高中数学解题方法及解析大全

31
【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中
参 数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数z满 足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是
________________。
2. 函数y＝x＋2＋
1?4x?x
2
的值域是________________。
3. 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值 为
_____
A. 5 B. 10 C. 2
3
D. 3
4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L
1
：x－3y＋10＝0及L
2
：2x＋y－8＝0所
截得的线段被 点P平分，求直线L方程。
5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6. f(x) ＝(1－
a
cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
2
22
2
232
22
2a
7. 若关于x的方程2 x＋xlg
(a?
3
1)
＋lg(
a?1
)＋lg
2
＝0有模为1的虚根，求
8a
2a
a?1
实数a的值及方程的根。
8. 给定的抛物线y＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛< br>物线的任意一条过点M的弦PQ，有

















七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面 的角度思考问题
的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(H adamard)
对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体 地讲，
反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确
的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相
矛，矛盾的 原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
1
＋
1
为定值。
|MP|
2
|MQ|
2
2

32
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两
个互 相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；
两个互相矛盾的判 断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中， 得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，
必有一假，而已知条件、已知公理、 定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以
“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论 与“否定的结论”这一对立的互相否定的
判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所 以反证法是以逻辑思维的基
本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以 简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经
过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新 的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之
否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具
体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“ 反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证
题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只 要将这种情况驳倒了就可以，这种反
证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有 的反面情况一一驳倒，
才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使 用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型 有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、
“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定 结论更明显。具体、简单的命题；或者直接
证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面 思考，问题可能解决得十分干
脆。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
2. 已知a<0,－1A. a>ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a
3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。
A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交
C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交
4. 四面体顶点和各棱的中 点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
(97年全国理)
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选
A；
2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；
4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是 ：C
10
－C
6
×4－3－6,选D。

44
2222
2

33
Ⅱ、示范性题组：
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面
S

圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。
【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反
C
证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。

【证明】 假设AC⊥平面SOB，
A O
∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，
B
∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，
∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，
这显然出现矛盾，所以假设不成立。
即AC与平面SOB不垂直。
【注】否定性的 问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已
知条件推导出矛盾。
例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少
有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【分析】 三个方程 至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。
先求出反面情况时a的范围，再所得 范围的补集就是正面情况的答案。
【解】 设三个方程均无实根，则有：
2222
1
?
3
??a?
?
22
?
△
1
? 16a
2
?4(?4a?3)?0
?
1
?
3
?22
a??1或a?
,解得,即－△?(a?1)?4a?0?
?
2
3
2
?
?
2
△?4a?4(? 2a)?0
?
2
?
?2?a?0
?
?
所以当a≥－ 1或a≤－
3
时，三个方程至少有一个方程有实根。
2
【注】“至少”、“ 至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到
了“判别式法”、“补集法”（全集R ），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有
实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起 来，即求集合的并集。两种解法，要求对
不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。
1
x?1
例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠) ，证明：①.
ax?1
a
经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y
＝x成轴对称图像。(88年全国理)。
【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。
【证明】 ① 设M
1
(x
1
,y
1
)、M
2
(x< br>2
,y
2
)是函数图像上任意两个不同的点，则x
1
≠x2
,
假设直线M
1
M
2
平行于x轴，则必有y
1
＝y
2
，即
＝x
1
－x
2

∵x
1
≠x
2
∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾，
因此假设不对，即直线M
1
M
2
不平行于x轴。
x
1
?1
x
2
?1
＝，整理得a(x
1
－x
2
)
ax
1
?1
ax
2
?1

34
x?1
y?1
得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，
ax?1
ay?1
x?1x?1
即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。
ax?1ax?1
x?1
由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数 y＝的图像关于直线
ax?1
② 由y＝
y＝x成轴对称图像。
【注】对于 “不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到
一些性质，经过正确无误的推 理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函
数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求 对反函数求法和性质运用熟练。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x)＝
x
，求证：当x
1
≠x
2
时，f(x
1
)≠f(x
2
)。
1?|x|
2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：1
、
1
、
1
不可能成等差数列。
abc
3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于
1
。
2
2
4. 求证：抛物线y＝
x
－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。
2
2
5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。


A
6. 两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相

应对角线上，且有EM＝CN，求证：MN不可能

垂直CF。
F D
B M

N


E C

2













一、数形结合思想方法
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数 ”和“以数辅形”两个方面，其应用大
致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间 的联系，即以形作为手段，

35
数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范
严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐
明曲线的几何 性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是
根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数
量关的精确刻 划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找
解题思路，使问题化难为易 、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙
间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统 一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时
难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题
与图形之间的相 互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想
分析和解决问题时，要注意三 点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代
数特征，对数学题目中的条件和结论既分析 其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、
合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形 转化；第三是正确确定参数的取值范
围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。 如：锐角三角函数的定义是借助于
直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆 来定义的。
Ⅰ、再现性题组：
5. 设命题甲：0A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 若log
a
2b
2<0，则_____。(92年全国理)
A. 0b>1 D. b>a>1
π
2
7. 如果|x|≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文)
4
2?12?11?2
A. B. － C. －1 D.
222
8. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上 是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。
(91年全国)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
9. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)|
y?3
＝ 1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那
x?2
么
M∪N
等于_____ 。 (90年全国)
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1
θθθ
10. 如果θ是第 二象限的角，且满足cos－sin＝
1?sinθ
,那么是
222
____ _。
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第
二象限角
11. 已知集合E＝{θ|cosθ区间是_____。（93年全国文理）

36
3π3π
5π
π
π
3π
,π) B. (,) C. (π, ) D. (,)
4
2
424
4
5π
12. 若复数z的辐角为，实部为－2
3
，则z＝_____。
6
A. －2
3
－2ｉ B. －2
3
＋2ｉ C. －2
3
＋2
3
ｉ D. －2
3
－2
3
ｉ
y
22
13. 如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全国
x
A. (
理)
1
33
B. C. D.
3

2
32
14. 满足方程|z＋3－
3
ｉ|＝
3
的辐角主值最小的复数z是_____。
A.
【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A;
2小题：由已知画出对数曲线，选B；
3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；
4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；
5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；
6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；
7小题：利用单位圆，选A；
8小题：将复数表示在复平面上，选B；
9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；
10小题：利用复平面上复数表 示和两点之间的距离公式求解,答案－
3
3
＋ｉ。
2
2
【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的 问题，
即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩
题）、方程曲线（⑨题）。
Ⅱ、示范性题组：
2
例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内
y
4 y=1-m
有唯一解，求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程
1
在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解
O 2 3 x
决。
?
3?x?0
【解】 原方程变形为
?

2
?x?3x?m?3?x
?
?
3?x?0
即：
?

2
(x?2)?1?m
?
设曲线y
1
＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y
2
＝1－m，图像如图所示。由图可知：
① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴ m＝1或－3此题也可设曲线y
1
＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y
2
＝m后画出图像求解。
2
2

37
【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数
的 图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数
法来求（也注意 结合图像分析只一个x值）。
y A
D
的值。
O B x
【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复

数问题用几何图形帮助求解。
C
【解】 如图，设z
1
＝
OA
、z
2
＝
OB
后，则
z
1
＝
OC
、
例2. 设|z
1
|＝5，|z
2
|＝2, |z
1－
z
2
|＝
13
，求
z
2
＝
OD
如图所示。
z
1
z
2
5
z
1
由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：
2
z
2
45
2
?2
2
?(13)
2
cos∠AOD＝＝
5
2×5×2
3
z
1
54
3
∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ
2
z
2
25
5
5
【另解】设 z
1
＝
OA
、
z
2
＝
OD
如图所 示。则||＝，
y A
2
z
2
且
z
1
D
O x
4
3
5
2
?2
2
?(13)
2
cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，

2×5×2
5
5
所以
z
1
z
2
＝
54
3
33
z
1
(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。
25
5
22
z
2
【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数 运算
的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用
复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求
解。 本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z
1
＝5(cosθ
1
＋ｉsinθ
1
)，z
2
＝
＋ｉsinθ
2
)， 则|z
1
－
z
2
|＝|(5cosθ
1
－2cos θ
2
)＋(5sinθ
1
＋2sinθ
2
)ｉ|＝
43
29?20cos(
?
1
?
?
2
)
＝
13
，所以cos(θ
1
＋θ
2
)＝,sin(θ
1
＋θ
2
)＝±，
55
54
3
z
1< br>5[cos(?
?
1
)?isin(?
?
2
)]5
＝＝[cos(θ
1
＋θ
2
)＋ｉsin(θ
1＋θ
2
)]＝(±ｉ)
225
5
2(cos
?
2
?isin
?
2
)
z
2
3
＝2±ｉ。
2
本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z
1
－
z2
|＝
13
得：
（z
1
－
z
2）(
z
1
－z
2
)＝z
1
z
1
＋z
2
z
2
－z
1
z
2
－
z< br>1
z
2
＝25＋4－z
1
z
2
－
z
1
z
2
＝13,

38
3
z
1
z
1
所以z
1
z
2< br>＋
z
1
z
2
＝16,再同除以z
2
z
2
得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。
2
z
2
z
2< br>z
2
几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。 一般
地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式
转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为
几何问题求解 。
例3. 直线L的方程为：x＝－
z
1
pp
(p>0),椭 圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半
22
轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它
们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物
线与椭 圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(
p
,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：
2< br>?
y
2
?2px
?
p
2
?
2
p
2
，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0
?
[x?(2?) ]
4
2
2
?
?y?1
?
4
?
1< br>22
所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：p<或p>1。 3
pp
p
2
2
结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x－( 4－7p)x＋(2p＋)，
22
4
1
p
4?7p
ppp
所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4＋3
2
。
22
2222
1
结合以上，所以－4＋3
2
3
【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注
意解的范 围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都
在本题进行了综合运用 。
例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y
＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋ y≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同
时成立。(85年高考)
【分 析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存
在a、b使得na ＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问
题的几何意义 是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公
共点，但原点 到直线L的距离≥12。
【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15
设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，
222
2
222
2
222

39
所以圆心到直线距离d＝
|3n
2
?15|
n?1
2< br>＝3(
n
2
?1
＋
4
n?1
2
)≥ 12
∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。
【注】 集合转化为点集 （即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数
形结合法解，其中还体现了主元思想、方 程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。
本题直接运用代数方法进行解答的思路是：
由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）；
由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）；
把①式代入②式，得关于a的不等式：
(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）,
它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3)
因为n是整数，所以n－3≠0,因而△<0，又因为1＋n>0,故③式不可能有实数解。
所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知5x＋12y＝60，则
x
2
?y
2
的最小值是_____。
A.
60
B.
13
C.
13
D. 1
13
512
22
2222222 2
22222
22
22
2. 已知集合P＝{(x,y)|y＝
9? x
2
}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值
范围是___ _。
A. |b|<3 B. |b|≤3
2
C. －3≤b≤3
2
D. －32

3. 方程2＝x＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对
4. 方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
5. 若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。
6. 设z＝cosα＋
1
ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。
2
x2
7. 若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是
______。
8. sin20°＋cos80°＋
3
sin20°·cos80°＝____________。
9. 解不等式：
?x
2
?2x
>b－x
2
?
x?2x?a≤0
的解集，试确定a、b的10. 设A＝{x|<1x <3}，又设B是关于x的不等式组
?
?
2
?
?
x?2bx ?5≤0
22
22
取值范围，使得A
?
B。 （90年高考副题）
11. 定义域内不等式
2?x
〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。
12. 已知函数y＝
(x?1)
2
?1
＋
(x?5)2
?9
，求函数的最小值及此时x的值。
13. 已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。
14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。

40





































二、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分 类，并逐类求解，
然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想 ，同
时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关
分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概
括性，所以在 高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

41
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情
况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法 则有范围或者条件限制，或者是分类
给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况 。这种分类讨论题型可以
称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范 围进行讨论。如解不等式ax>2时
分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过
分类讨论，保证 其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统 一的，不遗漏、
不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 < br>解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象
的全体的范 围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥
（没有重复）；再对所分 类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，
综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a， x∈R}，若A
?
B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02.若a>0且 a≠1，p＝log
a
(a＋a＋1)，q＝log
a
(a＋a＋1)，则p 、q的大小关系是_____。
A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当03.函数y＝
32
cosxsinx
|ctgx|
tgx
＋＋＋的值域是_________。
| sinx|
|cosx|
|tgx|
ctgx
π
cos
n< br>θ?sin
n
θ
4.若θ∈(0, )，则
lim
的值为_____。
n→∞
cos
n
θ＋sin
n
θ
2
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
5.函数y＝x＋
1
的值域是_____。
x
4
9
2
9
4
9
8
9
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A.
8
9
3
B.
3
C.
3
D.
3
或
3

7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；
2小题：对底数a分a>1、03小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；
4小题：分θ＝
??
?
?
、0<θ<、<θ<三种情况，选D；
4442
5小题：分x>0、x<0两种情况，选B；
6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；
7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。
Ⅱ、示范性题组：

42
例1. 设00且a≠1，比较|log
a
(1－x)|与|lo g
a
(1＋x)|的大小。
【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数
a分两类情况进行讨论。
【解】 ∵ 01
① 当0a
(1－x)>0，log
a
(1＋x)<0，所以
|log
a
(1－x)|－|log
a
(1＋x)|＝log
a
(1－x)－[－log
a
(1＋x)]＝log
a
(1－x) >0;
② 当a>1时，log
a
(1－x)<0，log
a
(1＋x)>0，所以 < br>|log
a
(1－x)|－|log
a
(1＋x)|＝－log
a
(1－x) －log
a
(1＋x)＝－log
a
(1－x)>0；
由①、②可 知，|log
a
(1－x)|>|log
a
(1＋x)|。
【注】 本题要求对对数函数y＝log
a
x的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是
增函数，当0的符号判 断，也用到函数的单调性。
例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试 求同时满足下面两
个条件的集合C的个数： ①. C
?
A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而
属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C
12
·C
8
＋C
12
·C
8
＋C
12
·C
8
＝1084
【注】本题是排列组合中“包 含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的
分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一 个关键是要确定C中元素如何取法。另一种
3
解题思路是直接使用“排除法”，即C
3
－C
20
8
＝1084。
122130
2
2
例3. 设{a
n
}是由正数组成的等比数列，S
n
是前n项和。 ①. 证明：
lgS
n
?lgS
n?2
lg(S
n
?c)?lg (S
n?2
?c)
n?1
； ②.是否存在常数 c>0，使得＝lg
2
2
（S
n?1
－c）成立？并证明结论。(9 5年全国理)
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在
应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。
【解】 设{a
n
}的公比q，则a
1
>0，q>0
①．当q＝1时，S
n
＝na
1
，从而S
n
S
n?2
－Sn?1
＝na
1
(n＋2)a
1
－(n＋1)a
1＝－a
1
<0；
2222
a
1
(1?q
n
)
当q≠1时，S
n
＝，从而
1?q
a
1
2
(1? q
n
)(1?q
n?2
)
a
1
2
(1?q
n?1
)
2
2n
S
n
S
n?2
－ S
n?1
＝－＝－a
1
q<0；
2
2
(1?q)
(1?q)
lgS
n
?lgS
n?2
22
由上可得 S
n
S
n?2
n?1
，所以lg(S
n
S
n?2
)n?1
)，即n?1
。
2
lg(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
②. 要使＝lg（S
n?1
－c）成立，则必有(S
n
－c)(S
n?2
－c)＝(S
n?1
2
2
－c),
分两种情况讨论如下：
当q＝1时，S
n
＝na
1
，则
2

43
(S
n
－c)(S
n?2
－c)－(S
n?1
－c)＝(na
1
－c)[(n＋2)a
1
－c]－[(n＋1)a
1
－c]＝－
a
1
<0
n
a
1
(1?q
n
)
a(1?q)
1
2
当q≠1时，S
n
＝，则(S
n
－c)(S
n?2
－c)－(S
n?1
－c) ＝[－
1?q
1?q
2
22
a
1
(1?q
n?2
)a
1
(1?q
n?1
)
2n
c][ －c]－[－c]＝－a
1
q[a
1
－c(1－q)]
1?q
1?q
a
1
n
∵ a
1
q≠0 ∴ a
1
－c(1－q)＝0即c＝
1?q
a
1
a1
q
n
而S
n
－c＝S
n
－＝－<0 ∴对数式无意义
1?q
1?q
lg(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
由上综述，不存在常数c>0, 使得＝lg（S
n?1
－c）成立。
2
【注】 本例由所用公式的适用范围 而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明
log
0.5
S
n
? log
0.5
S
n?2
>log
0.5
S
n?1< br> ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对
2
数函数为单调递减。 < br>例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问
题或者分 类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。
例4. 设函数f(x)＝ax－2 x＋2，对于满足10，求实数a的
取值范围。
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、
最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物 线对

称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。


1
2
1
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－
1 4 x
aa

?
1
?
1
1??4
?

?
a
?
≤1
∴
?
a
或
?


11
?
?
f()＝2??0
?
f(1)＝a?2?2≥0
?

a
?
a
1 4 x
1
2
?
?
≥4
或
?
a

?
?
f(4)＝16a?8?2≥0
11
∴ a≥1或；
22
?
f(1)＝a?2?2≥0
当a<0时，
?，解得φ；
?
f(4)＝16a?8?2≥0
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意

44
由上而得，实数a的取值范围是a>
1
。
2
【注】本题分两 级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情况，
再每种情况结合二次函 数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左
边、右边、中间。本题的解答，关 键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数
形结合法”的运用。
(x?4a)(x?6a)1
例5. 解不等式>0 (a为常数，a≠－)
2a?12
【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大 小，故对参
11
数a分四种情况a>0、a＝0、－22
1
【解】 2a＋1>0时，a>－； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论：
2
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
2
1
0，解得: x<6a或x>－4a；
2
1
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a2
当－
综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－< br>－4a；当a>－
1

2
1
时，6 a2
【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不 漏。一般地，遇到
题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题 型为
含参型。
例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。 (90年全国高考)
【分析】由已知z＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z∈R，即对z分实数、 纯虚数两种情
况进行讨论求解。
【解】 ∵ |z|∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋
1?a
∴ z＝±(－1＋
1?a
)；
当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1±
1?a
（0
≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋
1?a
)或±(1±
1?a
)ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十
分繁难，而 挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。
22
22
【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2
x?y
＋2xyｉ＝a；
2
22< br>22
2
2
?
?
x
2
?y
2
?2x
2
?y
2
?a
∴
?

?
?
2xy?0

45
当y＝0时，x＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋
1?a
)，所以z＝±(－ 1＋
1?a
)；
当x＝0时，－y＋2|y|＝a，解得y＝±(1±
1? a
)，所以±(1±
1?a
)ｉ。
由上可得，z＝±(－1＋
1?a
)或±(1±
1?a
)ｉ
【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0
和y＝0两 种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论
思想。
例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的< br>最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）
【分析】 求两 点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束
条件x≥0下的最小值问题，而 引起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则
|MA |＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即 |MA}
当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}
2
2
2
22 22222
2
2
2
2
min
＝a；
min
＝2a－1；
2
?
2a?1
(a≥1时)
综上所述，有f(a)＝
?
。
(a?1时)
?
|a|【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们
十分熟悉，但 含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，
从而得到d＝f(a)的 函数表达式。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 若log
a
2
<1，则a的取值范围是_____。
3
A. (0,
2
) B. (
2
,1) C. (0,
2
)∪(1,+∞) D. (
2
,+∞)
3333
2. 非零实数a、b、c，则
a
＋
b
＋
c
＋
abc
的值组成的集合是_____。
|a||b||c||abc|
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。
A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0
C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值
4. 设f
1
(x,y)＝0是椭圆方程，f
2
(x,y)＝0是直线方程，则方程f
1
(x,y)＋λf
2
(x,y)
＝0 （λ∈R）表示的曲线是_____。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况
5. 函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、
b的值为_____。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3
C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x－x－1)＝1的整数解的个数是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
2x?2
2

46
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8.z∈C，方程z－3|z|＋2＝0的解的个数是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是______________。
10.解关于x的不等式： 2log
a
2
(2x－1)>log
a
(x－a) (a>0且a≠1)
2
2
il
11.设首项为1，公比为q (q>0)的 等比数列的前n项和为S
n
，又设T
n
＝
S
n
，求
m
S
n?1
23
n→∞
T
n
。
12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求
z 。
13. 有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张
排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。
14. 函数f(x)＝(|m|－ 1)x－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的
值及交点坐标。





















三、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决 问题。方程思想，是
从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等 式、或
方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还
实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问 题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着
等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪 里有公式，哪里就有方程；求值
问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切 相关。而函数和多
元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程 f(x)－y＝0。
2

47
可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时
需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数 关
系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，
函 数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、
奇偶性 、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函
数、幂函数、指数函 数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐
含条件，构造出函数解析式和妙用 函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、
分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产 生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，
方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相 关的函数问题，即用函数思想解
答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、 应用性、理解性都有一定的要求，所以是
高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到 变量，构造函数关系解题；
有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析； 含有多个变量
的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学
语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，
通 项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
Ⅰ、再现性题组：
1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
2.如果函数f (x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A. f(2)f(4)3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
4.已知sinθ＋cosθ＝
2
?1
π
1
，θ∈(，π) ，则tgθ的值是_____。
5
2
4343
A. － B. － C. D.
3434
p
2
5.已知等差数列的前n项和为S
n
，且S＝S
q
(p≠q，p、q∈N)，则S
p?q
＝_________。
6.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为__________ _。
8. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米
分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B；
3
?
2x
1?x
2
1
4小题：设tg＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；
25
1?x
2
1?x
2

48
S
p?q
S
n
mm
5小题：利用是关于n的一次函数， 设S
p
＝S
q
＝m，＝x，则（,p）、(,q)、
n
pq
p?q
(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
6 小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－
2
55
,1]， 所以答案：[－,1]；
44
7小题：设高h，由体积解出h＝2
3
，答案 ：24
6
；
8小题：设长x，则宽
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设 a>0，a≠1，试求方程log
a
(x－ak)＝log
a
2
(x －a)有实数解的k的范围。(89
年全国高考)
【分析】由换底公式进行换底后出现同底， 再进行等价转化为方程组，分离参数后分析
式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。
【解】 将原方程化为：log
a
(x－ak)＝log
a
（a>0,a≠1） 22
416
，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。
xx
?
?
x?ak?0

x?a
， 等价于
?
22
?
?
x?ak?x?a
22
xx
x
2
－
()?1
( ||>1 ）,
aa
a
x
ππ
设＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|
a
22
πθ
当θ∈(－,0)时， f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；
22
πθ
当θ∈(0, )时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故022
∴ k＝
综上所述，k的取值范围是：k<－1或0【注】 求参数的范围，分离参数后变成函数
y C
1
值域的问题，观察所求函数式，引入新的变量，
C
2

转化为三角函数的值域问题，在进行三角换元时，
要注意新的变量的范围。一般地，此种思路可 以

解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数
-ak
范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三
-a a
角换元法、等价转化思想等数学思想方法。
x
另一种解题思路是采取“数形结合法”： 将

原方程化为：log< br>a
(x－ak)＝log
a
x
2
?a
2
，等
价于x－ak＝
x
2
?a
2
(x－ak>0)，设曲线C
1
：y＝x－ak，曲线C
2
：y＝
x
2
?a2
(y>0)，
如图所示。
由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时曲 线C
1
与C
2
有交点，即方程有实解。所以k的取
值范围是：k<－ 1或0

49
还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等
?< br>x?ak
22
?
(k?1)a
k?1
?
x?ak?0
?
2
价变形为
?
后，解得：，所以>ak，即－
?
(k?1)a
22
2k
2k
?
?
x?
?
x ?ak?x?a
2k
?
k
2
?1
k>0，通分得<0，解得 k<－1或02k
例2. 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值
范围。
【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换
一个角 度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问
题 。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）
f (m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件
?
2
2
22
?
f(2)?0
。
f(?2)?0
?
【解】问题可 变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)
＝(x－1)m－(2x－1),
2
?
?
f(2)?2(x?1)?(2x?1)?0
则
?

2
?
f(?2)??2(x?1)?(2x?1)?0
?
7?1
3?1
解得x∈（,）
2
2
2
【注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函
数在闭区间上的值域问题 。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求
m的值、关于x的不等 式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数 学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关
系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函 数自变量作为参数，而参数作为函数，
更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
例3. 设 等差数列{a
n
}的前n项的和为S
n
，已知a
3
＝12， S
12
>0，S
13
<0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指 出S
1
、S
2
、…、S
12
中哪一个值最大，并说明理由。 (92
年全国高考)
【分析】 ①问利用公式a
n
与S
n
建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S
n
是n的
二次函数，将S
n中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S
n
取最大值的函数最值问
题。
【解】① 由a
3
＝a
1
＋2d＝12,得到a
1
＝12－2d，所以
S
12
＝12a
1
＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144 ＋42d>0，
S
13
＝13a
1
＋78d＝13(12－2d) ＋78d＝156＋52d<0。
2
2
24
7
11
② S
n
＝na
1
＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
22
解得：－

50
124
2
d
124
2
d
[n－(5－)]－[ (5－)]
2dd
22
2
124
2
24124
因 为d<0，故[n－(5－)]最小时，S
n
最大。由－2d72d
124
2
故正整数n＝6时[n－(5－)]最小，所以S
6
最大。
2d
＝
【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在 自然数集上的函数，因此可利用
函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想， 设出未知的量，建
立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的 思想
来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
本题的另一种思路是寻求a
n
>0、a
n?1
<0 ，即：由d<0 知道a
1
>a
2
>…>a
13
，由S
13
＝13a
7
<0
得a
7
<0，由S
12
＝6(a< br>6
＋a
7
)>0得a
6
>0。所以，在S
1
、S
2
、…、S
12
中，S
6
的值最大。
例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝
θ，PA＝AB =2r，求异面直线PB和AC的距离。
【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任 意一点到AC的距离的最小值，
从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
P
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。

222222
∴MD ＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx
M
22
＋4rsinθ
A H B
22
2
2rsinθ
2
4rsinθ
2
D C
＝(sinθ＋1)[x－]＋
1?sin
2
θ
2rsin
2
θ
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
2
2
1?sinθ
1?sinθ
【注】 本题巧在将立体几何中“异 面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的
最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“ 函数问题”。一般地，对于求最大值、
最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学 模型和函数关系式，然后
利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典 型的例子。
例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋3
，又知顶点C
的对边c上的高等于4
3
,求△ABC的三边a、b、c 及三内角。
【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。
【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得
tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝
3
(1＋
3
)
设tgA、tgC是方程x－(
3
＋3)x＋2＋
3
＝0的两根，解 得x
1
＝1，x
2
＝2＋
3

设A3
， ∴A＝
2
1?s in
2
θ
2rsinθ
π
5π
，C＝
4
12
由此容易得到a＝8，b＝4
6
，c＝4
3
＋4。
【 注】本题的解答关键是利用“△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC”这一条性质
得到tgA＋tgC，从而设立方程求出tgA和tgC的值，使问题得到解决。

51
例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。
【分析】 观察题设，发现正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此联想到构造一个一元
二次方程进行求解。
【证明】 当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列；
当x≠y时，设方程( x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t
1
＝t
2
，并易 知t＝1
是方程的根。
∴t
1
·t
2
＝
2
2
2
y?z
＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差数列
x?y
22
【注】一般地，题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了“x1
＋x
2
＝a、x
1
·x
2
＝b”的形式，则 可以利用根与系数的关系构造方程；如果具备b－4ac≥0或b－4ac≤0
的形式，可以利用根的判 别式构造一元二次方程。这种方法使得非方程问题用方程思想来解
决，体现了一定的技巧性，也是解题基 本方法中的一种“构造法”。
例7. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤
1
。
8
【分析】考 虑首先使用三角公式进行变形，结合三角形中有关的性质和定理，主要是运
用“三角形的内角和为180 °”。变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法
解决。
【证明】 设k＝cosA·cosB·cosC＝
cos(A－B)]cosC
整理得：cosC－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。
∴ △＝cos(A－B)－8k≥0 即 8k≤cos(A－B)≤1
∴ k ≤
22
2
11
[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝[－c osC＋
22
11
即cosA·cosB·cosC≤
88
【注】 本题原本是三角问题，引入参数后，通过三角变形，发现了其等式具有“二次”
特点，于是联想了一元二 次方程，将问题变成代数中的方程有实解的问题，这既是“方程思
想”，也体现了“判别式法”、“参数 法”。
此题的另外一种思路是使用“放缩法”,在放缩过程中也体现了“配方法”，具体解答过
111
2
[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC ＝－cosC＋cos( A－
222
cos(A?B)
2
1
1
11
22B)·cosC＝－ [cosC－]＋cos(A－B)≤cos(A－B) ≤。
2
888
2
1?2
x
?4
x
a
例8. 设f(x)＝ lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范
3
程是：cosA·co sB·cosC＝
围。
1?2
x
?4
x
a
x【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋
3
4a >0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。
【解】 由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
xx
x

52
1
2x
1
x
)＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。
22
1
x
11
2
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
222
111
2
13
2
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
22224
3
所以a的取值范围是a>－。
4
即：(
【注 】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图
像和单调性进行解决问 题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，
我们在解题中要抓住二次函数及图 像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题
进行相互转化。
1
2x1
x
)＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离
2 2
1
x
1
3
2
参数法”： 设t＝(), t≥，则有a ＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是
22
4
3
a>－。其中最后 得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函
4
在解决不等式(< br>数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.
3.
已知函数f(x)＝|2－1|，af(c)>f(b)，则_____。
?a
x
A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2
2
<2 D. 2＋2<2
cac
已知函数f(x)＝log
a
(x－4x＋8)， x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。
24
A.
1
B.
1
C. 2 D. 4
4.已知{a
n< br>}是等比数列，且a
1
＋a
2
＋a
3
＝18，a2
＋a
3
＋a
4
＝－9，S
n
＝a
1
＋a
2
＋…＋
a
n
，那么
lim
S
n
等于_____。
n→∞
A. 8 B. 16 C. 32 D. 48
5.等差数列{a
n
}中，a
4< br>＝84，前n项和为S
n
,已知S
9
>0，S
10
< 0，则当n＝______时，
S
n
最大。
6. 对于满足0≤p≤4的所 有实数p，使不等式x＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围
是________。
7. 若关于x的方程|x－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是
__________ __。
8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交 于两点，求
实数m的取值范围。
9.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。
2
2
2

53
2
10.已知lg
a
－4·lg
a
·lg
b< br>＝0，求证：b是a、c的等比中项。
cbc
11.设α、β、γ均为锐角，且cos α＋cosβ＋cosγ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，
求证：α＋β＋γ＝π 。
12.当p为何值时，曲线y＝2px (p>0)与椭圆
1
(x―2―
p< br>)＋y＝1有四个交点。(88
222
222
4
2
年全国高考 )
13.已知关于x的实系数二次方程x＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明：
①. 如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4＋b且|b|<4；
②. 如果2|a|<4＋b且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2 。 （93年全国理）
14. 设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用I
k
表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I
0
时，f(x)＝x。 ①.求f(x)在I
k
上的解析表达式； ②.
对自然数k，求集合M
k
＝{a|使方程f(x)＝ax在I
k
上有两个不相等的实根}。 （89年
全国理）




























四、等价转化思想方法
2
2

54
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方
法。通 过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单
的问题。历年高考， 等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有
利于强化解决数学问题中的应变能 力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是 充分必要的，才保
证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行 必要
的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的
突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确
保其等价性， 保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者 发表《什
么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样 性。在应用等价转化的思想方法去解决数
学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与 形、数与形之间进行转换；
它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言 向数学语言的
翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法 、
求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进
行 等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不
变。由于其多样 性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化 时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，
即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较 熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的
问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无 理式到有理式、从分式到整式…
等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便 准确把握问题的求
解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学 操作，
转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
Ⅰ、再现性题组：
1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1 时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
2.设f(x)＝3x－2，则f
A.
?1
[f(x)]等于______。
1
x?8
B. 9x－8 C. x D.
3x?2
9
2222
3. 若m、n、p、q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。
a?b
ab
a
2
?b
2
A. B.
ab
C. D.
2
a?b
2
4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A. 1 B.
2
C. 2 D.
5

x
2
y
2
5. 设椭圆
2
＋
2
＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和( b,0)，已知原点到
b
a
221
l的距离等于c，则椭圆的离心率为___ __。
7

55
A.
11
3
2
B. C. D.
42
3
2
6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝ 5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E
为AC的中点，则四棱锥S- BCED的体积为_____。
A.
2535
15
B. 10 C. D.
22
2
【简解】1小题：由已知转化 为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；
2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；
m
2
?p
2
n
2
?q
2
3小题：由mp＋nq≤＋容易求解， 选A；
22
4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；
221c42
×
a
2
?b
2
，变形为12e－31e＋7＝0， 再解出e，选B；
7
1
6小题：由S
?ADE
＝S
?AB C
和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
4
5小题：ab＝
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(
?
1
1
1
－1)( －1)( －1)的最小值。
x
z
y
【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想 到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运
用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将 所求式进行合理的变形，即等价转化。
1
1
1
1
－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)
x
z
y
xyz
1
1
＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)
xyz
xyz
【解】(
＝
3
1
1
1
3
1
＋＋－1≥3
3
－1＝－1≥－1＝9
3
x?y? z
x
y
z
xyz
xyz
3
1
1
【 注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求＋
x
y
1
＋的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式
z< br>在形变中保持值不变。
例2. 设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
【分析】 设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围
的问题 。其中要注意隐含条件，即x的范围。
【解】由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。
设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，
即k＝－
22222
22
22
2222
1
2
x＋3x，其对称轴为 x＝3。
2

56
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：
2222
y
2
由 3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。
3
2< br>222
x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的
点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－
6x ＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
222 2
222
22
?
x?1?cos
?
y
?
2 22
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设
?
，则
6
3sin
?
?
y?
2
?
2
331
222 22
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
222
15
2
＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]
22
2
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【注】本题运用多种方法进 行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助
于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换 元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数
问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【分析】分析所求值的式子，估计两条 途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角
化为特殊角。
2222
cos10°
cos10°?4sin10°cos10°
【解一】ctg10°－4cos10°＝－4c os10°＝
sin10°
sin10°
sin80°?2sin20°sin80 °?sin20°?sin20°
＝＝
sin10°sin10°
2cos50°s in30°?sin20°
sin40°?sin20°
2cos30°sin10°
＝＝＝＝
3

sin10°
sin10°
sin10°
（基 本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）
cos10°
cos10°?4sin10°cos10°
－4cos10°＝ sin10°
sin10°
1
2·sin80°?2sin20°
sin 80°?2sin20°
2
＝＝
sin10°
sin10°
2co s60°sin80°?2sin20°
sin140°?sin(?20°)?2sin20°
＝＝
sin10°
sin10°
【解二】ctg10°－4cos10°＝

57
＝
sin140°?sin20°
2cos80°sin60°
＝＝3

sin10°
sin10°
（基本过程：切化弦→通分→化同名→特 值代入→积化和→差化积）
cos10°
cos10°?4sin10°cos10°
－4cos10°＝ sin10°
sin10°
sin80°?2sin20°sin(60??20?)?2 sin20°
＝＝
sin10°sin10°
【解三】ctg10°－4cos10 °＝
3113
cos20??sin20??2sin20°3(cos20??sin20? )
2222
＝＝
sin10°sin10°
＝
3cos(60?? 20?)
＝
3

sin10°

（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）
【注】无条件三角求值问题 ，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。
此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角 恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的
关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公 式以及万能公式，常用的手段是：
切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、 化特殊角等等。对此，
我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。
ππ
)，若x
1
、x
2
∈(0, )且x
1
≠x
2
，
22
x
1
?x
2
1
求证：[f(x
1
)＋f(x
2
)]>f() （94年全国高考）
22
例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0,
【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
x
1
?x
2
x
1
?x
2
1
1
【证明】 [f(x
1
)＋f(x
2
)]>f()
?
[tgx
1
＋tgx
2
]>tg
2
222
1sinx
1
1
sin(x
1
?x
2
)
sinx
2
sin(x
1
?x
2
)sin(x
1< br>?x
2
)
＋)>
?
>
?
(
2
cosx
1
cosx
2
1?cos(x
1
?x2
)
2
cosx
1
cosx
2
1?cos(x
1
?x
2
)
?
1＋cos(x
1
＋x< br>2
)>2cosx
1
cosx
2

?
1＋ cosx
1
cosx
2
＋sinx
1
sinx
2< br>>2cosx
1
cosx
2

?
cosx
1
cosx
2
＋sinx
1
sinx
2
<1
?
cos(x
1
－x
2
)<1
x
1
?x
2
1
由已知显然cos(x
1
－x
2
)<1成立，所以[f(x
1
)＋f(x
2
)]>f()
2
2
【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步
实施的都是等价转化。此种题型属于分析证明型。
例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位
于底面的高CD上，M是侧棱S C上的一点，使截面MAB与底
面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
【分析】 由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC
中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
S

A M

D N C
B

58
【证明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC＝∠NSC
又∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
【注】立 体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平
面上的证明时运用平面几何 知识。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为_____。
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
2. 函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，则下列各式中成立的是_____。
A. ab≤1 B. ab<1 C. ab>1 D. a>1且b>1
3.
lim
[
1?2?…?n
－
1?2?…?(n?1)
] (n∈N)的值为______。
n→∞
A.
2
B.
2
C. 0 D. 1
2
4. (a＋b＋c)展开式的项数是_____。
A. 11 B. 66 C. 132 D. 3
5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD ＝1，AB＝
3
，则顶点A到截面A’BD的距离是
_______。
6. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则|MN|的最大值为_______ __。
7. 函数y＝
x
＋
1?x
的值域是____________。
8. 不等式log
8
（x＋x＋3）>log
2
(x＋2)的解是_______ _____。
9．设x>0，y>0，求证：(x＋y)>(x＋y) (86年上海高考)
10. 当x∈[0,
π
]时，求使cosx－mcosx＋2m－2>0恒成立的实数m的取值范围。
2
22
3
10
10
1
2
33
1
3< br>2
11. 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成等 差数列，
求复数z＝[cos(π＋
A
)＋ｉsin(π＋
A
)]· [sin(
3π
－
C
)＋ｉcos(
3π
－
C)]的辐角主
22
2
2
2
2
值argz的最大值。
12. 已知抛物线C：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t)x＋(t＋3at＋b)对任何实数t都 与x
轴交于P(1,0)点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q(m,0)，求m的取值范围。





2222

59
第三章 高考热点问题和解题策略

函数平均每年占高考总分的13.8％， 考查的知识背景为幂、指、对及一般函数的概念、
定义域、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、 奇偶性、周期性；函数的图像等。
三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三角 函数的概念、性质、以
及有关公式的应用，以常规题居多。
解（证）不等式平均每年占高考总 分的11.2％，考查的知识背景为不等式的性质、定理；
立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问 题。
数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为等差（比）
数列的概念与计算公式；数列、极限的概念与求法。
线面间的位置关系平均每年占高考总分的11. 8％，考查的知识背景为线面间的平行、垂
直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。 圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7％，考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及解
几中的基 本数学思想方法。
1993年—1999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年考到，常用的数学思 想方法考查
的频率明显提高，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解能力< br>多题渗透。
今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4分，6-1 4题每题5
共4个题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比< br>99年高考，2000高考将适当降低试卷的难度，进一步加强对思维能力考查。
应用题将适当 控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译为数学语言的难度，既注
意贴近生活，又注意靠近课本。 探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如数列综合题
仍以归纳猜想为主要形式。

一、应用问题
应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问 题解决
问题的能力，这个要求分解为三个要点：
1、要求考生关心国家大事，了解信息社会， 讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科
学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际 问题的经验。
2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学
语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。
3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求
解。
对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化
为数学问 题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求
我们读懂材料，辨析文 字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象
其中的数量关系，将文字语言叙述转 译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以
说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关， 即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；
二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关 ，即构建相应的数学模型，
构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
求解应用题的一般步骤是（四步法）：
1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；

60
4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释
或 验证。
在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等
式模型、三角模型、排列组合模型等等。
Ⅰ、再性性题组：
1.某种细菌在培养过程中，每 20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种
细菌由1个可繁殖成______。(94年 全国高考)
A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024

个
2.如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L，这块场地的
长为_______时，场地面积最大 ，最大面积是_________。(82年全国高考)
3.圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是_______。(93年全国高考)
A. (
L
3
L
3
L
3
1
L
3
)π B. ()π C. ()π D. 2()π
6
4
9
24
4.在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光 源，射向地面的光呈圆锥形，且其
轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_ ______。(精确到0.1m)
(93年全国高考)
5.甲、乙、丙、丁四个公司承 包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁
公司各承包2项，共有_______种承包方 式。(86年全国高考)
【简解】1小题：答案B；
l?x1l
2
ll
2
2小题：设长x，面积S＝x×≤()，答案：长为，最大面积；
3322
12
l
r?r??2r
l
2
2
l?4r
2 3
3小题：V＝πr＝πr(－2r)≤π()，选A；
22
3
30
4小题：由＝tg60°得h＝10
3
≈17.3；
h
5小题：C
8
C
5
C
4
＝1680。
Ⅱ、示范性题组：
例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加2 2％，人均粮食产量
比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷 （精确到
1公顷）？ （96年全国高考）
（粮食单产＝
312
总产量
总产量
； 人均粮食产量＝）
耕地面积
总人口数
【分析】此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组 数据，要求考生从
两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。
【解】1.读题：问题涉及 耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分
率，其中人均粮食占有量P＝
粮食 单产×耕地面积
， 主要关系是：P
实际
≥P
规划
。
总人口数

61
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口
a ×10
4
10
数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人 口数为m(1＋0.01)，
m
耕地面积为（10－10x）。
4
a(1? 0.22)(10
4
?10x)
a×10
4
∴ ≥（1＋0.1）
m
m(1?0.01)
10
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－
10
3
4410
11.
310
×10×（1＋0.01）
122.
23
23
∵ （1＋0.01）＝1＋C
1
10
×0.01＋C
10
×0.01＋C
10
×0.01＋…≈1.10 46
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【另解】1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人
口数；
而主要关系是： 粮食总产量≥粮食总占有量 < br>2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口
3
a×10
4
10
数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22) ，人口数为m(1＋0.01)，
m
耕地面积为（10－10x）。
4
a×10
4
10
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
m
11.
3310
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
122.
4
23
∵ （1＋0.01）＝1＋C
1
×0. 01＋C×0.01＋C
101010
×0.01＋…≈1.1046
1023
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【注 】本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，
总人口数为等比数列模 型，问题用不等式模型求解。本题两种解法，虽都是建立不等式模型，
但建立时所用的意义不同，这要求 灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式
定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以 解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问
题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相 比之下，主要求解过程是建立
不等式模型后解出不等式。
在解答应用问题时，我们强调“评价 ”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本
题求解过程中若令1.01≈1,算得结果为x≤98 公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国
家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.0 1的近似计算上。
例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年 人口平均
增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积（精
确到0.01）？（91年上海高考）
【分析】城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积 成等比数列，分别写出2000年后
的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积。
2
2
10
10
3

62
【解】1.读题：主要关系：人均住房面积＝
总住房面积

总人口数100?10
4
?5?10?10
4
?10
2.建模：2000 年底人均住房面积为
100?10
4
?(1?2％)
10
6
3.求解：化简上式＝，
102.
10
23
∵ 1.02＝1＋C
1
10
×0.02＋C
10
×0.02＋C
10
×0.0 2＋…≈1.219
1023
6
∴ 人均住房面积为≈4.92
102.
10
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房 面积
为4.92m。
【注】一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问 题，可通过观
察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答。此
种题型属于应用问题中的数列模型。
例3．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙 地，速度不得超过c千米／时，
已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成： 可变部分与速度 v
（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ （97年全国高考）
【分析】几个变量 （运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关
系，并求函数的最小值。
【解】（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
（建模）有y＝(a＋bv)
2
2
S

v
a
v
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：y＝S(
＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0,c]。
a
a
b
整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
v
v
k
由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得：
x
aa
当bb
a
当≥c时，则v＝c时，y取最小值。
b
aaa
综 上所述，为使全程成本y最小，当bbb
行驶速度应为 v＝c。

63
【注】对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求
出函 数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦
忽视，将出现解答 不完整。此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型。
例4．如图，假设河的一条岸边为直线MN，AC⊥MN于C，
A
点B、D在MN上，现将货物从A地经陆地AD于水陆BD运往

B地，已知AC＝10km，BC＝30km，又陆地单位距离的运价是
M C D B
水陆单位距离运价的2倍，为使运费最少，D点应选在距C
点多远处？
【分析】设∠ ADC＝α后，将AD、BC用α表示，进而将运费表示成α的函数是，再求运
费最小值等。
10
【解】设∠ADC＝α，则AD＝，BD＝30－10ctgα，
sin
?
设水路每km的运费为1，则运费y＝(30－10ctgα)＋2×
＝10(3－
10

sin
?
cos
?
22?cos
?
＋)＝10(3＋)
sin
?
sin
?
sin
?
2?cos
?
设t＝，即t×sinα＋cosα＝2,有
t
2
? 1
sin(α＋θ)＝2,
sin
?
∴
t
2
?1
≥2即t≥
3
。
当t＝
3
时，2－cosα＝
3
sinα即
∴ sin(α＋30°)＝1,即α＝60°。
1
3
sinα＋cosα＝1,
2
2
103
∴ CD＝10ctgα＝km
3
综上所述，D点应选在距C点
103
km时运费最少。
3
【注】作为工具学科的三角，跨学科的应用是它的特点，不少物理学、工程测量、航海
航空等应用题都 可以转化为三角函数来解决，或者运用解三角形中的基本知识和手段进行解
答，此种题型属于应用问题中 的三角模型。
在解答应用问题中，最常见的是以上的几种模型，即：函数模型、不等式模型、数列模< br>型、三角模型。此外，其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题，特征比较
明显， 属于排列组合模型，解答时一定要分清楚是分类还是分步，是排列还是组合，是否有
重复和遗漏；与光学 、力学、轨迹等有关方面的应用问题，可通过建立适当的坐标系，运用
曲线的知识来建立数学模型来解答 ，且曲线研究主要是二次曲线，所以可称之为二次曲线模
型。
Ⅲ、巩固性题组：
1.某商品降价10％后，欲恢复原价，则应提价为______。
A. 10％ B. 9％ C. 11％ D. 11
1
％
9
2.某 工厂去年12月的月厂值为a，已知月平均增长率为P，则今年12月厂值比去年同期
增加的倍数是__ ____。
A. (1＋P)－1 B. (1＋P) C. (1＋P) D. 12P
121211

64
3.将一半径为R的木球加工成一正方形木块，则木块的最大体积为______。
A.
8
27
8
3
R B.
9
33
8
3
3
3
R C. R D.
98
3
R
3
4.在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们分别 在东经50°与140°的圈上，设地球半径为
R，则甲、乙两地的球面距离为______。
A.
1
πR B.
1
πR C.
π
R D.
2
πR
23
4
2
5.某种商品分两次提价，有三种提价方案，方案甲是：第一次提价p％，第二次提价q％；
方 案乙是：第一次提价q％，第二次提价p％；方案丙是：第一次提价
p?q
％，第二次提价p?q
22
％，已知p>q>0，则上述三个方案中______。
A.方案甲提价最多 B.方案乙提价最多 C.方案丙提价最多 D.以上都不对
6.假设国家收购某种农产品的价格是120元／担，其中征税标准为每100元征8元（叫
税率8个 百分点，即8％），计划可收购m万担。为了减轻农民负担，决定把税率降低x个
百分点，预计收购量可 增加2x个百分点。 ① 写出税收y（万元）与x的函数关系式； ②
要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x的范围。
7.某单位用分期付款 的方式为职工购买40套住房，共需1150万元。购买当天先付150
万元，以后每月的这一天都交付 50万元，并加付欠款利息，月利率为1％。若交付150万元
后的第一个月开始算分期付款的第一个月 ，问分期付款的第10个月应该付多少钱？全部货款
付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
8.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面
安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心， OA＝1.25米，安置在

柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同
A
的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图

所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA的距离为1

米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么
O 水面
水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（97年上海高考）
9 .电灯挂在圆桌的正中央上空，光学定律指出：桌边A处的照度I与射到点A的光线与
桌面的夹角θ的正 弦成正比，与点A到光源的距离的平方成反比。已知桌面半径r＝0.5米，
当电灯离桌面1米时，桌边 A处的照度为I
0
。 ① 试把照度I表示为角θ的函数； ② 怎样
选择电灯悬挂的高度h，才能使桌边处最亮？
10.国际足联规定法国世界杯决赛阶段， 比赛场地长105米、宽68米，足球门宽7.32米、
高2.44米，试确定边锋最佳射门位置（边锋 在足球场地长边上移动，最佳射门位置应使边锋
看足球门的水平视角θ最大）。 （精确到1米）
二、探索性问题
一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要 探索者通
过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，< br>但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性
问题。 此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，
探讨条件相应发生的 变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。
探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。
猜想归纳型问题是 指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其
猜想的一般性结论。它的思路是：从 所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，

65
探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等
与n有关数学问题。
存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形 式出
现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我
们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。
代数、三角 、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。
分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时 ，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足
条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情 况多种的问题。
探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法
是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分
类讨 论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一
问题的训练，以提 高我们的思维能力和开拓能力。
Ⅰ、再现性题组：
n(n?1)
2
1.是 否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋
12
222< br>bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国理）
2.已知数列
8·28·n
8·1
，…，
22
22
22
，…。S
n
为其前n项和，求
1·3
3·5
(2n?1)·(2n?1)
S
1
、S
2
、S
3
、S
4
，推测S
n
公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【简解】1题：令n＝1、2、3代入 已知等式列出方程组，解得a＝3、b＝11、c＝10，猜
测a、b、c的值对所有的n∈N都成立， 再运用数学归纳法进行证明。（属于是否存在型问题，
也可属于猜想归纳型问题）
82448
80
(2n?1)
2
?1
2题：计算得到S
1
＝、 S＝、S＝、S＝，观察后猜测S
n
＝，
9
2
25
3
49
4
81
(2n?1)
2
再运用数学归纳法进行证明。
Ⅱ、示范性题组：
【例1】已知方程kx＋y＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分 别指出方程所
代表图形的类型，并画出曲线简图。（78年全国高考题）
【分析】由圆、椭圆 、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx＋y＝4的特点，对参
数k分k>1、k＝1、0【解】由方程kx＋y＝4，分k>1、k＝1、0① 当k>1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a＝2，b＝
② 当k＝1时，表示圆，圆心在原点，r＝2；
③ 当0④ 当k＝0时，表示两条平行直线 y＝±2；
⑤ 当k<0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y轴上。
22
22
22
2
;
k
2
，b＝2；
k

66
所有五种情况的简图依次如下所示：
y y y y y

x x x x x
【注】分类讨论型问题，把所有情况分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。
y
2
【例2】给定双曲线x－＝1， ① 过点A(2,0)的直线L与所给双曲线 交于P
1
及
2
2
P
2
，求线段P
1
P
2
的中点P的轨迹方程； ② 过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q
1
、Q
2
，且点B是线段Q
1
、Q
2
的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；
如果不存在，说明理由。（81年全国高 考题）
【分析】两问都可以设直线L的点斜式方程，与双曲线方程联立成方程组，其解就是直
线与双曲线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。
【解】① 设直线L：y＝k(x－2)
?
y?k(x?2)
?
2222
∴
?
2
y
2
消y得(2－k)x＋4kx－(2＋4k)＝0
?
x?
2
?1
?
4k
4k
2
2k
2
∴ x
1
＋x
2
＝
2
∴x
p
＝
2
代入直线L得：y
p
＝
2

k?2
k?2k?2
?
2k
2
x?
2
?< br>(x?1)
2
y
2
?
k?2
22
∴
?
消k得2x－4x－y＝0即－＝1
1
2
4k
?
y?
?
2
k
2
?2
?
(x?1)
2
y
2
线段P
1
P
2
的中点P的轨迹方程是：－＝ 1
1
2
2
② 设所求直线m的方程为：y＝k(x－1)＋1
?
y?k(x?1)?1
?
2222
∴
?
2
y
2
消y得(2－k)x＋(2k－2k)x＋2k－k－3＝0
?
x?
2
?1
?
2k
2
?2k
∴ x
1
＋x
2
＝＝2×2 ∴k＝2
2
k?2
代入消y后的方程计算得到：△<0， ∴满足题中条件的直线m不存在。
【注】本题综合性比较强，将解析几何知识进行了横向综合。对于直 线与曲线的交点问
题和有关交点弦长及其中点的问题，一般可以利用韦达定理和根的判别式求解。本题属 于存
在型问题，其一般解法是：假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛
盾，则结论不存在。在解题思路中，分析法与反证法起了关键作用。这类问题一般是先列出

67
条件组，通过等价转化解组。
【例3】设{a
n
}是正数组成的数列， 其前n项的和为S
n
，并且对于所有的自然数n，a
n
与2的等差中项等于S
n
与2的等比中项。 ① 写出数列{a
n
}的前3项； ② 求数列{a
n
}
的通项公式（写出推证过程）； ③ 令b
n
＝
b
2
＋…＋b
n
－n)。(94年全国高考题)
【分析】由题意容易得到
1
a
n?1
a
n
（＋） (n∈N)，求
lim
(b
1
＋
n→∞
2
a
n
a
n?1
a
n
?2
＝
2S
n
，由此而求得a
1
、a
2
、a
3
，通过观察猜想a
n
，
2
再用数学归纳法证明。求出a
n
后，代入不难求出b
n
，再按照要求求极限。
a
1
?2
【解】① ∵ ＝
2S
1
＝
2a
1
∴ a
1
＝2
2
a
2
?2
∵ ＝
2S
2
＝
2( a
1
?a
2
)
＝
2(2?a
2
)
∴ a
2
＝6
2
a
3
?2
∵ ＝
2S< br>3
＝
2(a
1
?a
2
?a
3
)＝
2(8?a
3
)
∴a
3
＝10
2
所以数列{a
n
}的前3项依次为2、6、10。
② 由数列{a
n
}的前3项依次为2、6、10猜想a
n
＝4n－2，
下面用数学归纳法证明a
n
＝4n－2：
当n＝1时，通项公式是成立的；
假设当n＝k时结论成立，即有a
k
＝4k－2，
a
k
? 2
2
由题意有＝
2S
k
,将a
k
＝4k－2代入得 到：S
k
＝2k；
2
a
k?1
?2
当n＝k＋1 时，由题意有＝
2S
k?1
＝
2(S
k
?a
k?1
)

2
a
k?1
?2
2222
∴ ()＝2(a
k?1
＋2k) 即a
k?1
－4a
k?1
＋4－16k＝0
2
由a
k?1
>0，解得a
k?1
＝2＋4k＝4(k＋1)－2，
所以n＝k＋1时，结论也成立。
综上所述，上述结论对所有的自然数n都成立。
1
a
n?1
a
n
14n?24n?2
③ 设c
n
＝b
n
－1＝（＋）－1＝（＋－2）
24n?24n?2
2
a
n
a
n?1
12n?12n?111
＝[（－ 1）＋(－1)]＝－
22n?12n?12n?12n?1
11111
b
1
＋b
2
＋…＋b
n
－n＝c
1
＋c
2< br>＋…＋c
n
＝（1－）+（－）＋…＋(－)
3352n?12n?1
1
＝1－
2n?1
1
∴
lim
(b
1
＋ b
2
＋…＋b
n
－n)＝
lim
(1－)＝1
n→∞n→∞
2n?1

68
【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最特
殊的 情况出发，推测出结论，再进行严格证明。第③问对极限的求解，使用了“裂项相消法”，
设立新的数列 c
n
具有一定的技巧性。
此外，本题第②问数列通项公式的求解，属于给出数列中S
n
与a
n
的函数关系式求a
n
，
对此类问题我们还 可以直接求解，解答思路是由a
n?1
＝S
n?1
－S
n
的 关系转化为数列通项之间
的递推关系，再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的解答过程是 ：
a
n
?2
11
22
由题意有＝
2S
n
，整理得到S
n
＝(a
n
＋2)，所以S
n?1
＝ (a
n?1
＋2)，
288
1
22
∴ a
n?1
＝S
n?1
－S
n
＝[(a
n?1
＋2)－(a< br>n
＋2)]
8
整理得到(a
n?1
＋a
n
)( a
n?1
－a
n
－4)＝0
由题意a
n
>0可以 得到：a
n?1
－a
n
－4＝0,即a
n?1
－a
n
＝4
∴数列{a
n
}为等差数列，其中a
1
＝2，公差 d＝4，即通项公式为a
n
＝4n－2。
x
n
(x
n2
?3)
【例4】已知x
1
>0，x
1
≠1，且xn?1
＝ (n∈N)，比较x
n
与x
n?1
的大小。
3x
n
2
?1
(86年全国理)
【分析】比较x
n与x
n?1
的大小，采用“作差法”，判别差式的符号式，分情况讨论。
xn
(x
n
2
?3)
2x
n
(1?x
n
2
)
【解】x
n?1
－x
n
＝－x
n＝
3x
n
2
?1
3x
n
2
?1由x
1
>0及数列{x
n
}的定义可知，x
n
>0，所 以x
n?1
－x
n
与1－x
n
的符号相同。
假定 x
1
<1，当n＝1时，1－x
1
>0；假设n＝k时1－x
k>0，那么当n＝k＋1时，
2
3
2
(1?x
x(x?3)< br>k
)
kk
22
2
1－x
k?1
＝1－[]＝
2
2
>0，因此对一切自然数n都有1－x
n
>0,
2(3x
k
?1)
3x
k
?1
22
2
即 x
n
n?1
。
假定x
1
>1，当n＝1时， 1－x
1
<0；假设n＝k时1－x
k
<0，那么当n＝k＋1时，
1－x
k?1
2
22
x
k
(x
k
2?3)
2
(1?x
k
2
)
3
2
＝1－ []＝<0，因此对一切自然数n都有1－x
n
<0,
(3x
k
2< br>?1)
2
3x
k
2
?1
即x
n
n?1
。

所以，对一切自然数n都有x
n
n?1
。
【注】本题 对1－x
n
的符号的探讨，由于其与自然数n有关，考虑使用数学归纳法解决。
一般地 ，探索性问题与自然数n有关时，我们可以用归纳→猜想→证明的方法解出。
Ⅲ、巩固性题组：
2
2
1. 设{a
n
}是由正数组成的等比数列，S
n
是前n项和。 ①. 证明：
lgS
n
?lgS
n?2
n?1
；
②.是否存在常数c>0，使得
lg(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
n?1
－c）成立？并证明你的结论。(95
2< br>年全国理)