A?
?
3
?
，

又因为
2< br>1?2x
?
3
?
?
2
?
B
即可.
?
13
的解为
x?
，

42
所以
B?
??
，

?
3
?< br>?
2
?
所以
A?B?
?
3,
?
.
【点睛】

本题考查了集合的运算，对数与指数的运算，属于基础题
.
?
3
?
?
2
?

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知
a
是第二象限角
,
sina?
A
．
?
12

13
5
,则cosa?
（

）

13
5
5
B
．
?
C
．

13
13
D
．
12

13
2
．直线
?
?
x?1?2t
22
（
t是参数）被圆
x?y?9
截得的弦长等于（

）

?
y?2?t
B
．
A
．
12

5
910

5
C
．
92

5
D
．
125

5
3
．在锐角
A BC
中，若
sinA?
A
．
3
B
．
22

5
，
b?2
，
c?3
，则
a?
（

）

3
C
．
23
D
．
5

4
．如图，在长方体
ABCD?A
1B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
? 1
，
AB?AD?2
，
E
，
F
分别是
BC
，
DC
的中点
则异面直线
AD
1
与
EF< br>所成角的余弦值为（

）


A
．
10

5
B
．
15

5
C
．
3

5
D
．
4

5
5
．设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和，若
A
．
S
S
4< br>1
?
，则
8
?
（

）

S
8
5S
16
C
．
1

3
B
．
1

5
与直线
5

13
D
．
5

22
6
．已知直线
A
．
B
．

互相平行，则实数的值为（

）

C
．
D
．

7
．函数
y??sin2x
，
x?R
是

A
．最小正周期为
?
的奇函数

C
．最小正周期为
2
?
的奇函数

B
．最小正周期为
?
的偶函数

D
．最小正周期为
2
?
的偶函数

?
x? y?5
?
8
．设变量
x
，
y
满足约束条件
?
?x?y?1
，则目标函数
z?x?2y
的最大值为（

）

?
y?0
?
A
．
?1
B
．
5
C
．
8
D
．
9

9
．已知
AB
是圆
O
的一条弦，
AB?2
，则
AO?AB?
( )
A
．
?2
B
．
1
C
．
2
D
．与圆
O
的半径有关

10< br>．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为
“
连续整边三角形”
．下列说法正确的
是（

）

A
．
“
连续整边三角形
”
只能是锐角三角形

B
．
“
连续整边三角形
”
不可能是钝角三角形
< br>C
．若
“
连续整边三角形
”
中最大角是最小角的
2< br>倍，则这样的三角形有且仅有
1
个

D
．若
“
连续整边三角形
”
中最大角是最小角的
2
倍，则这样的三角形可能有
2
个

11
．已知点
A,B,C,D
均在球
O< br>上，
AB?BC?
则球
O
的体积为

A
．< br>3,
若三棱锥
D?ABC
体积的最大值为
AC?3
，
33
，
4
32
?

3
B
．
16
?
C
．
32
?
D
．
16
?

3< br>12
．已知
a
是第一象限角，那么
A
．第一象限角

C
．第一或第二象限角

二、填空题：本题共4小题
a
是（）

2
B
．第二象限角

D
．第一或第三象限角

13
．已知向量
a?(2,m)< br>，
b?(5,1)
，且
a?(a?b)
，则
m?
__ _____
．

14
．已知
a?0
，
b?0
，
a?b?1
，则
15
．数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,
161
?
的最小值为
______ ____.
ab
a
2
?2,a
3
?3,a
4?4,a
5
?5
，当
n?5
时，
a
n?1?a
1
?a
2
??a
n
?1
，
2?a
m
?a
1
2
?a
2
?
2
?a
m
成立？若存在，则在横线处直接填则是否存在不小于
2
的正整数
m
，使
a
1
?a
2
写
m
的值；若不存在 ，就填写
“
不存在
”_______.
16
．
a
2
＝
2a
1
，已知数列
{a
n
}
的前n
项和为
S
n
，满足：且
S
n
＝
n< br>a
n
+1
（
n≥2
），则数列
{a
n}
的通项公式为
_______
．
2
三、解答题：解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。
17
．如图，在平面直角坐标系
xoy
中， 点
A(0,3)
，直线
l:y?2x?4
，设圆
C
的半径为
1
，

圆心在
l
上
.

（
1
）若圆心
C
也在直线
y?x ?1
上，过点
A
作圆
C
的切线，求切线方程；

（
2
）若圆
C
上存在点
M
，使
MA?2MO
，求圆心
C
的横坐标
a
的取值范围
.
?
18．已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2< br>，
a
n
?a
n?1
?2?4nn?N,n?2
. < br>??
(1)
求数列
?
a
n
?
的通项公式:
(2)
设
b
n
?
1
2a
n
?1
，求数列
?
b
n
?
的通项公式及其前
n项和
T
n
.
19
．（
6
分）
△AB C
中，
a
＝
7
，
c
＝
3
，且（
1
）求
b
；

（
2
）求
∠A
．

sinC3
＝．

sinB5
20
．（
6
分）如图，在
△ABC
中，
A
（
5
，
–2
），
B
（
7
，
4
），且
AC
边的中点M
在
y
轴上，
BC
的中点
N
在
x轴上．


（
1
）求点
C
的坐标；

（
2
）求
△ABC
的面积．

21
．（< br>6
分）如图，在直角梯形
ABCD
中，
ABDC
，
? DAB?90
，
AB?2DC?4
，
AD?3
，记
AB?a
，
AD?b
.

（
1
）用
a
，
b
表示
AC
和
BD
；

（
2
）求
AC?BD
的值
.
22
．（< br>8
分）如果数列
?
a
n
?
对任意的
n?N< br>*
满足：
a
n?2
?a
n
?2a
n?1，则称数列
?
a
n
?
为
“
M
数列”.
*
（
1
）已知数列
?
a
n
?< br>是
“
M
数列
”
，设
b
n
?a
n?1
?a
n
,n?N
，求证：数列
?
b
n?
是递增数列，并指出
2
?
a
5
?a
4
?
与
a
4
?a
2
的大小关系（不需要证明）；

（
2
）已知数列
?
a
n
?
是首项为
1
，公差为
2d
的等差数列，
Sn
是其前
n
项的和，若数列
S
n
是
“
M
数列
”
，
求
d
的取值范围；

（
3
）已知数列
?
a
n
?
是各项均为正数的
“M
数列
”
，对于
n
取相同的正整数时，比较
u
n
?
和
v
n
?
??
a
1
?a3
?···a
2n?1
n?1
a
2
?a
4?···?a
2n
的大小，并说明理由
.
n



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
A
【解析】

cosα
＝
±
1?sin
2
?
＝
±
2
．
D
【解析】

【分析】

先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长
.
【详解】

1 212
，又
∵α
是第二象限角，
∴cosα
＝－
.
1313
?
x?1?2t
直线
?
（
t
是参数）， 消去参数化为普通方程：
x?2y?3?0
．

y?2?t
?
圆心
O
?
0,0
?
到直线的距离
d?
3
，

5
2
22
?
3
?
125
∴< br>直线被圆
x?y?9
截得的弦长
?2r?d?29?
??
?< br>5
.
?
5
?
22
故选
D
．

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题
.
3
．
D
【解析】

【分析】

由同角三 角函数关系式
,
先求得
cosA
,
再由余弦定理即可求得
a
的值
.
【详解】

因为
?ABC
为锐角三角形
,
sinA?
5

3
2
?
5
?
2

由同角三角函数关系式可 得
cosA?1?
?
?
?
3
?
?
3
??
又因为
b?2
,
c?3

由余弦定理可得
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

代入可得
a?4?9?2?2?3?
所以
a?
故选
:D
【点睛】

本题考查了同角三角函数关系式应用
,
余弦定理求三角形 的边
,
属于基础题
.
4
．
A
【解析】

【分析】

连结
B
1
D
1
,AB
1
，由
B
1
D
1
EF
，可知异面直线
AD
1
与
EF
所成角是
?AD
1
B
1
，分别求出
AD
1
,AB
1
,D
1
B
1< br>，
然后利用余弦定理可求出答案
.
【详解】

连结
B
1
D
1
,AB
1
，因为
B
1
D
1
EF
，所以异面直线
AD
1
与
EF
所成 角是
?AD
1
B
1
，在
AD
1
B
1
中，
2
2
?5

3
5

AD
1
?AA
1
2
?A
1
D
1
2?5
，
AB
1
?BB
1
2
?AB
2< br>?5
，
D
1
B
1
?C
1
B
1
2
?C
1
D
1
2
?22
，所以
cos?AD
1
B
1
?
故选
A.
5?8?510
.
?
5
25?22

【点睛】

本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题
.
5
．
D
【解析】

【分析】

根据等差数列片断和的性质得出
S
4
、
S
8
?S
4
、
S
12
?S
8
、< br>S
16
?S
12
成等差数列，并将
S
8
和< br>S
16
都用
S
4
表
S
8
示，可得出 的值．

S
16
【详解】

根据等差数列的性质，若数列< br>?
a
n
?
为等差数列，则
S
4
,S
8
?S
4
,S
12
?S
8
,S
16
?S
12
也成等差数列；又
S
4
1
?
，则数列< br>S
4
,S
8
?S
4
,S
12
?S< br>8
,S
16
?S
12
是以
S
4
为首 项，以
3S
4
为公差的等差数列，则
S
8
5
S8
?5S
4
,S
16
?22S
4
,?
【点睛】

本题考查等差数列片断和的性质，再利用片断和的性质时，要注意下标之间的倍数关 系，结合性质进行求
解，考查运算求解能力，属于中等题．

6
．
A
【解析】

【分析】

根据两直线平性的必要条件可得
【详解】

直线与直线
，即
当
当
所以
故答案选
A
【点睛】

本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题。

7
．
A
【解析】

【分析】

判断函数 函数
y??sin2x
，
x?R
的奇偶性，求出其周期即可得到结论
.
时，直线分别为
时，直线分别为
；

，解得：
和
和
互相平行；

；

，平行，满足条件

，平行，满足条件；

，求解并进行验证即可。

S
8
5
?
，故选
D
．

S
16
22

【详解】

设
y?f
?
x
?
??sin2x,

则< br>f
?
?x
?
??sin2
?
?x
?
?sin2x??f
?
x
?
,

故函数函数
y?? sin2x
，
x?R
是奇
函数，由
T?
故选
A.
【点睛】

本题考查正弦函数的奇偶性和周期性，属基础题
.
8
．
C
【解析】

【分析】

作出可行域，利用平移法即可求出．

【详解】

2
?
?
?
,

故函数
y??sin2x< br>，
x?R
是最小正周期为
?
的奇函数
.
2
作出不等式组表示的平面区域，如图所示：

当直线
l:z?x? 2y
平移至经过直线
x?y?5?0
与直线
x?y+1=0
的交点< br>A
?
2,3
?
时，
z
取得最大值，
z
max
?2?2?3?8
．

故选：
C
．

【点睛】

本题主要考查简单线性规划问题的解法应用，属于基础题．

9
．
C
【解析】

【分析】

由数量积的几何意义，利用外心的几何特征计算即可得解
.
【详解】
AB
是圆
O
的一条弦
,
易知
AO
在
A B
方向上的投影恰好为
所以
AO·AB
=|
AO
||
AB
|=
【点睛】

1
AB?1
，

2
1
|AB|
2
=2.
故选
C.
2
本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题
.

10
．
C
【解析】

【分析】

举例三边长分别是
2,3,4
的三角形是钝角三角形，否 定
A
，
B
，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三
角形，从而可确 定
C
、
D
中哪个正确哪个错误．

【详解】
2
2
?3
2
?4
2
1
三边长分别是
2 ,3,4
的三角形
,
最大角为
?
，则
cos
?????0
，
?
是钝角 ，三角形是钝
2?2?34
角三角形，
A
，
B
都错，

如图
?ABC
中，
AC?n,BC?n?2,AB?n?1
，
?BAC?2?ABC
，
AD< br>是
?BAC
的平分线，则
CACD
CA
2
n
2
?
，
∴
CD?
，

?CAD??BAD??AB C
，
∴
?CAD∽?CBA
，
?
CACA
CBn? 2
n
2
4n?4
，

BD?n?2??
n?2n? 2
又由
AD
是
?BAC
的平分线，得
ABBDn?14n? 4
??
，
∴
，解得
n?4
，

ACBCn n
2
∴“
连续整边三角形
”
中最大角是最小角的
2
倍的三角形只有一个，边长分别为
4
，
5
，
6
，
C
正确，
D
错误．

故选
D
．


【点睛】

本题考查余弦定理，考查命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题 ，只要举一个反例即可，而要
说明它是真命题，则要进行证明．

11
．
A
【解析】

【分析】

设M
是
?ABC
的外心，则三棱锥
D?ABC
体积最大时，
DM?
平面
ABC
，球心
O
在
DM
上．由此可< br>计算球半径．

【详解】

如图，设
M
是
? ABC
的外心，则三棱锥
D?ABC
体积最大时，
DM?
平面
ABC
，球心

O
在
DM
上．

3
3
，即
?BCA?30???BAC
，

∵BA?BC?3,AC?3
，
∴
cos?BCA?
2
?
2
3
1AB13
BM?????3
∴
．

1
2sin?BCA2
2
又
S
?ABC
?
13313333
，
∴
?
，
DM?3
．

?3?3sin3 0???DM?
24344
∵
DM?
平面
ABC
，
∴
DM?BM
，设球半径为
R
，

则由
BM
2
?OM
2
?OB
2
得
(3)
2
?(3 ?R)
2
?R
2
，解得
R?2
，

∴
球体积为
V?
故选
A
．

4
3
432
?
?
R?
?
?2
3
?
．< br>
333

【点睛】

本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．

12
．
D
【解析】

【分析】

根据象限角写出
【详解】

依题意得
2k
?
?a?2k
?
?
则
k?
?
aa
的取值范围，讨论即可知在第一或第三象限角

22
?
2
(k?Z)
，

a
?
?k
?
?(k?Z)
，

24

a
是第一象限角

2
a
当
k?2n+1，n?Z

时，是第三象限角

2
当
k?2n，n?Z

时，
【点睛】

本题主要考查象限角，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题
13
．
-2
或
3
【解析】

【分析】

用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果
.
【详解】

由题意得：
a?b?
?
?3,m?1
?

a?a?b

?a?a?b??6?m
?
m?1
?
?0

?m??2
或
3

本题正确结果：
?2
或
3

【点睛】

本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题
.
14
．
25
【解析】

【分析】

变形
????
161
?
161
?
16ba
??
?
?
?
?a?b
?
?17??
后，利用基本不等式可得
.
ab
?
ab
?
ab
【详解】

161?
161
?
16ba
16ba
??
?
?
?
?
a?b
?
?17??
?17?2??17?2?4?25
ab
?
ab
?
ab
ab
当且仅当
a
2
?16b
2
，即
a?
故答案为：
25
【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题
.
15
．
70
【解析】

【分析】

22
构造数列
b
n
?(a
1
?a
2
?
2
?a
n
)?a
1
?a
2
1
4
，
b?

时取等号
.
5
5
?a
n
，

22
两式
b
n
?(a
1
?a
2
?2
?a
n
)?a
1
?a
2
2
?an
与
b
n?1
?(a
1
2
?a
2?
2
?a
n?1
)?a
1
?a
2
?a
n?1
相减可得数列
{
b
n
}
为等差数列，求出< br>b
n
，让
b
n
=0
即可求出
m
.
【详解】

22
设
b
n
?(a
1
?a
2
?
2
?b
n?1
?(a
1
2
?a
2
?
2
?a
n
)?a
1
?a
2
2
?a
n?1
)?a
1
?a
2
?a< br>n

?a
n?1

?a
n?1
)(a
n
?1）

2
（a1
?a
2
两式相减得
b
n
?b
n?1
?a
n
?
又
a
n?1
?a
1
?a
2
??a
n
?1

222
b
n
?b
n?1
?a
n
?(a
n
?1)(a
n
?1)?a
n
?a
n
?1?1

数列
{b
n
}
从第
5
项开始为等差数列，由已知 易得
b
1
,b
2
,b
3
,b
4
均 不为
0
b
5
?25?16?9?4?1?120??65

?b
n
?b
5
?(n?5)d??65?n?5?n?70

所以当
n=70
的时候
a
1
?a
2
【点睛 】

22
如果递推式中出现和的形式，比如
a
1
?a
2
?
2
?a
n
，可以尝试退项相减，即让
n
取< br>n?1
后，两式作差，
2
?a
m
?a
1
2< br>?a
2
?
2
?a
m
成立，故答案填
70.
和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。

?
1(n?1)
16
．
a
n
?
?

2(n?1)(n?2)
?
【解析】

【分析】

推导出
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2×1
＝
2
，当
n≥2
时，
a
n
＝
S< br>n
﹣
S
n
﹣
1
?
法能求出数列
{a
n
}
的通项公式．

【详解】

∵
数列< br>{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满足 ：
a
2
＝
2a
1
，且
S
n
?∴a
2
＝
S
2
﹣
S
1
＝
a< br>2
+1
﹣
a
1
，

解得
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2×1
＝
2，

∴
S
3
?1?2?a
3
?
an
n?1
nn?1
?
a
n
?a
n?1
，即，由此利用累乘
an?2
22
n?1
n
a
n
?
1
（
n≥2
），

2
3
a
3?1
，解得
a
3
＝
4
，

2
4
S
4
?1?2?4?a
4
?a
4
?1
， 解得
a
4
＝
6
，

2

当
n≥2
时，
a
n
＝
S
n
﹣
S
n
﹣
1
?
a
n
n ?1
nn?1
?
a
n
?a
n?1
，即，

an?2
22
n?1
?
a
n
?
2
?
2
?
3
?
a
n?1
12
∴n≥2
时，
a
n
?a
2
?
a
3
a
4< br>??
a
2
a
3
?
n?1
?
2n﹣
2
，

n?2
∴
数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
?
?
1，n?1
．

?
2n?2，n?2
?
1，n?1
故答案为：
a
n
?
?
．

2n?2，n?2
?
【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，考 查数列的通项公式与前
n
项和公式的关系，考查运算求解能力，分类
讨论是本题的易错 点，是基础题．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17< br>．（
1
）
y?3
或
3x?4y?12?0
；（
2
）
[0,
【解析】

【分析】

（
1
）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆
C
的半径为
1
，可得圆的 方程，根据点到直线距离公式，
列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（
2
）根据 圆
C
的圆心在直线
l
：
y?2x?4
上可设圆
C< br>的方程
为
(x?a)
2
?
?
y?(2a?4)
?
?1
，由
MA?2MO
，可得
M
的轨迹方程为
x?(y?1)?4
，若圆
C
上存
22
12
]
.
5
2
在点
M
，使
MA?2MO
，只需两圆有公共点 即可
.
【详解】

（
1
）由
{
y?2x ?4,
y?x?1,
得圆心
C(3,2)
，

∵
圆
C
的半径为
1
，

∴
圆C
的方程为：
(x?3)
2
?(y?2)
2
?1
，

显然切线的斜率一定存在，设所求圆
C
的切线方程为
y?kx ?3
，即
kx?y?3?0
．

∴
3k?2?3
k?1
2
?1
，

3
．

4
∴
2k(4k?3)?0
，
∴< br>k?0
或
k??
∴
所求圆
C
的切线方程为
y ?3
或
3x?4y?12?0
．

（
2
）
∵
圆
C
的圆心在直线
l
：
y?2x?4
上，所以， 设圆心
C
为
(a,2a?4)
，

则圆
C
的方程为
(x?a)
2
?
?
y?(2a?4)
?
? 1
．


2

又
∵
MA?2MO
，

∴
设
M
为
(x,y)
，则
x
2
?(y?3)
2
?2x
2
?y
2
，整理得
x
2
?(y?1)
2
?4
，设为圆
D
．

所以点
M
应该既在圆
C
上又在圆
D
上，即圆
C
和圆
D
有交点，

∴
2?1?a
2
?
?
(2a?4)?(?1)
?< br>?2?1
，

2
由
5a
2
?12a?8?0
，得
a?R
，

由
5a
2
?12a?0< br>，得
0?a?
12
．

5
综上所述，
a的取值范围为
?
0,
?
12
?
．

?
5
?
?
考点：
1
、圆的标准方程及切线的方程；
2
、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用
.
【方法点睛】

本 题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用
.
属于难题
.
转化与
划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数 学思想之一，尤其在解决知
识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速 度
.
运用这种方法的关键是
将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点
.< br>以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，
希望同学们能够熟练掌握并应用于解题 当中
.
本题（
2
）巧妙地将圆
C
上存在点
M
，使
MA?2MO
问题转
化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在
.
2
18
．
(1)
a
n
?2n
(2)
b
n
?
1
?
2n?1
??
2n?1
?
，
T
n
?
n

2n?1
【解析】

【分析】

(1)
a
n
?a
n?1
?2?4nn?N,n?2
利用累加法得到答案
.
(2)
计算
b
n
?
【详解】

(1)
由题意可知

?
?
?
111
(?)
，利用裂项求和得到前
n
项和
T
n
.
22n?12n?1
a
n
?a
n?1
?4n?2

a
n?1
?a
n?2
?4n?6

a
n?2
?a
n?3
?4n?10

???

a
2
?a
1
?6

a
1
?2

左右累加得
a
n
?2?6?????4n?6?4n?2
?
?
2?4n?2< br>?
?2n
2
.
2
(2)
b
n
?
1
2a
n
?1
?
1
?
2n?1
? ?
2n?1
?
?
111
(?)

22n?12n? 1
11111111n
T
n
?(1?????????)?(1?)?
.
23352n?12n?122n?12n?1
【点睛】

本题考查了数列的累加法，裂项求和法，是数列的常考题型
.
19
．（1
）
b?5
；（
2
）
∠A
＝
120° .
【解析】

【分析】

由正弦定理求得
b
，由 余弦定理求得
cos∠A
，进而求出
∠A
的值．

【详解】

（
1
）由正弦定理得
c
b
＝可得，

si nB
sinC
csinC35?3
＝＝，所以
b
＝＝
1．

bsinB53
（
2
）由余弦定理得

1
c
2
?b
2
?a
2
9?25?49
??
cosA
＝＝＝
?
，又因为
A?
?
0,180?
，

2?3?5
2
2?c?b
所以
∠A＝
120°
．

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定 理的应用，属基础题，根据正弦定理求出
b
的值，是解题的关键．

20
．（
1
）（
–5
，
–4
）

（
2
）
28

【解析】

【分析】

（
1
）设点
C
?
x,y
?
，根据题意写出关于
x,y
的方程组，得到
C
点坐标；（
2
）由两点间距离公式求出
AB
，
再由
A,B
两点得到直 线
AB
的方程，利用点到直线的距离公式，求出点
C
到
AB
的距离，由三角形面积
公式得到答案
.
【详解】

（
1< br>）由题意，设点
C
?
x,y
?
，

根据AC
边的中点
M
在
y
轴上，
BC
的中点
N
在
x
轴上，

?
x?5
?0
?
?
x??5
?
2
根据中点公式，可得
?
，解得
?
?
y??4
?
y?4
?0?
?
2
所以点
C
的坐标是
?
?5,?4
?
．

（
2
）因为
A
?
5,?2
?
，
B
?
7,4
?

得
AB
?(7?5)
2
?(4?2)
2
?210
．

，

k
AB
?
4?2
?3
，
< br>7?5
所以直线
AB
的方程为
y?2?3(x?5)
，即3x?y?17?0
，

故点
C
到直线
AB
的 距离
d?
?15?4?17
10
?
28
，

10
所以
?ABC
的面积
S?
【点睛】

1128
AB?d??210??28
．

22
10
本题考查中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，属于简单题
.
21
．（
1
）
AC?
【解析】

【分析】

（
1
）根据向量的线性运算可直接求解得到结果；

（
2
）将所求数量积转化为
?
【详解】

（
1
）
1
a?b
，
BD?b?a
；（
2
）
1
2
?
1
?
a?b
?
?b?a
，根据数量积运算性质求得结果
.
?
2
?
??
1
AB

2
11?AC?AD?DC?AD?AB?a?b
，
BD?AD?AB?b?a

22
AB?2DC

?DC?
（
2
）由（< br>1
）得：
AC?BD?
?
【点睛】

2
1< br>2
1
?
1
?
a?b
?
?b?a?b?a?a ?b?9?8?1

22
?
2
?
??
本题考查利用 基底表示向量、平面向量数量积的求解问题；关键是能够熟练掌握平面向量的线性运算和数
量积运算的性 质
.
22
．（
1
）
2(a
5
?a
4
)?a
4
?a
2
；（
2
）
d?(?? ,?)?(0,??)
（
3
）
u
n
?v
n
，证明见解析
.
【解析】

3
5

【分析】

（
1
）由新定义，结合单调性 的定义可得数列
{b
n
}
是递增数列；再根据
a
5
?2a
4
?a
3
，
a
4
?2a
3
?a
2
，可
得
2(a
5
?a
4
)?a4
?a
2
；

（
2
）运用新定义和等差数列的 求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围；

（
3
）对一切
n? N*
，有
u
n
?v
n
．运用数学归纳法证明，注意验证n?1
成立；假设
n?k
不等式成立，
注意变形和运用新定义，即可得证 ．

【详解】

（
1
）证明：数列
{a
n
}
是
“
M
数列
”
，可得
a
n?2
?a
n
?2a
n?1
，

即
a
n ?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
，即
b
n?1
?b
n
，

可得数列
{b
n
}
是递增数列，

2(a
5
?a
4
)?a
4
?a
2
.
（
2
）数列
{|S
n
|}
是
“
M
数列
”
，

可得
|S
3
|?|S
2
|?|S
2
|?|S
1
|
，

即
|S
1< br>|?|S
3
|?2|S
2
|
，

可得
1?|3?6d|?2|2?2d|
，

11
???
d??1
?
?1?d??
?
d??
即有
?< br>，或
?
，或
?
，

22
1?3?6d??4 ?4d
?
??
?
1?3?6d?4?4d
?
1?3?6d? 4?4d
即
d??1
或
?1?d??
3
或
d?0< br>，

5
所以
d?(??,?)?(0,??)
.
（
3
）数列
{a
n
}
是各项均为正数的
“
M
数列
”
，

对于
n
取相同的正整数时，
u
n
?
运用数学归纳法证明：

3
5
a
1< br>?a
3
??a
2n?1
a?a?
?v
n
?< br>24
n?1n
?a
2n
，

a
1
? a
3
，
v
1
?a
2
，显然
a
3< br>?a
2
?a
2
?a
1
即
u
1
?v
1
．

2
a?a
3
??a
2k?1
a
2
?a
4
??a
2k
?
设
n? k
时，
u
k
?v
k
．即
1
，
< br>k?1k
当
n?1
时，
u
1
?
可得
k(a
1
?a
3
??a
2k?1
)?(k?1)(a
2
?a
4
??a
2k
)
，

当
n?k?1
时，即证
a
1
?a
3
??a
2k?1< br>?a
2k?3
a
2
?a
4
??a
2k
?a
2k?2
?
，

k?2k?1

即证
(k?1)(a
1
?
由
(k ?1)(a
1
?
?a
2k?1
?a
2k?3
)?( k?2)(a
2
?a
4
??a
2k
?a
2k?2< br>)
，

?a
2k?1
?a
2k?3

?a
2k?1
?a
2k?3
)?k(a
1
?a
3
???a
2k?1
)?ka
2k?3
?a
1
??a
2k
)?ka
2k?3
?a
1
??a
2k ?1
?a
2k?3
，

?(k?1)(a
2
?a
4
?
即证

(k ?1)(a
2
?a
4
??a
2k
)?ka
2k?3
?a
1
??a
2k?1
?a
2k?3
?(k?2) (a
2
?a
4
?
?a
2k
?a
2k?2< br>，

?a
2k
?a
2k?2
)

即 证
(k?1)a
2k?3
?a
1
??a
2k?1
? (k?1)a
2k?2
?a
2
?a
4
?
由
a
1
?a
2k?3
?a
2
?a
2k?2
，
a
3
?a
2k?3
?a
4
?a
2k?2< br>，
?
，
a
2k?3
?a
2k?1
?a
2k?2
?a
2k?2
，

相加可得
(k?1)a
2k?3
?a
1
??a
2k?1
?(k?1)a
2k?2
?a
2
?a
4
??a
2k
?a
2k?2< br>，

则对一切
n?N*
，有
u
n
?v
n
．

【点睛】

本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调 性的证明和等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归
纳法的应用，考查化简整理的运算能力，属于难 题．