高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)doc

高中数学立体几何
空间距离
1.两条异面直线间的距离
和两条异 面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异
面直线间 的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
2.点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
3.直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等， 且这条直线上任意一点到平面的距
离叫做这条直线和平面的距离.
4.两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫
做这两个平行平面的距离.
题型一：两条异面直线间的距离
【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；
(2)求AB和CD间的距离；
【规范解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.
又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.
同理EF⊥DC交DC于点F.
所以EF是AB和CD的公垂线.
3
1
a
,BE=
a
, (2)在Rt△BEF中，BF=

2
2
例1题图
2
1
a
. 所以EF
2
=BF
2
-BE< br>2
=
a
2
，即EF=
2
2
2
a. 由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为
2
【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.
设AB中点为E，连CE、ED.
∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.
∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.
同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.

例2题图
2
2
??
3
1
3
?
2
?
1
?
∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=
?
.
????
?
2
?
2
22
2
??
??
2
.
2
【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：
（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.
（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.
（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.
题型二：两条异面直线间的距离
【例3】 如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；
过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.
∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，
233
2
?
∴O是△BCD的中心，∴BO=BE=
?
.
323
3
∴AB、CD的距离是
?
3
?
6

22
例3题图
?
?
6
.∴A到平面BCD的距离是又AB＝ 1，且∠AOB=90°,∴AO=
AB?BO?1?
?
.
?
3
?
3
3
??
2

【例4】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=
5
?
,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,
5
2
求：(1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离.
【规范解答】 (1)作AF⊥DC于F,连结PF,
∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,
∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.
3a
5
在△ADF中,∠A FD=90°,∠ADF=arcsin,AD=3a,∴AF=,
5
5
PAa55
5
??
,∴∠PFA=arc tan.
AF3a3
3
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,
∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,
2
a
. ∴PB=
2
a,∴AH=
2

【例5】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC
1
F所截面 而得到的，其中AB=4，
BC=2，CC
1
=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（ Ⅱ）求点C到平面AEC
1
F的距离.
解法1：（Ⅰ）过E作EHBC交CC
1
于H，则CH=BE=1，EHAD，且EH=AD.
∵AF∥EC
1
，∴∠FAD=∠C
1
EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC
1
.
在Rt△PAF中tan∠PFA=
∴DF=C
1
H=2.
?BF?BD?DF?26.

（Ⅱ）延长C
1
E与CB交于G，连AG，
则平面AEC
1
F与平面ABCD相交于AG.
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C
1
M，
由三垂线定理可知AG⊥C
1
M.由于AG⊥面C
1
MC，
且AG
?
面AEC
1
F，所以平面AEC
1
F⊥面C1
MC.
在Rt△C
1
CM中，作CQ⊥MC
1
，垂 足为Q，则CQ的长即为C到面AEC
1
F的距离.
22
由
EBB G
?可得,BG?1,从而AG?
CC
1
CG
AB
2
?BG
2
?17.
4
17
?
12
17
,

由?GAB??MCG知,CM?3cosMCG?3cosGAB?3?
3?2
12
17
?
433
.
11
?CQ?
CM?CC
1
?
MC
1
12
2
3?
17< br>解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），
A （2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C
1
（0，4，3）.设F（0，0 ，z）.
∵AEC
1
F为平行四边形，
?由AEC
1
F 为平行四边形,
?由AF?EC
1
得,(?2,0,z)?(?2,0,2),
?z?2.?F(0,0,2).
?EF?(?2,?4,2).
于是|BF|?26,即B F的长为26.
（II）设
n
1
为面AEC
1
F的法向量，
显然n
1
不垂直于平面ADF,故可设n
1
?(x,y,1)


?
x?1,
?
?
4y?1?0,
?
n
1
?AE?0,
?
0?x?4?y?1?0
?
由
?
得
?
即
?
?
?
1

?2?x? 0?y?2?0
?2x?2?0,
y??.
?
?
?
?
n
1
?AF?0,
?
4
?

??????? ?
CC
1
?n
1
433
????
?.
< br>又CC
1
?(0,0,3),设CC
1
与n
1
的夹角 为a，则
cos
?
?
????
33
|CC
1
|?|n
1
|
∴C到平面AEC
1
F的距离为
d?|CC
1
|cos
?
?3?

【例6】
433433
?.

3311
正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的底面边长为8，对角线
B
1
C?10
，D是AC的中点。
（1）求点
B
1
到直线AC的距离. （2）求直线
AB
1
到平面
C
1
BD
的距离． < br>解：（1）连结BD，
B
1
D
，由三垂线定理可得：
B
1
D?AC
，
所以
B
1
D
就是
B1
点到直线AC的距离。
在
Rt?B
1
BD
中
BB
1
?
A
1

C
1
B
1


B
1
C?BC
22
?10?8?6,
BD?43
．
A
D
22
?B
1
D?BD
2
?B1
B
2
?221
．
（2）因为AC与平面BD
C
1
交于ＡＣ的中点Ｄ，
设
B
1
C?BC
1
?E
，则
AB
1
DE，所以
AB
1
平面
C
1
BD
，
所以
A B
1
到平面BD
C
1
的距离等于Ａ点到平面BD
C
1

的距离，等于Ｃ点到平面BD
C
1
的距离，也就等于三棱
锥
C?BDC
1
的高，
?
V
C?BDC
，
?V
C
1
?BDC
1
C
B

11
1213
1213
?hS
?BDC
1
?S
?B DC
CC
1
，
?h?
，即直线
AB
1
到平 面BD
C
1
的距离是．
33
13
13
【解后归纳】 求空间距离注意三点：
1．常规遵循一作二证三计算的步骤；
2．多用转化的思想求线面和面面距离；
3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．
【范例4】如图，在长方体AC
1中，AD=AA
1
=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D
1
E⊥A
1
D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD
1
的距离；
D
1< br>B
1
C
1
?
（3）AE等于何值时，二面角D
1—EC—D的大小为
.
4
解析：法1
（1）∵AE⊥面AA
1
DD
1
，A
1
D⊥AD
1
，∴A
1D⊥D
1
E
A
1
D
A
E
C
B
（2）设点E到面ACD
1
的距离为h，在△ACD
1
中，AC= CD
1
=
5
，AD
1
=
2
，
故
S
?AD
1
C
?
11311
?2?5??,而S< br>?ACE
??AE?BC?.

22222
11131
S?AEC
?DD
1
?S
?AD
1
C
?h,?? 1??h,?h?.

33223
D
1
A
1
DB
1
C
H
?V
D
1
?AEC
?
（3）过D作DH⊥CE于H，连D
1
H、DE，则D
1
H⊥CE，
∴∠DHD
1
为二面角D
1
—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
C
1
在Rt?D
1
DH中,
?
?DHD
1
?
?
4
2
,?DH?1.< br>
A
E
B
?
在Rt?ADE中,DE?1?x,
?在 Rt?DHE中,EH?x,
在Rt?DHC中CH?
?x?3?
3,在Rt?CBE 中CE?x
2
?4x?5.

x
2
?4x?5?x?2?3 .
?AE?2?3时,二面角D
1
?EC?D的大小为.
4
法2：以 D为坐标原点，直线DA、DC、DD
1
分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE= x，则A
1
(1，
?

0，1)，D
1
(0， 0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).
（1）
因为DA, 0,1),(1,x,?1)?0,所以DA
1
?D
1
E.

1
,D
1
E?(1
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0）， < br>从而
D
1
E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)
，
AD,0,1)
，
1
?(?1
设平面ACD
1
的法向量为
n?(a,b,c)
，
D
1
A
1
z
B< br>1
C
1
D
o
C
E
B
y
?< br>?
?a?2b?0
?
a?2b
?
n?AC?0,
则< br>?
也即
?
，得
?
，
?
?
?a?c ?0
?
a?c
?
n?AD
1
?0,
从而
n ?(2,1,2)
，所以点E到平面AD
1
C的距离为
h?
（3）设 平面D
1
EC的法向量
n?(a,b,c)
，
∴
CE?( 1,x?2,0),D
1
C?(0,2,?1),DD
1
?(0,0,1),

x
A
|D
1
E?n|
|n|
?
2?1?21
?.

33
?
?
n?D
1
C ?0,
?
2b?c?0
由
?
令b=1, ∴c=2, a=2－x，
?
?
a?b(x?2)?0.
?
?
?
n?CE?0,
∴
n?(2?x,1,2).
依题意
cos
?4
?
|n?DD
1
|
|n|?|DD
1
|?
222
??.

2
22
(x?2)?5
∴< br>x
1
?2?3
（不合，舍去），
x
2
?2?3
.
∴AE=
2?3
时，二面角D
1
—EC—D的大小为
?
.
4
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是 ( )
3
615
a
D.
a
C.
a

3
24
2.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC =120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是
14，那么点P到平面α的距 离为 ( )
A.7 B.9 C.11 D.13
3.从平面α外一点P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们 在α内的射影长分
别是2cm和12cm ,则P到α的距离是 ( )
A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm
4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段A B上，动点Q在线段CD上，
则P与Q的最短距离为 ( )
3
1
2
a
D.a
a
C.A.
a
B.
2
2
2
5.在四面体P—A BC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA
的 距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
6.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角 线折成60°的二面角，则AC与BD的距离
是 ( )
33
6
3
a
C.
a
D.
a
A.
a
B.
42
4
4









第7题图

第6题图
A.a B.

7.如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD ＝1，设点C到平面PAB的距离为
d
1
，点B到平面PAC的距离为d
2< br>，则有 ( )
A.11
2
B.d
1
2
<1
C.d
1
<12
D.d
2
1
<1
8.如图所示，在平面α的同侧有三点A、B 、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别
为a、b、c、d，那么a+b+ c等于 ( )
A.2d B.3d C.4d D.以上都不对









第8题图
第9题图
9.如图，菱形ABCD边长为a，∠A=60°， E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且
AEAHCFCG
????2
，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离
EBHDFBDG
是 ( )
A.
3
a
215
a
D.
a
C.
a
B.
2
26
2
二、思维激活
10.二面角α-MN- β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离
为 .
11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD =a,CD=
2
a，则A、
B两点间距离为 .
12.设 平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB
的长是 .
13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把 直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠
AOB=90°，则cosα的值是 .
三、能力提高
14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面AB CD，E是PA的中点，求点E到平
面PBC的距离．





15.在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，∠ACB为直角，侧面AB
1
与侧面AC
1
所成的二面角为60°，M 为AA
1
上
的点.∠A
1
MC
1
=30°，∠BM C
1
=90°，AB=a.
(1)求BM与侧面AC
1
所成角的正切值.
(2)求顶点A到面BMC
1
的距离.







第15题图
16.已知斜三棱柱ABC—A
1B
1
C
1
的侧面A
1
ACC
1
与底面 ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2
3
,且AA
1
⊥
A
1
C,AA
1
=A
1
C.
（1）求侧棱A
1
A与底面ABC所成角的大小;
（2）求侧面A
1
ABB
1
与底面ABC所成二面角的大小;
（3）求顶点C到侧面A
1
ABB
1
的距离.

17.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与 BD交于H.
(1)求二面角B
1
—EF—B的大小.
(2)试在棱B< br>1
B上找一点M，使D
1
M⊥面EFB
1
，并证明你的结论.
(3)求点D
1
到面EFB
1
的距离.
















空间的距离习题解答

第17题图

15a
a
?
a
?
2
1.D 折后BC=,∴点A到BC的距离为
a?
??
?
.
4
2
?
4
?
2.A BC=
9
2
?15
2
?2?9?15cos120??21
.
∴△ABC外接圆半径R=
2
21
?73
,
2sin12 0?
∴点P到α的距离为
14
2
?(73)
2
?7.

3.D 设PO⊥α垂足为O,|PO|=xcm ,∠OAP=β,∠OBP=γ,那么β-γ=45°,
tanβ=
展开左边并整理得:x< br>2
-10x+24=0,解得x
1
=6,x
2
=4.
4.B P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.
5.A PM=
2
2
?3
2
?6
2
?7
.
6.C 取BD的中点O连AO、OC，作OE⊥AC于E，则OE为所求，∴AO=CO=AC=
7.D 点C到平面PAB的距离d
1
=
x
x
,tanγ=,tan (β-γ)=tan 45°
12
2
3a
.
2
2
,
2
2
2
?
3
， 点B到 平面PAC的距离d
2
=
3
1
1?
2
32
??1
,∴d
2
1
<1． ∵
32
1?

b?c
b?c
2
?
1
.∴a+b+c=3d. 8.B |MM′|=，又
b?c
3
2
a?
2
9.A 设BD的中点为O，
d?
aa7a
4
2
7a
2
a
?
a
??
a
?
∴EO=
??
?
? ?
?2??cos60??
，点A到平面EFGH的距离为
a??
.
32326
9362
????
10.2 作AC⊥MN于C，连BC，则BC⊥MN，
∴∠ACB=60°，又MN⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面α，作BD⊥AC于D，则BD⊥α，
∴BD的长即为所求，得BD=2．
11.
3a
AB=
a2
?a
2
?(2a)
2
?2?a?a?cos60??3a.
12.2
3
cm或
22
103
cm
3
第13题图解

3
?23
;
sin60?
5103
?
当点A、B在α异侧时，AB=
sin60?3
4
13. 如图,AB″=
OA
2
?OB< br>2
?2(2
2
?3
2
)?26

9
当点A、B在α同侧时，AB=
∵BC⊥y轴,B′C⊥y轴,
∴∠B′CB″为二面角A—Oy—B的平面角.
∠B′CB″=α,在△B′CB″中,B′C=B″C=3,
B′B″=
26?4
2
?10
,由余弦定理易知cosα=
4
.
9
14.如图，将点E到平面PBC的距离转化成线面距，再转化成点面距.
连AC、BD，设AC、BD交于O，则EO∥平面PBC，
∴OE上任一点到平面PBC的距离相等．
∵平面PBC⊥平面ABCD，
过O作OG⊥平面PBC，则G∈BC，
又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a，
∴OC=

第14题图解
3a
a
,OG=OC sin60°=.
4
2
点评：若直接过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定．在解 答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的
能起到意想不到的效果．
15.(1)∵三棱 柱ABC—A
1
B
1
C
1
为直三棱柱，∴∠BAC为二面角 B
1
—AA
1
—C
1
的平面角，
∴∠BAC=60°.
又∵∠ACB为直角，∴BC⊥侧面AC
1
.
连MC，则MC是MB在侧面AC
1
上的射影.
∴∠BMC为BM与侧面AC
1
所成的角.
且∠CMC
1
=90°，∠A
1
MC
1
=30°，所以∠AMC=60°.
3
2
m
，MC=m， 设BC=m，则AC=
3
3
所以tan∠BMC=
3
.
2
3
.
2
即BM与侧面AC
1
所成的角的正切值 为
(2)过A作AN⊥MC，垂足为N，则AN∥面MBC
1
.
∵面MBC⊥面MBC
1
，且过N作NH⊥MB，垂足为H，
则NH是N到面MBC
1
的距离，也就是A到面MBC
1
的距离.
∵AB=a,AC=
a
,且∠ACN=30°，
2

∴AN=
a
4
且∠AMN=60°，∴MN=
3
12
a.
∴NH=MNsin∠BMC=
3
12
a
×
39< br>52
a
(本题还可用等积法).
16.(1)如图所示,作A
1D⊥AC,垂足为D,由面A
1
ACC
1
⊥面ABC,得A
1< br>D⊥面ABC
∴∠A
1
AD为A
1
A与面ABC所成的角
∵AA
1
⊥A
1
C,AA
1
=A
1
C
∴∠A
1
AD=45°为所求.
(2)作DE⊥AB垂足为E,连A
1
E,则由A
1
D⊥面ABC,得A
1
E⊥AB,
∴∠A
1
ED是面A
1
ABB
1
与面ABC所成二面角的 平面角.
由已知AB⊥BC得DE∥BC,又D是AC的中点,BC=2,AC=2
3

∴DE=1,AD=A
1
D=
3
,tan∠A
D
1
ED=
A
1
DE
=
3
,故∠A
1
ED= 60°为所求.
(３)连结A
1
B,根据定义,点C到面A
1
AB B
1
的距离,即为三棱锥C—A
1
AB的高h.
由V
1< br>C
—
A1AB
=V
A1
3
S=
1
- ABC
得
△
AA1B
h
3
S
△
ABC·A
1
D
即
1
3
?22?h?
1
3
?22?3
,∴h=
3
为所求.
17.(1)如图连结B
1
D
1
，AC，B
1
H，
∵底面为正方形ABCD，
∴对角线AC⊥BD.
又∵E、F分别为AB、BC的中点
∴EF∥AC.∴EF⊥BD.
又∵棱B
1
B⊥底面ABCD，EF面ABCD，∴EF⊥B
1
B.
又B
1
B∩BD=B,BB
1
面BB
1
D
1
D，BD面BB
1
D
1
D.
∴EF⊥面BB
1
D
1
D.
而B
1
Ｈ< br>面BB
1
D
1
D，BH面BB
1
D
1
D，∴EF⊥B
1
H，EF⊥BH.
∴∠B
1
HB为二面角B
1
—EF—B的平面角.
在Rt △B
1
BH中，B
1
B=a,BH=
2
4
a
，
∴tan∠B
B
1
HB=
1
B
BH
?22
.
∴∠B
1
HB=arctan2
2
.
∴二面角B
1
—EF—B的大小为arctan2
2
.
(2)在棱B
1
B上取中点M，连D
1
M，
则D
1
M⊥面EFB
1
.连结C
1
M.
∵EF⊥面BB
1
D
1
D，D
1
M面BB
1
D
1
D.
∴D
1
M⊥EF.
又∵D
1
C
1
⊥面B
1
BCC
1
.
∴C
1M为D
1
M在面B
1
BCC
1
内的射影.
在 正方形B
1
BCC
1
中，M、F分别为B
1
B和BC的中点 ，
由平面几何知识B
1
F⊥C
1
M.
于是，由三垂线定理可知B
1
Ｆ
⊥D
1
Ｍ
， 而B
1
F面EFB
1
，EF面EFB
1
，EF∩B1
F=F，
∴D
1
M⊥面EFB
1
.
(3 )设D
1
M与面EFB
1
交于N点，则D
1
N为点D到面E FB
1
的距离，
∵B
1
Ｎ
面EFB
1
, D
1
M⊥面EFB
1
，
∴B
1
N⊥D
1
M.
在Rt△MB
1
D
1
中，由射影定理D
1
B
1
2
=D
1N·D
1
M，
而D
1
B
1
=
2a,D
1
Ｍ
=
B
2
1
D
1
? B
2
1
M?
3
2
a
，
D
D2
∴
1
N=
1
B
1
4
D
?a .

1
M3
第16题图解

第17题图解

即点D
1
到面EFB
1
的距离为

4
a
.
3
高中数学立体几何 空间距离的计算（学生版）
1.两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂 线；两条异面直线的公垂线在这两条异
面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
2.点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
3.直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等， 且这条直线上任意一点到平面的距
离叫做这条直线和平面的距离.
4.两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫
做这两个平行平面的距离.
题型一：两条异面直线间的距离
【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.
(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离；






【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.


例1题图









例2题图


【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：
（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.
（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.
（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.
题型二：两条异面直线间的距离
【例7】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；







例3题图


?
5
【例8】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a 且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,
5
2
求：(1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离.

【例9】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方 体被截面AEC
1
F所截面而得到的，其中AB=4，
BC=2，CC
1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC
1
F的距离.

















【例10】 正三棱柱
AB C?A
1
B
1
C
1
的底面边长为8，对角线
B1
C?10
，D是AC的中点。
1
（1）求点
B
1< br>到直线AC的距离.（2）求直线
AB
1
到平面
C
1
BD
的距离．






A











【解后归纳】 求空间距离注意三点：
1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离；
3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．


【例11】 如图，在长 方体AC
1
中，AD=AA
1
=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D
1
E⊥A
1
D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面 ACD
1
的距离；
A
1
A
B
1

C
1

D
B

C
D
1B
1
C
1
（3）AE等于何值时，二面角D
1
—EC— D的大小为
?
.
4
●对应训练 分阶提升
A
B
E
一、基础夯实
1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是 ( )
3
615
a
D.
a
C.
a
A.a B.
3
24
2.△ABC中，AB =9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是
D
C

14，那么点P到平面α的距离为 ( )
A.7 B.9 C.11 D.13
3.从平面α外一点 P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分
别 是2cm和12cm ,则P到α的距离是 ( )
A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm
4.空间四点A、 B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，
则P与Q的 最短距离为 ( )
3
2
1
a
D.a
a
C.A.
a
B.
2
2
2
5.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M 到三个面PAB、PBC、PCA
的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
6.如图 ，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离
是 ( )
A.









第7题图

7.如图，四棱锥P—ABCDPD⊥ 底面ABCD，PD=AD＝1，设点C到平面PAB的距离为
第6
的底面为正方形，
题图
d
1
，点B到平面PAC的距离为d
2
，则有 ( )
A.11
2
B.d
1
2
<1
C.d
1
<12
D.d
2
1
<1
8.如图所示，在平面α的同侧有三点A、B 、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别
为a、b、c、d，那么a+b+ c等于 ( )
A.2d B.3d C.4d D.以上都不对










第9题图
第8题图
9.如图，菱形ABCD边长为a，∠A =60°，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且
33
6
3
a
C.
a
D.
a

a
B.
42
4
4
AEAHCFCG
????2
，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离EBHDFBDG
是 ( )
A.
3
215
a
a
D.
a
C.
a
B.
2
26
2
二、思维激活
10.二面角α-MN- β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离
为 .
11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD =a,CD=
2
a，则A、
B两点间距离为 .
12.设 平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段AB
的长是 .
13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把 直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠
AOB=90°，则cosα的值是 .
三、能力提高
14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面AB CD，E是PA的中点，求点E到平

面PBC的距离．

15.在 直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，∠ACB为直角，侧面 AB
1
与侧面AC
1
所成的二面角为60°，M为AA
1
上
的点.∠A
1
MC
1
=30°，∠BMC
1
=90 °，AB=a.
(1)求BM与侧面AC
1
所成角的正切值.
(2)求顶点A到面BMC
1
的距离.


16.已知 斜三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的侧面A
1
ACC
1
与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2
3
, 且AA
1
⊥
A
1
C,AA
1
=A
1
C.
（1）求侧棱A
1
A与底面ABC所成角的大小;
（2）求侧面A
1
ABB
1
与底面ABC所成二面角的大小;
（3）求顶点C到侧面A
1
ABB
1
的距离.




第15题图


17.如图，在棱长为a的正方体A BCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分 别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.
(1)求二面角B
1
—EF—B的大小.
(2)试在棱B
1
B上找一点M，使D
1
M⊥面EFB
1
，并证明你的结论.
(3)求点D
1
到面EFB
1
的距离.






第17题图