高中数学解题方法及步骤

高中数学解题方法及步骤
高中数学解题方法及步骤
一、配方法


配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成完全平方)的
技巧，通过配方找到已知 和未知的联系，从而化繁为简。何
时配方，需要我们适当预测，并且合理运用裂项与添项、配
与 凑的技巧，从而完成配方。有时也将其称为凑配法。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式 子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、
二次函数、二次 代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次
曲线的平移变换等问题。
二、换元法


解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替
它，从而使问题得到简化 ，这叫换元法。换元的实质是转化，
关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研
究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非
标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容 易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，
可以把分散的条 件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把
条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算< br>和推证简化。
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它可以化高次为低次、化分式为整式、化无 理式为有理式、
化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三
角等问题中有广泛的 应用。
三、待定系数法


要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然 后根据所
给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依
据是多项式恒等，也就是利 用了多项式f(x)g(x)的充要条件
是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a);或者两个多 项式
各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。< br>使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通
过引入一些待定的系数，转化为方程组 来解决，要判断一个
问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是
否具有某种确定 的数学表达式，如果具有，就可以用待定系
数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、
求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的
数学表达形式，所以都可以用待定系 数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式;

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程;

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
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如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分
析：
①利用对应系数相等列方程;
②由恒等的概念用数值代入法列方程;
③利用定义本 身的属性列方程;
④利用几何条件列方程。


比如在求圆锥曲线的方程时， 我们可以用待定系数法求方
程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数;再把几
何条件转 化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解
所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数 代入
已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

四、定义法
所谓定 义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公
式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定 义是揭
示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本
质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客
观世界的事物的本质特点。简单地说，定义 是基本概念对数
学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲
让我们回到定义中去 。
五、数学归纳法


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归纳是一种有特 殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理
分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只< br>根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物
全体都具有的性质，这种推理方法，在 数学推理论证中是不
允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归
纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一
种推理方法，在解数学题中有着广泛的 应用。它是一个递推
的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n=1(或n)时
成立，这是 递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立，
再证明n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的 理论依据，
它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命
题的正确性突破了有限， 达到无限。这两个步骤密切相关，
缺一不可，完成了这两步，就可以断定对任何自然数(或nn
且nN)结论都正确。由这两步可以看出，数学归纳法是由递
推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n=k+1时命题成立的推
证，此步证明要具有目标意识，注意与最 终要达到的解题目
标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步
减小，最终实现目 标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒
等式、代数不等式、 三角不等式、数列问题、几何问题、整
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除性问题等等。
六、参数法


参数法是指在解题过 程中，通过适当引入一些与题目研究的
数学对象发生联系的新变量(参数)，以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都
是用参数法解题的例证。换元法也是引入 参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是
丰富多 采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，
从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物 的变化
状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学
中运动与变化的思想，其观点 已经渗透到中学数学的各个分
支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好 处地引进参数，沟通已知和未知
之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于间接证明法一类，是
从反面的角度 思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结
论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hada mard)
对反证法的实质作过概括：若肯定定理的假设而否定其结
论，就会导致矛盾。具体地 讲，反证法就是从否定命题的结
论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行
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正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、
法则或者已 经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设
不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明 。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的矛盾律和排中律。在同
一思维过程中，两个互 相矛盾的判断不能同时都为真，至少
有一个是假的，这就是逻辑思维中的矛盾律两个互相矛盾的
判断不能同时都假，简单地说A或者非A，这就是逻辑思维
中的排中律。反证法在其证明过程中，得到矛 盾的判断，根
据矛盾律，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已
知条件、已知公理、定 理、法则或者已经证明为正确的命题
都是真的，所以否定的结论必为假。再根据排中律，结论与
否定的结论这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有
一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证 法是以逻辑思
维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可 以简要的概括我为否定推理否定。即从
否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新
的否定，可以认为反证法的基本思想就是否定之否定。应用
反证法证明的主要三步是：否定结论推导出 矛盾结论成立。
实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设;


第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确
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推理导出矛盾;


第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定 要用到反设进行推理，否则就不
是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况
只有 一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法
又叫归谬法如果结论的方面情况有多种，那么必须 将所有的
反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷
举法。

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