2023届湖北省咸宁市新高考高一数学下学期期末复习检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（

）
.

x
?
)

26
3x3
?
?)
C
．
y??2sin(
24
A
．
y?2sin(?
2
．如图，是上一点，分别以
5
?
)

12
3x
?
D
．
y??2sin(?)

24
B
．
y?2sin(?
x
2
为直径作半圆，从作，与半 圆相交于，，
，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（

）


A
．
B
．
C
．
D
．

3
．在锐角
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
a?2bsinA
，则
B
等于（

）

A
．
75?
B
．
60?
C
．
45?
D
．
30

4
．在边长为< br>2
的菱形
ABCD
中，
?BAD?60
?
，
E
是
BC
的中点，则
AC?AE?

A
．
3?3

3
B
．
9

2
C
．
3
D
．
9

5
．已知圆锥的底面半径为
1
，母线与底面所成的角为
A
．
23
?
B
．
2
?

?
，则此圆锥的侧面积为（

）

3
D
．
?
C
．
3
?

6
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A
．
64?
4
?

3
B
．
64?
8
?

3
C
．
64?
16
?

3
D
．
64?8
?

）

D
．
150
0

7
．若直线经过点
??1,2
?
,?4,2?3
，则此直线的倾斜角是（

A
．
45
0
B
．
60
0
C
．
120
0

??
8
．若直线
l
1
:(m?2)x?y?1?0
与直线
l
2
:3x?my?0互相平行，则
m
的值等于（

）

A
．
0
或
?1
或
3
9
．已知函数
B
．
0
或
3
，且实数
C
．
0
或
?1

，满足
D
．
?1
或
3
，若实数是函数
的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（

）

A
．
B
．
C
．
D
．

10
．若
a,b,c?R
，且
a?b
，则下列不等式中正确的是（

）

A
．
11
?

ba
B
．
a
2
?b
2
C
．
ac
a
?bc
b
D
．
a
3
?b
3

11
．半圆的直径AB?4
，
O
为圆心，
C
是半圆上不同于
A
、
B
的任意一点，若
P
为半径
OC
上的动点，则
?< br>PA?PB
?
?PC
的最小值是（

）

A
．
2
12
．函数，
B
．
0 C
．
-2
，若存在
D
．
4
，，使得
成立，则的最大值
为（

）

A
．
12 B
．
22 C
．
23 D
．
32
二、填空题：本题共4小题
13
．若函数
f< br>?
x
?
?mx?x?1
有两个不同的零点，则实数
m
的取值范围是
______.
a
n
?a
n?1
?
14
．数列
?
a
n
?
满足
a
1
? 1
，
1
（
n2
且
n?N
*
），则数列?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
___ _____.
n(n?1)
15
．已知当
x?
?
时，函数
f(x)?(a?1)sin
xxx
cos?(a?1)cos
2
? a
2
?2
（
a?R
且
a?1
）取得最大
2 22

值，则
tan
?
??2
时 ，
a
的值为
__________
．

16
．已知
a,b
为直线，
?
为平面，下列四个命题：
①
若
a b,a
?
，则
b
?
；
②
若
a
?< br>,b?
?
，则
ab
；
③
若
a?
?< br>,b?
?
，则
a?b
；
④
若
a?
?
,ab
，则
b?
?
.
其中正确命题的序号是
___ ___
．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．已知两点
A(?4,3)
，
B(3,2)
.
（
1
）求直线
AB
的方程；

（
2
）直线
l
经过
P(0,?1)
，且倾斜角为
?
，求直线< br>l
与
AB
的交点坐标
.
4
18
．已知函数
f
?
x
?
?sinx?3cosx.

(1)
求
f(x)
的最值、单调递减区间；

（
2
）先把
y?f(x)
的图象向左平移
π
个单位，再把图象上所有点的 横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标不
3
π
变），得到函数
y ?g(x)
的图象，求
g()
的值
.
6
19
．（
6
分）已知定义在
R
上的函数
f
?
x
?< br>?Asin
?
?
x?
?
??
x?0,A?0
?
的图象如图所示


（
1
）求函数
f
?
x
?
的解析式；

（
2
）写出函数
f?
x
?
的单调递增区间

（
3
）设不相等的实 数，
x
1
,x
2
?
?
0,
?
?< br>，且
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
??2
，求
x
1
?x
2
的值
.
20
．

（
6
分）一盒中装有
12
个 球，其中
5
个红球，
4
个黑球，
2
个白球，
1个绿球．从中随机取出
1
球，求：
(1)
取出
1
球是红 球或黑球的概率；

(2)
取出
1
球是红球或黑球或白球的概率．

21
．（
6
分）如图，边长为
2
的正方形
ABCD
中，

（
1
）点
E
是
AB
的中点，点
F
是
BC
的中点，将
于点
A
?
．求证：
A
?
D?EF

（
2
）当
BE?BF?
分别沿
DE,DF
折起，使
A,C
两点 重合
1
BC
时，求三棱锥
A
?
?EFD
的体积．< br>
4
3
，
BD?6
. 22
．（
8
分）如图，在四边形
ABCD
中，
?A?60?
，
?ABC?90?
，已知
AD?

（
1
）求
sin?ABD
的值；

（
2< br>）若
CD?2
，且
CD?BC
，求
BC
的长
.



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
C
【解析】

试题分析：由图象可得最大值为
2
，则
A=2
，周期
T?
7
?
?
??
4
2
?
3
?
?
?
?
??
，
∴
?
??

6
?
6
?< br>3
T2
∴
y?2sin
?
?
3
?
x ?
?
?
，

?
2
?
3
?
?
?
?
?
??
3
???
?
?0?
?
?y?2sinx?
又
x??
，是五点法中的第一个点，
∴
，
∴
????

2
?
6
?
44
?
6
?
2
?
把
A,B
排除，

对于
C
：
y??2sin
?
3< br>?
?
3
x?
4
?
2
??
???3
??
3
??2sinx??
?
?2sinx?
??? ??
，故选
C
2424
?????
考点：本题考查函数
y ?Asin
?
?
x?
?
?
的图象和性质

点评：解决本题的关键是确定
A,
?
,
?
的值

2
．
C
【解析】

【分析】

求得阴影部分的面积和最大的半圆的面积，再根据面积型几何概型的概率计算公式求解
.
【详解】

连接，


可知是直角三角形，又
，则 有
，所以
，得
，故概率
，所以
．故选
C
，设

，由此可得图中阴影部分的面
积等于
【点睛】
本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法，当试验结果所构成的区域可用面积表示，用面积比计算概率
.
涉及了初中学习的射影定理，也可通过证明相似，求解各线段的长
.
3
．
D
【解析】

【分析】

由正弦定 理将边化角可求得
sinB
，根据三角形为锐角三角形可求得
B
.
【详解】

由正弦定理得：
sinA?2sinBsinA

1
?
?
?
A?
?
0,
?

?sinA?0

?sinB?

2
?
2< br>?
?
?
?
?
B?
?
0,
?

?B?
，即
B?30

6
?
2
?
故选：
D

【点睛】

本题考查正弦定理边化角的应用问题，属于基础题
.
4
．
D
【解析】

【分析】

选取向量
BA,BC
为基底 ，用基底表示
AC,AE
，然后计算．

【详解】

由题意
?ABC?120?
，
BA?BC?2?2?cos120???2
，

1
AC?AE?(BC?BA)?(BE?BA)?(BC?BA)?(BC?BA)

2
22
1313
?BC?BA?BC?BA??2
2
??( ?2)?2
2
?9
．

2222
故选
D
．

【点睛】

本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．

5
．
B
【解析】

【分析】


首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积
S?
?
rl
（其中
r为底面圆的半径，
l
为母线长），即可得到答案．
【详解】

由于圆锥的底面半径
r?1
，母线与底面所成的角为
?
，

3
所以母线长
故答案选
B
【点睛】

l?
r
cos
?
3
?
1
?2

，故圆锥的侧面积
S?
?
rl=2
?
；

1
2
本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即S?
?
rl
（其中
r
为
底面圆的半径，
l为母线长），属于基础题

6
．
B
【解析】

【分析】

该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解
.
【详解】

该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．

∴
该几何体的体积
V
?4??
?
?2?2?
64
?
?
．

故选：
B
．

【点睛】

本题考查了正方体与圆锥 的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．

7
．
D
【解析】

【分析】

先通过
k?
【详解】

3
1
3
2
8
3
y
2
?y
1
求出两点的斜率，再通过
k?ta n
?
求出倾斜角
?
的值。

x
2
?x1
k?
y
2
?y
1
2+3?23
3
= ??
，
tan
?
??,
?
?[0?,180?)?
?
?150??
选
D.
x
2
?x
1
?4?(?1)3
3
【点睛】

先通过
k?
况。

8
．
D
【解析】

【分析】

根据直线的平行关系，列方程解参数即可
.
【详解】

由题：直线
l
1
:(m?2)x?y?1?0
与直线
l
2
:3 x?my?0
互相平行，

所以
?m
?
m?2
?< br>??3
，
m
2
?2m?3?0
，解得：
m?3
或
m??1
.
经检验，当
m?3
或
m??1
时，两条直线均平行
.
故选：
D
【点睛】

此题考查根据直线平行关系求解参数的取值，需要熟记公式，注意考虑直线重合的情况
.
9
．
D
【解析】

【分析】

由函数的 单调性可得：当时，函数的单调性可得：（
a
），（
b
），（
c），即不满
y
2
?y
1
求出两点的斜率，再通过
k?t an
?
求出倾斜角
?
的值。需要注意的是斜率不存在的情
x
2
?x
1

足（
a
）（
b
）（
c
）
【详解】

因为函数
则函数
又实数
在
，得解．

，

为增函数，

，满足（
a
）（
b
）（
c
），

则（
a
），（
b
），（
c
）为负数的个数为奇数，

对于选项，，选项可能成立，

对于选项，

当时，

，（
b
）
，

，（
c
），
函数的单调性可得：（
a
）
即不满足（
a
）（
b
）（
c
）
故选项不可能成立，

故选：．

【点睛】

本题考查了函数的单调性，属于中档题．

10
．
D
【解析】

【分析】

利用不等式的性质依次对选项进行判断。

【详解】

对于
A
，当
a?b
，且
a,b
异号时，
11
?
，故
A
不正确；

ba
对于
B,
当
a?b
，且
a,b
都为负数时，
a
2
?b
2
，故
B
不正确；

对于
C,
取
a?0,b??1,c? ?1
，则
ac
a
?bc
b
，故不正确；

对于
D
，由于
a?b?(a?b)(a?ab?b)?(a?b)
?
(a?
3322
?
?
1
2
3
2
?
b)?b
?
，
a?b
，则
a?b?0
，所以
24< br>?
a
3
?b
3
?0
，即
a
3
?b
3
，故
D
正确；

故答案选
D
【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质，在 解决此类选择题时，可以用特殊值法，依次对选项进行排除。

11
．
C
【解析】

【分析】

将
PA?PB
转化为
2PO
，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值
.
【详解】

?
PO?PC
?
?
??2
,< br>等号在画出图像如下图所示，
PA?PB?PC?2PO?PC??2PO?PC
??2
?
??
2
??
2
??
PO?PC
，即P
为
OC
的中点时成立
.
故选
C.

【点睛】

本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用 基本不等式求最值，属于中档
题
.
12
．
B
【解析】

【分析】

由题得
构造，分析得到，即得解
.
，

【详解】

由得
，

令，

，，得
.
的最大值为
22.
故选：
B
．

【点睛】

本题考查函数的最值的求法，注意运 用转化思想，以及二次函数在闭区间上的最值求法，考查运算能力，
属于中档题．

二、填空题：本题共4小题
13
．
0,1

【解析】

【分析】

令
fx0
，可得
m x?x?1
，从而将问题转化为
y?mx
和
y?x?1
的图象有两个 不同交点，作出图
形，可求出答案
.
【详解】

由题意，令
f
?
x
?
?mx?x?1?0
，则
mx?x?1
，

则
y?mx
和
y?x?1
的图象有两个不同交点，

作出
y?x?1
的图象，如下图，

y?mx
是过点
O
?
0,0
?
的直线，当直线斜率
m?
?
0,1
?
时，
y?mx
和
y?x?1
的图象有两个交点
.
故答案为：
0,1
.

【点睛】

本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题
.
14
．
2?
1

n
【解析】

【分析】

利用累加法和裂项求和得到答案
.
【详解】

a
n
?a
n?1
?
111
??

n(n?1)n?1n

a
n
?(an
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)? (a
n?2
?a
n?3
)?...?(a
2
?a
1
)?a
1

a
n
?
1111111
????...???1?2?

n?1nn?2n?112n
1

n
当
n?1
时满足

故答案为
2?
【点睛】

本题考查了数列的累加法，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用
.
15
．
3
【解析】

【分析】

先将函 数
y?f
?
x
?
的解析式利用降幂公式化为
f
?< br>x
?
?
a?1a?1
sinx?cosx?

22< br>2a
2
?a?5
a
2
?12a
2
?a?5< br>，再利用辅助角公式化为
f
?
x
?
?
，其中

sin
?
x?
?
?
?
2
22
ta n
?
?
a?1
，由题意可知
?
与
?
的关系 ，结合诱导公式以及
tan
?
??2
求出
a
的值．

a?1
【详解】

xxx
f
?
x
?
?
?
a?1
?
sincos?
?
a?1
?
cos
2
?a
2
?2

222
a?11?cosxa?1a?12a
2
?a?5
2

?

sinx?
?
a?1
?
??a?5?sinx ?cosx?
22222
22
a?1
a?1
??
a?1?
2a
2
?a?5
?
tan
?
??0
，

?
?
，其中
?sinx?
?
?
??
???
a?1
2
?
2
??
2
?
当
x?
?
时，函数
y?f
?
x
?
取得最大值，则
?
?
?
?
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
，
?
?
?
?
?
?
2
?2k
?
，

?
??
sin
?
?
??2k
?
?
sin
?
2
????
cos
?
??
1
??
a?1
??2?所以，
tan
?
?
，

?
cos
?< br>sin
?
tan
?
a?1
??
cos
??
??2k
?
?
2
??
解得
a?3
， 故答案为
3
．

【点睛】

本题考查三角函数最值，解题时 首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为
y?Asin
?
?
x?
?
?
?b
的形式，本题中用到了
?
与?
之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，
属于中等题．

16
．
③④
【解析】

【分析】

①
和
②
均可以找到不符合题意的位置关系，则< br>①
和
②
错误；根据线面垂直性质定理和空间中的平行垂
直关系可知③
和
④
正确
.
【详解】

若
ab, a
?
，此时
b
?
或
b?
?
，
①< br>错误；

若
a
?
,b?
?
，此时
a b
或
a,b
异面，
②
错误；

由线面垂直的性质定 理可知，若
a?
?
,b?
?
，则
a?b
，
③
正确；

两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线必垂直于该平面，可知
④
正确

本题正确结果：
③④
【点睛】

本题考查空间中的平行与垂直关系相关命题的判断，考查学生对于平行与垂直的判定和性质的掌握情况
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．（
1
）
x?7y?17?0
；（
2
）
?
3,2
?
.
【解析】

【分析】

（
1
）根据
A
、
B
两点的坐标，得到斜率，再由点斜式得到直线方程；

（
2
）根据
l
的倾斜角和过点
P
，得到
l
的方程，再与直线
AB
联立，得到交点坐标
.
【详解】

（
1
）因为点
A(?4,3)
，
B(3,2)
，

所以
k
AB
?
2?31
??
，

3?
?
?4
?
7
所以
AB
方程为
y?2? ?
整理得
x?7y?17?0
；

1
?
x?3
?
，

7
（
2
）因为直线
l
经过
P(0,?1)
，且倾斜角为
?
，
4
所以直线
l
的斜率为
k?tan
π
?1< br>，

4
所以
l
的方程为
y?1?x
，整理得
x?y?1?0
，

?
x?y?1?0
所以直线
l
与直线
AB
的交点为
?
，

x?7y?17?0
?
解得
?
?
x?3
，

y?2
?

所以交点坐标为
?
3,2
?
.
【点睛】

本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题
.
18
．（< br>1
）
f(x)
max
?2
，
f(x)
min
??2
，单调递减区间为
[2k
?
?
（
2
）
2
.
【解析】

【分析】

（
1）函数
f
?
x
?
?sinx?3cosx?2sin(x??
6
,2k
?
?
7
?
],k?Z
；< br>
6
?
3
)
，得最大值为
2
，并解不等式< br>3
?
，得到函数的单调递减区间；

232
x2
?< br>?
)
，再把
x?
代入求值
.
（
2
）由平移变换、伸缩变换得到函数
y?g(x)?2sin(?
6
23
2k< br>?
??x??2k
?
?
【详解】

（
1）因为
f
?
x
?
?sinx?3cosx?2sin(x?所以当
x?
当
x?
??
?
3
)
，
?
3
?2k
?
?
?
2
,k?Z时，
f(x)
max
?2
，

?
3
? 2k
?
?
?
2
,k?Z
时，
f(x)
mi n
??2
.
?2k
?
?
3
??
7
?
?2k
?
??x?2k
?
?,k?Z
，

23266
?
7
?
],k?Z
.
所以函数
f(x)
的单调递减区间为
[2k
?
?,2k
?
?
66
π
2
?
)
，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来（
2
）
y?f(x)
的图象向左平移个单位得：
y?2sin(x?
3
3
x2
?
)
，

的
2
倍（纵坐标 不变）得：
y?g(x)
?2sin(?
23
由
2k
??
?
?x?
?
当
x?
?
π
?
2
?
3
?
2
时，
g()
?2sin(?)?2si n?2??
6
6
12342
2
.
【点睛】
本题考查三角函数中的辅助角公式、三角函数的性质、图象变换等知识，对三角函数图象与性质进行综合考查
.
?
?
5
??
7
?
???,?k
?
,k?Z
?
；
19
．（
1
）
f
?
x
?
=4sin
?
2x?
?
；（
2
）
?
k
?
?
（
3
）；
3
?
1212
???
6
【解析】

【分析】

（
1
）根据函数的最值可得
A
，周期可 得
?
，代入最高点的坐标可得
?
，从而可得解析式；

（
2
）利用正弦函数的递增区间可解得；

（
3
）利用
f(x)??2
在
x ?(0,
?
)
内的解就是
x
1
和
x
2，即可得到结果
.
【详解】

（
1
）由函数
f(x)
的图象可得
A?4
，

又因为函数的周期
T?2(
2
?
7
??
?)?
?
，所以
?
? ?2
，

1212
?
因为函数的图象经过点
P(
所 以
?
?
?
12
,4)
，即
4sin(2?
?
12
?
?
)?4
，

?
6
?2 k
?
?
?
2
,k?Z
，即
?
?2k
?
?
?
3
,k?Z
，

所以
f(x)? 4sin(2x?2k
?
?
（
2
）由
2k
?
?
可得
k
?
?
?
)?4sin(2x?)
. < br>33
?
?
2
?2x?
?
3
?2k
?
?
?
2
,k?Z
，

5
??
?x?k
?
?,k?Z
，

1212
5
??
,k
?
?],k?Z
，

1212
??
7
?
)
，

（
3< br>）因为
x?(0,
?
)
，所以
2x??(,
333< br>?
1
又因为
f(x)??2
可得
sin(2x?)??
，

32
?
7
?
?
11
?
所以
2x??
或
2x??
，

3636
3
5< br>?
解得
x?
或
x?
?
，、

12< br>4
可得函数
f(x)
的单调递增区间为：
[k
?
?< br>因为
x
1
?x
2
且
x
1
,x
2
?
?
0,
?
?
，
f(x
1
) ?f(x
2
)??2
，

所以
x
1
?x
2
?
【点睛】

本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题
.
20
．
(1)
取出
1
球为红球或黑球的概率为
.
(2)
取出
1
球为红球或黑球或白球的概率为
【解析】
< br>试题分析：（
1
）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从
12
个球中任取一球，满足条件
的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公 式得到结果；（
2
）由题意知本题是一
个古典概型，试验包含的基本事件是从
12
个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球
或白球，根据古典概型公式得 到结果

试题解析：（
1
）由题意知本题是一个古典概型，

试验包含的基本事件是从
12
个球中任取一球共有
12
种结果；

满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有
9
种结果，

∴
概率为．

5
?
3
?
14
?< br>7
?
???
.
124126
3
4
11
.

12

（
2
）由题意知本题是一个古典概型，

试验包含的基本事件是从
12
个球中任取一球共有
12
种结果；

满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有
11
种结果，

∴
概率为．

即取出的
1
球是红球或黑球的概率为；

取出的
1
球是红球或黑球或白球的概率为
考点：等可能事件的概率

21
．（
1
）见解析；（
2
）
【解析】

试题分析：（
1
）由题意，
A'D?A'E,A'D?A'F
,∴< br>A'D?平面A'EF
，
∴
A
?
D?EF
．

（
2
）把
A'EF
当作底面，因为角
FA'D
=9 0°
，所以
A'D
为高；

过
A'
作
A'
H
垂直于
EF
，
H
为
EF
中点（等腰三角 形三线合一）；

BE
＝
BF
＝
．

17

12
1
1
12
BC
，
EF
2
?BE
2
?BF
2
?,EF?
；
2
4
22
3
17
，
A'H
2
?A'F
2
?H'F
2
,A'H?
，

2
22，
V
三棱锥A'－EFD
?
A'F?2?BF?
11717．

?2??
3812
考点：折叠问题，垂直关系，体积计算．

点评：中档题，对于折叠问题，要特别注意
“
变
”
与
“不变
”
的几何元素，及几何元素之间的关系．本题计算
几何体体积时，应用了“
等体积法
”
，简化了解题过程．

22
．（
1
）
【解析】

【分析】

（
1
）由正弦定理可得
sin?ABD
；

（2
）由（
1
）求得
cos?DBC
，然后利用余弦定理求解BC
．

【详解】

（
1
）在
△AB D
中，由正弦定理，得
因为
?A?60?
，
AD?
6
（
2
）
BC?1

4
ADBD
?
，

sin?ABDsin?A
3
，
BD?6
，

所以
sin?ABD?
AD136
；
< br>?sin?A???
BD4
2
2
6
，因为
?ABC? 90?
，

4
（
2
）由（
1
）可知，sin?ABD?
所以
cos?CBD?cos
?
90???ABD?
?sin?ABD?
在
BCD
中，由余弦定理，得

6
，

4
CD
2
?BC
2
?BD
2
?2BC?BDcos?CBD
，

因为
CD?2
，
BD?6
，

所以
4?BC
2
?6?2BC?6?
6
，

4
即
BC
2
?3BC?2?0
，解得
BC?1
或
BC?2
，

又
CD?BC
，则
BC?1
.
【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知平行四边形
ABCD
对角线
AC
与
BD
交于 点
O
，设
AB?a
，
BC?b
，则
A
．< br>OA

2．定义在上的函数
B
．
OB
C
．
OC
D
．
OD

的最小正周期是，且当时，
1
a?b?
（ ）

2
??
既是偶函数又是周期函数，若
，则的值为( )
A． B． C． D．
3
．函数
f
?
x
?
=sin2 x?cos2x
的最小正周期是（

）

A
．
?

4
B
．
?

2
C
．
?

的图象向右平移
D
．
2
?

个单位，所得图象对应 的函数恰为偶函数，
4
．将函数
则的最小值为（

）

A
．
B
．
C
．
D
．
5
．在
?ABC
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a ,b,c
，且
a?1
，
b?2
，
c?2
，则
cosB?
( )
A
．
1

6
B
．
1

3
C
．
1

4
D
．
2

3
6
．在等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
?27
，
q??
A
．
?3
B
．
3
1
，则
a
5
?
（

）

3
C
．
?1
D
．
1
7
．在< br>△ABC
中角
ABC
的对边分别为
A
．
B
．
c
，
cosC
＝
（）

A
．
5
B
．
1
，且
acosB+bco sA
＝
2
，则
△ABC
面积的最大值为
9
85
9
C
．
43

9
D
．
5

2
8
．设
A,B
是任意事件，下列哪一个关系式正确的（

）

A
．
A+B=A B
．
ABA C
．
A+AB=A D
．
A
9
．已知
a
与
b
均为单位向量，它们的夹角为
60?
，那么
a?3b
等 于（

）

A
．
7


B
．
10
C
．
13
D
．
4

10
．函数
y?tan
?
A
．< br>{x|x?2k
?
?
C
．
{x|x?
?
??
1
x?
?
的定义域是（ ）

4
??
2
?
2
,k?Z}
B
．
{x|x?4k
?
?
D
．
{x|x?k
?
?
?
2
,k?Z}

k
??
?,k?Z}

28
?
8
,k?Z}

11
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）


A
．
5
?

3
B
．
4
?

3
C
．
2?
2
?

3
D
．
4?
2
?

3
12
．将函数
f(x)?sin2x
的图象向右平移
A
．
g
?
x
?
?sin
?
2x?
?
个单位长度得到
g
?
x
?
图象，则函数的解析式是（ ）

6
?
?
?
?
3
?
?
B
．
g
?
x
?
?sin
?
2x?
?
?
?
?
?

6
?
?
??
gx?s in2x?
C
．
??
??

3
??
二、填空题：本题共4小题
?
??
gx?sin2x?
D
．
??
??

6
??
13
．定义
N
?
在上的函数
f?
x
?
，对任意的正整数
n
1
,n
2
，都有
f
?
n
1
?n
2
?
?1?f
?
n
1
?
?f
?
n
2
?
，且< br>f
?
1
?
?1
，
若对任意的正整数
n
，有
a
n
?f2
??
?1
，则
a
nn
?
___________.
cos2a2
?
14
．若
?
?
2
，则
sin2a
的值为
_______ .
?
cos
?
a?
?
4
??
15
．圆
x
2
?y
2
?5
的一条经过点
?
? 2,1
?
的切线方程为
______
．

16
．函 数
f(x)?1?2sin
2
x
的最小正周期是
________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．已知
a? (2cos
?
x,cos
?
x),b?(cos
?
x,23 sin
?
x)
，函数
f(x)?a?b?m
（其中
?
?0,m?R
），
且
f(x)
图象在
y
轴右侧的第一个最 高点的横坐标为
（
1
）求函数
f(x)
的解析式；

（
2
）求函数
f(x)
的单调增区间
.
*
18
．已知数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?2?a
n
，数列
?
b
n
?
满足
2b
n?1
?b
n
?0
，且
a
1
?b1
?1,n?N

?
，并过点
(0,2)
.
6

（
1
）求数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的通项公式；

（
2
）求数列
?
a
n
?b
n
?< br>的前
n
项和
S
n
.
19
．（
6< br>分）如图，在平面四边形
ABCD
中，
?D?
2
?
，
CD?6
，
?ACD
的面积为
33
．

3
2

⑴
求
AC
的长；

⑵若
AB?AD
，
?B?
?
4
，求
BC
的长．

20
．（
6
分）为了解人们对某种食材营养价值的认识程度 ，某档健康养生电视节目组织
8
名营养专家和
8
名
现场观众各组成一 个评分小组，给食材的营养价值打分（十分制）．下面是两个小组的打分数据：

第一小组

第二小组

8.2

8.8

7.5

8.5

6.4

9.5

9.5

8.3

8.0

1.5

8.9

6.6

8.6

9.2

9.2

8.7


（
1
）求第一小组数 据的中位数与平均数，用这两个数字特征中的哪一种来描述第一小组打分的情况更合
适？说明你的理由．

（
2
）你能否判断第一小组与第二小组哪一个更像是由营养专家组成的吗？ 请比较数字特征并说明理由．

（
3
）节目组收集了烹饪该食材的加热时间： （单位：
min
）与其营养成分保留百分比
y
的有关数据：

食材的加热时间
t
（单位：
min
）

营养成分保留百分比
y

6

48

9

41

13

15

18

13

20

32

22

9

在答题卡上画出散点图，求
y
关于t
的线性回归方程（系数精确到
0.01
），并说明回归方程中斜率
b< br>的含

义．

附注：参考数据：
?
ty
i
i?1
6
i
?1817
，
?
t
i
2
?1235
.
i?1
6
参考公式：回归 方程
y?a?b?t
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b?
?
ty?nty
ii
i?1
n
n
?
t
i?1
2
i
?nt
2
，
a?y?b?t
．

2 1
．（
6
分）在
?ABC
中，已知角
A,B,C
的 对边分别为
a,b,c
，且
acosB?bcosA?b?c
.
（
1
）求角
A
的大小；

（
2
） 若
a?4
，
b?c?25
，求
?ABC
的面积
.
b?2?3log
1
(a
n
?1)
，
3
a
n
=a
n?1
?3
（
n?2
，且
n?N< br>*
）
22
．（
8
分）已知数列
?
a
n
?
满足
4?
，且
a
1
??
，设
n
4
4
n?N
*
，数列
?
c
n
?
满足
c
n
?
?
a
n
?1
?
b
n
.
（
1
）求证：数列
?
a
n?1
?
是等比数列并求出数列
?
a
n
?
的通项 公式；

（
2
）求数列
?
c
n
?
的前
n
项和
S
n
；

（
3
）对于 任意
n?N
*
，
t?
?
0,1
?
，
c
n
tm?m?
2
1
恒成立，求实数
m
的取值范 围
.
2



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
B
【解析】

【分析】

根据向量减法的三角形法则和数乘运算直接可得结果
.
【详解】

a?b?AB?BC?AB?AD?DB

?
本题正确选项：
B

【点睛】

11
a?b?DB?OB

22
??
本题考查向量的线性运 算问题，涉及到向量的减法和数乘运算的应用，属于基础题
.
2
．
B
【解析】

分析：要求，则必须用来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间上 ，
再应用其解析式求解
详解：的最小正周期是

是偶函数
，
当时，，
则
故选
点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数 的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函
数单调性的性质．

3
．
C
【解析】

【分析】

将函数
f(x)
化为
2sin(2x?
【详解】

因为
f
?
x
?
=sin2x?cos2x
=
2si n(2x?
所以最小正周期
T?
故选：
C

?
4
)
，再根据周期公式可得答案
.
?
4
)
，

2
?
?
?
.
2

【点睛】

本题考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了正弦型函数的周期公式，属于基础题
.
4
．
B
【解析】

【分析】

由诱导公 式将函数化简成，再根据
“
左加右减
”
的平移原则，得到函数，
因为 平移后的函数为偶函数，则
【详解】

为它的一条对称轴
.
，

，

，向右平移个单位得：

，

平移后的函数恰为偶函数，
时，，

为其对称轴，

，即，

时，
.
【点睛】

通过恒等变换把函数 变成的形式，再研究三角函数的性质是三角函数题常见解
为其中一条对称轴，从而在时，函数取题思路； 三角函数若为偶函数，则该条件可转化为直线
得最值
.
5
．
C
【解析】

【分析】

直接利用余弦定理得到答案
.
【详解】

a
2
?c
2
?b
2
1?4?41
cosB???

2ac2?1?24
故答案选
C
【点睛】

本题考查了余弦定理，意在考查学生计算能力
.
6
．
C
【解析】

【分析】

根据等比数列的性质求解即可
.
【详解】

?
1
?
因为等比数列
?
an
?
,
故
a
5
?a
2
?q?27?< br>?
?
?
??1
.
?
3
?
3
3
故选：
C
【点睛】

本题主要考查了等比数列性质求解某项的方法
,
属于基础题
.
7
．
D
【解析】

【分析】

首先利用 同角三角函数的关系式求出
sinC
的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等 式的
应用求出结果．

【详解】

△ABC
中角
A BC
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
cosC
?
利用同角三角函数的关系式
sin
1
C+cos
1
C
＝
1
，

解得
sinC
?
1
，

9
45
，

9
由于
acosB+bcosA
＝
1
，

a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2< br>?a
2
利用余弦定理
a??b??2
，

2ac2bc
解得
c
＝
1
．

所以
c
1
＝
a
1
+b
1
﹣
1abcosC< br>，

整理得
4
?a?b?
由于
a
1
+b
1
≥1ab
，

22
2
ab
，

9

16
ab
，

9
9
所以
ab?
．

4
故
4?< br>则
S
ABC
?
119455
，

absinC????
22492
5
，

2
△ABC
面积的最大值为
故选
D
．

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三 角形面积的应用，基本不等式
的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．

8
．
C
【解析】

【分析】

试题分析 ：因为题目中给定了
A,B
是任意事件，那么利用集合的并集思想来分析，两个事件的和事件不 一
定等于其中的事件
A.
可能大于事件
A
选项
B
，
AB
表示的为
AB
的积事件，那么利用集合的思想，和交集类似，不一定包 含
A
事件．

选项
C
，由于利用集合的交集和并集的思想可 知，
A+AB=A
表示的等式成立．

选项
D
中，利用补集的思想和交集的概念可知，
不成立．

考点：本试题考查了事件的关系．

点评：对于事件之间的关系的理解，可以运用集合 中的交集，并集和补集的思想分别对应到事件中的和事
件，积事件，非事件上来分析得到，属于基础题．

【详解】

请在此输入详解！

9
．
A
【解析】

本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
=
10
．
A
【解析】

【分析】

利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域．

=
，所以应选
A
．

表示的事件
A
不发生了，同时事件
B
发生，显然
D

【详解】

令
x+
（
k∈Z
），

（
k∈Z
），

，
k∈Z}
解得：
x< br>故函数的定义域为
{x|x
故选
A
．

【点睛】

本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和 转换能力，属于基础题型．

11
．
A
【解析】

【分析】

观察可知，这个几何体由两部分构成
,
：一个半圆柱体， 底面圆的半径为
1
，高为
2
；一个半球体，半径为
1
，按公 式计算可得体积。

【详解】

设半圆柱体体积为
V
1，半球体体积为
V
2
，由题得几何体体积为

1415
?
V?V
1
?V
2
?
?
?1
2
? 2???
?
?1
3
??
，故选
A
。

2323
【点睛】

本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

12
．
C
【解析】

【分析】

由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．

【详解】

由题意，将函数
f(x)?sin2x
的图象向右平移
可得
g
?x
?
?sin2(x?
故选
C
．

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
2
n?1

【解析】

【分析】

?
个单位长度，

6
?
6
)?sin(2x?
?
3
)
.

根据条件求出
a
n
?f2
式．

【详解】

??
?1
的表达式，利用等比数列的定义即可证明
?
a
?< br>为等比数列，即可求出通项公
n
n
令
n
1
?n
2
?1
，得
f
?
2
?
?1?f
?
1
?
?f
?
1
?
，则
f
?
2< br>?
?3
，
a
1
?f
?
2
?
?1?4
，

令
n
1
?n
2
?2
，得
f
?
4
?
?1?f
?
2
?
? f
?
2
?
，则
f
?
4
?
?7，
a
2
?f
?
4
?
?1?8
，

n
令
n
1
?n
2
?2
，得
f 2?2
?
nn
?
?1?f
?
2
?
?f?
2
?
，即
f
?
2
?
?1?2f?
2
?
，

nn
n?1n
则
f2?
n?1
?
?
?1?2
?
?
1?f
?
2
?
?
，

n
即

a
n?1
?2a
n
,

所以，数列
?< br>a
n
?
是等比数列，公比
q?2
，首项
a
1
?4
．

n?1n?1
所以
a
n
?4?2?2
，

故答案为：
2
n?1

【点睛】

本题主要考查等比数列的判断和证明，综合性较强，考查学生的计算能力，属于难题．

14
．
?
3

4
【解析】

【分析】

把已知等式展开利用二倍角余弦公式及两角和的余弦公式，整理后两边平方求解．

【详解】

cos
2
?
?sin
2
?2
2
?
?
解：由
?
2
，

2
，得
2
cos(
?
?)
(cos
?
?si n
?
)
4
2
1
(cos
?
?sin
?
)(cos
?
?sin
?
)1
?
?
， 则
sin
?
?cos
?
?
，

cos?
?sin
?
2
2
cos2
?
两边平方得：< br>2sin
?
cos
?
??
故答案为
?
【点睛 】

3
3
，即
sin2
?
??
．

4
4
3
．

4
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

15
．
2x?y?5?0

【解析】

【分析】

根据题意，设
P
为
?
?2,1
?
，设过点
P
圆的切线为
l
，分析可得
P
在圆上， 求出直线
OP
的斜率，分析可得

直线
l
的斜率
k?2
，由直线的点斜式方程计算可得答案．

【详解】

根据题意，设
P
为
?
?2,1
?
，设过点
P
圆的切线为
l
，

圆的方程为
x?y?5
，则点
P
在圆
x?y?5
上，

则
K
OP
?
2222
11
??
，

?22
则直线
l
的斜率
k?2
，则直线
l
的方程为
y?1?2
?
x?2
?
，变形可得
2x?y?5? 0
，

故答案为
2x?y?5?0
．

【点睛】

本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系．

16
．
?

【解析】

【分析】

先利用二倍角余弦公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小
正周期．

【详解】

解：
f
（
x
）＝
1
﹣
2sin
2
x
＝
cos2x
∴
函数最小正周期
T
?
故答案为
π
．

【点睛】

本题主要考查了二倍角的化简和三角函数的周期性及其求法．考查了三角函 数的基础的知识的应用．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
?
?
π
2
??
?
?
?
?
?
17
．（
1
）
f(x)?2sin
?
2x?
?
?1
；（
2
）
?
k
?
?,k
?
?
?
,k?Z
.
6
??
36
??
【解析】

【分析】
< br>（
1
）根据向量的数量积得
f(x)
?2sin
?
2
?
x?
（
2
）令
2k
?
?
【详解 】

（
1
）由题
f(x)?a?b?m?2cos
2
?
x?23sin
?
xcos
?
x?m

??
?
?
?
?
?
?m?1
2
?
???
，
f
?
0
?
?2
即可求解；
，结合
?
6
?
662
?
2
?2x?
?
6
?2k
?
?
?
2
,k?Z
即可求得增区 间
.
?cos2
?
x?3sin2
?
x?m?1

?
??
?2sin
?
2
?
x?
?
?m?1

6
??
f(x)
图 象在
y
轴右侧的第一个最高点的横坐标为
?
，并过点
(0,2)
6
所以
2
?
?
?
?
?
??
，解得
?
?1
，

662
f
?
0
?
?2sin
?
6
?m?1?2
，解得：
m?0< br>，

?
??
所以
f(x)?2sin
?
2x ?
?
?1
；

6
??
（
2
）令< br>2k
?
?
2k
?
?
?
2
?2x?< br>?
6
?2k
?
?
?
2
,k?Z

2
??
?2x?2k
?
?,k?Z

33
k
?
?
?
3
?x?k
?
?
?
6< br>,k?Z

?
?
函数
f(x)
的单调增区间为
?
k
?
?
【点睛】

?
3
,k
?
?
?
?
,k?Z
.
?
6
?
此题考查根据平面向量的数量积，求函数解析式，根据三角函数的顶点 坐标和曲线上的点的坐标求参数，
利用整体代入法求单调区间
.
?
1
?
18
．（
1
）
a
n
?2n?1
；b
n
=
??
?
2
?
【解析】

【分析】

n?1
（
2
）
S
n
? 6?
2n?3

2
n?1
（
1
）由等差数列和等比 数列的定义、可得所求通项公式；

1
n?1
（
2
）求得< br>a
n
b
n
?(2n?1)()
，由数列的错位相减法求和，结 合等比数列的求和公式可得所求和．

2
【详解】

解：（
1
）
∵
a
n?1
?2?a
n
，即
a
n?1
?a
n
?2
，
a
1
?1
，

∴
{
a
n
}
为首项为
1
，公差为2
的等差数列，

即
a
n
?2n?1
；

∵
2b
n ?1
?b
n
?0
，即有
b
n?1
?
∴{
b
n
}
为首项为
1
，公比为
1
n? 1
即
b
n
?()
；

2
1
b
n
，

2
1
的等比数列，

2

1
n?1
（
2
）
a
n
b
n
?( 2n?1)()
，

2
∴
S
n
?11?3
∴
111
?5???(2n?1)()
n?1
，

242< br>11111
S
n
?1?3?5???(2n?1)()
n
，< br>
22482
1111
n?1
1
n
两式相减可得S
n
?1?2(????())?(2n?1)()

22422
11
(1?
n?1
)
1
2
?1?2
2
? (2n?1)()
n
，

1
2
1?
2
化简 可得
S
n
?6?
【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数 列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化
简运算能力，属于中档题．
19
．
(1)
AC?32
(2)
BC?33

【解析】

【分析】

（
1
）由三角形的面积公式求得
AD?
（
2
）由（
1
） 可得
?BAC?
【详解】

⑴∵
?D?
2n?3

n?1
2
6
，再由余弦定理即可得到
AC
的长；

?
3
，在
?ABC
中，利用正弦定理即可得
BC
的 长．

2
?
，
CD?6
，
?ACD
的面积 为
33

3
2
11333

AD?CD?sinD ??AD?6??
2222
∴
S
?ACD
?
∴
AD ?6

222
∴
由余弦定理得
AC?AD?CD?2AD?CD? cosD?6?6?2?6?(?)?18

∴
AC?32

⑵< br>由（
1
）知
?ACD
中
AD?
∴
1
2
2
6
，
CD?6
，
?D?
?

3
DAC
6

∵
AB?AD
,∴
?BAC ?
又
∵
?B?
?
3

?
4

，
AC?32

∴
在
?ABC
中，由正弦定理得
BCAC
?
sin?BACsinB
BC32
?
即
32
,∴
BC? 33

22
【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三 角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．

20
．（
1
）中位数为
7.75
，平均数为
7
，中位数
7.75
更适 合描述第一小组打分的情况；（
2
）由
s
1
?s
2
可知
第二小组的打分人员更像是由营养专家组成；（
3
）散点图见解析；回归直线为：
y??2.9x?66.65
；
b
的
含义：该食材烹饪时间每加热多
1
分钟，则其营养成分大约会减少
2.9%
．

【解析】

【分析】

（
1
）将第一小组打分按从 小到大排序，根据中位数和平均数的计算方法求得中位数和平均数；由于存在
极端数据，可知中位数更适 合描述第一小组打分情况；（
2
）分别计算两组数据的方差，由
s
1
?s
2
可知第
二小组打分相对集中，其更像是由营养专家组成；（
3
）由已知数据画出散点图；利用最小二乘法计算可得
22
22
?
的含义
.
回归直线；根据
x,y
的含义，可确定斜率
b
【详解】
< br>（
1
）第一小组的打分从小到大可排序为：
1.5
，
6.4< br>，
6.6
，
7.5
，
8.0
，
8.2
，
8.3
，
9.5

7.5?8.0
?7.75

2
11
平均数为：
x
1
??
?
1.5?7 .5?6.4?6.6?8.0?8.2?8.3?9.5
?
??56?7

88
则中位数为：
可发现第一小组中出现极端数据
1.5
，会造成平均数偏低

则由以上算得的两个数字特征可知，选择中位数
7.75
更适合描述第一小 组打分的情况．

（
2
）第一小组：平均数为
x
1
?7

方 差：
1
22222
s
1
2
??
?
?
8.2?7
?
?
?
7.5?7
?
?
?
6 .4?7
?
?
?
9.5?7
?
?
?
8.3 ?7
?
8
?
1
222
?
?
8.0?7?
?
?
1.5?7
?
?
?
6.6?7
?
?
??41.4?5.175

?
8
第二小组：

平均数：
x
2
?
方差：
1
?
?
8 .8?8.5?9.5?8.6?9.2?8.2?8.9?8.7
?
?8.8
8
1
22222
2
s
2
??
?
?8.8?8.8
?
?
?
8.5?8.8
?
?
?
9.5?8.8
?
?
?
8.6?8.8
?
?
?
9.2?8.8
?
8
?

1
222
?
?
8.2?8.8
?
?
?
8.9 ?8.8
?
?
?
8.7?8.8
?
?
??1.16 ?0.145

?
8
可知，
s
1
?s
2< br>，第一小组的方差远大于第二小组的方差

第二小组的打分相对集中，故第二小组的打分人员更像是由营养专家组成的

（
3
）由已知数据，得散点图如下，

22

2< br>t?13
，
y?27.5
且
?
t
i
y
i
?1817
，
?
t
i
?1235

i ?1
i?1
66
?b?
?
ty?nty
ii
i?1
n
n
?
t
i?1
2
i
?nt
2< br>?
1817?6?13?27.5410.5
????2.90

12 35?6?13
2
141.5
则
a?y?b?t?27.5?2.90?13 .5?66.65

?y
关于
t
的线性回归方程为：
y?? 2.9x?66.65

回归方程中斜率
b
的含义：该食材烹饪时间每加热多
1
分钟，则其营养成分大约会减少
2.9%
．

【点睛】

本题考查计算数据的中位数、平均数和方差、根据方差确定数据的波动性、 回归直线的求解问题；考查学
生对于统计中的公式的掌握情况，对于学生的计算和求解能力有一定要求， 属于常考题型
.
21
．（
1
）
A?
【解析】

【分析】

（
1
）利用边角互化思想得
sinAcosB? sinBcosA?sinB?sinC
，由
sinC?sin
?
A?B?
结合两角和的
正弦公式可求出
cosA
的值，于此得出角
A< br>的大小；

（
2
）由余弦定理
a
2
?b2
?c
2
?2bccosA?
?
b?c
?
?2 bc?2bccosA
可计算出
bc
，再利用三角形的面积
公式可得出
?ABC
的面积．

【详解】

2
2
?
；（
2
）
3
.
3

（
1
）
∵
A,B, C
是
?ABC
的内角，

∴
sinC?sin(A?B)? sinAcosB?cosAsinB
且
sinB?0
，

又由正弦定理：
abc
??
得：

sinAsinBsin C
sinAcosB?sinBcosA?sinB?sinAcosB?cosAsinB
， 化简得：
cosA??
，

又
∵
A?(0,
?)
，
∴
A?
1
2
2
?
；
< br>3
（
2
）
∵
a?4
，
b?c?25
，

∴
由余弦定理和（
1
）得
a
2
?b< br>2
?c
2
?2bccosA

?(b?c)
2
?bc
，

即
16?20?bc
，可得：
bc?4
，

又
∵
sinA?
【点睛】

本题考查正弦定理边角互化的思 想，考查余弦定理以及三角形的面积公式，本题巧妙的地方在于将
b
2
?c
2
配凑为
b
2
?c
2
?
?
b?c
?
?2bc
，避免利用方程思想求出边的值，考查计算能力，属于中等题．

2
1
3
，故所求
?ABC
的面积为
S
?ABC
?bcsinA?3
.
2
2
3
2(3n?2)
?
1
?
m?-
22
．
(1)
见解析（
2
）
S
n
?-
(3) .
??
4
33
?
4
?
【解析】

【分析】

（
1
）将式子写为：
a
n
?1 ?
n
1
?
a
n?1
?1
?
得证，再通过等 比数列公式得到
?
a
n
?
的通项公式
.
4
（
2
）根据（
1
）得到
b
n
进而得到数列
?
c
n
?
通项公式，再利用错位相减法得到前
n
项和S
n
.
（
3
）首先判断数列
?
c
n
?
的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将
t?0,t?1

代入不等式，
计算得到答案
.
【详解】

（
1< br>）因为
4a
n
=a
n?1
?3
，

1
?
a
n?1
?1
?
，

41
1
所以
?
a
n
?1
?
是等比数列， 其中首项是
a
1
?1?
，公比为，

4
4
所以
4a
n
?4?a
n?1
?1
，
a
n< br>?1?
?
1
??
1
?
所以
a
n?1?
??
，
a
n
?
??
?1
. < br>?
4
??
4
?
（
2
）
b
n
?2?3log
1
?
a
n
?1
?
n?N< br>4
nn
?
*
?
，

所以
b
n
?3n?2
，

?
1
?
由（
1
）知，
a
n
?1?
??
，又
b
n
?3n?2
，

?
4?
?
1
?
所以
c
n
?
?
3n ?2
?
?
??
n?N
*
.
?
4
?
n
n
??
1
?
1
??
1
?所以
S
n
?1??4?
??
?7?
??
?4
?
4
??
4
?
23
23
?
1
?
?
?
3n?5
?
?
??
?
4
?
4
n?1
?
1
?
?
?
3n?2
?
?
??
，

?
4
?
nn?1< br>n
1
?
1
??
1
??
1
?
所以
S
n
?1?
??
?4?
??
?7?
? ?
?
4
?
4
??
4
??
4
??
?
1
?
2
?
1
?
3
31< br>
S
n
??3
?
??
?
??
?
44
?
?
?
4
??
4
?
?1
?
?
??
?
4
?
n
?
1< br>??
1
?
?
?
3n?5
?
?
??< br>?
?
3n?2
?
?
??
?
4
??< br>4
?
两式相减得

n?1
?
?
1
?
?
?
?
3n?2
?
?
??

?< br>4
?
?
?
1
?
1
?
?-
?
3n?2
?
?
??
2
?
4
?
n? 1
.
n
2
?
3n?2
?
?
1
?
所以
S
n
?-
??
.
33
?
4
?
?
1
?
（
3
）
c
n?1
?c
n
?
?
3n?1
?
??
?
4
?
?
1
?
?9
?
1?n
?
??
?
4
?
n?1
*
n?1
?
1
?
?
?
3n?2
?
??

?
4
?
2< br>n
?
n?N
?
，所以当
n?1
时，
c
1
.
4
1
?c
1
?
，

4< br>当
n?2
时，
c
n?1
?c
n
，即
c
1
?c
2
?c
3
?c
4
?
所以 当
n?1
或
n?2
时，
c
n
取最大值是
只 需
?c
n
，

11
tm
2
?m?
，

42
3
2
0
对于任意
t?
?
0,1
?
恒成立，即

即
tm?m?
4
3
?
2
m?m??0,
?
?
4

?
3
?
m??0,
?
4< br>?
所以
m?-
.
【点睛】

本题考查了等比数列的 证明，错位相减法求前
N
项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立
问题 ，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力
.
3
4