高三数学答题方法配方法

一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的 技巧，通过
配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并
且合 理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时
也将其称为“凑配法”。 < br>最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：
已知或者未知中含有二 次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求
解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题 。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋
b
2
，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： < br>a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2ab＝(a－b)< br>2
＋2ab；
a
2
＋ab＋b
2
＝(a＋b)2
－ab＝(a－b)
2
＋3ab＝(a＋
222
3
b
2
)＋（b）
2
；
2
2
1
a＋b＋c＋ ab＋bc＋ca＝[(a＋b)
2
＋(b＋c)
2
＋(c＋a)
2
]
2
a
2
＋b
2
＋c
2
＝(a ＋b＋c)
2
－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)
2
－2(ab－b c－ca)
＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
2
；
11
2
1
2
＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
2
x
xx
Ⅰ、再现性题组：
x
2
＋
1. 在正项等比数列{a}中，a?a+2a?a+a?a=25，则 a＋a＝
_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
11
A.
1
4
4
或k>1 C. k∈R D. k＝
4
或k＝1
3. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log
1
(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
2
5155
A. （－∞,
5
4
] B. [
4
,+∞) C. (－
2
,
4
] D. [
4
,3)

5. 已知方程x+(a-2)x+a -1=0的两根x、x
2
，则点P(x,x
2
)在圆x+y=4
上， 则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质a
m?p
a
m?p
＝a
m
2
，将已知等式左边后配
方（a＋a）
2易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)
2
＋(y －b)
2
＝r
2
，解r
2
>0即可，选
B。 < br>3小题：已知等式经配方成(sin
2
α＋cos
2
α)
2< br>－2sin
2
αcos
2
α＝1，求出
sinαcosα，然 后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求
解。选D。
5小题：答案3－
11
。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体 的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方
体的一条对角线长为_____。
A. 2
3
B.
14
C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分 别为x,y,z，则
?
2(xy?yz?xz)?11
,而欲求对角线长
?
4(x?y?z)?24
?
x
2
?y
2
?z
2
，将其配凑成两已知式的组
合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y, z，由已知“长方体的全面积为11，其12
?
2(xy?yz?xz)?11
条棱的 长度之和为24”而得：
?
。
4(x?y?z)?24
?
长方体所 求对角线长为：
x
2
?y
2
?z
2
＝
(x ?y?z)
2
?2(xy?yz?xz)
＝
6
2
?11＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示 式，
观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了
已知和未知 ，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(
实数k的取值范围。
pq
)+()≤7成立，求
qp

【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq
＝2 ,
[(p?q)
2
?2pq]
2
?2p
2
q
2
pq
p
4
?q
4
(p
2
?q
2
)
2
?2p
2
q
2
()+()＝＝＝＝
2
2
(pq)
(pq)
2
qp
(pq)
(k
2
?4)
2
?8
≤7， 解得k≤－
10
或k≥
10
。
4
又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2
2
或
k≤－2
2

综合起来，k的取值范围是：－
10
≤k≤－
22
或者
22
≤k≤
10
。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先 考虑根的判别式“Δ”；已知
方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq 后，观
察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。
假如 本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”
的讨论，但解答是不严密 、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
b
a
例3. 设非零复数a、b满足a
2
＋ab＋b
2
=0，求()
1998
＋()
19 98
。
a?b
a?b
aaa
【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω
bbb
为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)
2
＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a
2
＋ab＋b
2
=0变形得：(
设ω＝
aa
)＋()＋1＝0 ，
bb
a
1
b< br>，则ω
2
＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω
3
b< br>?
a
＝
?
3
＝1。
又由a
2
＋a b＋b
2
=0变形得：(a＋b)
2
＝ab ，
b
a2
999
b
2
999
a
ab
19981998
所以 ()＋()＝()＋()＝()
999
＋()
999
＝ωabab
a?b
ba
a?b
999
＋
?
999
＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的
性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们
善于联想和展开。

【另解】由a
2
＋ab＋b
2
＝0变形得 ：(
?1?3i
aa
b
)＋()＋1＝0 ，解出＝
2
bb a
后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(
a
999
b
)＋( )
999
后，完成后面的
ba
?1?3i
运算。此方法用于只是未联 想到ω时进行解题。
2
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a
2
＋ab＋b
2
＝0解出：a＝
?1?3i
b，直接代入所求表达式，进行分 式化简后，化成复数的三角形式，利
2
用棣莫佛定理完成最后的计算。