高中数学解题方法谈线性规划求最值问题

线性规划求最值问题
一、与直线的截距有关的最值问题
?
x?2≤0，
?
例1 已知点
P(x，y)
在不等式组< br>?
y?1≤0，
表示的平面区域上运动，则
z?x?y
的
?< br>x?2y?2≥0
?
取值范围是（ ）．
（A）［－2，－1］ （B）［－2，1］
（C）［－1，2］ （D）［1，2］
解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑
z?x?y
，
把它变形为
y?x?z
，这是斜率为1且随z变化的一族平行
直线．
?z
是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且
经过点（2，0）时，目标函数
z?x?y
取得最大值为2；
直线经过点（0，1）时，目标函数
z?x?y
取得最小值为－1．故选（C）． < br>注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［
?
1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取 得的特
殊值意识．
二、与直线的斜率有关的最值问题

?
x?y?2≤0，
y
?
例2 设实数
x
，则
z?
的最大值是__________．
，y
满足
?
xc?2y?4≥0，
x
?
2y?3≤0，
?解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），
z?
yy?0
表示两 点
?
xx?0
O(0，，0)P(x，y)
确定的直线的斜率，要求z的最大 值，即求可行域内的点与原点连线的斜
率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为
x?2y?4?0
与
2y?3?0
的
交点，即A点．
，
?
．故答案为 ∴
P
?
1
?
3
?
?
2
?
3
．
2
注：解决本题的关键是理解目 标函数
z?
几何意义，当然本题也可设
yy?0
的
?
xx?0
y
?t
，则
y?tx
，即为求
x
y?tx
的斜率的最大值．由图2可知，
y?tx
过点A时，
3
t最大．代入
y?tx
，求出
t?
，
2
3
即得到的最大值是．
2
三、与距离有关的最值问题

?
x?y?2≥0，
?
22
例3 已知
?
x?y?4≥0，
，求
z?x?y?10y?25
的最小值．
?
2x?y?5≤0，
?
解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1 ，3）、B（3，1）、C（7，9）．而
z?x?(y?5)
22
表示可行域内任一 点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，
易知垂足
Ｎ
在线段
AC
上，故z的最小值是
MN
2
?
9
．
2
注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．
四、与实际应用有关的最值问题
例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的 椅子，希望使桌椅的总数尽可能的
多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买 多少才行？
分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数
之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应当注意到问
题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上
得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设．
解：设应买x张桌子，y把椅子，把所给的条件表示成
?
50x?20y≤2000 ，
?
y≥x，
?
不等式组，即约束条件为
?

y≤ 1.5x，
?
?
?
?
x，y?N，
200
?
x?，
?
50x?20y?2000，
?
?
7
由
?
解得
?
．
200
y?x，
?
?y?.
?
7
?
∴ A点的坐标为
?

?
200200
?
，
?
，
7
??
7
?
x?25，
?
50x?20y?2000，
?
由
?
解得
?
75
．
y?.
y?1.5x，
?
?
?2
∴ B点的坐标为
?
25，
?
．
?
?
75
?
2
?
所以满足约束条件的可行域是以
A
?
75
??
200200
??
，
?
，B
?
25，
?< br>，O(0，0)
为顶点的三角形区
772
????
域（如图4）．由图 形可知，目标函数
z?x?y
在可行域内的最优解为25，，但注意到
x，y?N?
，故取
y?37
．

答：应买桌子25张，椅子37把．