高中数学补习班

2018年上海高三数学竞赛试卷-
2018.03.25

一. 填空题
1. 集合
{(x,y)|x
2
?y
2?100
，且
x,y?Z}
的元素个数是
2. 设函 数
f(x)
是R
?
R的函数，满足对一切
x?
R，都有f(x)?xf(2?x)?2
，则
f(x)
的解析式为
f(x)?
x
2
y
2
3. 已知椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0
），
F
为椭圆的右焦点，
AB
为过中心
O
的弦，则
?ABF
面积的最大值为
ab
111111
4. 设集合
A?{,,,,,}
的非空子集为< br>A
1
,A
2
,???,A
63
，记集合
A< br>i
中的所有元素的积为
p
i
（单元数集的
271113153 2
元素积是这个元素本身），
i?1,2,???,63
，则
p
1< br>?p
2
?????p
63
?

5. 已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是
6. 设实数
a
、
b
、
c
满足
a
2
?b
2
?c
2
?1
，记
ab?bc?ca
的最大值和最 小值分别为
M
和
m
，则
M?m?

22
7. 在三棱锥
P?ABC
中，已知
AB?3
，
AC?1
，
PB?PC?2
，则
S
?ABC
?S
?PBC
的取值范围是
2
8. 在平面直角坐标系
xOy
中，有2018个圆：⊙
A
1
，⊙
A
2
，
???
，⊙
A
2018
，其中⊙
A
k
的圆心为A
k
(a
k
,a
k
)
，半
1
4
1
4
则
a
1
?


二. 解答题
2
径为
a
k
（
k?1,2,??? ,2018
），这里
a
1
?a
2
?????a
20 18
?
1
，且⊙
A
k?1
与⊙
A
k
外切（
k?1,2,???,2017
），
2018
9. 已知三个有限集 合
A
、
B
、
C
满足
A
（1）求证：
|A
BC??
.
1
（2）举例说明（1）中的等号可能成立.
BC|?(|A|?|B|?|C|)
；
2
（
|X|
表示有限集合< br>X
的元素个数）







10. 求不定方程
x?y?z?w?25
的满足
x?y
的正整数解
(x,y,z,w)
的组数.

11. 设
a
、
b
、
c
、
d
是实数，求
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?ab?ac?ad?bc?bd?cd?a?b?c?d
的最小 值.







12. 设
n
为给定的正整数，考虑平面直角坐标系
xOy
中的点集
T?{(x,y)||x|?|y|?n,x,y?Z}
，
对
T
中 的两点
P
、
Q
，当且仅当
|PQ|?2
或
PQ与两条坐标轴之一平行时，称
P
、
Q
是“相邻的”，将
T
中的
每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目.