高中数学解题方法大全

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第一章 高中数学解题基本方法
一、 配方法 < br>配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未
知的 联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”
与“凑 ”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出 现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中
含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论 与求解，或者缺xy项的二次曲
线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，将这个公式
灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2ab＝(a－b)
2
＋2ab；
a
2
＋ab＋b
2
＝(a＋b)
2
－ab＝(a－b)
2
＋3ab；
a
2
＋b
2
＋c
2
＋ab＋bc＋ca＝
1
[(a＋b)
2
＋(b＋c)
2
＋(c＋a)
2
]
2
a
2
＋b
2
＋c
2
＝(a＋b＋c)
2
－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2 －2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ；
x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。
2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 1 C. k∈R D. k＝ 或k＝1
3. 已知sin α＋cos α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
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A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log (－2x ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, ] B. [ ,+∞) C. (－ , ] D. [ ,3)
5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ，则点P(x ,x )在圆x +y =4上，则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质a a ＝a ，将已知等式左边后配方（a ＋a ） 易求。
答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解r >0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出sinαcosα，然后求出
所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－ 。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其 12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线
长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长 ，将
其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“ 长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和
为24”而得： 。
长方体所求对角线长为： ＝ ＝ ＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学 表示式，观察和分析三个
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数学式， 容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这
也是我们使用配方法的 一种解题模式。
例2. 设方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，若( ) +( ) ≤7成立，求实数k的取值范围。
【解】方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7， 解得k≤－ 或k≥ 。
又 ∵p、q为方程x ＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2
综合起来，k的取值范围是：－ ≤k≤－ 或者 ≤k≤ 。
【注】 关于实系数一元 二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可
以恰当运用韦达定理。本题由韦达 定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征
联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的 组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，
即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但 解答是不严密、不完整的，这一点我们
要尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a、b满足a ＋ab＋b =0，求( ) ＋( ) 。
【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ＋( )＋1＝0，则 ＝ω （ω为1的立方虚根）；或
配方为(a＋b) ＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a ＋ab＋b =0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，
设ω＝ ，则ω ＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以： ＝ ，ω ＝ ＝1。
又由a ＋ab＋b =0变形得：(a＋b) ＝ab ，
所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋ ＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根， 活用ω的性质，计算表
达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开 。
【另解】由a ＋ab＋b ＝0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，解出 ＝ 后，化成三角形式，代入
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所求表达式的变形式( ) ＋( ) 后，完成后面的运算。此方法用于只是未 联想到ω时进行解
题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a ＋ab＋b ＝0解出：a＝ b，直接代入
所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a) ＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。
A. 8 B. C. D.最小值不存在
2. α、β是方程x －2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1) 的最小值是_____。
A. － B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R ，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2 ＋8 有_____。
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
4. 椭圆x －2ax＋3y ＋a －6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5. 化简：2 ＋ 的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 设F 和F 为双曲线 －y ＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F PF ＝90°，则△F PF
的面积是_________。
7. 若x>－1，则f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值为___________。
8. 已知 〈β<α〈 π，cos(α-β)＝ ，sin(α+β)＝－ ，求sin2α的值。(92年高考题)
9. 设二次函数f(x)＝Ax ＋Bx＋C，给定m、n（m－Cmn]＋B ＋C ＝0 。
① 解不等式f(x)>0；
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② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出
t的取值范围。
10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝log t＋log s，y＝log t＋log s＋m(log t＋log s),
① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。


二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简 化，这叫
换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单
化，变得 容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐
含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推
证简 化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换 元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者
未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而 简化问题，当然有时候要通过变
形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元
二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去 根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识
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中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α ，α∈[0, ]，
问题变成了熟悉的求三角函 数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，
又有去根号的需要。如变量x、y适合 条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x＝rcos
θ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。
我们使用换元法时， 要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的
选取，一定要使新变量范围对应于 原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的
t>0和α∈[0, ]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a ，则数列通项a ＝___________。
4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程 ＝3的解是_______________。
6.不等式log (2 －1) ?log (2 －2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－ ，对称轴t＝－1，当t＝ ，y ＝ ＋ ；
2小题：设x ＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log 4]；
3小题：已知变形为 － ＝－1,设b ＝ ，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝
－ ；
4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1；
6小题：设log (2 －1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2精品资料

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Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x －5xy＋4y ＝5 （ ①式） ，设S＝x ＋y ，求 ＋ 的值。（93
年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x ＋y 联想到cos α＋sin α＝1,于是进行三角换元，设 代入①式求S 和
S 的值。
【解】设 代入①式得： 4S－5S? sinαcosα＝5
解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤ ≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S＝x ＋y ，设x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]，
则xy＝± 代入①式得：4S±5 =5，
移项平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。
∴ 39S －160S＋100≤0 解得： ≤S≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x ＋y 与三角公式cos
α＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二
种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设x ＝ ＋t、y
＝ －t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、
不 等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y 时，可以设x＝a＋b，
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y＝a－ b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代
入①式整理 得3a ＋13b ＝5 ，求得a ∈[0, ]，所以S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝2(a ＋b )＝ ＋
a ∈[ , ]，再求 ＋ 的值。

例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全
国理）
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”
进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos 。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得：
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2 ,
解得：cosα＝ ， 即：cos ＝ 。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－
＝－2 ，设 ＝－ ＋m， ＝－ －m ，
所以cosA＝ ，cosC＝ ，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2cos cos ＝cos ＝ ，
cosA－cosC＝－2sin sin ＝－ sin ＝ ，
即：sin ＝－ ，＝－ ，代入sin ＋cos ＝1整理得：3m －16m－12＝0,解出m ＝6，
代入cos ＝ ＝ 。
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“ ＋ ＝－2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角
的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外 ，还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝ 2B，得A＋C＝120°，B
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＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，即cosA＋cosC＝－2 cosAcosC，和积互化得：
2cos cos ＝－ [cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝ － cos(A-C)＝ － (2cos －1)，整理得：
4 cos ＋2cos －3 ＝0,
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a 的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx?cosx得：sinx?cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ]
t＝- 时，取最小值：－2a －2 a－
当2a≥ 时，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－ ；
当0<2a≤ 时，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值为－2a －2 a－ ，最大值为 。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cos x与sinx?cosx的内在
联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使 得容易求解。换元
过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- , ]）与sinx＋cosx对应， 否则将会出错。本题解法
中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关 系而确定参
数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cos x的和、差、积等而求三角式的最大值和
最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinx csox)，经常用到这样设元的换元法，转化为
在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范围。（87
年全国理）
【分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，
再实施换元法。
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【解】 设log ＝t，则log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得 ∴ t<0即log <0
0< <1，解得0【注】应用局 部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，
关键是发现已知不等式中 log 、 log 、log 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题
时，使用了“判别式 法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不
等式、方程，有可能使用局部换 元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发
现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法 时要注意的一点。
例5. 已知 ＝ ，且 ＋ ＝ (②式)，求 的值。
【解】 设 ＝ ＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1,代入②式得：
＋ ＝ ＝ 即： ＋ ＝
设 ＝t，则t＋ ＝ , 解得：t＝3或 ∴ ＝± 或±
【另解】 由 ＝ ＝tgθ，将等式②两边同时除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg
θ，设tg θ＝t，则3t —10t＋3＝0，
∴t＝3或 ， 解得 ＝± 或± 。
【注】 第一种解法由 ＝ 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将
已知变形为 ＝ ，不难发现进行结果为 tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比
较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程 次数降低。
例6. 实数x、y满足 ＋ ＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件 ＋ ＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ，
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即： 代入不等式x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了 含参三角不等式恒成
立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。 一般地，
在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角 坐标系，不等式ax＋by＋
c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两 部分中含x轴正方向的一部分。
此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y －k>0的区域。即
当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程 组 有相
等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x )＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
2. 函数y＝(x＋1) ＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{a }的公差d＝ ，且S ＝145，则a ＋a ＋a ＋……＋a 的值为_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x ＋4y ＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 ＋ 的范围是____________。
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6. 不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
7. 函数y＝2x＋ 的值域是________________。
8. 在等比数列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求a ＋a ＋…＋a 。
9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x ＋y ＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD
始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。



三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系 数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方
法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用 了多项式f(x) g(x)的充要条件是：
对于一个任意的a值，都有f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等 式或方程。使用待定系数法，就是把具有某
种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方 程组来解决，要判断一个问题
是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数 学表达式，如果
具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复 数、
解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法
求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
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第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
① 利用对应系数相等列方程；
② 由恒等的概念用数值代入法列方程；
③ 利用定义本身的属性列方程；
④ 利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们 可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中
含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方 程未知系数的方程或方程组；最后解所得的
方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确 的方程形式，得到所求圆锥曲
线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设f(x)＝ ＋m，f(x)的反函数f (x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
2. 二次不等式ax ＋bx＋2>0的解集是(－ , )，则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
3. 在(1－x )（1＋x） 的展开式中，x 的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
4. 函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为 ，最小值为－ ，则y＝－4asin3bx的最小正周
期是_____。
5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是________ _______。
6. 与双曲线x － ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
【简解】1小题：由f(x)＝ ＋m求出f (x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；
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2小题：由不等式解集(－ , )，可知－ 、 是方程ax ＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出
关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
3小题：分析x 的系数由C 与(－1)C 两项组成，相加后得x 的系数，选D；
4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案 ；
5 小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
6小题：设双曲线方程x － ＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程 － ＝1。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知函数y＝ 的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 < br>【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就
是已知 函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为： (y－m)x －4 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
代入两根得： 解得： 或
∴ y＝ 或者y＝
此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y －6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而
得： ，解出m、n而求得函数式y。
【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，
得到了含参数m、 n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种
方法可以求解，一是视为方程两 根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不
等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方 程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集
概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将 y视为参数，函数式化成含参数y
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的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范
围就是值 域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的
端点距离是 － ，求椭圆的方程。
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全 部解决了。
设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端< br>点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a
∴ 解得：
∴ 所求椭圆方程是： ＋ ＝1
也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性 质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列
式： ，更容易求出a、b的值。
【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确
定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不
变，本题就 利用了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数 法，基本步骤是：设方程（或几
何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1?2 ＋2?3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (an ＋bn＋c)对一
切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）
【分析】是 否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、
3列出关于a、b、 c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所
有自然数n都成立。
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【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝ (a＋b＋c)；n＝2，得22＝ (4a
＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：
,解得 ，
于是对n＝1、2、3，等式1?2 ＋2?3 ＋…＋n(n＋1) ＝ (3n ＋11n＋10)成立，下面用数
学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：
假设对n＝k时等式成立，即1?2 ＋2?3 ＋…＋k(k＋1) ＝ (3k ＋11k＋10)；
当n＝k＋1时，1?2 ＋2?3 ＋…＋k(k＋1) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ (3k ＋11k＋10) ＋(k＋1)(k
＋2) ＝ (k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2) ＝ （3k ＋5k＋12k＋24）＝ [3(k＋1) ＋11(k＋
1)＋10]，
也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建 立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了
方程思想和特殊值法。 对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归
纳证明的步骤进行。本题如果记得两 个特殊数列1 ＋2 ＋…＋n 、1 ＋2 ＋…＋n 求和的
公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1) ＝n ＋2n ＋n
得S ＝1?2 ＋2?3 ＋…＋n(n＋1) ＝(1 ＋2 ＋…＋n )＋2(1 ＋2 ＋…＋n )＋(1＋2＋…
＋n)＝ ＋2× ＋ ＝ (3n ＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式
对一切自然数n都成立。
例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积
是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，
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将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，
显然:15－x>0，7－x>0，x>0。
设V＝ (15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0）
要使用均值不等式，则
解得：a＝ ， b＝ ， x＝3 。
从而V＝ ( － )( － x)x≤ ( ) ＝ ×27＝576。
所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm 。
【注】均值不等式应用时 要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待
定系数法”求。本题解答中也可以令V ＝ (15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由
使用均值不等式 的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑
配法”和“函数思想”。

Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝log x的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A. 2>a> 且a≠1 B. 02或02. 方程x ＋px＋q＝0与x ＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。
A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定
3. 如果函数y＝sin2x＋a?cos2x的图像关于直线x＝－ 对称，那么a＝_____。
A. B. － C. 1 D. －1
4. 满足C ＋1?C ＋2?C ＋…＋n?C <500的最大正整数是_____。
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A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 无穷等比数列{a }的前n项和为S ＝a－ , 则所有项的和等于_____。
A. － B. 1 C. D.与a有关
6. (1＋kx) ＝b ＋b x＋b x ＋…＋b x ，若b ＋b ＋b ＋…＋b ＝－1，则k＝______。
7. 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－1 9＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为
_____________。
8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面
成30°角 ，则截面面积为______________。
9. 设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝ 15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…
＋f(m)的值。
10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2 x＋7和抛
物线截得的线段长是4 , 求抛物线的方程。


四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义
和公 理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属
性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单
地说 ，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我
们回到定义中去。
Ⅰ、再现性题组：
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1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。
A. MP3. 复数z ＝a＋2ｉ，z ＝－2＋ｉ，如果|z |< |z |，则实数a的取值范围是_____。
A. －11 C. a>0 D. a<－1或a>1
4. 椭圆 ＋ ＝1上有一点P，它到左准线的距离为 ，那么P点到右焦点的距离为_____。
A. 8 C. 7.5 C. D. 3
5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－ )的值为_____。
A. T B. 0 C. D. 不能确定
6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。
【简解】1小题：利用并集定义，选B；
2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；
3小题：利用复数模的定义得 < ，选A；
4小题：利用椭圆的第二定义得到 ＝e＝ ，选A；
5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－ )＝f( )＝－f(－ )，选B；
6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z ＋3 －4，求w的三角形式； ② 如果 ＝1－ｉ，
求实数a、b的值。（94年全国理）
【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z ＋3 －4＝(1＋ｉ) ＋3 －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，
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w的三角形式是 （cos ＋ｉsin ）；
由z＝1＋ｉ，有 ＝ ＝ ＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。
由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
根据复数相等的定义，得： ，
解得 。
【注】求复数的三角形式，一般直接利用 复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，
由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常 遇到的。
例2. 已知f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log f(x)的定义域，判定在( ,1)
上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析 式，再利用函数
的单调性定义判断。
【解】 解得：
∴ f(x)＝－x ＋x 解f(x)>0得：0设 ∵ x +x > ， x +x > ∴ (x +x )( x +x )〉 × ＝1
∴ f(x )－f(x )>0即f(x)在( ,1)上是减函数
∵ <1 ∴ y＝log f(x) 在( ,1)上是增函数。

【注】关于函数的性 质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本
题还在求n、c的过程中，运用了 待定系数法和换元法。
例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。
① 证明：AB’∥平面DBC’；
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② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理）
【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由
二面角的平面角的 定义作出平面角，通过解三角形而求②问。
【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱
∴ 四边形B’BCC’是矩形
∴ O是B’C中点
△AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD
∴ AB’∥平面DBC’
② 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD
∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。
设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝ sin60°＝ ，BH＝ ，EH＝ ；
Rt△BOH中，OH ＝BH×EH＝ ，
∴ OH＝ ＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。
【注】对于 二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角
定义，两边垂直于棱 ，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的
垂线DO，最后连接两个垂足OH ，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求
解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射 影定理求OH的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。 解答
中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法
如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以 ＝ ＝ ，EF＝ B’E。在
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Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE 即 B’E ＝1，所以B’E＝ 。
y
M F
A x
例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆的下顶点的轨迹方程。
【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线
的统一性定义 ，可以得到 ＝ 建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。
【解】设A(x,y)、F(x, m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线
距离为y。根据椭圆的统一性 定义和离心率的定义，得到：
，消m得：（x－1） ＋ ＝1，
所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1） ＋ ＝1。
【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线 轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据
条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。 本题还引入了一个参数m,列出的是所
满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所 求曲线的轨迹方程。在
建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲 线的点、
焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组：
1． 函数y＝f(x)＝a ＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是
___。
2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分
别为A 、B ,则∠A FB 等于_____。
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A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x A}，则下列关系正确的是_____。
A. A B B. A B C. A∈B D. A B
4. 双曲线3x －y ＝3的渐近线方程是_____。
A. y＝±3x B. y＝± x C. y＝± x D. y＝± x
5. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数
6. C ＋C ＝________。
7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数 的辐角主值是__________。
8. 不等式ax ＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx ＋cx＋a<0解集是__________。
9. 已知数列{a }是等差数列，求证数列{b }也是等差数列，其中b ＝ (a ＋a ＋…＋a )。
10. 已知F 、F 是椭圆 ＋ ＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F 与抛物线y ＝12x的焦点重
合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M F F ?cos∠MF F ＝ ，求椭圆方程。
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理 分完全归纳推理与不完全归纳推
理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质， 推断该类事物全体
都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察 了一
类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命 题的一种推理方法，在解数学题中有着广
泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明 命题在n＝1(或n )时成立，
这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋ 1时命题也成立，这是
无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它 使命题的
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正确性突破了有限，达到 无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断
定“对任何自然数（或n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推
实现归纳的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意
识，注意 与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步
减小，最终实现目标完 成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2 ?1?2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左
端需乘的代数式为_____。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
2. 用数学归纳法证明1＋ ＋ ＋…＋ 1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k
＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2 B. 2 －1 C. 2 D. 2 ＋1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1 时该命
题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4. 数列{a }中，已知a ＝1，当n≥2时a ＝a ＋2n－1，依次计算a 、a 、a 后，猜想a 的
表达式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3
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5. 用数学归纳法证明3 ＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3 ＋5 应变形
为_______________________。
6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端 的代数
式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为 ，选B；
2小题：（2 －1）－（2 －1）＝2 ，选C；
3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。
4小题：计算出a ＝1、a ＝4、a ＝9、a ＝16再猜想a ，选B；
5小题：答案（3 ＋5 ）3 ＋5 （5 －3 ）；
6小题：答案k－1。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知数列 ，得，…， ，…。S 为其前n项和，求S 、S 、S 、S ，推测S 公
式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【解】 计算得S ＝ ，S ＝ ，S ＝ ，S ＝ ，
猜测S ＝ (n∈N)。
当n＝1时，等式显然成立；
假设当n＝k时等式成立，即：S ＝ ，
当n＝k＋1时，S ＝S ＋
＝ ＋
＝
＝ ＝ ,
由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
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_______ __________________________________________________ __________________________________________________ ___
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
【注】 把要证的等式S ＝ 作为目标，先通分使分母含有(2k＋3) ，再考虑要约分，而将
分子变形，并注意约分后得到（2k＋3） －1。这样证题过程中简洁一些，有 效地确定了证
题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳
法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后
不用 数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：
试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和：
由a ＝ ＝ － 得，
S ＝（1－ ）＋（ － ）＋……＋ － ＝1－
＝ 。
此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现 ＝ － 的裂项公式。可以说，
用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
例2. 设a ＝ ＋ ＋…＋ (n∈N),证明： n(n＋1)【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a
＝a ＋ ,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上 ，再与目标比较而进行适当的放缩
求解。
【解】 当n＝1时，a ＝ ， n(n+1)＝ ， (n+1) ＝2 ，
∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即： k(k＋1)当n＝k＋1时， k(k＋1)＋ k(k＋1)＋ > k(k＋1)＋(k＋1)＝ (k＋1)(k＋3)> (k＋1)(k＋2)，
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(k＋1) ＋ ＝ (k＋1) ＋ < (k＋1) ＋(k＋ )＝ (k＋2) ，
所以 (k＋1)(k＋2) 综上所述，对所有的n∈N，不等式 n(n＋1)【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别
将 缩小成(k＋1)、将 放大成(k＋ )的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么
这样 放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对 的分析，注意与目标比较
后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由 >n可得，a >1＋2＋3＋…＋n＝ n(n＋1)；由 ＋ 可得，a <1＋2＋3＋…＋n＋ ×n＝ n(n＋1)＋ n＝ (n ＋2n)< (n＋1) 。所以 n(n＋1)< (n＋1) 。
例3. 设数列{a }的前n项和为S ，若对于所有的自然数n，都有S ＝ ，证明{a }是等差数
列。 （94年全国文）
【分析】 要证明{a }是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：
a ＝a ＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
【解】 设a －a ＝d，猜测a ＝a ＋(n－1)d
当n＝1时，a ＝a ， ∴ 当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a ＋(2－1)d＝a ＋d＝a ， ∴当n＝2时猜测正确。
假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a ＝a ＋(k－1)d ，
当n＝k＋1时，a ＝S －S ＝ － ，
将a ＝a ＋(k－1)d代入上式， 得到2a ＝(k＋1)(a ＋a )－2ka －k(k－1)d，
整理得(k－1)a ＝(k－1)a ＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以a ＝a ＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。
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综上所述，对所有的自然数n，都有a ＝a ＋(n－1)d，从而{a }是等差数列。
【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明过
程中a 的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S ＝ 、数列中通项与前n项和的关
系a ＝S －S 建立含a 的方程，代入假设成立的式子a ＝a ＋(k－1)d解出来a 。另外
本题注意的一点是 不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是
n＝2时等式成立，因为由( k－1)a ＝(k－1)a ＋k(k－1)d得到a ＝a ＋kd的条件是k≥2。
【另解】 可证a －a ＝ a － a 对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a ＝S －S ＝ － ；
同理有a ＝S －S ＝ － ；从而a －a ＝ －n(a ＋a )＋ ，整理得a －a ＝ a － a ，
从而{a }是等差数列。
一般地，在数列问题中含有a 与S 时，我们可以考虑运用a ＝S －S 的关系，并注意只
对n≥2时关系成立，象已知数列的S 求a 一类型题应用此关系最多。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 用数学归纳法证明：6 ＋1 (n∈N)能被7整除。
2. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
3. n∈N，试比较2 与(n＋1) 的大小，并用证明你的结论。
4. 用数学归纳法证明等式：cos ?cos ?cos ?…?cos ＝ (81年全国高考)
5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）
6. 数列{a }的通项公式a ＝ (n∈N)，设f(n)＝(1－a )(1－a )…(1－a )，试求f(1)、f(2)、
f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
7. 已知数列{a }满足a ＝1，a ＝a cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a 和a ； ②.猜测a ，并用数学归纳法证明你的猜测。
8. 设f(log x)＝ , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经
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过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)


六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当 引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参
数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解 决问题。直线与二次曲线的参数方程都是
用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要
揭示事物 之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，
揭示变化因素之间的 内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透
到中学数学的各个分支。运用参数 法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利 用参数提供
的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2 ＝3 ＝5 >1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2. （理）直线 上与点A(-2,3)的距离等于 的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x －ky ＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z ＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为
____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数 f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f( x)的R
上是______函数。(填“增”或“减”)
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6. 椭圆 ＋ ＝1上的点到直线x＋2y－ ＝0的最大距离是_____。
A. 3 B. C. D. 2
【简解】1小题：设2 ＝3 ＝5 ＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y 、z，再用“比
较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝± 时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭
圆，a＝1，c＝ ，所以e＝－ ；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b ＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则 xy＝6、 yz＝4、 xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝ 的最大值，选C。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a ＋b ＋c 的最小值。
【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，
c＝ ＋t ，代入a ＋b ＋c 可求。
【解】由a＋b＋c＝1，设a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，其中t ＋t ＋t ＝0，
∴ a ＋b ＋c ＝（ ＋t ） ＋（ ＋t ） ＋( ＋t ) ＝ ＋ (t ＋t ＋t )＋t ＋t ＋t ＝ ＋
t ＋t ＋t ≥
所以a ＋b ＋c 的最小值是 。
【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本 题此种解法的
一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a ＋b ＋c ＝(a＋b
＋c) －2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ≥ 。
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两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
例2. 椭圆 ＋ ＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k ?k ＝－ ，
①．求证：|OP| ＋|OQ| 等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设 （椭圆参数方程），参数θ 、θ 为P、Q两点，
先计算k ?k 得出一个结论，再计算|OP| ＋|OQ| ，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参
而得。
【解】由 ＋ ＝1，设 ，P(4cosθ ,2sinθ )，Q(4cosθ ,2sinθ ),
则k ?k ＝ ＝－ ，整理得到：
cosθ cosθ ＋sinθ sinθ ＝0,即cos（θ －θ ）＝0。
∴ |OP| ＋|OQ| ＝16cos θ ＋4sin θ ＋16cos θ ＋4sin θ ＝8＋12(cos θ ＋cos θ )＝
20＋6（cos2θ ＋cos2θ )＝20＋12cos（θ ＋θ ）cos（θ －θ ）＝20，
即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为 ，
所以有( ) ＋y ＝2＋2(cosθ cosθ ＋sinθ sinθ )＝2,
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为 ＋ ＝1。
【注】由椭圆方程，联想到a ＋b ＝ 1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化
成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练 使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式
求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加 ，即（cosθ ＋ cosθ ） ＋（sin
θ ＋sinθ ） ，这是求点M轨迹方程“消参法 ”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用
“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为 一个或几个参数的函数，再运用“消去
法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
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