上海好的数学补习班 上海好的高中补习班-各章节知识点总结(大纲版)

[新王牌]高二数学复习知识点归纳总结
不等式单元知识总结
一、不等式的性质
1．两个实数a与b之间的大小关系
?
?
(1)a－b ＞0?a＞b；
?
(2)a－b=0?a=b；
?
?
(3)a－b＜ 0?a＜b．

?
(4)
a
?
b
＞1?a＞b；
?
若 a 、b?R
?
，则
?
?
(5)
a
b
=1?a =b；
?
?
?
?
(6)
a
b
＜1?a＜b ．

2．不等式的性质
(1)a＞b?b＜a(对称性)

(2)
a＞b
?
b＞c
?
?
?a＞c(传递性)

(3)a＞b?a＋c＞b＋c(加法单调性)

a＞b
?
c＞0
?
?
?ac＞bc

(4) (乘法单调性)
a＞b
?
c＜0
?
?
?ac＜bc

(5)a＋b＞c?a＞c－b(移项法则)

(6)
a＞b
?c＞d
?
?a＋c＞b＋d(同向不等式可加
?
)

( 7)
a＞b
?
c＜d
?
?
?a－c＞b－d(异向不等式可 减)

(8)
a＞b＞0
?
c＞d＞0
?
?
?ac＞bd(同向正数不等式可乘)

(9)
a＞b＞0
?
0＜ c＜d
?
?
?
a
c
＞
b
d
(异向 正数不等式可除)

(10)
a＞b＞0
?
n?N
?
?
?a
n
＞b
n
(正数不等式可乘方)

(11)
a＞b＞0
?
n?N
?
?
?
n
a＞
n
b(正数不等式可开方)

(12)a＞b＞0?
1
a
＜
1
b
(正数不等式两边取倒数)

3．绝对值不等式的性质
(1)|a|≥a；|a|=
?
?
a (a≥0)，
?
－a (a＜0)．

(2)如果a＞0，那么
|x|＜a?x
2
＜a
2
?－a＜x＜a；

|x|＞a?x
2
＞a
2
?x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．
(4)|
a|
b
|＝
a|
|b|
(b≠0)．

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a
1
＋a
2
＋……＋a
n
|≤|a
1
|＋| a
2
|＋……＋|a
n
|．
二、不等式的证明
1．不等式证明的依据
(1)实数的性质：a、b同号?ab＞0；a、b异号?ab＜0< br>a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b=0?a=b
(2)不等式的性质(略)

(3)重要不等式：①|a|≥0；a
2
≥0；(a－b)
2
≥0(a、b∈R)
②a
2
＋b
2
≥2ab( a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)
③
a?b
2
≥ab(a、b? R
?
，当且仅当a=b时取“=”号)

2．不等式的证明方法
( 1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较< br>法．
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．
(2)综合法：从 已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等
式成立，这种证明不等式 的方法叫做综合法．
(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到 所需条件已判断
为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．
三、解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．
(3)注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性
(1)f(x)·g(x)＞0与
?
?
f(x)＞0
或
?
f(x)＜0
?
g(x)＞0
?
同解．
?
g(x)＜0

(2)f(x) ·g(x)＜0与
?
?
f(x)＞0
?
g(x)＜0
或
?
?
f(x)＜0
?
g(x)＞0
同解．
(3)
f(x)
?
f(x)
g(x)
＞0与
?
＞0
?
g(x)＞0
或
?
?
f(x)＜0
同解 ．
?
g(x)＜0
(g(x)≠0)

(4)
f(x)?
f(x)＞0
?
g(x)
＜0与
?
?
g(x )＜0
或
?
f(x)＜0
同解．
?
g(x)＞0
(g(x)≠0)

(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；② 与g(x)＜0同解．
?
f(x)＞[g(x)]
2

(7)f(x)＞g(x)与
?
?
f(x)≥0或
?
f( x)≥0
?
?
g(x)≥0
g(x)＜0
同解．
?
?

f(x)＜g(x)与
?
?
f(x)＜[g(x)]
2
(8)
f(x)≥0
同解．
?

(9)当a＞1时，af(x)
＞a
g(x)
与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，a
f(x)
＞a
g(x)
与f(x)＜g(x)同解．
(10)当a＞1时， logf(x)＞log
?
f(x)＞g(x)
aa
g(x)与
?< br>?
f(x)＞0
同解．

?
f(x)＜g(x)
当0 ＜a＜1时，log
?
a
f(x)＞log
a
g(x)与
?
f(x)＞0同解．
?
?
g(x)＞0


直线和圆的方程单元知识总结

一、坐标法
1．点和坐标
建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系．
2．两点间的距离公式
设两点的坐标为P
1
(x
1
，y< br>1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，则两点间的距 离
|P
2
1
P
2
|=(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)

特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：
(1)当x
1
=x
2
时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则
|P
1
P
2
|=|y
2
－y
1
|
(2)当y
1
=y
2
时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则
|P
1
P
2
|=|x
2
－x
1
|
3．线段的定比分点

(1)定义：设P点把有向线段P
1
P
2
分成P
1
P和PP
2
两部分，那么有向
线段P< br>1
P和PP
2
的数量的比，就是P点分P
1
P
2所成的比，通常用λ表示，
即λ=
P
1
P
PP
，点P叫 做分线段P
1
P
2
为定比λ的定比分点．
2

当P 点内分P
1
P
2
时，λ＞0；当P点外分P
1
P
2
时，λ＜0．

(2)公式：分P
1
(x
1
，y< br>2
)和P
2
(x
2
，y
2
)连线所成的比为 λ的分点坐标是
?
?
x
1
?λ
?
x?
x
2
?
1?λ
(λ≠?1)
?
?
y?
y1
?λy
2
?
1?λ

特殊情况，当P是P
1
P
2
的中点时，λ=1，得线段P
1
P
2
的中点坐 标

公式
?
x
?
1
?
?
x?< br>x
2
?
2
?
?
?
y?
y
1
?y
2
2

二、直线
1．直线的倾斜角和斜率
(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，
叫做这 条直线的倾斜角．
当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．
所以直线的倾斜角α∈[0，π)．
(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
率，直线的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠
π
2
)．

∴当k≥0时，α=arctank．(锐角)
当k＜0时，α=π－arctank．(钝角)
(3)斜率公式：经过两点P
1< br>(x
1
，y
1
)、P
2
(x
2
，y
2
)的直线的斜率为
k=
y
2
?y
1
x
(x
1
≠x
2
)
2
?x
1

2．直线的方程
(1)点斜式 已知直线过点(x
0
，y
0)，斜率为k，则其方程为：y－y
0
=k(x－x
0
)
(2)斜截式 已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kx＋b
(3)两点式 已知直线过两点(x
1
，y
1
)和(x
2
，y
2
)，则其方程为：
y?y
1
y
=
x?x
1
(x≠x
2
)
2
?y
1
x
2
?x
1
1

(4)截距式 已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：
xy
a
?
b
?1

(5)参数式 已知直线过点P(x
0
，y
0
)，它的一个方向向量是(a，b)，
则其参数式方程为
?
?
x?x
0
?at
?
y?y
(t为参数)，特别地，当方向向量为
0
?bt

v(cosα，sinα)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为
?
?
x? x
0
?tcosα
(t为参数)
?
y?y
0
?ts inα

这时，t的几何意义是tv=p
→→
0
p，|t|=|p< br>0
p|=|p
0
p|

(6)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)．
(7)特殊的直线方程
①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0．
②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0．
3．两条直线的位置关系
(1)平行：当直线
l
1
和
l< br>2
有斜截式方程时，k
1
=k
2
且b
1
≠b
2
．
当l
A
1
B
1
C
1
1
和l
2
是一般式方程时，
A
?
B
≠
2 2
C
2

(2)重合：当
l
1
和
l
2
有斜截式方程时，k
1
=k
2
且b
1
=b2
，当
l
1
和
l
2
是
一般方程时，
A
1
A
?
B
1
?
C
1
2
B
2
C
2

(3)相交：当
l
1
，
l
2
是斜截式方程时，k
1
≠k
2
当l
A
2
1
，l
2
是一般式方程时，
A
≠
B
1
2
B
2

?
?
交点：< br>?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0< br>①
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2?0
的解
斜
?
?
?
到角：l
k?k
1
1
到l
2
的角tanθ?
2
(1?
交
?< br>1?k
k
1
k
2
≠0)
1
k
2?
?
k
2
?k
1
?
夹角公式：
?l
1
和l
2
夹角tanθ?|
1?k
|(1?k
1
k
2
≠0)
1
k
2

②垂直
?
?
当l
1
和l
2
有叙截式方程时，k
1
k
2
=－1
?
当l
1
和l
2
是一般式方程 时，A
1
A
2
＋B
1
B
2
=0

4．点P(x
0
，y
0
)与直线
l
：Ax＋By＋ C=0的位置关系：
Ax
0
＋By
0
＋C=0?P在直线l上(点 的坐标满足直线方程)
Ax
0
＋By
0
＋C≠0?P在直线l外．< br>
点P(x
0
+By
0
+C|
0
，y
0
)到直线l的距离为：d=
|Ax
A
2
?B
2

5．两条平行直线
l
1
∶Ax＋By＋C
1
=0，
l
2
∶Ax＋By＋C
2
=0间
的距离为：d=
|C1
?C
2
|
A
2
?B
2
．

6．直线系方程
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标 变量x，y以外，
还含有特定的系数(也称参变量)．
确定一条直线需要两个独立的条件，在 求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所
在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定 其中的参变量．
(1)共点直线系方程：
经过两直线
l
1
∶A< br>1
x＋B
1
y＋C
1
=0，
l
2
∶ A
2
x＋B
2
y＋C
2
=0的交点的直线系方程为：A1
x＋B
1
y＋C
1
＋λ(A
2
x
＋ B
2
y＋C
2
)=0，其中λ是待定的系数．
在这个方程中，无论 λ取什么实数，都得不到A
2
x＋B
2
y＋C
2
=0，因此 它不表示
l
2
．当λ=0时，即
得A
1
x＋B
1< br>y＋C
1
=0，此时表示
l
1
．
(2)平行直线系 方程：直线y=kx＋b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线
Ax＋By＋C=0 平行的直线系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：与直线A x＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是：Bx－Ay＋λ=0．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．
7．简单的线性规划
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋B y＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．
二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面点集的交集，即各个不等式所表
示的平面区域的公共部分．
(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，
例如，z=ax＋by，其中x，y满足下列条件：
?
?
A
1x＋B
1
y＋C
1
≥0(或≤0)
?
?
A2
x＋B
2
y＋C
2
≥0(或≤0)
(*)
?
……
?
?
A
n
x＋B
n
x＋C
n
≥0(或≤0)

求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一 组对变量x、y的线性约束条件，
z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x，y) 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫
做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最 优解．
三、曲线和方程
1．定义
在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与 一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关
系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)；
(2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)．
这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐 标为(x
0
，
y
0
)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述 为：
(1)M∈P?(x
0
，y
0
)∈Q，即P?Q；
( 2)(x
0
，y
0
)∈Q?M∈P，即Q?P．

以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
(1)(x
0
，y< br>0
)?Q?M?P；
(2)M?P?(x
0
，y
0
) ?Q．

显然，当且仅当P?Q且Q?P，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0

为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．
2．曲线方程的两个基本问题
(1)由曲线(图形)求方程的步骤：
①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}；
③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0；
④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；

⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述方法简称“五步法”， 在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方
程的解集相同，则步骤⑤可省略不写 ，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．
(2)由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；
②求截距：
方程组
?< br>?
f(x，y)?0
?
y?0
的解是曲线与x轴交点的坐标；

方程组
?
?
f(x，y)?0
?
x?0
的解是曲线 与y轴交点的坐标；

③讨论曲线的范围；
④列表、描点、画线．
3．交点
求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
4．曲线系方程
过两曲线f
1
(x，y)=0和f
2
(x，y)=0的交点的曲线系 方程是f
1
(x，y)＋λf
2
(x，y)=0(λ∈R)．
四、圆
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
2．圆的方程
(1)标准方程(x－a)
2
＋(y－b)
2
=r
2
．(a，b)为圆心，r为半径．
特别地：当圆心为(0，0)时，方程为 x
2
＋y
2
=r
2

(2)一般方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F=0
配方( x?
D
2
2
)?(y?
E
2
D
2
?E
2
?4F
2
)?
4

当D
2
＋E
2
－4F＞0时，方程表示以(－
DE
2
，－
2
)为圆心，以
1
2
D
2
?E
2
?4F为半径的圆 ；

当D
2
＋E
2
－4F=0时，方程表示点(－
DE
2
，－
2
)

当D
2
＋E
2
－4F＜0时，方程无实数解，无轨迹．
(3)参数方程 以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
?
?
x?a?rcosθ
(θ为参数
?
y?b?rsinθ
)

特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
?
?
x?rc osθ
?rsinθ
(θ为参数)
?
y

3．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
(1)点在圆外? d＞r；
(2)点在圆上?d=r；
(3)点在圆内?d＜r．

4．直线与圆的位置关系
设直线
l
：Ax＋By＋C=0和圆C：(x－a )
2
＋(y－b)
2
=r
2
，则
d?
|Aa?Bb?C|
A
2
?B
2
．

(1)相交?直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞0或d＜r；
(2)相切?直线与圆的 方程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；
(3)相离?直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜0 或d＞r．

5．求圆的切线方法
(1)已知圆x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F=0．
①若已知切点(x
0
，y
0
)在圆上，则切线只有一条，其方程是
x
D(x?x
0
)E
0
x?y
0
y?2
?
(y?y
0
)
2
?F?0．

当 (x
x?xy
0
?y
0
，y
0
)在圆外时，x0
x＋y
0
y＋D(
0
2
)＋E(
2
)＋F=0表示

过两个切点的切点弦方程．
②若已知切线过圆外一点(x
0
，y
0
)，则设切线方程为y－y
0
=k(x－x
0)，再利用相切条件求k，这时
必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kx＋b，再利用相切条件求b，这时必有两条切线．
(2)已知圆x
2
＋y
2
=r
2
．
①若 已知切点P
2
0
(x
0
，y
0
)在圆上，则该圆过 P
0
点的切线方程为x
0
x＋y
0
y=r．
②已知圆的切线的斜率为k，圆的切线方程为y=kx±rk
2
?1．

6．圆与圆的位置关系

已知两圆圆心分别为O
1
、O
2
，半径分别为r
1
、r
2
，则
(1)两圆外切?|O
1
O
2
|=r
1
＋r
2
；
(2) 两圆内切?|O
1
O
2
|=|r
1
－r
2
|；
(3)两圆相交?|r
1
－r
2
|＜|O
1
O
2
|＜r
1
＋r
2
．



圆锥曲线单元知识总结

一、圆锥曲线
1．椭圆
(1)定义
定义1：平面内一个动点到两个定点F
1
、F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1
F
2
|)，这个动点的轨迹叫
椭 圆(这两个定点叫焦点)．
定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常
数e＝
c
a
(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆．

(2)图形和标准方程

x
2
－1的标准方程为：
y2
图8
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)
图8－2的标准方程为：
x
2
y
2
b
2
＋
a
2
＝1(a＞b＞0)

(3)几何性质
2．双曲线
条件
{M|MF
1
|+|MF
2
|=2a，2a＞|F
1< br>F
2
|}
|MF|MF
{M|
1
|
2
|
点M到l
1
的距离
=
点M到l
=e，0＜e＜1}< br>2
的距离
标准方程
x
2
y
2
x
2< br>y
2
a
2
?
b
2
?1(a＞b＞0)
b
2
?
a
2
?1(a＞b＞0)
顶点
A
1
(－a，0)，A
2
(a，0)A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)
B
1
(0，－b)，B
2
(0，b)B
1
(－b，0)，B
2
(b，0)
轴
对称轴：x轴，y轴．长轴长| A
1
A
2
|=2a，短轴长|B
1
B
2
| =2b
焦点
F
1
(－c，0)，F
2
(c，0)F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
焦距
|F
1
F< br>2
|=2c(c＞0)，c
2
=a
2
－b
2

离心率
e＝
c
a
(0＜e＜1)
准线方程
lx＝?
a
2
a
2
a
2
a
2
1
：
c
；l
2
：x＝
c
l
1
：y＝?
c
；l
2
：y＝
c
焦点半径
|MF
1
|＝ a＋ex
0
，|MF
1
|＝a＋ey
0
，
|MF< br>2
|＝a－ex
0
|MF
2
|＝a－ey
0
＞外
点和椭圆
x
2
0
y
2
0
的关系
a
2
?
b
2
?1?(x
0
,y
0
)在椭圆上
＜内
(k为切线斜率)，(k为切线斜率)，
y＝kx±a
2< br>k
2
?b
2
y＝kx±b
2
k
2
? a
2
切线方程
x
0
xy
0
yx
0
xy
0
y
a
2
＋
b
2
＝1
b2
＋
a
2
＝1
(x
0
，y
0
)为切点(x
0
，y
0
)为切点
切点弦
(x
0，y
0
)在椭圆外(x
0
，y
0
)在椭圆外
方 　程
x
0
xy
0
yx
0
xy
0
a
2
＋
b
2
＝1
b
2
＋
y
a
2
＝1
|x|1+k
2
或|y
1
2
－x
11
－y
2
|1+
k
2
弦长公式
其中(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)为割弦端点 坐标，k为割弦所在直
线的斜率

(1)定义
定义1：平面内与两个定点F
1
、F
2
的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F
1
F
2
|)的点的轨迹叫做双曲
线(这两个定点叫双曲线 的焦点)．
定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动 点的轨迹
是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．
(2)图形和标准方程

图8－3的标准方程为：
x
2
a
2
－
y
2
b
2
＝1(a＞0，b＞0)


图8－4的标准方程为：
y
2
x
2
a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)

(3)几何性质
P＝{ M|MF
1
|－|MF
2
|＝2a，a＞0，2a＜|F
1
F
2
|}．
条件
P＝{M|
|MF
1
|
点 M到l的距离
＝
|MF
2
|
点M到l
＝e，e＞1}．12
的距离
标准方程
x
2
y
2
a
2< br>b
0，b＞0)
y
2
a
2
－
x
2< br>－
2
＝1(a＞
b
2
＝1(a＞0，b＞0)
顶点< br>A
1
(－a，0)，A
2
(a，0)A
1
(0，－a )，A
2
(0，a)
轴
对称轴：x轴，y轴，实轴长|A
1
A
2
|＝2a，虚轴长|B
1
B
2
|＝2b
焦点< br>F
1
(－c，0)，F
2
(c，0)F
1
(0，－c )，F
2
(0，c)
焦距
|F
1
F
2
|＝ 2c(c＞0)，c
2
＝a
2
＋b
2
离心率
e＝< br>c
a
(e＞1)
准线方程
l
a
2
a
2
a
2
1
：x＝－
c
l＝
a
2
；
2
：xl
1
：y＝－
c
；l
2
：y＝渐近线
2
2
c
y＝±
b
x(或
x
2< br>y
2
c
2
－y＝±
a
y
x
方 程
a
ab
2
＝0)
b
x(或
a
2
－
b
2
＝0)
共渐近线
x
2
y
2
x
2
的双曲线
a
2
－
y
2
b
2＝k(k≠0)
a
2
－
b
2
＝k(k≠0)
系 方程
焦点半径
|MF
1
|＝ex
0
＋a，|MF
1
|＝ey
0
＋a，
|MF
2
|＝ex
0
－ a|MF
2
|＝ey
0
－a
y＝kx±a
2
k2
?b
2
y＝kx±b
2
k
2
?a
2
(k为切线斜率)(k为切线斜率)
k＞
b
a
或k＜－
b< br>a
k＞
aa
b
或k＜－
b
切线方程
x
0
xy
0
yy
0
y
a
2
－
b< br>2
＝1
a
2
－
x
0
x
b
2
＝1
((x
0
，y
0
)为切点((x
0
， y
0
)为切点
xy＝a
2
的切线方程：
x
0
y?y
0
x
2
＝a
2
((x
0
，y0
)为切点

b
切点弦
方 程
(x< br>0
，y
0
)在双曲线外(x
0
，y
0
)在双 曲线外
x
0
x
a
2
－
y
0
yb
2
＝1
y
0
y
a
2
－
x< br>0
x
2
＝1
A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．
2．对于缺xy项的二元二次方程：
22
Ax＋Cy＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C 不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方
程，其方法有：①待定系数法；②配方 法．
|x－x|1+k
2
或|y
1
211
－y
2
|1+
2
弦长公式
k
其中(x
1
，y
1< br>)，(x
2
，y
2
)为割弦端点坐标，k为
割弦所在直线的斜 率

3．抛物线
(1)定义
平面内与一个定点F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦
点，定直线
l
叫做 抛物线的准线．
(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：

①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方
向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．
②p的几何意义：焦点F到准线
l
的距离．
③弦长公式：设直线为y＝kx ＋b抛物线为y
2
＝2px，|AB|＝1?k
2

|x
2
－x
1
1
|＝1?
k
2
|y
2
－ y
1
|

焦点弦长公式：|AB|＝p＋x
1
＋x
2

4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直 线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定
直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝
1时，是抛物线．
二、利用平移化简二元二次方程
1．定义
缺xy项的二元二次方程Ax
2
＋Cy
2
＋Dx＋Ey＋F＝0(A、C不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆< br>型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．
A＝C是方程※为圆的方程的必要条件．
A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．
A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．
(x?h)
2
(y?k)
2
(x?h)
2
(y
a
2
＋
b
2
＝1或
b
2
＋
?k)
2
椭圆：
a
2
＝1

中心O′(h，k)
(x?h)
2
(y?k)< br>2
(y?k)
2
(x?h)
2
双曲线：
a
2
－
b
2
＝1或
a
2
－
b
2
＝1

中心O′(h，k)
抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为
(y－k)
2
＝2p(x－h)或(y－k)
2
＝－2p(x－h)，
顶点O′(h，k)．
对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(x－h)
2
＝ 2p(y－k)或(x－h)
2
＝－2p(y－k)
顶点O′(h，k)．
以上方程对应的曲线按向量a＝(－h，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．