高中数学集合中的元素是什么专题辅导

高中数学集合中的元素是什么
在集合学习中，出现了十几个新概念（集合、元 素、有限集、无限集、列举法、描述
法、子集、真子集、空集、全集、补集、交集、并集等），二十几个 新符号，并且都很抽
象，那么同学们如何抓住关键呢？这个关键，就是“元素”。因为集合是由元素确定 的，
全集、子集、补集、交集、并集、空集等集合都是通过元素定义的，集合的性质实质上就
是 元素的性质，集合的分类和表示也都是通过元素来刻画的。所以遇到集合问题，首先要
弄清楚集合中的元 素是什么？本文通过几个问题，来加以说明。
1. 已知集合
M?{直线}，N?{抛物线}，则M?N
中的元素个数为（ ）
A. 0
C. 无穷多








B. 0、1或2
D. 无法确定
2. 设 集合
M?{y|y?2sinx，x?R}，N?{y|y?x
2
，x?R}
，则
M?N
中的元素个数为
（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无穷多
3. 设集合
M?{(x，y)|2x?y?5}，N?{(x，y)|x?y?1}，则M?N?
（ ）
A.
(2，?1)

C.
{(2，?1)}







B.
{2，?1}

D.
?

4. 设集合
M?y?x
2
，N?{y?x}，则M?N?
（ ）
A.
(0，0)，(1，1)


B. {0,1}
D.
?
C.
{(0，0)，(1，1)}

??
剖析：相当多的同学在解答这些问题时出错。如第1题选B，第2题选C，第3题选B，
第4题选C。究 其原因，就是没有弄清楚集合中的元素是什么？
事实上，第1题中集合M的元素是直线，集合 N的元素是抛物线，显然既是直线又是
抛物线的曲线不存在，故
M?N?
?
， 应选A。
第2题中集合M表示函数
y?2sinx，x?R
的值域，N表示 函数
y?x
2
，x?R
的值域，
即
M??2，2
，
N?0，??
，故
M?N?
?
0,2
?
，应选D。
第3题中M表示直线
2x?y?5
上的所有点的集合，N表示直线
x ?y?1
上的所有点的
集合，故
M?N
中的元素是两条直线的交点，应选C。
第4题中集合M表示只含有一个元素是方程“y=x”的单元素集，同样集合N表示只
含有一个元素是方程“y=x”的单元素集，由于两个方程不同，所以选D。
我们知道构成集 合的元素，常见的有数、点、式、图形或其他一些对象，对于用列举
法表示的集合，通常较易判断其中的 元素，对于用描述法
?
x|x?p
?
（其中x为元素的一般
形式，p 是集合中元素x所具有的公共属性）表示的集合，需要看元素的一般形式是什么！
请看下面问题，指出各集合中的元素是什么。
5.
A?x|y??x
2
?x?2，B?y|y??x
2
?x?2
。
???
?
????
?
7.
A?
?
y|y?t
6.
A?y|y?x
2
? 1，x?R，B?(x，y)|y?x
2
?1，x?R
。
22
??
?1，t?R
?
，B?
?
t|t?(y?1)
?
? 1，y?R
。
?
剖析：第5题A中元素的一般形式是数x，即函数
y??x
2
?x?2
的定义域，由
?x
2
?x?2?0得
1?x?2，所以A?1，2
。B中元素的一般形式是数y，即函数
??
1
?
9
3
?
?
?
y??x?x?2
的值 域，因为
y??
?
x?
?
?
，所以
B?
?
0，
?
。
?
2
?
4
2
??2
2

第6题A表示函数
y?x
2
?1( x?R)
的值域，即
A?{y|y?1}?[1，??)
，B中元素的
一般形 式是点
(x，y)
，表示的是以（0，1）为顶点，开口向上的抛物线上的所有点。
第7题
A?{y|y?1}?[1，??)，B?{t|t?1}?[1，??)
，所以A=B 。
点评：通过以上问题分析不难看出集合是一种语言，如果不能从这种语言中破译出它
的全部意义，那么就会造成各种各样的错误。所以遇到集合问题，首先要看元素的一般形
式是什么，其 次结合元素属性来确定集合中有哪些元素，只有这样才能对集合问题作出正
确的判断和运算。

练一练：
1. 已知集合
A?{(x，y)|yx?0}，B?{(x，y)| x
2
?y
2
?1}，求A
?
B。

2. 已知
M?{1}，N?{1，2}
，设
A?{(x,y)|x?M,y?N}< br>，
B?{(x,y)|x?N,y?M}
，
求
A?B，A?B
。
3. 设
f(x)?x
2
?ax?b，A?{x|f(x)?x}? {a}，(a，b)?M
，求M。

答案：
1.
{(1，0)，(0，1)，(0，?1)}

提示：因
A?{(x，y)|yx?0}?{(x，y)|x?0或y?0(x?0)}

所以
A?B?{(1，0)，(0，1)，(0，?1)}

2.
A?B?{(1，1)}，A?B?{(1，1)，(1，2)，(2，1)}

提示：根据题意可知
A?{(1，1)，(1，2)}，B?{(1，1)，(2，1)}

所以
A?B?{(1，1)}，A?B?{(1，1)，(1，2)，(2，1)}

?
?
11
?
?
3.
M?
?
?
，
?
?

?
?
39
?
?
提示：因
A?{x|f(x)?x}?{a}

所以方程
x
2
?(a?1)x?b?0
有两个等根a
?
a?a?1?a
由韦达定理知
?
2

a?b
?
11
解得
a?，b?

39