辅导高考数学基础知识

高考数学基础知识辅导
三角恒等式
y?asin
?
x?bcos
?
x?

三角恒等式
y?asin
?
x?bcos
?
x?
a
2
?b
2
sin
?
?
x?
?
?< br>的应用
王远征 深圳市蛇口中学（518067）
a
2
?b2
sin
?
?
x?
?
?
是一个重要的恒等式， 在
高考和中学数学竞赛试题中频繁出现。它与求三角函数的周期、最值密切关。本文介绍该恒
等 式在解答这类问题中的应用，以及将非标准式转化成
y?a
2
?b
2
sin(
?
x?
?
)
的几种转
化途径。
例1 。 （2003年6月全国高考数学（文史类）试题20，（理工农医类）试题4）已知函
数
f?
x
?
?2sinx
?
sinx?cosx
?
。
（Ⅰ）求函数
f
?
x
?
的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给定的直角坐标系中，画出函数
y?f
?
x
?
在的区间
?
?
解：函数
f
?
x
?
?2sinx?
sinx?cosx
?

2
=
2sinx?2sinxcosx

?
??
?
,
?
上的图像；
?
22
?
=
1?cos2x?sin2x

=1?2
?
sinxcos
?
?
?
4
?cosx sin
?
?
?

4
?
=
1?
?< br>??
2sin
?
x?
?

4
??
所 以
f
?
x
?
?2sinx
?
sinx?cosx< br>?
的最小正周期是
2
?
，最大值
1?2

（Ⅱ）略。
有兴趣的读者不妨用此方法解答如下试题：
（1991年全国高考题） 求函数
y?sinx?2sinxcosx?3cosx
的最小值，并写出使
函数y
取最小值的
x
的集合。（答案：
y
min
?
2?2
，
?
x|x?k
?
?
22
?
?3
?
?
?
）
8
?

例2 。（1995年全国高考题）函数
y?4sin(3x?
（ ）
?
4< br>)?3cos(3x?
?
4
)
的最小正周期为
2
?< br>?
； （
D),
。
33
?
3
解：原函数可 化为
y?5sin(3x??
?
)
其中
?
?arctan

44
2
?
T?
选（C）
3
（
A),6
?
； （
B),2
?
； （
C),
评注：一般地，形如
y?as in
?
x?bcos
?
x?a
2
?b
2
s in(
?
x?
?
)
，其中
?
?arctan

a
。
b
①最小正周期为：
T?
2
?
?
；
22
②当
x?R
时，
y
min
??a?b,y
max< br>?a
2
?b
2
；
一般地，将非标准的三角函数式转化成y?a
2
?b
2
sin(
?
x?
?
)
的形式的途径有如下
几种方式：和差化积；积化和差；运用二倍角公式将函数式中的二次降为一 次。

例3．函数
f(x)?sin(

?
3
?2x)?sin2x
的最小正周期为（ ）
(A),
?
2

(B),
?

(C),2
?

(D),4
?

解：和差化积得：
y?2sin
?
6
cos(
?
6
?2x)?cos(2x?
?
6
)

T?

2
?
?
?
选（B ）
2
3x
?
3x5
?
?)cos(?)
的最小正周期为（ ）
2626
例4．函数
f(x)?sin(
解：积化和差得：
f(x )?
?
11
?
?
2
?
?
2
?sin3x??sin(?
?
)?sin(3x?)

??
?< br>22
?
33
?
?
?
?
2
?

3
T?
例5．函数
f(x)?cos
2
?
x??
?
?
?
2
?
?sin(x?)?1
是（ ）
4
?
4
?

（A）。周期为
?
的 偶函数； （B）。 周期为
?
的奇函数；
（C）。周期为 2
?
的偶函数； （D）。 周期为 2
?
的奇函数；
解：运用三角函数的二倍角公式，将函数式中的二次降为一次，从而 将原三角函数转化
为标准的三角函数式：
?
?
?
?
??
??
?
?
???
y?sin
2
?
?
?
x?
?
?
?sin
2
(x?)?1?2sin< br>2
?
x?
?
?1?cos
?
2x?
?
??sin2x
4
?
?
44
?
2
???
?
2
?
所以 T=
?
是奇函数 ， 选 （B）
例6．（1992年全国高考试题）函数
y?sinxcosx?3cos
2
x?
（ ）
3
的最小正周期为
2
A,
?
；
B,2
?
；
C,
解：
y?
?
4
；
D,
?

2
1313
?
sin2x?2cos2
?1?sin2x?cos2x?sin(2x?)

22223
??
所以 T=
?
选（A）
三角函 数式的给出方式可以有多种形式，但通过上述介绍的三种转化途径，总可以将非
标准式转化为标准形式< br>y?a
2
?b
2
sin(
?
x?
?
)
，从而使问题获解。因此，恒等变形是解
题的关键。



王远征E-MAIL:wyzchg@